SKKN phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

Với các ý tưởng như vậy đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm dạy học cho năm học 2021-2022 có tên: “ Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số &

Với các ý tưởng như vậy đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm dạy học cho năm học 2021-2022 có tên:

“ Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số & giải tích lớp

11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh”

2 Mục đích nghiên cứu

Trước những hiện tượng và mâu thuẩn đang tồn tại trong thực tiễn giáo dục trên, tôi đã tìm tòi và nghiên cứu đề tài nhằm đạt được những mục đích sau:

Thứ nhất: Giúp các em nắm vững lý thuyết về quy tắc đếm, về hoán vị, chỉnh

hợp, tổ hợp và trang bị cho các em một số phương pháp giải bài toán này

Thứ hai: Củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số, hình học có liên quan, rèn

luyện kỷ năng tính toán, lập luận

2

Thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề, tư duy

biện chứng, xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán học nói riêng và khoa học nói chung Nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 11 và khối 12 cấp trung học phổ thông

- Các bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số và giải tích lớp 11, các đề thi đại học, cao đẳng thuộc chủ đề đại số tổ hợp

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:

- Cơ sở lí luận và thực tiễn về năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp

- Để phát triển năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ

đề đại số tổ hợp ta cần phải thực hiện những biện pháp nào

- Kết quả thực nghiệm ra sao?

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí giáo dục, tài liệu giáo dục

học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán làm cơ sở để đề đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh

4.2 Quan sát trao đổi: Thực hiện việc trao đôi với giáo viên và học sinh, tham khảo

các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh

cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

5 Dự báo những đóng góp mới của đề tài

Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực tư duy nhằm giúp học sinh nắm được bản chất của bài toán từ đó học sinh sẻ nâng cao được năng lực tụ học và sáng tạo hơn

Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực tư duy học sinh thông qua dạy học chủ đề đại số tổ hợp

Đề tài có thể dùng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông

Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau

Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh khác nhau Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân

2 Tư duy

2.1 Khái niệm

Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định nghĩa nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trò ở tư duy Từ trước đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người nghiên cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách hiểu của bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy nghĩ trong một phạm vi cụ thể Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới những góc nhìn khác nhau Theo quan điểm của các nhà tâm lý học Mác - xít dựa trên nền tảng là chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định: tư duy là sản phẩm của một

cơ quan vật chất sống có tổ chức cao là bộ óc con người; được hình thành trong quá trình hoạt động thực tiễn của con người Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4 (Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người Tư duy phản ánh tích cực hiện

4

thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận… Theo Art Costa, giáo sư danh dự về giáo dục tại Đại học bang California, Sacramento và là đồng sáng lập của Viện hành vi thông minh ở El Dorado Hills, California thì cho rằng:“Tư duy

là sự cảm nhận của chúng ta khi chúng ta nhận được những dữ kiện, những thông tin diễn ra trong các mối quan hệ”

Theo V.I Lê nin: "Tư duy của người ta - đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai đến vô hạn" Tức là tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy

đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan hơn Trong “Những khía cánh tâm lý của quản lý” Mai Hữu Khuê cho rằng: "Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan" Trong “Tâm lý học đại cương” tập thể tác giả:Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Lan lại cho: "Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan

hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”

Tựu chung lại, tư duy có thể hiểu là quá trình tâm lý thể hiện khả năng nhận thức bậc cao diễn ra trong não bộ con người Quá trình này thu nhận thông tin từ xúc giác, thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua các dây thần kinh đến được não bộ giúp con người có được tư duy rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng, về những sự vật, hiện tượng trong đời sống bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng

2.2 Đặc điểm của tư duy

Tư duy ở con người chỉ xuất hiện khi gặp hoàn cảnh hay tình huống có vấn đề Những hoàn cảnh hay tình huống này chứa đựng vấn đề đòi hỏi con người phải tư duy tìm ra cách giải quyết mới do những hiểu biết ban đầu và các phương thức giải quyết trước không thể giải quyết triệt để vấn đề vừa phát sinh Tư duy còn mang tính gián tiếp, thể hiện thông qua việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Không chỉ vậy, ngôn ngữ và tư duy còn có mối quan hệ khăng khít với nhau, không có ngôn ngữ con người không thể tư duy và các kết quả của tư duy cũng không thể để cả chủ thể hay bản thân người khác tiếp nhận Ngoài ra, tư duy không thể hiện các sự vật, hiện tượng một cách riêng lẻ mà rút ra khỏi các sự vật, hiện tượng đó những gì cụ thể, cá biệt và chỉ giữ lại các thuộc tính bản chất chung rồi sắp xếp chúng thành một nhóm, một loại, một phạm trù Tư duy dựa vào nhận thức cảm tính nhưng chính nhận thức cảm tính lại chịu sự tác động ngược lại của tư duy và các sản phẩm của quá trình này nên ta nhận thấy hoạt động tư duy còn có hiện tượng không chịu chi phối từ những kinh nghiệm cảm tính

