SKKN PHÁT TRIỂN NĂNG lực tư DUY và lập LUẬN TOÁN học CHO học SINH THÔNG QUA dạy học cực TRỊ HÌNH học KHÔNG GIAN TỔNG hợp

5 II Thực trạng của việc tìm hiểu dạy các tiết về cực trị về hình học 7 Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐÔNG HIẾU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu 4

I Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài 5

II Thực trạng của việc tìm hiểu dạy các tiết về cực trị về hình học

7

Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong bài toán cực trị của hình học không gian tổng hợp tại trường THPT Đông Hiếu

11

Chương II Một số biểu hiện và các biện pháp nhằm phát triển năng

lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trung học phổ thông 12

I Một số biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong bài toán cực trị của hình học không gian tổng hợp 12

II Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học hình học không gian tổng hợp 18 III Kế hoạch bài dạy chủ đề tự chọn cực trị hình học không gian tổng hợp 38 Chương

III

2 Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 46

Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 của Quốc hội về đổi mới chương trình sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới Đó là:” Đổi mới

CT, SGK GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả GDPT; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả

về phẩm chất và năng lực, hài hoà đức trí thể mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”

Cụ thể hoá các Nghị quyết của Đảng và Nhà nước, chương trình GDPT môn Toán nêu rõ “Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: NL tư duy và lập luận toán học; NL

mô hình hoá toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL

sử dụng công cụ, phương tiện học toán”

Phát triển năng lực tư duy và lập luận logic cho học sinh trung học phổ thông trong môn Toán là hết sức quan trọng và cần thiết Năng lực tư duy và lập luận Toán học gây hứng thú học tập Toán, kích thích sự tưởng tượng góp phần hình thành bước đầu phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch, khoa học, chủ động, sáng tạo

Phần lớn học sinh có tâm lý e ngại khi giải bài tập hình học không gian vì các em thường vẫn coi hình học không gian là một phần khó của bộ môn Toán học Các em không biết giải các bài toán hình học không gian phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải như thế nào Thực tế cho thấy, các bài toán về hình học không gian thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia ở cả bốn mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao

Xuất phát từ việc đổi mới của chương trình giáo dục phổ thông cũng như yêu cầu

về đổi mới về phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh học tốt hơn, nắm bắt các kiến thức về hình học không gian một các sâu sắc nên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học cực trị hình học không gian tổng hợp”

4

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các thành tố của năng lực huy động kiến thức và đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi học chủ đề kiến thức hình học không gian

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 11 và khối 12 cấp trung học phổ thông

- Các bài toán về hình học không gian và vận dụng tư duy và lập luận toán học vào

để giải quyết vấn đề của bài toán

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:

- Cơ sở lí luận và thực tiễn của năng lực huy động kiến thức

- Các thành tố của năng lực huy động kiến thức

- Để phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh ta cần phải thực hiện những biện pháp nào?

- Kết quả thực nghiệm ra sao?

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài liệu giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán làm cơ sở để đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh

4.2 Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh, tham khảo các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực huy động kiến thức cho học sinh

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

5 Dự báo những đóng góp mới của đề tài

Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực huy động kiến thức nhằm giúp học sinh kiến tạo kiến thức

Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh thông qua dạy học hình học không gian

Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông

Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau

Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh khác nhau Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân

2 Tư duy

2.1 Khái niệm

Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định nghĩa nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trò ở tư duy Từ trước đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người nghiên cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách hiểu của bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy nghĩ trong một phạm vi cụ thể Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới những góc nhìn khác nhau Theo quan điểm của các nhà tâm lý học Mác - xít dựa trên nền tảng là chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định: tư duy là sản phẩm của một cơ quan vật chất sống có tổ chức cao là bộ óc con người; được hình thành trong quá trình hoạt động thực tiễn của con người Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4 (Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận…

Tựu chung lại, tư duy có thể hiểu là quá trình tâm lý thể hiện khả năng nhận thức bậc cao diễn ra trong não bộ con người Quá trình này thu nhận thông tin từ xúc giác,

6

thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua các dây thần kinh đến được não bộ giúp con người có được tư duy rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng, về những sự vật, hiện tượng trong đời sống bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng

