(SKKN mới NHẤT) góp phần hình thành một số năng lực tư duy toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số bậc hai

Thiết kế hoạt động vận dụng kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai nằm giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn ..... Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 2

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

V CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI 2

PHẦN II NỘI DUNG 2

A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 2

1 C Ơ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 2

1.1 Năng lực 2

1.2 Năng lực toán học 3

1.2.1 Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học 3

1.2.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực toán học của HS THPT 3

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học 3

1.3.1 Khái niệm tư duy 3

1.3.2 Các thao tác của tư duy 4

1.3.3 Năng lực tư duy 4

1.3.4 Năng lực tư duy toán học 4

1.3.5 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học 5

2 Cơ sở thực tiễn của đề tài 5

2.1 Thực trạng giảng dạy của giáo viên 5

2.2 Thực trạng học tập của học sinh 6

B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI 6

3.1 Biện pháp 1 Bồi dưỡng và luyện tập cho HS kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai 6

3.1.1 Biện pháp 1.1 Thiết kế hoạt động khởi động từ các tình huống thực tiễn nhằm kích thích tính tò mò, tạo hứng thú học tập cho học sinh 8

3.1.2 Biện pháp 1.2 Thiết kế hoạt động hình thành, củng cố khái niệm hàm số bậc hai theo từng bước hoạt động nhận thức có tính sư phạm cao 11

3.1.3 Biện pháp 1.3 Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về đồ thị hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS 12

3.1.4 Biện pháp 1.4 Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về bảng biến thiên hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS 14

3.1.5 Biện pháp 1.5 Thiết kế hoạt động vận dụng kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai nằm giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn 15

3.2 Biện pháp 3.2 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng tương tự hóa, khái

quát hóa thông qua giải và xây dựng các bài toán về hàm số bậc hai 20

3.2.1 Biện pháp 2.1 Tương tự hóa 20

3.2.2 Biện pháp 2.2 Khái quát hóa 22

3.3 Biện pháp 3 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng xây dựng hệ thống bài toán mới từ bài toán cơ bản về hàm số bậc hai 24

3.4 Biện pháp 4 Bồi dưỡng cho HS kỹ năng phân tích, tổng hợp và so sánh để tìm chìa khoá lời giải các bài toán 33

3.5 Biện pháp 5 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng nhìn bài dưới nhiều góc độ khác nhau để giải được bài toán theo nhiều cách và lựa chọn cách tối ưu 38

3.6 Biện pháp 6 Bồi dưỡng tư duy logic, tư duy sáng tạo thông qua việc cho HS tập sáng tác các bài toán mới 41

3.7 Biện pháp 7 Đưa ra các bài toán thực tế tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn, để HS rèn luyện tư duy và lập luận toán học 43

3.8 Biện pháp 8 Phát triển tư duy phê phán thông qua việc cho HS phát hiện các sai lầm, đánh giá nhận xét lời giải 46

C THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI 50

1 Đối tượng thực nghiệm 50

2 Kết quả thực nghiệm 50

2.1 Kết quả thực nghiệm tại trường THPT Hà Huy Tập 50

2.2 Kết quả thực nghiệm tại trường THPT Cửa Lò 2 51

3 Những kết luận rút ra từ thực nghiệm 51

PHẦN 3 KẾT LUẬN 52

I Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI 52

1 Tính mới của đề tài 52

2 Tính khoa học 53

3 Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng 53

II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 54

1 Với các cấp quản lí giáo dục 54

2 Với giáo viên 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

PHỤ LỤC 56

Để thực hiện thành công Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam

2011-2020, Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ VIII Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thông qua Đề án “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” Trong Chương trình hành động của ngành Giáo dục, có những nội dung triển khai các dự án, đề án về đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn và thu hút nhiều học sinh (HS) Trung học phổ thông (THPT) nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ cho HS

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh

những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’

Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn học không chỉ đơn thuần là giúp cho HS có được một số kiến thức cụ thể nào đó Điều

cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó, rèn luyện cho HS tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả năng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đa dạng của hoạt động thực tiễn không ngừng phát triển Nói cách khác, hệ thống giáo dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư duy (TD) nói chung và tư duy Toán học nói riêng, tạo điều kiện cho HS có phương pháp TD tốt để các em có thể tiếp tục tự học suốt đời

Trong chương trình GDPT hiện hành và chương trình GDPT năm 2018 thì chủ đề hàm số bậc hai được bố trí về thời lượng và vị trí quan trọng có ý nghĩa và ứng dụng rất lớn trong các chủ đề dạy học khác và trong cuộc sống

Vì vậy việc hình thành và phát triển tư duy Toán học cho học sinh trong việc

dạy học chủ đề hàm số bậc hai đóng vai trò rất quan trọng giúp học sinh có phương

pháp tư duy, yêu thích hơn bộ môn Toán qua đó sẽ rèn luyện những năng lực cần

thiết cho nhiệm vụ học tập và cuộc sống

Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu củ là: “Góp phần

hình thành một số năng lực tư duy Toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số

bậc hai”

II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Đề tài có nhiệm vụ tổng hợp một số cơ sở lí luận và thực tiễn về TD, TD toán học

và việc phát triển TD toán học cho HS Đề xuất một số biện pháp sư phạm (kết hợp

ví dụ cụ thể) góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học cho học sinh

THPT

- Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên toán qua đó thấy được hiệu

quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội

dung chủ đề hàm số bậc hai nói riêng cũng như học môn toán nói chung

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh bậc trung học phổ thông

- GV dạy toán bậc trung học phổ thông

- Tài liệu về PPDH, hàm số bậc hai

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp điều tra, phân tích

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN II NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lí luận của đề tài

1.1 Năng lực

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân

được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép

hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt,

có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một tình huống nhất định

1.2 Năng lực toán học

1.2.1 Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học

Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.2.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực toán học của HS THPT

Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống

và bối cảnh khác nhau Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Môn Toán cấp THPT nhằm giúp học sinh phát triển năng lực toán học với các yêu cầu cần đạt:

Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá được cho vấn

đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện học toán, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.3.1 Khái niệm tư duy

Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng”

Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

1.3.2 Các thao tác của tư duy

Các giai đoạn hoạt động của tư duy

Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Các thao tác tư duy

Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác sau:

+ Phân tích và tổng hợp Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành

những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ Tổng hợp là liên kết (trong

tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất

+ So sánh và tương tự So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự

đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia

+ Trừu tượng hóa Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những

đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động)

+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối

tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu

1.3.3 Năng lực tư duy

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn

1.3.4 Năng lực tư duy toán học

Năng lực tư duy toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn

đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả

thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau

1.3.5 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu hiện

và yêu cầu cần đạt về năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh THPT được tổng hợp ở bảng sau:

Năng lực tư duy và lập luận

toán họcthể hiện qua việc: Yêu cầu cần đạt của HS cấp THPT

- Thực hiện được các thao tác tư duy

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết

lập luận hợp lí trước khi kết luận

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn

đề

- Giải thích hoặc điều chỉnh được

cách thức giải quyết vấn đề về

phương diện toán học

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

2 Cơ sở thực tiễn của đề tài

2.1 Thực trạng giảng dạy của giáo viên

Qua điều tra thực tế dạy học môn Toán tại trường THPT Cửa Lò 2, trường THPT Hà Huy Tập và một số trường THPT khác các tác giả có một số nhận định như sau:

Hiện nay việc xây dựng và phát triển năng lực tư duy Toán học có nhiều cách triển khai nhưng không phải cách nào cũng đem lại hiệu như mong muốn có rất nhiều nguyên nhân nhưng nguyên nhân có yếu tố quyết định trực tiếp là người thầy vì người thầy trực tiếp thực hiện nhiệm vụ dạy học trong đó có nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh, hình thành và phát triển các kỹ năng tư duy và đặc biệt là

tư duy Toán học Trong việc giảng dạy có nhiều thầy cô tâm huyết với nghề, hết mình vì tương lai của học sinh, thường xuyên trau dồi chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường tự học về công nghệ thông tin, chuyển đổi số trong dạy học Bên cạnh đó vẫn còn có không ít các thầy cô quan tâm nhiều đến việc rèn luyện tư duy cho học sinh đặc biệt tư duy Toán học

Môn Toán ở trường phổ thông nói chung và chủ đề về hàm số bậc hai nói riêng có

hệ thống bài tập đa dạng, phong phú có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống và

trong các chủ đề khác của Toán học vì thế có thể hình thành và phát triển tư duy cho học sinh song nhiều giáo viên chưa chú ý đến điều này Giáo viên chỉ chú trọng đưa ra các hệ thống bài tập theo các dạng giúp học sinh luyện và các bài tương tự và sau này sử dụng trong các đề kiểm tra và thi Đặc biệt trong các tiết dạy như vậy giáo viên chưa đưa ra được sự tò mò để tìm hiểu các kiến thức Trog các đề kiểm tra chỉ chủ yếu kiểm tra kiến thức thông thường chưa kiểm tra được các yêu cầu về sự tư duy của học sinh Nói cách khác giáo viên chưa có nhiều biện pháp kịch hoạt tư duy cho học sinh

2.2 Thực trạng học tập của học sinh

Học sinh chỉ chủ yếu tìm hiểu các dạng toán có trong các đề thi, các bài tập

để rèn luyện; ít quan tâm đến các bài toán về thực tế, những kiến thức, những cơ sở

để hình thành khái niệm, kiến thức mới

B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

3.1 Biện pháp 1 Bồi dưỡng và luyện tập cho HS kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai

Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính chất của hàm số bạc hai thì e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn Để đạt được nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc và nắm vững định nghĩa, tính chất của hàm số bậc hai.Trong thực tiễn giảng dạy, chúng tôi nhận thấy

số đông HS có kiến thức về hàm số bậc hai thiếu tính bài bản và hệ thống, điều này dẫn đến việc các em hay mắc những lỗi sai kiến thức cơ bản trong quá trình lập luận Hoặc nắm kiến thức cơ bản một cách máy móc, không thể vận dụng kiến thức vào giải toán

Các kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai bao gồm:

Nếu a  thì hàm số bậc hai đồng biến trên khoảng 0 ;

2

b a

  và nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

 là giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Nếu a  thì hàm số bậc hai đồng biến trên khoảng 0 ;

2

b a

 

  và nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

 là giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai

Trên đây là các kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai Một câu hỏi đặt ra là trong quá trình dạy học, GV cần thiết kế bài giảng như thế nào nhằm hình thành và phát triển phẩm chất và năng lực cho HS, bài giảng đó có điểm nào khác với việc dạy học truyền thụ kiến thức truyền thống ?