5

2.3 Các giai đoạn của tư duy

Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn Đây là quá trình gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonôv sơ đồ hóa

Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được vấn

đề trong các tình huống có vấn đề rồi thông qua các giai đoạn khác nhau nhằm mục đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới

Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (quá trình) của tư duy Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề” Nhận định về tính có vấn đề của mỗi người lại khác nhau, tùy thuộc vào góc nhìn, kinh nghiệm sống, kiến thức và nhu cầu cá nhân ở mỗi người Trong cùng một tình huống,

có người thấy có vấn đề thì quá trình tư duy băt đầu và ngược lại nếu không thấy có vấn đề thì không có quá trình tư duy Đây là giai đoạn mở đầu và quan trọng nhất của

cả quá trình tư duy Tiếp đến là giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh nghiệm và kiến thức sẵn có của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận thức để làm xuất hiện các liên tưởng có liên quan đến vấn đề

Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức tìm được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề Từ đó, chủ thể tư duy có thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của các phương án được đề xuất Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện được đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất Đây cũng là giai đoạn mà sau đó người kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết Giai đoạn cuối cùng là giải quyết vấn đề Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn trong các giả thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc ban đầu sẽ có kết quả là câu trả lời hoặc đáp số Những vấn đề mới có thể nảy sinh sau khi đã giải quyết vấn đề ban đầu nên để giải quyết vấn đề mới phát sinh thì cũng cần một quá trình tư duy mới Những trường hợp khác nhau thì các giai đoạn của quá trình tư duy có thể đổi khác nhưng không được thay đổi thứ tự của các quá trình tư duy

2.4 Các thao tác của tư duy

- Coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành động đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngoài của việc tư duy Phần nội dung bên trong của từng giai đoạn lại diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy Đây là các thao tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy luật bên trong của tư duy, bao gồm:

6

- Phân tích: là quá trình sử dụng não bộ phân tách đối tượng nhận thức thành những bộ phận, những thành phần khác nhau để có được cái nhìn một cách chi tiết và tổng quát Thông qua đó, xác định được đối tượng mang các đặc điểm, thuộc tính gì hoặc nhìn ra được các bộ phận của một tổng thể một cách rõ ràng, tường minh

- Tổng hợp: là quá trình sử dụng não bộ tổng hợp lại những thành phần được tách rời từ việc phân tích thành một chỉnh thể

- So sánh: là quá trình sử dụng não bộ để đối chiếu các đối tượng nhận thức nhằm tìm ra sự tương đồng, đồng nhất hay khác biệt giữa các đối tượng nhận thức đó

mà rút ra những điểm chung hay khác biệt của các đối tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng)

- Trừu tượng hóa: là quá trình sử dụng não bộ làm đơn giản hóa các mặt, các liên

hệ, các thuộc tính và các quan hệ thứ yếu không cần thiết đồng thời chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết sử dụng cho tư duy

- Khái quát hóa: là quá trình sử dụng não bộ để tổng hợp các đối tượng khác nhau thành một nhóm hay một loại dựa trên cơ sở phân loại là các thuộc tính, các mối liên

hệ và quan hệ chung nhất định Các thao tác tư duy không hoạt động riêng rẽ mà tác động qua lại, đan xen vào với nhau không theo một trình tự cụ thể nào Chủ thể tư duy căn cứ vào các yếu tố về điều kiện và mục tiêu trong từng nhiệm vụ tư duy mà lựa chọn các thao tác tư duy phù hợp cũng như không cần phải sử dụng hết các thao tác tư duy trong một hoạt động tư duy