2.2 Đặc điểm của tư duy

Tư duy ở con người chỉ xuất hiện khi gặp hoàn cảnh hay tình huống có vấn đề Những hoàn cảnh hay tình huống này chứa đựng vấn đề đòi hỏi con người phải tư duy tìm ra cách giải quyết mới do những hiểu biết ban đầu và các phương thức giải quyết trước không thể giải quyết triệt để vấn đề vừa phát sinh Tư duy còn mang tính gián tiếp, thể hiện thông qua việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Không chỉ vậy, ngôn ngữ và tư duy còn có mối quan hệ khăng khít với nhau, không có ngôn ngữ con người không thể tư duy và các kết quả của tư duy cũng không thể để cả chủ thể hay bản thân người khác tiếp nhận Ngoài ra, tư duy không thể hiện các sự vật, hiện tượng một cách riêng lẻ mà rút ra khỏi các sự vật, hiện tượng đó những gì cụ thể, cá biệt và chỉ giữ lại các thuộc tính bản chất chung rồi sắp xếp chúng thành một nhóm, một loại, một phạm trù Tư duy dựa vào nhận thức cảm tính nhưng chính nhận thức cảm tính lại chịu sự tác động ngược lại của tư duy và các sản phẩm của quá trình này nên ta nhận thấy hoạt động tư duy còn có hiện tượng không chịu chi phối từ những kinh nghiệm cảm tính

2.3 Các giai đoạn của tư duy

Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn Đây là quá trình gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonôv sơ đồ hóa

Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được vấn đề trong các tình huống có vấn đề rồi thông qua các giai đoạn khác nhau nhằm mục đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới

Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (quá trình) của

tư duy Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề” Đây là giai đoạn mở đầu và quan trọng nhất của cả quá trình tư duy Tiếp đến là giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh nghiệm và kiến thức sẵn có của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận thức để làm xuất hiện các liên tưởng có liên quan đến vấn đề

Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng Sàng lọc các liên tưởng

và hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức tìm được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề Từ đó, chủ thể tư duy

có thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của các phương án được đề xuất Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện được đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất Đây cũng là giai đoạn mà sau đó người kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết Giai đoạn cuối

7

cùng là giải quyết vấn đề Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn trong các giả thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc ban đầu sẽ có kết quả là câu trả lời hoặc đáp số

2.4 Các thao tác của tư duy

Coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành động

đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngoài của việc tư duy Phần nội dung bên trong của từng giai đoạn lại diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy Đây là các thao tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy luật bên trong của tư duy, bao gồm:

 Phân tích: là quá trình sử dụng não bộ phân tách đối tượng nhận thức thành những bộ phận, những thành phần khác nhau để có được cái nhìn một cách chi tiết

và tổng quát Thông qua đó, xác định được đối tượng mang các đặc điểm, thuộc tính

gì hoặc nhìn ra được các bộ phận của một tổng thể một cách rõ ràng, tường minh

 Tổng hợp: là quá trình sử dụng não bộ tổ hợp lại những thành phần được tách rời từ việc phân tích thành một chỉnh thể

 So sánh: là quá trình sử dụng não bộ để đối chiếu các đối tượng nhận thức nhằm tìm ra sự tương đồng, đồng nhất hay khác biệt giữa các đối tượng nhận thức

đó mà rút ra những điểm chúng hay khác biệt của các đối tượng nhận thức

 Trừu tượng hóa: là quá trình sử dụng não bộ làm đơn giản hóa các mặt, các liên hệ, các thuộc tính và các quan hệ thứ yếu không cần thiết đồng thời chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết sử dụng cho tư duy

 Khái quát hóa: là quá trình sử dụng não bộ để tổng hợp các đối tượng khác nhau thành một nhóm hay một loại dựa trên cơ sở phân loại là các thuộc tính, các mối liên hệ

và quan hệ chung nhất định Các thao tác tư duy không hoạt động riêng rẽ mà tác động qua lại, đan xen vào với nhau không theo một trình tự cụ thể nào Chủ thể tư duy căn

cứ vào các yếu tố về điều kiện và mục tiêu trong từng nhiệm vụ tư duy mà lựa chọn các thao tác tư duy phù hợp cũng như không cần phải sử dụng hết các thao tác tư duy trong một hoạt động tư duy

3 Lập luận

3.1 Khái niệm

Trong “Đại cương Ngôn ngữ học (tập 2, Ngữ dụng học)” giáo sư Đỗ Hữu Châu định nghĩa: “Lập luận là đưa ra những lí lẽ (được gọi là luận cứ trong lập luận) nhằm dẫn dắt người nghe đến một kết luận nào đó mà người nói muốn đạt tới”

