PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CỰC TRỊ VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HỆ TỌA độ KHÔNG GIAN

Các bài toán về khoảng cách chủ yếu đề cập đến khoảng cách giữa hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng.. Các bài toán về khoảng cách khi có yếu tố thay đổi chẳn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN

-

MÔN: TOÁN HỌC

Họ và tên tác giả: Đậu Đăng Vị

Tổ bộ môn : Toán – Tin Năm thực hiện : 2022

Số điện thoại 0384566481

Hoạt động giải bài tập là hoạt động chủ yếu của toán học, để hoạt động giải bài tập được tốt thì mỗi chuyên đề, chủ đề cần có một hệ thống bài tập có chất lượng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Đặc biệt phát huy các năng lực tư duy cho những học sinh có năng lực học tập khá giỏi Vì học sinh trong mỗi lớp học vừa có sự giống nhau, vừa có sự khác nhau

về nhận thức, tư duy, năng khiếu, sở trường… Mà chương trình THPT được triển khai dưới hình thức dạy học theo chuyên đề, chủ đề kết hợp với dạy học tự chọn là giải pháp chính để thực hiện dạy học theo định hướng phát triển năng lực (một định hướng cơ bản của giáo dục hiện nay)

Trong thực tiễn ở các trường phổ thông hiện nay, dạy học phân hoá để phát triển năng lực cho từng học sinh là nhiệm vụ quan trọng Đối với học sinh khá giỏi cần có một hệ thống các bài tập phát triển trên nền các bài tập cơ bản Muốn vậy giáo viên cần có kiến thức chắc chắn, cần xây dựng cho mình một hệ thống câu hỏi bài tập phong phú đa dạng

Khoảng cách là phần cốt lõi của hình học không gian và được nghiên cứu trong hình không gian tổng hợp cũng như trong hình không gian toạ độ Tính toán các yếu tố trong hình học không khể thiếu khoảng cách Các bài toán liên quan đến khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia trong các năm gần đây, trong đó có nhiều bài tập

ở mức độ vận dụng cao Tuy nhiên sự khai thác các bài toán về khoảng cách và cách chuyển bài toán từ hình không gian tổng hợp sang hình không gian toạ độ không nhiều

Các bài toán về khoảng cách chủ yếu đề cập đến khoảng cách giữa hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng Nhưng ở phần này các vấn đề trình bày sách giáo khoa chủ yếu là phần lý thuyết và các bài tập cơ bản Phần bài tập vận dụng và các chuyên đề, chủ đề chưa được khai thác đúng mức

Các bài toán về khoảng cách khi có yếu tố thay đổi chẳng hạn: điểm thay đổi trên một đường (đường thẳng hay đường tròn) hoặc trên một mặt (mặt phẳng hay mặt cầu) để thỏa mãn điều kiện cực trị về khoảng cách; lập phương trình mặt phẳng chứa một điểm hoặc một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cực trị về khoảng cách thường là các bài toán khó

Để giải được các bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao của phần tọa độ ta thường phải giải trong hình không gian tổng hợp (đây là phần cốt lõi có tính chất hình học) còn sau

2

đó mới ứng dụng kiến thức tọa độ để giải Do vậy để có được các bài toán trong hệ tọa độ cần xây dựng hệ thống (các dạng) bài toán trong hình không gian tổng hợp

Với lượng kiến thức lý thyết khá rộng về các vấn đề liên quan đến khoảng cách, cũng như

sự gắn kết giữa trong hình không gian tổng hợp và hình không gian toạ độ nên cần thiết có các đề tài nghiên cứu vấn đề này Qua đó có cách nhìn tổng quan hơn các vấn đề liên quan đến khoảng cách

Vì các lý do trên và sau nhiều năm giảng dạy, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được,

tôi mạnh dạn nêu ra đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua hệ thống

bài tập cực trị về khoảng cách trong hệ tọa độ không gian’’ để giúp học sinh, giáo viên có

thể áp dụng nhằm nâng cao kết quả học tập và giảng dạy

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Nhằm giúp học sinh học tốt phần khoảng cách trong chương III của hình học lớp 12 Nâng cao năng lực tư duy, bồi dưỡng khả năng tự học cho học sinh Qua đó học sinh sẽ thấy được mạch kiến thức xuyên suốt các vấn đề liên quan đến khoảng cách và sự gắn kết giữa hai loại hình học, từ đó có cách nhìn sâu sắc, toàn diện hơn

Nội dung đề tài khai thác, vận dụng kiến thức lý thuyết về tọa độ và tính chất hình học không gian trong SGK để xây dựng hệ thống bài tập phù hợp nhằm củng cố kiến thức, hình thành kỹ năng vẽ hình, tính toán, cách chuyển đổi phát triển bài toán, xây dựng bài toán tương tự, … Qua đó phát triển năng lực tư duy và lập luận, năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực sử dụng ngôn ngữ…