II Thực trạng về việc dạy học các tiết về chủ đề đại số tổ hợp hiện nay

1 Mục đích điều tra

Điều tra thực trạng dạy học các tiết về đại số tổ hợp và năng lực giải các bài toán đại số tổ hợp của học sinh hiện nay như thế nào

2 Nội dung điều tra

Điều tra về việc dạy học các tiết về chủ đề đại số tổ hợp

3 Đối tượng điều tra

Học sinh khối 11 THPT

4 Phương pháp điều tra

Tiến hành phát phiếu điều tra cho 157 học sinh khối 11 của THPT Đông Hiếu ( gồm các lớp 11C1, 11C2, 11C3, 11C4 )

5 Tập hợp số liệu điều tra

A Hệ thống lý thuyết dễ học, dễ hiểu Làm được

hầu hết các bài tập trong SGK và SBT 8 5.10

B Hệ thống lý thuyết, phương pháp giải còn hạn

chế Chỉ làm được những bài toán đơn giản và

thường gặp khó khăn, sai lầm trước những bài toán

Em muốn các tiết học tự chọn chủ đề đại số tổ hợp theo hướng nào ?

A Giáo viên dạy theo hướng truyền thống: Giáo

B Giáo viên dạy theo định hướng phát triển năng

lực tư duy và lập luận Toán học của học sinh 153 97.45

8

* Nhận xét: Từ kết quả trên, ta thấy đa số HS (94.90%) chỉ tiếp nhận được những bài toán đếm cơ bản và thường gặp khó khăn, sai lầm trước những bài toán phức tạp hơn, một số ít giải được các bài tập nâng cao hơn Tuy nhiên đa số (97.45)

HS được hỏi đều mong muốn được học theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận để có cơ hội thể hiện mình nhiều hơn, Điều này một lần nữa khẳng định vai trò quan trọng phương pháp dạy học tích cực trong dạy học Toán học

6 Nguyên nhân của những thực trạng

Đa số GV vẫn còn nặng nề về lối truyền thụ một chiều, chưa chuẩn bị tâm lý, ngại thay đổi, sợ mất thời gian thiết kế và soạn bài, chưa chú trọng dạy học theo phương pháp kích thích tính chủ động của HS, chưa khẳng định được người học sẽ vận dụng để tự thiết kế được các bài tập khi được yêu cầu HS chưa hình thành được các phương pháp đếm, kỷ thuật đếm và tư duy giải quyết vấn đề Đặc biệt là theo yêu cầu đổi mới, môn toán được thi dưới dạng hình thức trắc nghiệm, số câu hỏi về vận dụng thực tế cũng nhiều hơn và nội dung câu hỏi phong phú hơn Nếu giáo viên, học sinh dạy và học qua loa phần này sẽ khiến các em học sinh gặp không ít trở ngại trong việc vận dụng toán học vào thực tế

7 Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh trong bài toán đại số tổ hợp tại trường THPT Đông Hiếu 7.1 Thuận lợi

Trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, học sinh cũng học tập một cách chủ động hơn, tự tìm tòi tài liệu ở nhiều nguồn, có khả năng đánh giá, hợp tác tốt hơn và mong muốn thể hiện mình nhiều hơn Do đó việc giáo viên tạo điều kiện để học sinh phát triển khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả năng lập luận Toán học để giải bài toán và phát biểu các bài toán mới, thiết kế bài tập

là một xu thế tất yếu và cần được nhân rộng

7.2 Khó khăn

Để phát biểu bài toán mới, thiết kế được bài tập, cần nhiều yêu cầu cao hơn Học sinh phải có một hệ thống kiến thức nền đủ tốt để thiết kế được bài tập.Về phía giáo viên thì đòi hỏi người dạy phải bao quát được nội dung chương trình, kiến thức vững vàng Đặc biệt là cần những giáo viên không ngại thay đổi bản thân, luôn hướng học sinh tìm cái mới Điều này không phải giáo viên nào cũng dám làm

Công tác kiểm tra đánh giá hiện nay mặc dù có nhiều thay đổi nhưng vẫn nặng

về đánh giá nội dung kiến thức, về điểm số, chưa đánh giá những năng lực khác của học sinh nên chưa thực sự phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