Trong sách giáo khoa Ngữ văn lớp 10 (tập 2) định nghĩa: “lập luận là đưa ra

lí lẽ, bằng chứng nhằm dẫn dắt người đọc đến một kết luận nào đó mà người viết muốn đạt tới”

8

Lập luận là thuật ngữ với hai cách hiểu Theo hướng thứ nhất, lập luận dùng để chỉ hành vi, hoạt động của con người thực hiện các thao tác nhằm mục đích lập luận

Ở cách hiểu thứ hai, lập luận là kết quả (sản phẩm) của hoạt động lập luận bao gồm

cả cách thức và nội dung của quá trình tiến hành lập luận

Tóm lại, dù sử dụng lập luận để nói hay để viết thì mục đích của lập luận đều hướng tới kết quả cuối cùng mà người lâp luận mong muốn đạt được Lập luận hiểu đơn giản là cách trình lí lẽ của người lập luận dùng để thuyết phục mọi người tin vào quan điểm mình đưa ra

3.2 Các giai đoạn lập luận

Giai đoạn 1: Xác định luận điểm

Chủ thể lập luận bằng khả năng liên tưởng, tưởng tượng cũng như vận dụng những tri thức liên quan và năng lực suy luận logic của bản thân nêu ra những quan điểm tư tưởng là những điểm chính, trọng tâm nhằm chứng minh tính đúng đắn trong vấn đề mà chủ thể lập luận muốn đạt tới

Giai đoạn 2: Tìm luận cứ

Luận cứ là những lí lẽ, dẫn chứng mà người lập luận đưa ra nhằm thuyết phục người đọc/nghe tin vào luận điểm mà mình đưa ra

Giai đoạn 3: Lựa chọn phương pháp lập luận

Là lựa chọn cách thức tổ chức luận điểm và luận cứ một cách chặt chẽ nhằm tăng sức thuyết phục với đối tượng mà người lập luận hướng tới Một số phương pháp lập luận thường thấy như: diễn dịch, quy nạp, so sánh, tương tự, loại suy, Giai đoạn 4: Trình bày lập luận

Sau khi đã săp xếp các luận điểm, luận cứ theo một thứ tự cụ thể cũng như lựa chọn được các phương pháp lập luận thích hợp cho từng từng luận điểm, luận cứ thì việc cuối cùng người lập luận cần thực hiện đó là trình bày lập luận thành một sản phẩm hoàn chỉnh có mở đầu và kết thúc

4 Năng lực tư duy và lập luận toán học

4.1 Khái niệm

“Năng lực tư duy và lập luận toán học” là một trong ba thành phần cốt lõi biểu hiện năng lực toán học của một học sinh Đây cũng là năng lực đòi hỏi quá trình giáo dục cần phải hình thành cho các em nếu muốn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới nói chung và đổi mới trong môn toán nói riêng 4.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học mà học sinh THPT cần đạt

Đối với học sinh THPT tức là đã hoàn thành xong chương trình giáo dục môn toán lớp 11, các biểu hiện dưới đây là những biểu hiện cần có của một học sinh cuối cấp THPT để làm chủ khả năng tư duy và lập luận toán học trong phạm vi lứa

9

tuổi Đây đều là các nội dung được nêu cụ thể trong môn Toán thuộc chương trình giáo dục phổ thông mới, đó là:

 Khả năng thực hiện những thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp

ở mức độ cơ bản cũng như bước đầu biết trừu tượng hóa, khái quát hóa các đối tượng

tư duy Khả năng quan sát một cách chi tiết nhằm phát hiện được những nét giống

và khác nhau trong những tình huống thân quen cũng như có thể thuật lại kết quả từ việc quan sát

 Đưa ra được những chứng cứ, lí lẽ, những căn cứ thuyết phục, đồng thời biết sắp xếp chúng một cách hợp lý giúp tăng tính logic trong việc lập luận của bản thân trước khi đưa ra kết luận

 Nêu lên cũng như trả lời được câu hỏi khi lập luận và giải quyết vấn đề Bước đầu chỉ ra được chứng cớ và lập luận có cơ sở và lí lẽ trước khi đi đến kết luận