Dạy học phát triển năng lực là quá trình thiết kế, tổ chức và phối hợp giữa hoạt động dạy và hoạt động học, tập trung vào kết quả đầu ra của quá trình này Trong đó nhấn mạnh người học cần đạt được các mức năng lực như thế nào sau khi

kết thúc một giai đoạn (hay một quá trình) dạy học

Đặc điểm quan trọng nhất của dạy học phát triển năng lực là xác định và đo lường được “năng lực” đầu ra của học sinh Dựa trên mức độ làm chủ kiến thức, kỹ năng và thái độ của học sinh trong quá trình học tập

Dưới đây là những đặc điểm nổi bật của dạy học theo định hướng phát triển năng lực:

Đặc điểm về mục tiêu: Chú trọng hình thành phẩm chất và năng lực thông qua

việc hình thành kiến thức, kỹ năng; mục tiêu dạy học được mô tả chi tiết và có thể

đo lượng và đánh giá được Dạy học để biết cách làm việc và giải quyết vấn đề

Đặc điểm về nội dung dạy học: Nội dung được lựa chọn nhằm đạt được các mục

tiêu năng lực đầu ra Chú trọng các kỹ năng thực hành, vận dụng vào thực tiễn Nội dung chương trình dạy học có tính mở tạo điều kiện để người dạy và người học dễ cập nhật tri thức mới

Đặc điểm về không gian dạy học: Không gian dạy học có tính linh hoạt, tạo

không khí cởi mở, thân thiện trong lớp học Lớp học có thể trong phòng hoặc ở ngoài trời, trong công viên, bảo tàng… nhằm dễ dàng tổ chức các hoạt động nhóm

Đặc điểm về đánh giá: Tiêu chí đánh giá dựa vào kết quả “đầu ra”, quan tâm tới

sự tiến bộ của người học Chú trọng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào thực

tiễn Ngoài ra 1 đặc điểm quan trọng trong đánh gia đó là: người học được tham gia vào quá trình đánh giá, nâng cao năng lực phản biện, một phẩm chất quan trọng của con người thời kỳ hiện đại

Đặc điểm về sản phẩm giáo dục:Tri thức người học có được là khả năng áp dụng

vào thực tiễn Phát huy khá năng tự tìm tòi, khám phá vừ ứng dụng nên người học không bị phụ thuộc vào học liệu Người học trở thành những con người tự tin năng động và có năng lực

3.1.1 Biện pháp 1.1 Thiết kế hoạt động khởi động từ các tình huống thực tiễn nhằm kích thích tính tò mò, tạo hứng thú học tập cho học sinh

Khởi động là hoạt động đầu tiên, hoạt động này nhằm giúp học sinh huy động những kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm của bản thân về các vấn đề có nội dung liên quan đến bài học mới Hoạt động khởi động sẽ kích thích tính tò mò, sự hứng thú, tâm thế của học sinh ngay từ đầu tiết học Hoạt động khởi động thường được tổ chức thông qua hoạt động cá nhân hoặc hoạt động nhóm sẽ kích thích sự sáng tạo, giúp học sinh hình thành năng lực hợp tác, tinh thần học hỏi, giúp đỡ nhau khi thưc hiện nhiệm vụ Chuẩn bị phần khởi động như thế nào cho hiệu quả phải dựa vào nội dung bài, đối tượng học sinh và cả điều kiện của giáo viên Vai trò thứ hai của hoạt động khởi động là huy động vốn tri thức, kĩ năng nền tảng của học sinh Bởi dạy học là một quá trình kiến tạo Nếu ví tri thức, kĩ năng học sinh tiếp nhận được ví như ngôi nhà, thì nền móng sẽ xuất phát từ những tri thức, kĩ năng vốn có, nền tảng của người học Quan điểm dạy học kiến tạo đặc biệt chú ý đến việc huy động kiến thức, kĩ năng, hệ giá trị nền tảng của cá nhân người học tạo tiền đề cho việc tiếp nhận kiến thức mới Vì vậy, một khởi động bài học hiệu quả nên tạo ra cơ hội cho các em tự làm sống lại những kiến thức nền đã có, cần thiết cho việc học bài mới Sau đây chúng tôi xin nêu một số ví dụ về hoạt động khởi động dạy học bài hàm số bậc hai

Ví dụ 1.1.1. (Bài toán mở đầu 1)

Ông An có 50 m lưới B40 cao 1,5 m

Ông An muốn dùng tấm lưới đó rào

chắn 3 mạt áp bên bờ tường của khu

vườn nhà thành một mảnh đất hình chữ

nhật để nuôi gia cầm Hỏi ông An cần

thiết kế hình chữ nhật với kích thước nào

để có thể nuôi được nhiều gia cầm nhất

có thể?

Để đi đến khái niệm hàm số bậc hai, GV yêu cầu HS thực hiện HĐ sau:

Gọi x mét ( 0x25) là khoảng cách từ điểm A trên bức tường ra đến điểm I nơi

đóng cọc hàng rào Hãy tính theo x :

a) Độ dài KL của hàng rào

b) Diện tích S x của mảnh đất được rào chắn  

Khi thực hiện HĐ trên HS sẽ tính được     2

S x  x  x   x  x

Đây là một hàm số cho bởi công thức, gọi là hàm số bậc hai chứa biến số x

Một cách tổng quát em hãy phát biểu định nghĩa về hàm số bậc hai?

Rõ ràng bài toán mở đầu này, rất gần gũi với HS, nó kích thích được sự tò

mò, mong muốn tìm hiểu, mong muốn giải quyết của HS GV khéo léo dẫn dắt HS từng bước để dần dần đi đến hình thành kiến thức mới Từ kiến thức mới quay trở lại giải quyết bài toán mở đầu này Để giải quyết trọn vẹn bài toán mở đầu trong ví

dụ 1, GV dẫn dắt HS đi tìm hiểu các kiến thức về hàm số bậc hai, để từ đó quay trở lại giải bài toán mở đầu