9

Chương II Phát triển và xây dựng một số bài toán

I Trang bị kiến thức cơ bản

1 Kiến thức cơ bản

1.1 Quy tắc cộng

a) Định nghĩa: Xét một công việc H

Giả sử H có k phương án H H1, 2, ,H k thực hiện công việc H Nếu có m1cách thực hiện phương án H1, có m2 cách thực hiện phương án H2, , có m kcách thực hiện phương án H k và mỗi cách thực hiện phương án H không trùng với bất kì cách thực i

hiện phương án H ( j i  j i j; , 1, 2, ,k) thì có m1+m2 + + m k cách thực hiện công việc H

a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n 1) Khi sắp xếp n phần tử này theo

một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A

Kí hiệu P n là số hoán vị của n phần tử

! ! !k

n

c) Chứng minh: Do có n1vật giống nhau nên số phương án sắp n1vật vào n1vị trí chỉ

là một phương án cần tìm, và ta có n1! phương án giống nhau

a) Khái niệm: Có n vật được sắp vào n vị trí theo một đường tròn

b) Công thức xác định: Số hoán vị vòng tròn của n phần tử là:

a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n Khi lấy k

phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n

n A

n k

=

−

1.5 Tổ hợp

a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n Mỗi tập con của

A có phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A

k n

n C

2.2 Các sai lầm thường gặp của học sinh

+ Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân + Phân chia trường hợp riêng xẩy ra chưa đầy đủ

+ Do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

+ Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc

II Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp

12

+ Bước 1: Đếm số phương án xẩy ra bất kỳ ta có kết quả n1

+ Bước2: Đếm số phương án xẩy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quả n2

Khi đó số phương án xẩy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán là: n= −n1 n2

+ Chú ý: Khi Phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp quá chúng ta sữ dụng Phương pháp đếm loại trừ

4 Phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau

+ Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán yêu cầu

(Ví dụ như chọn tập con có k phần tử từ n phần tử ta có C cách) n k

+ Bước 2: Sắp xếp

+ Chú ý: Thường dùng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt

5 Phương pháp tạo vách ngăn

+ Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + vách ngăn 1

+ Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m + vách ngăn nói trên 1

6 Phương pháp sử dụng "bài toán chia kẹo Euler"

Nhận xét:

+ Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên, tuy nhiên

sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng của từng học sinh

+ Đối với bài toán mà tập ban đầu có số 0 ta xét trường hợp xem số 0 là một số có nghĩa ta được kết quả n1, xét trường hợp số 0 đứng đầu ta được kết quả n2, kết quả cần tìm là n1−n2

III Tìm tòi và phát triển một số bài toán

1 Bài toán về số tự nhiên

1.1 Cách lập số tự nhiên

Bước 1: Gọi số cần tìm là x=a1 a k

Bước 2: Liệt kê các tính chất của số x thỏa mãn yêu cầu

Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không

Bước 4: Thứ tự đếm (đếm ưu tiên)

+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất

+ Đếm chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm hoặc tập hợp ban đầu có chữ số 0

13

+ Đếm các chữ số còn lại

Bước 5: Sữ dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tìm kết quả

- Khi lập một số tự nhiên x=a1 a n ta cần lưu ý:

* a  i 0,1, 2, ,9 và a 1 0

* x là số chẵn a n là số chẵn

* x là số lẻ a n là số lẻ

Chú ý: Đây là cách giải thông thường, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp trên

để bài toán có lời giải ngắn gọn hơn

1.2 Tính chia hết của số tự nhiên

Gọi số tự nhiên x =a1 a n với a  i 0,1, 2, ,9 và a 1 0 Khi đó:

* x chia hết cho 2a n là số chẵn

* x chia hết cho 3a1+a2 + + a n chia hết cho 3

* x chia hết cho 4a a n−1 n chia hết cho 4

* x chia hết cho 5a n 0,5

* x chia hết cho 6 là số chẵn và chia hết cho 3 x

* x chia hết cho 8a n−2a a n−1 n chia hết cho 8

* x chia hết cho 9a1+a2 + + a n chia hết cho 9

* x chia hết cho 11  tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là

một số chia hết cho 11

* x chia hết cho 25  hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75

1.3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số

1, 2, ,9 (Ví dụ 4, Đại số Giải tích 11, trang 50)

Lời giải:

+ Mỗi số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số

khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định

+ Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9

+ Vậy số các số đó là A =95 15120 số

14

Phân tích: Đây là bài toán đưa ra với mục đích áp dụng khái niệm chỉnh hợp Bài

toán được giải khá đơn giản Tuy nhiên, chúng ta có thể cho học sinh nhìn nhận bài toán theo nhiều khía cạnh khác:

+) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy mà là số chẵn?

+) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 5?

+) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 3?

+) Nếu ta thay tập hợp trên bằng tập hợp các chữ số 0,1, 2, ,9 Hãy giải các bài toán tương tự như trên?

Hướng dẫn giải các ý đã phân tích ở trên

+) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy mà là số chẵn?

Gọi số cần lập là n=abcde a b c d e, , , , 1, 2,3, ,9 ; a   b c d e

Vì n chẵn nên hàng đơn vị phải là số chẵn, do đó e 2, 4,6,8

Lúc này chúng ta ưu tiên chọn e trước

Có 4 cách e Ứng với mỗi cách chọn e sẽ có A cách chọn 84 a b c d , , ,

Vậy có 4.A =84 6720 số chẵn

+) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 5?

Theo tính chất chia hết ta có, số tự nhiên chia hết cho 5 là số có hàng đơn vị bằng 0

+) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 3 ?

Ta có số tự nhiên x=a1 a n chia hết cho 3a1 +a2 + + a n chia hết cho 3

Bước 1: Liệt kê tất cả các tập con có 5 phần tử của tập hợp 1, 2,3, ,9

Bước 2: Tính tổng của các phần tử của các tập con ở bước 1, để lấy ra những tập có

tổng chia hết cho 3 Chẳng hạn tập A =1, 2,3, 4,5 ; B =1, 2,3, 4,8 ; 

Bước 3: Giải bài toán " Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập

từ A =1, 2,3, 4,5 ; B =1, 2,3, 4,8 ;  "

ra các trường hợp xẩy ra đối với hàng đơn vị

Để dễ hiểu hơn các nội dung trên đồng thời phát triễn một số bài toán đếm số tự nhiên, sau đây chúng ta sẽ tiếp cận với bài toán:

Bài toán 1: Cho tập A ={0,1,2,3,4,5,6} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) Có 4 chữ số

b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau

c) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ

d) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn

e) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3

f) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5

g) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 6

Phân tích: Trước hết ta thấy đây là bài toán lập số tự nhiên mà trong tập hợp có chứa

chữ số 0, do đó khi giải HS thường hay mắc sai lầm vì không chia ra các trường hợp

xẩy ra đối với hàng đơn vị

Lời giải: Gọi số cần lập là n=abcd,

a) Số tự nhiên có 4 chữ số, tức là không nhất thiết khác nhau

d) Cách giải có tương tự câu c) hay không?

Dự đoán HS đưa ra cách giải:

Sai lầm HS gặp phải: Khi đếm d là 0 thì cách đếm a phải là 6, như vậy lời giải trên

là sai Vậy cách giải như thế nào?

Lời giải đúng

Cách 1: Đếm loại trừ

+ Số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A là 720 số

+ Số tự nhiên lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A là 300 số

e) Ta có một số chia hết cho 3khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3

+ Trong tập A có các tập con có tổng các chữ số chia hết cho 3 là {0,1, 2,3},

+ Vậy có 120 100+ =220 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

g) Ta có một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chẵn và chia hết cho 3

+ Theo câu d) ta có các tập con có tổng các chữ số chia hết cho 3 là {0,1, 2,3},

{0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, 1,3,5,6

18

• Xét các tập {0,1, 2,3},{0,3,4,5}là tập có hai chữ số chẵn trong đó có chứa số 0

+ Gọi x=abcd với a b c, , {0,1,2,3};d{0,2};a0 là số cần lập

+ Vậy đối với hai tập{0,1,2,6}{0,2,3,4} có 2(6+8)=28 số

• Xét các tập {1,2,4,5}, {1,2,3,6} là tập có hai chữ số chẵn không chứa số 0

+ Gọi x=abcd với a b c, , {1,2,4,5};d{2,4} là số cần lập

+ Như vậy đối với tập 1,3,5,6 có 3! 6= số

+ Vậy có 20+28 24 6+ + =78 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 2: Cho tập A ={1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số mà: a) Luôn có mặt 2 chữ số 2,3

b) Luôn có mặt 2 chữ số 2,3 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau

c) Luôn có mặt 2 chữ số 2,3 và hai chữ số này không đứng kề nhau