II Thực trạng dạy học các tiết tự chọn về cực trị hình học không gian hiện nay

1 Mục đích điều tra

Điều tra thực trạng dạy học các tiết luyện tập trong các tiết tự chọn và năng lực giải các bài toán cực trị về hình học không gian của học sinh hiện nay như thế nào

2 Nội dung điều tra

Điều tra về việc dạy học các tiết luyện tập hình học trong các tiết tự chọn

3 Đối tượng điều tra

Học sinh khối 12 THPT

4 Phương pháp điều tra

Tiến hành phát phiếu điều tra HS cho 205 học sinh khối 12 của THPT Đông Hiếu( gồm các lớp 12C5,12C6,12C7,12C8,12C9):

1 12C5 40 40

2 12C6 41 41

3 12C7 41 41

4 12C8 44 44

5 12C9 39 39

Phiếu điều tra gồm 2 câu hỏi, được soạn dưới hình thức trắc nghiệm cho học sinh đánh dấu

10

5 Tập hợp số liệu điều tra

Câu hỏi Nội dung Số ý kiến Tỉ lệ

%

Câu 1

Em đánh giá việc học các tiết tự chọn hình học hiện nay?

A Cũng giống như các tiết luyện tập nhưng bài tập khó hơn bài tập sách giáo khoa 22 10,73

B Cũng giống như các tiết luyện tập nhưng bài tập tương tự bài tập sách giáo khoa 157 76,59

C Bài tập các tiết tự chọn quá khó, em không

Câu 2

Em muốn các tiết học tự chọn hình học theo hướng nào ?

A Giáo viên dạy theo hướng truyền thống:

Giáo viên ra đề, học sinh tìm lời giải 38 18,54

B Giáo viên dạy theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học của học sinh 167 81,46

Biểu đồ số liệu điều tra các tiết dạy tự chọn cực trị hình không gian

11

* Nhận xét: Từ kết quả trên, ta thấy đa số HS đều cho rằng cách dạy các tiết tự chọn, luyện tập hiện nay chủ yếu là giải các bài tập tương tự sách giáo khoa (76,59%), một số ít giải các bài tập nâng cao hơn Tuy nhiên đa số (81,46%) HS được hỏi đều mong muốn được học theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận để có cơ hội thể hiện mình nhiều hơn Điều này một lần nữa khẳng định vai trò quan trọng phương pháp dạy học tích cực trong dạy học Toán học

6 Nguyên nhân của những thực trạng

GV chưa chú trọng dạy học theo phương pháp kích thích tính chủ động của

HS thông qua cho các em vận dụng kiến thức đã học tự thiết kế các bài tập

Các GV chủ yếu vẫn còn nặng nề về lối truyền thụ 1 chiều, chưa chuẩn bị tâm lý, ngại thay đổi, sợ mất thời gian thiết kế và soạn bài, chưa khẳng đinh được người học

sẽ vận dụng để tự thiết kế được các bài tập khi được yêu cầu

7 Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực

tư duy và lập luận toán học của học sinh trong bài toán cực trị của hình học không gian tổng hợp tại trường THPT Đông Hiếu

7.1 Thuận lợi

Trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, học sinh cũng học tập một cách chủ động hơn, tự tìm tòi tài liệu ở nhiều nguồn, có khả năng đánh giá, hợp tác tốt hơn và mong muốn thể hiện mình nhiều hơn Do đó việc giáo viên tạo điều kiện để học sinh phát triển khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả năng lập luận Toán học để giải bài toán và phát biểu các bài toán mới, thiết kế bài tập là một xu thế tất yếu và cần được nhân rộng

7.2 Khó khăn

Để phát biểu bài toán mới, thiết kế được bài tập, cần nhiều yêu cầu cao hơn Học sinh phải có một hệ thống kiến thức nền đủ tốt để thiết kế được bài tập Về phía giáo viên thì đòi hỏi người dạy phải bao quát được nội dung chương trình, kiến thức chuyên môn vững vàng Đặc biệt là cần những giáo viên không ngại thay đổi bản thân, luôn hướng học sinh tìm cái mới Điều này không phải giáo viên nào cũng dám làm Công tác kiểm tra đánh giá hiện nay mặc dù có nhiều thay đổi nhưng vẫn nặng về đánh giá nội dung kiến thức, chưa đánh giá những năng lực khác của học sinh nên chưa thực sự phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

12

Chương II: Một số biểu hiện và các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học của học sinh trung học phổ thông