Ví dụ 1.1.2 Cổng trường Đại học Bách khoa

Hà Nội là một trong những hình ảnh đẹp về

kiến trúc của nhà trường Độ cao y (mét) của

một điểm thuộc vòng cung cổng có thể biểu

thị theo độ dài x (mét) tính từ chân cổng bên

trái dọc theo đường dưới chân cổng bên phải

Biết rằng chiều rộng của cổng tính từ hai bên

và cho ra công thức của hàm số tương ứng, chính là tìm ra mối liên hệ giữa ,x y

trong ví dụ 2 nói trên, đó chính là y  0,33.x2 3,3x

Với các cách thực hiện như trên, rõ ràng giúp HS tiếp cận và hình thành khái niệm hàm số bậc hai theo con đường quy nạp Đi từ ví dụ cụ thể và có tính thực tiễn, HS có nhu cầu nhận thức và có mong muốn giải quyết bài toán mở đầu này Mỗi cách thức HĐ mở đầu trên đều có ý đồ riêng, có những lợi thế riêng Tùy thuộc vào điều kiện, hoàn cảnh của từng địa phương, trang thiết bị dạy học, năng

lực tiếp thu của HS mà có cách thức phù hợp nhất

Ví dụ 1.1.3 Giáo viên có thể giao nhiệm vụ để HS thực hiện trước buổi học như

sau: Chia lớp thành 4 hoặc 6 nhóm Nhiệm vụ của các nhóm là lựa chọn một trong các môn thể thao như bóng rổ, bóng đá, bóng chuyền (hoặc môn thể thao nào đó thích hợp tương tự) Sau đó các nhóm sẽ tiến hành quay video quá trình ném bỏng

rổ, từ khi ném đến khi bóng bay vào rổ Tương tự với môn bóng đá, một HS xút bóng qua hàng rào vào gôn Ở môn bóng chuyền thì quay video lại quá trình đệm bóng giữa hai HS

Sau khi đã quay lại video, các nhóm tiến hành phân tích quỹ đạo của các quả bóng trong video mà nhóm quay được nhờ các phần mềm hỗ trợ như Geogebra, sketchpad; Cabri 2d,… Sau khi đã dùng phần mềm hỗ trợ để tìm quỹ đạo của bóng, tiếp tục dùng phần mềm để tìm mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của quả bóng được gán trong hệ trục tọa độ Từ đây các nhóm cho nhận xét Giáo viên

có thể đặt thêm các câu hỏi cho các nhóm để buộc các nhóm tìm hiểu sâu hơn về các hoạt động trên như tính chiều cao của quả bóng khi biết hoành độ Tính chiều cao lớn nhất, … Sau đó đến tiết học thì GV cho các nhóm tiến hành báo cáo kết quả HĐ của nhóm, báo cáo kết luận của các nhóm về các yêu cầu GV đưa ra Các nhóm thảo luận, nhận xét và đánh giá lẫn nhau GV điều hành buổi thảo luận đó, cuối cùng GV chốt, kết luận về HĐ nhóm, đặt vấn đề về điểm chung của các nhóm, đưa ra vấn đề thực tế và cụ thể từ các HĐ nhóm mà tại đó HS chưa thể trả lời được hoặc chỉ trả lời được một phần hoặc chỉ mang tính phỏng đoán từ đó đi vào bài học mới, là các kiến thức mà sau khi học xong HS có thể tự mình trả lời được các câu hỏi của GV

GV cũng có thể hướng dẫn HS đăng nhập webside:

https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_vi.html

Đây là webside gồm các thí nghiệm ảo của các môn khoa học cơ bản như vật

lí, hóa học, sinh học, toán học Ở đây, các em tìm hiểu về việc ném xiên và tìm

hiểu về quỹ đạo đi của vật ném xiên Sau khi chụp ảnh quỹ đạo các em dùng phần mềm Toán học để tìm ra công thức của hàm số có quỹ đạo như ảnh chụp Sau đó chúng ta có thể thực hiện như trên Lợi thế của trang này là thí nghiệm ảo nên HS rất dễ làm, dễ thực hiện, nhưng rõ ràng nó không sinh động và chân thực như cách trên

Nhận dạng và thẻ hiện khái niệm: Trong ba hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc

hai? Với các hàm số bậc hai, hãy xác định các hệ số , a b c, ?

Hoạt động ngôn ngữ: Hãy phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của của mình? Hãy

phát biểu lại định nghĩa ở cách diễn đạt khác?

Hệ thống hóa các khái niệm đã học: Trong chương Hàm số và đồ thị, đến thời điểm

này em đã biết được những hàm số nào? GV nên lưu ý cho HS hàm số

Để giúp HS hiểu sâu sắc hơn về hàm số bậc hai, đặc biệt mối quan hệ giữa

x và y khi cho công thức hàm số bậc hai 2  

0

y ax bxc a , GV cho HS thực hiện HĐ sau:

Xét hàm số bậc hai y 2x2 50x, thay dấu ? bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng sau:

Thực hiện ví dụ này chính là một HĐ của tư duy hàm, nói lên sự phụ thuộc, mối

liên hệ giữa hai đối tượng x và y Ngoài ra các số liệu thu được từ HĐ trên sẽ

được sử dụng để tiến hành hoạt động tìm hiểu về đồ thị hàm số bậc hai ở phần sau

GV cũng có thể cho HS thực hiện HĐ luyện tập nhằm cùng cố khái niệm hàm số bậc hai bằng cách diễn tả khác về hàm số bậc hai, chẳng hạn như sau:

Cho hàm số y x3 2 4x Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai hay không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó Hãy tính giá trị của hàm số

hỏi lật ngược vấn đề như trên sẽ dẫn dắt HS đi đến kết luận là quy về việc giải phương trình bậc hai mà các em đã học ở lớp 9

3.1.3 Biện pháp 1.3 Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về đồ thị hàm

số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS

Sau khi HS đã học xong về cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai, ngoài yêu cầu kĩ năng vẽ đồ thị hàm số bậc hai một cách thành thạo, GV cần thiết kế các hoạt động nhận biết về đồ thị hàm sô bậc hai tương ứng với hàm số bậc hai Nhận biết về hình dáng đồ thị tương ứng với các hệ số , ,a b c