I Một số biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong bài toán cực trị của hình học không gian tổng hợp

Biểu hiện 1: Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch

- So sánh nhằm phát hiện những đặc điểm chung và khác nhau ở một số các bài toán So sánh thường dẫn đến tương tự hoá và khái quát hoá

- Trong dạy học giải toán, phát triển năng lực lập luận logic phân tích đề bài được thực hiện tốt sẽ tạo cơ sở giúp các em hình thành các bước giải nhanh chóng và khả năng lập luận khi viết lời giải sẽ ngắn gọn, khoa học hơn Phân tích trong chứng minh là phương pháp suy luận từ cái chưa biết đến cái đã biết Tổng hợp là thao tác ngược lại với phân tích

- Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những bài toán khác nhau

- Khái quát hoá và đặc biệt hoá: Khái quát hoá là chuyển từ khái niệm, tính chất

từ tập hợp này sang tập hợp khác rộng hơn, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp Đặc biệt hoá là ngược lại của khái quát hoá

- Trừu tượng hoá là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất, tìm ra các dấu hiệu bản chất

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD Kẻ

qua M đường thẳng d / / AB Xác định giao điểm B ' của đường thẳng d

và mặt phẳng ACD Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với

AC và AD cắt các mặt phẳng ABD và ABC theo thứ tự tại C D ', ' Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

AB  AC  AD bằng bao nhiêu thông qua so sánh tỷ số

đó với diện tích của các tam giác SBCD, SMBC, SMCD, SMBD

2) Nếu đưa các tỷ số về diện tích của tam giác, ta sẽ có cách chứng minh tương tự

AB  AC  AD  bằng một số không đổi, theo Cô-si, ta có thể khai thác tiếp bài toán để được các kết quả sau:

Người có năng lực lập luận là người biết chỉ ra được các chứng cứ, đánh giá thông tin thu thập được nhằm đưa ra những lập luận hoàn chỉnh cho việc giải quyết vấn đề, sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau và lựa chọn, sử dụng ngôn ngữ toán học một cách cẩn thận, chính xác Trong dạy học nhằm phát triển năng lực lập luận logic cho học sinh thì việc chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và biết kiểm tra, nhận xét lời giải là một bước quan trọng, thể hiện rất rõ năng lực lập luận của mỗi học sinh là khác nhau Việc chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận chia thành các mức độ sau:

+ Đưa ra được lời giải của bài toán (để làm cơ sở cho việc so sánh, phân tích) + Kiểm tra lời giải của mình trước khi kết luận

+ So sánh được lời giải của mình với lời giải của các bạn khác trước khi kết luận Thự tế dạy học cho thấy học sinh khi trước khi kết luận thường chỉ nhận xét bài làm đúng hay sai khi xem xét đáp số cuối cùng của bài toán mà chưa quan tâm đến các bước giải chi tiết Đây có thể là do hệ quả của của việc giáo viên chỉ quan tâm rèn kĩ năng giải toán mà chưa quan tâm phát triển tư duy, lập luận cho học sinh Hạn chế này cần khắc phục để các em có kĩ năng suy xét nguyên nhân sai sót (nếu có) và cách sửa chữa cũng như nhận xét về cái hay của lời giải, tạo tiền đề cho việc tìm ra nhiều cách giải, lựa chọn cách giải tối ưu cho bài toán

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' tâm O cạnh có độ dài bằng 1 Gọi ,

M P là hai điểm sao cho 3 ', 1 '

AM AA CP  CC Mặt phẳng   thay đổi đi qua

+ Hình thang AMPC ta có AM CP   1,tương tự DQ BN   2 OI  1

+ Chứng minh được: tứ giác MNPQ là hình bình hành

+ Biết cách sử dụng BĐT 2 2 2 2   2 2

a   b c  d  a c    b d và BĐT Côsi Lời giải:

Gọi I MP OO   '  Ilà trung điểm của MP

Do đó trong hình thang AMPC ta có AM CP   1, tương tự DQ BN   2 OI  1 Đặt BN  x DQ y ,  thì x y   ,    0;1 và x y   1

Suy ra của chu vi tứ giác MNPQ  2 MN  2 MQ

N

P M

A'

B'

C' D'

C

B A

D

Suy ra giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác 5 17

2 MNPQ  

+ Kiểm tra về trình bày các bước giải

+ Kiểm tra về kết quả của bài toán

Khi học sinh giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học, các em sẽ thể hiện năng lực lập luận như suy xét cẩn thận, cân nhắc hợp lí các yếu tố đã cho và mối quan hệ với kết quả Đó chính là cơ hội cho các em thể hiện năng lực lập luận khi kiểm tra các bước giải đã trình bày theo đúng thứ tự hợp lí chưa, cách diễn đạt tốt chưa, ngôn ngữ toán học sử dụng chính xác chưa, kiểm tra kết quả thực hiện các phép tính trong từng bước giải và kiểm tra đáp số cuối cùng của bài toán Ở bất cứ bước kiểm tra nào nếu phát hiện ra sai sót cần tìm nguyên nhân để lập luận và sửa lại

Tuy nhiên học sinh thường có tâm lí chủ quan vì cho rằng chỉ cần thực hiện đầy đủ các bước giải là được mà ít quan tâm đến yếu tố riêng biệt của bài toán nên

dễ mắc lỗi về câu lời giải, đơn vị của các đại lượng trong quá trình giải khi phép tính

và kết quả thì đúng Với các em trong biểu hiện tự giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học, các em thường khó phát hiện sai sót ở các dạng toán bổ sung, mở rộng hoặc các bài toán ôn tập tổng hợp

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC, BD thỏa mãn 2 2

16

AC  BD  và các cạnh còn lại đều bằng 6 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD Phân tích:

- Bước 1: Tìm được thể tích khối tứ diện ABCDlà:

Ta có: AC  IB AC ,  ID  AC BID VABCD  2 VABID

BD   AC ;0  AC  4

18

2 2 2

và độc đáo của tư duy Để tìm được nhiều cách giải cho một bài toán, trước hết HS cần nắm vững các kiến thức cơ bản và các phương pháp giải toán Đồng thời, bằng

tư duy lập luận, HS sẽ trình bày được các cách để giải bài toán

Phương pháp thực hiện: GV đưa ra các bài toán cực trị hình học không gian tổng hợp

có thể giải bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau Sau đó GV yêu cầu HS giải bài tập đó, hướng dẫn HS các cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các lời giải khác nhau cho bài toán Sau khi đưa ra các lời giải thì so sánh để nhận xét về ưu điểm, nhược điểm của từng cách giải, đưa ra lời giải tối ưu nhất

Ví dụ 1 Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG

cắt các cạnh SB SC , lần lượt tại M N , Giá trị nhỏ nhất của tỉ số .

.

S AMN

S ABC V

V là?

19

Phân tích: Gặp bài toán này, HS không thể làm theo cách tính thể tích của hai khối đa diện VS AMN. , VS ABC. Khi đó cần nghĩ đến phương pháp tỷ số thể tích, phương pháp nào có thể chọn lựa để giải quyết bài toán, qua đây thể hiện hoạt động tư duy phân tích của HS + Hướng thứ nhất: Ta có thể chỉ ra SP SQ   2 SE sau đó dùng tỷ số thể tích và áp dụng BĐT AM – GM

+ Hướng thứ hai: Chúng ta cần chứng minh  3   3

Hình minh hoạ giáo viên hướng dẫn học sinh

Hình minh hoạ học sinh đang tích cực hoạt động nhóm

20

Lời giải:

Gọi E F G , , lần lượt là trung điểm BC SA EF , , suy ra G là trọng tâm tứ diện SABC Điểm I là giao điểm của AG và SE Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh SB SC , lần lượt tại M N , Suy ra AMN là mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kẻ GK // SE K SA ,   suy ra K là trung điểm FS

3 4

.

9 4

22 + Hướng thứ ba: Sản phẩm nhóm 1

Hình minh hoạ học sinh trình bày bài làm của nhóm

23

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với ABCDtại A lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc của A lên SB SD ,

lần lượt tại H, K Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK

Phân tích: Gặp bài toán này, HS không thể làm theo cách tính thể tích của hai khối đa diện VS AMN. , VS ABC. Khi đó cần nghĩ đến phương pháp tỷ số thể tích, phương pháp nào có thể chọn lựa để giải quyết bài toán, qua đây thể hiện hoạt động tư duy phân tích của HS + Hướng thứ nhất: Ta tính thể tích