Ví dụ 1.3.1. Hàm số 1 2 2

2

y  x   có đồ thị là hình nào dưới đây?x

Trước hết loại phương án A D vì đồ thị quay bề ,

lõm lên trên nên hàm số có hệ số a  Đồ thị hàm 0

số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên đó là

Dựa vào đồ thị chúng ta thấy parabol quay bề lõm xuống

dưới (loại phương án C), cắt trục tung tại điểm có tung độ

dương (loại phương án A) và có trục đối xứng nằm bên phải trục tung nên 0

000

2

a

a b

b a

Ví dụ 1.3.4 Cho hàm số bậc hai   2  

0

y f x ax bxc a có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A b0c B b0,c0

C b  0 c D b0, c 0

Lời giải

Bề lõm quay lên nên a  0

Hoành độ đỉnh dương nên 0

2

b a

  , suy ra b  0

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c  0

3.1.4 Biện pháp 1.4 Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về bảng biến thiên hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS

Ví dụ 1.4.1 Trong các bảng biến thiên cho dưới đây, bảng biến thiên của một hàm bậc hai

Ví dụ 1.4.1 là một ví dụ rất cơ bản nhằm giúp HS nắm vững hơn kiến thức về bảng biến thiên của hàm số bậc hai

Ví dụ 1.4.2 Bảng biến thiên dưới đây là của

hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn

1

∞

y x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

nên loại các phương án B, D

Dễ thấy phương án không thỏa mãn điều kiện  3 và phương án C thỏa mãn

Ví dụ 1.4.3 Cho hàm số 2  

0

yax bxc a

có  b2 4ac và có bảng biến thiên như hình vẽ

sau.Kết quả nào sau đây là đúng?

3.1.5 Biện pháp 1.5 Thiết kế hoạt động vận dụng kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai nằm giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn

Như chúng ta đã biết trong dạy học (DH) toán cần phải:

i) Đặt tri thức bài học trong hoàn cảnh thực tiễn (TT) chứa đựng nó, dẫn đến việc

đặt bài toán trong tình huống TT, thông qua đó nảy sinh nhu cầu cần giải quyết để xây dựng bài toán

ii) Xuất phát từ nhu cầu giải quyết một tình huống cụ thể trong TT dẫn đến việc xây dựng một mô hình để GQVĐ đó Từ đó mô hình này được tiếp tục khái quát

hóa để giải quyết cho những tình huống tương tự Có thể nói đây là quá trình mô

hình hóa toán học (TH) và giải quyết bằng PP TH chung

iii) Để kiến thức TH xem như là sản phẩm "khám phá lại" của HS thì cần đặt bài

toán trong mối liên hệ với chính TT nảy sinh kiến thức và PP TH Khi đó, việc giải

quyết những bài toán này sẽ làm cho các em tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức TH cho chính mình

iv) Bằng việc khai thác tình huống TT để xây dựng bài toán cho HS giải quyết thì

sẽ tăng cường được hoạt động tương tá c giữa các HS với nhau, tương tác giữa HS

với TT trong quá trình giải bài toán

v) Trong nội bộ TH, các mạch kiến thức lồng ghép với nhau, trong đó kiến thức này lại có thể tạo ra TT học tập môn Toán hay tạo ra cơ sở hoặc tình huống để kiến thức khác hình thành và phát triển Mặt khác, kiến thức TH gắn liền với nhu cầu giải quyết các vấn đề nảy sinh từ các môn học khác (được khai thác từ mối quan hệ chặt chẽ giữa TH với Vật lí, Hóa học, Sinh học, .) và TT đời sống Theo định hướng phát triển Chương trình 2018 thì Chương trình môn Toán phải hướng tới mục tiêu cuối cùnglà giúp cho HS đạt được một mức độ được quy định về các NL chung và NL đặc thù của TH, trong đó có NLGQVĐ, NL mô hình hóa (với vấn đề đặt ra từ các tình huống TT)

Ví dụ 1.5.1 Một viên bi rơi tự do từ độ cao 39,1 m xuống đất Độ cao h (mét) so

với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức

Nhận xét Bài toán trên là một bài toán có nội dung thực tế và hàm số bậc hai liên

quan đến chuyển động rơi tự do của vật Khi giải bài toán này, chúng ta lại liên kết

2 mảng kiến thức về phương trình bậc hai và hàm số bậc hai lại với nhau

Ví dụ 1.5.2. (Giải quyết bài toán mở

đầu 1)

Ông An có 50 m lưới B40 cao 1,5 m

Ông An muốn dùng tấm lưới đó rào

chắn 3 mạt áp bên bờ tường của khu

Gọi x mét ( 0x25) là khoảng cách từ điểm A trên bức tường ra đến điểm I nơi đóng cọc hàng rào Khi đó: Độ dài KL là 502x (mét)

Diện tích S x mảnh đất được rào chắn là       2

Với điều kiện 0x25 ta có bảng biến thiên của hàm số   2

s x   x  x như sau:

maxS x S 12,5 312,5 (m2)

Vậy để nuôi được nhiều gia cầm nhất ông An nên thiết kế khu đất thành hình chữ nhật có 2 kích thước là 12,5 và 25 mét Trong đó 12,5 m chiều rộng chính là phần hàng rào tiếp giáp với tường

Ví dụ 1.5.3 Một quả bóng đước đá lên, nó sẽ đạt đến một độ cao nào đó rồi rơi xuông Biết rằng quả bóng được đá từ mặt đất, quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol Sau 2 giây kể từ lúc đá quả bóng đạt độ cao lớn nhất là 12 m

a) Tính độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3 giây?

b) Sau bao lâu kể từ khi đá lên thì quả bóng sẽ chạm đất?

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oth như hình vẽ bên:

t là thời gian, tính bằng giây; h là chiều cao

của bóng tính bằng mét

a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo

thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ

đạo của quả bóng như trong hình bên

h t at bt c Vì parabol quay bề lõm

xuống dưới nên a  0

Theo giả thiết quả bóng được đá lên từ mặt

đất nên ta có h 0   0 c 0

Sau 2 giây quả bóng đạt độ cao lớn nhất nên

Vậy sau 4 giây kể từ lúc đá lên quả bóng sẽ chạm đất

Cách 2 Quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol có trục đối xứng là đường thẳng t  Điểm xuất phát và điểm quả bóng chạm đất đối xứng nhau qua 2trục đối xứng là đường thẳng t  Vì thế sau 4 giây quả bóng sẽ chạm đất kể từ 2khi được đá lên

Ví dụ 1.5.4 Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó

CD AD , phía trên cổng có dạng hình

parabol Người ta cần thiết kế cổng sao cho những

chiến xe container chở hàng với bề ngang thùng xe

là 4 m , chiều cao là 5, 2 m có thể đi qua được

(chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng

xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật) Hỏi

đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách

mặt đất tối thiểu là bao nhiêu ?

Lời giải

Gọi O là trung điểm của AB K là ,

điểm thuộc đoạn thẳng OA sao

cho OK 2 m

Chọn hệ tọa độ như hình

vẽ Khi đó phương trình của

đường cong parabol có dạng

Ví dụ 1.5.5 Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã thấy rằng: Nếu

trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có x con cá ( x  ) thì trung bình mỗi sau một vụ cân nặng là 48020x (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị

diện tích của mặt hồ để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Lời giải

f x x  x  x x , 0x240 Xét hàm số   2

Ví dụ 1.5.6 Dây truyền đỡ nền cầu

treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ

Đầu cuối của dây được gắn chặt vào

điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ

cao 30 m Chiều dài nhịp A B  200 m

Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên

nền cầu là OC 5 m Xác định tổng các

chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng

đứng nối nền cầu với dây truyền)?

con cá Suy ra parabol có phương trình 1 2 5

3.2 Biện pháp 3.2 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng tương tự hóa, khái quát hóa thông qua giải và xây dựng các bài toán về hàm số bậc hai

3.2.1 Biện pháp 2.1 Tương tự hóa

Theo G.Polya: “Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Những đối tượng

giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó” Tương tự là thao tác TD

dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau Trong toán học, người ta thường xét các vấn đề tương tự dựa trên các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh tương tự nếu cách thức, phương pháp chứng minh là giống nhau; - Hai hình tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Tương tự là thao tác phổ biến mà GV thường dùng để hướng dẫn HS giải các dạng toán có sự tương đồng về cách giải GV yêu cầu HS giải các bài toán có cách giải tương tự, từ đó HS phát hiện sự tương tự giữa chúng, trên cơ sở đó rút ra cách giải

chung cho cùng một dạng toán Nhờ vào thao tác tương tự HS có thể “quy lạ về

quen” các bài toán mới, biến đổi bài toán phức tạp về bài toán đơn giản đã học

Để phát hiện được sự tương tự, HS cần có sự phân tích, từ đó hình thành khả năng TD cho các em Do đó, thao tác tương tự đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy học của GV, góp phần rèn luyện TD cho HS trong quá trình học tập

b) Dựa vào đồ thị  P biện luận theo m số

nghiệm của phương trình: x2 4x 3 m

Lời giải

a) Đồ thị hàm số   2

y  f x x  x là một parabol quay bề lõm lên trên, có trục đối xứng là

đường thẳng x  , có đỉnh 2 I2; 1 

b) Số nghiệm của phương trình: x2 4x 3 m

đúng bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f x  và y m

Dựa vào đồ thị ta có:

1:

m   Phương trình vô nghiệm

m   Phương trình có 1 nghiệm

1:

m   Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Sau khi GV đã hướng dẫn HS giải được bài toán trong ví dụ 2.1 GV có thể cho HS luyện tập các hoạt động tương tự hóa với hệ thống bài toán sau:

Ví dụ 2.1.1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 4xm

Ở ví dụ 2.1.1 nhiều HS sẽ biện luận số nghiệm của phương trình bằng cách tính biệt thức  b2 4ac Dựa vào dấu của  để suy ra số nghiệm của phương trình Ngoài cách giải đó, GV gợi ý để HS thấy được cách giải thứ 2 tương tự như

ví dụ 2.1 đó là biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị Một số HS sẽ quay lại từ đầu để vẽ đồ thị hàm số y x2 4x rồi sau đó dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình x2 4x m Tuy nhiên, sẽ có 1 số HS nhận ra không cần làm lại từ đầu mà bằng cách biến đổi nhỏ có thể dùng ngay đồ thị ở ví dụ 2.1:

x  xm x  x m Đến đây bài toán quy về biện luận số giao điểm của parabol ban đầu với đường thẳng ym3

Ví dụ 2.1.2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 4x 4 3m 0

Qua thực tế giảng dạy cho thấy một số HS lúng túng với ví dụ 2.1.2 nếu như không giải theo hướng tính biệt thức  mà bằng cách vẽ đồ thị Một số HS gặp khó khăn khi không biết chuyển vế để đưa 1 vế của phương trình là công thức của hàm số bậc hai quen thuộc, với phép biến đổi như sau:

x  x  m  x  x    m

Ví dụ 2.1.3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai

nghiệm phân biệt: 1 2 2 3 1

2x  x m Qua ví dụ này giúp HS rèn luyện rất tốt tư duy tương tự hóa, HS được thực hiện các thao tác quy lạ về quen, bằng cách biến đổi, đưa những bài toán “lạ” thành

P yx  x tại hai điểm phân biệt

Rõ ràng ví dụ 2.1.4 này gây nhiều khó khăn cho HS khi cố tìm xem tương tự hóa như thế nào giữa bài toán này và bài toán gốc Để giải bài toán này và quy về bài toán gốc cần HS nắm vững kiến thức cơ bản về sự tương giao giữa hai đồ thị Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x  x  x m  x  x   m