25

2 AHOK CHOK ACHK AHOK

SD  x a

 Lại có

12

K ADO

a x V

3 2

xử lí linh hoạt trước những tình huống mới của bài toán

Một trong những thuộc tính quan trọng của tư duy là tính mềm dẻo Tính mềm dẻo thể hiện ở khả năng dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, không suy nghĩ rập khuôn, không áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức,

kĩ năng đã có, đã biết vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó có những yếu tố thay đổi Vì vậy, biện pháp này nhằm rèn luyện cho HS tính mềm dẻo của tư duy Phương pháp thực hiện: GV phải linh hoạt, mềm dẻo trong gợi mở vấn đề để HS

từ những kiến thức đã có có thể tổng hợp các công cụ để giải quyết bài toán, không

áp đặt để HS không suy nghĩ cứng nhắc, máy móc và bắt chước theo một hướng giải quyết nào GV cũng cần khuyến khích HS sáng tạo đưa ra các hướng giải quyết chứ không liệt kê cụ thể tất cả các phương pháp mà nên đưa ra dấu hiệu tương ứng gợi mở để HS phát hiện ra phương pháp

Ví dụ 3 Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC, tính cos  để thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất

Phân tích: Những bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng học sinh thường nghĩ đến định lý côsin Tuy nhiên với ví dụ này, việc sử dụng định lí côsin là khó khăn Do đó, trước hết GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán bằng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để tìm độ dài của đoạn thẳng AB, AC Từ

đó suy ra diện tích của tam giác 92 .

sin ABC S



 Tiếp đó áp dụng công thức để tính thể tích

Tam giác SAK vuông tại K có sin 90  cos3 .

AK SA

 Tam giác ABC vuông cân tại A có H là trung điểm của 2 6

2



   

1 3 0

3 0;1 3

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn BC  2 a đáy

bé AD a  , AB b  Mặt bên SAD là tam giác đều, M là một điểm di động trên AB Mặt phẳng  P đi qua M và song song với SA,BC Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  P Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a b , và

x AM    x b Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất

Bài làm của em: Nguyễn Ngọc Bảo Trường THPT Đông Hiếu

+ Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  P Thiết diện là hình gì?

Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  P là hình thang MNPQ MN PQ ( // )

Do MN BC MQ SA // , // nên ( MNPQ )//( SAD ) suy ra PN SD //

Khi đó PNM SDA     60 , 0 QMN SAD     60 0(hai góc có các cặp cạnh tương ứng song song) nên MNPQ là hình thang cân

30

Biện pháp 3: Rèn luyện và hướng dẫn cho học sinh khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả năng lập luận Toán học để giải bài toán và phát biểu các bài toán mới

Khi nhắc đến nhà toán học G Polya, người ta nhớ ngay đến tác phẩm

“Giải toán như thế nào”, G Polya đã viết: “ Cách giải này đúng thật, nhưng làm thế nào để phát hiện ra những sự kiện như vậy? và làm thế nào để tự mình phát hiện

ra được?” (Polya, 1997) Quan điểm này của G Polya muốn nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy cho học sinh biết tự tìm tòi lời giải, tự tìm ra cái mới từ những cái quen thuộc, đã biết

Phương pháp thực hiện: Để giúp học sinh có thể phát hiện và đề xuất được bài toán mới, phương pháp mới từ các bài toán đã cho, có thể hướng dẫn HS theo các con đường sau đây:

- Thứ nhất: Sử dụng các thao tác tư duy như: đặc biệt hóa, tương tự hóa,tổng quát hóa… để đi đến bài toán đặc biệt hóa, tương tự, bài toán đảo, hay tổng quát hóa;

- Thứ hai: Nghiên cứu sâu bản chất của bài toán, đoán nhận được cơ sở sự hình thành bài toán,… để xây dựng các bài toán cùng dạng;

- Thứ ba: Xét sự thay đổi giả thiết, từ đó dẫn đến sự thay đổi tương ứng của kết luận,

để xây dựng, đề xuất các bài toán mới;

- Các câu hỏi có thể hướng dẫn HS trả lời là:

+ Bài toán đã cho tương tự với các bài toán nào?

+ Bài toán có là trường hợp đặc biệt của bài toán nào không?

+ Có thể mở rộng bài toán này theo các hướng nào?

+ Có thể thay đổi giả thiết, điều kiện nào, có thể thêm điều kiện gì?

+ Phương pháp giải bài toán này có thể áp dụng cho các dạng toán nào khác? + Bài toán này có nêu lên vấn đề nào mới không?

Hình minh hoạ giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển bài toán mới