Ví dụ 2.1.5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai parabol sau cắt nhau tại

hai điểm phân biệt: y x2  x 1; y  x2 9x2m 3

Ở ví dụ 2.1.5 thoạt nhìn có vẻ không có mỗi liên hệ gì với bài toán gốc, bản chất của sự tương tự được che dấu khá kĩ lưỡng, để giải quyết được ví dụ 2.1.5 này

đòi hỏi ở HS năng lực tư duy tương tự hóa ở mức cao Bằng cách xét phương trình hoành độ giao điểm và biến đổi ta có:

mở đầu chúng ta thay x bởi 3 x  , cho chúng ta bài toán “xa lạ” như sau: 1

Ví dụ 2.1.6 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số sau có điểm

chung: y9x2 6x và 2   2

y  m xm  m Mới nhìn qua, chắc chắn chúng ta không ai nghĩ tới bài toán trong ví dụ 2.1.6 có mối liên hệ gì với bài toán trong ví dụ 2.1 Làm được bài toán này, đưa nó

về được bài toán trong ví dụ 2.1 phải là người có năng lực tư duy tương tự hóa cao,

có kĩ năng biến đổi rất tốt

Đồ thị hai hàm số y9x2 6x2 và   2

y  m xm  m có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm Dựa vào đồ thị ta thấy (2) có nghiệm khi và chỉ khi m   1

Áp dụng cách giải tương tự như ví dụ 2.1 nhưng thay hàm số trên bởi các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có các bài toán tương tự như sau:

Ví dụ 2.1.7 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 4x3 m

Ví dụ 2.1.8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2

nghiệm: x2 4 x m0

Ví dụ 2.1.9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 6

nghiệm: x2 4 x 3 m

3.2.2 Biện pháp 2.2 Khái quát hóa

Theo Nguyễn Bá Kim: Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang

một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu, bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát

Khái quát hóa là từ bài toán cụ thể, tổng quát thành bài toán mới chứa đựng bài toán ban đầu Nhờ khái quát hóa mà HS nhận thức sự vật sâu hơn, toàn diện hơn

Ví dụ 2.2.1 Sau khi GV đã cho HS giải các bài toán như ví dụ 2.1 và các bài toán

tương tự GV có thể yêu cầu HS khái quát hóa phương pháp giải bài toán tổng quát

sau: Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2  

0

ax bx c m a Từ các trường hợp cụ thể, từ những bài toán cụ thể như ví dụ 2.1 HS sẽ khái quát hóa được phương pháp giải như sau:

Bước 1 Vẽ đồ thị hàm số   2  

0

y  f x ax bxc a Bước 2 Số nghiệm của phương trình 2  

0

ax bx c m a đúng bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f x , ym

Bước 3 Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình với chú ý sau: Trường hợp a  : Khi đó: 0

  thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2.2.2 Sau khi GV đã hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị hàm số y  ax2 bxc

trong 1 số trường hợp cụ thể, GV yêu cầu HS khái quát hóa cách vẽ đồ thị hàm số

 

y  f x khi biết đồ thị hàm số y f x  Lưu ý trường hợp f x là hàm số bậc  

hai và trường hợp tổng quát hơn với f x là hàm số tùy ý Khi đó HS sẽ khái quát  

hóa được cách vẽ đồ thị hàm số y  f x  như sau:

Vì f x  0,  nên đồ thị của nó luôn nằm phía trên của trục hoành x

Bước 2 Vẽ đồ thị hàm số y  f x  trên cùng hệ trục với đồ thị y  f x 

Bước 3 Xóa bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị hàm

số y  f x 

Ví dụ 2.2.3 Đối với hàm số bậc hai   2

y f x ax bxc có biệt thức delta dương, khi đó đồ thị của nó luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt Do đó khi xét bài toán giải và biện luận phương trình 2  

ax bxc m a    thì chúng ta cũng có thể khái quát hóa được kết quả của bài toán như sau:

Trường hợp 1 m  : Phương trình vô nghiệm 0

Trường hợp 2 m  : Phương trình có hai nghiệm 0

Trường hợp 3 0

4

m a



 : Phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 2.2.4 Đối với lớp các bài toán dạng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

có dạng y a u x.  2b u x  c trên đoạn a b Chúng ta cũng có thể cho HS ; 

khái quát hóa cách giải như sau:

Bước 1 Đặt tu x ,xa b;   Xét hàm số t u x  và tìm điều kiện của t với

Phương pháp giải trong ví dụ 2.2.4 cũng có thể được áp dụng tương tự cho

lớp các bài toán dạng: Tìm điều kiện của tham số m để PT sau có nghiệm

đó, HS có thể mở rộng , đào sâu kiến thức bằng cách giải quyết các vấn đề tổng quát, vấn đề tương tự hoặc đi sâu vào xét trường hợp đặc biệt, đó chính là con đường của sự sáng tạo “Mọi phát minh khoa học, dù có độc đáo đến đâu cũng đều bắt nguồn từ cái cũ và bao giờ cũng là sự mở rộng của cái cũ Tập dượt mở rộng chính là tập dượt phát minh, là một trong các yếu tố để phát triển tư duy sáng tạo”

3.3 Biện pháp 3 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng xây dựng hệ thống bài toán mới từ bài toán cơ bản về hàm số bậc hai

Ví dụ 3.1 (Bài toán cơ bản) Cho hàm số   2

y  f x x  x có đồ thị  P

a) Vẽ đồ thị  P của hàm số đã cho

b) Lập bảng biến thiên và kết luận về tính đồng

biến, nghịch biến của hàm số

+) Parabol cắt trục tung tại 0; 3 , cắt trục hoành tại 1;0 , 3;0  

b) Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng 1;  , nghịch biến trên khoảng  ;1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 đạt được khi x  1

Trên cở sở kiến thức đã học về hàm số bậc hai, GV khéo léo dẫn dắt HS xây dựng hệ thống bài tập mới Trước hết là dạng toán tương giao giữa đường thẳng và parabol GV yêu cầu HS dùng phần mềm Geogebra vẽ đồ thị hàm số y f x  và một đường thẳng xác định, chẳng hạn d y:    Dựa vào đồ thị yêu cầu HS x 1

chỉ ra tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol  P

Bằng trực quan HS dễ nhận ra 2 giao điểm là 1;0 và 2; 3  GV đặt vấn đề cho HS là nếu không dùng đồ thị liệu có tìm được giao điểm hay không? Câu hỏi này sẽ gợi mở và dẫn HS đến việc giải phương trình hoành độ giao điểm Tức là quy về giải phương trình x2 2x   3 x 1 Từ đây GV yêu cầu HS xây dựng bài toán mới

Ví dụ 3.1.1 Tìm tọa độ giao điểm của parabol

Trên cách làm như ví dụ 3.1.1 nhưng GV yêu

cầu đưa vào tham số m và xây dựng các bài toán

tương giao có tham số:

Ví dụ 3.1.2 Biện luận theo tham số m số nghiệm của

phương trình: x2 2x 3 m

Rõ ràng ví dụ 3.1.2 có hai cách giải quen thuộc

đó là dựa vào đồ thị hoặc quy về xét dấu biệt thức delta Mỗi cách đều có thể phát triển thành nhiều bài toán mới khác nhau

Ví dụ 3.1.3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x m cắt

y  f x x  x P tại hai điểm phân biệt

Ở ví dụ 3.1.3 quy về việc tìm điều kiện của m để phương trình hoành độ giao điểm

có biệt thức delta dương

Ví dụ 3.1.4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y   x m có đúng 1 điểm chung với parabol   2

y f x  x  x

Ở ví dụ 3.1.4 HS có thể giải bằng cách quy về phương trình hoành độ giao điểm

có đúng 1 nghiệm và tìm điều kiện để biệt thức delta bằng 0 Một số HS sẽ thấy có thể biến đổi phương trình hoành độ giao điểm kia về dạng quen thuộc:

x  x   x m x  x m

Đến đây HS nhận thấy: Số nghiệm của phương trình trên đúng bằng số giao

y  f x x  x P với đường thẳng ym Từ đồ thị

cho ngay giá trị của tham số m cần tìm

Ví dụ 3.1.5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y   x m cắt

y  f x x  x P tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Đi theo hướng này, dần dần dẫn HS cần liên tưởng đến các kiến thức đã học

về phương trình bậc hai, định lí Vi-et và ứng dụng

Ví dụ 3.1.6 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x m cắt

nghĩ tới là xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm

điều kiển để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

Sau đó dùng các kiến thức về nghiệm của phương

trình, định lí Vi-et để tìm điều kiện để hai điểm ,A B

nằm trái phía nhau so với trục hoành

HS nào khéo léo sẽ nhận thấy có thể giải bài

toán trên bằng phương pháp đồ thị Quan sát trên đồ

thị chúng ta thấy d y:   x 1 cắt  P tại hai điểm

1;0 , 2; 3    Do đó để đường thẳng y   x m cắt parabol tại hai điểm phân biệt ,A B nằm trái phía nhau so với trục hoành thì điều kiện cần tìm là m   1

Ví dụ 3.1.7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m đồ thị hàm số y  x m cắt

Ví dụ 3.1.8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m đồ thị hàm số ymxm cắt

Hoành độ giao điểm của parabol   2

Vậy min AB 4 đạt được khi m  0

Nếu chúng ta gợi ý cho HS phát triển bài toán theo hướng sử dụng đồ thị, sử dụng các phép biến đổi đồ thị, vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối sẽ xây dựng nên các bài toán kiểu như sau:

Ví dụ 3.1.9 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 2x3 m

Bài toán 3.1.9 sẽ làm khó những HS khi nghĩ tới việc phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối để đưa về tìm điều kiện của delta Bởi lẽ HS khó có thể tìm được điều kiện khi phá bỏ giá trị tuyệt đối thì sinh ra các trường hợp x    ; 1  3;  

và trường hợp x   1;3 GV cần khéo léo dẫn dắt HS tìm con đường giải quyết bài toán một cách nhẹ nhàng hơn, đơn giản hơn, đó chính là quy về việc biện luận

số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Ví dụ 3.1.10 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng

bốn nghiệm phân biệt: x2 2 x m0

Bước 2 Giữ nguyên phần đồ thị y  f x  nằm bên phải trục tung và xóa bỏ phần

đồ thị nằm bên trái trục tung

Bước 3 Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nằm bên phải trục tung qua bên trái ta được đồ thị hàm số y  f  x

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

        

Nếu kết hợp cả y f x  và y  f  x cho chúng ta bài toán sau:

Ví dụ 3.1.11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nhiều

nghiệm nhất: x2 2 x 3 m

x  x  x x và thêm vào giá trị tuyệt đối cho

ta bài toán sau:

Ví dụ 3.1.12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nhiều

nghiệm nhất: x1 x3 m

Thoạt nhìn qua, bài toán ở ví dụ 3.1.12 không có mối liên hệ gì với bài toán 3.1 Thực tế giảng dạy cho thấy HS lúng túng khi thực hiện vẽ đồ thị hàm số hợp, hàm số cho bởi nhiều công thức, hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Do đó

GV cần rèn luyện cho HS thật vững chắc kiến thức và kĩ năng vẽ đồ thị dạng này

Tương tự ví dụ 3.1.12 nhưng biến đổi thêm 1 chút cho ta bài toán mới:

Ví dụ 3.1.13 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3

nghiệm: 1

3

m x