Đề tài xây dựng nhiều bài toán gốc, từ đó sẽ có một lớp bài toán minh họa cho bài toán gốc đó Với lượng bài tập nhiều nên có thể lựa chọn để áp dụng cho phù hợp với từng đối tượng học sinh Học sinh khá giỏi phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của mình từ việc phát biểu bài toán, dự đoán tính khả thi của bài toán, tổng quát hoá, đặc biệt

hoá, tương tự hoá bài toán Với mục tiêu học sinh vận dụng tốt các kiến thức, kỹ năng để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả, phát huy tối đa năng lực toán học

3 ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài xây dựng được hệ thống bài tập khá đầy đủ, phong phú các vấn đề liên quan đến khoảng cách Việc đặt vấn đề, xây dựng và giải quyết các bài toán xuất hiện một cách logic,

tự nhiên Bắt đầu từ việc cho một điểm thay đổi, hai điểm thay thuộc trên một đường hoặc một mặt đến thuộc hai đường hoặc hai mặt khác nhau, các bài tập phần sau xây dựng tương

tự phần trước Qua đó phát triển khả năng, năng lực của người học

Đề tài xuất hiện nhiều bài tập mới, nhiều bài tập cho kết quả đẹp có tính tổng quát có nhiều ứng dụng và có thể xem như một tính chất liên quan đến khoảng cách

Đề tài có được hệ thống bài tập tương ứng giữa hình không gian tổng hợp và hình không gian toạ độ Trong từng dạng bài tập của hình không gian tổng hợp có thể khai thác một lớp bài tập trong hệ tọa độ để sử dụng trong dạy học cũng như ra đề thi

3

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

A CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

Năng lực được coi là sự huy động kiến thức, kỹ năng, niềm tin… để học sinh thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể Năng lực chỉ hình thành khi học sinh chuyển hoá kiến thức, kỹ năng thành hành động Từ đó đặt ra yêu cầu cốt lõi là tập trung vào những gì học sinh cần có để dạy và sau đó họ có thể làm được việc cụ thể, hữu ích

Môn toán có nhiều cơ hội để phát triển các năng lực chung như: Năng lực tự chủ và

tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Đồng thời hình thành và phát triển các năng lực riêng, đặc thù như: Năng lực tính toán, năng lực tư duy

và lập luận, năng lực mô hình hoá, năng lực ngôn ngữ, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán… Có thể nói năng lực tư duy là đặc trưng và cốt lõi của môn toán

Việc giải toán là hoạt động chủ đạo của môn toán nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện phẩm chất, năng lực cho học sinh về nhiều mặt Muốn vậy giáo viên cần quan tâm đến việc lựa chọn bài tập sao cho có hiệu quả nhất, thích hợp với đối tượng học sinh của mình Do đó việc xây dựng hệ thống bài tập ứng với từng chuyên đề, chủ đề là cần thiết

Để xây dựng một hệ thống bài tập tốt cần đạt các yêu cầu:

- Đảm bảo chuẩn kiến thức, kỹ năng: Khi dạy học, xây dựng bài tập, ra đề kiểm tra luôn phải bám vào chuẩn kiến thức, kỹ năng mà học sinh cần đạt được Bài tập là cầu nối giữa lý thuyết

và thực tiễn, là phương tiện để học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng

- Đảm bảo tính chính xác, khoa học: Bài tập phải có kết quả đúng, sắp xếp khoa học, có cái nhìn tổng quan về vấn đề trình bày, có tính mới

- Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh: Có tính phân hoá, vừa sức, phù hợp với khả năng giải toán của học sinh Bảo đảm cân đối thời gian giữa lý thuyết và bài tập

- Đảm bảo tính sư phạm: Ngôn ngữ chuẩn mực, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu Số lượng bài tập

đủ để hình thành các kỹ năng cần thiết Có một số bài tập mới, hay, tổng quát,… để phát triển các năng lực toán học, rèn luyện trí thông minh

- Đảm bảo tính hệ thống, kế thừa: Phân các dạng bài tập phù hợp từng đơn vị kiến thức, đảm bảo tính logic, các bài tập được xây dựng trên nền tảng kiến thức cơ bản, phát triển lên từ bài toán đã có, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá bài toán…

- Hệ thống bài tập phải giúp học sinh phát triển năng lực toán học như: Năng lực phân tích

và giải bài toán; năng lực tính toán và sử dụng ký hiệu; năng lực tư duy lập luận và chứng minh; năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá…

Ngoài ra hệ thống bài tập còn có tính mở, hướng phát triển sang vấn đề tương tự Hướng tới

sự tự học, tự nghiên cứu của học sinh…

4

2 Cơ sở thực tiễn

Phần khoảng cách là phần cơ bản của hình không gian, khoảng cách nêu lên mối liên

hệ với các đối tượng hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu

Trong hình không gian tổng hợp thì phần khoảng cách được khai thác khá nhiều, các bài tập thường liên quan đến tính khoảng cánh từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các hình không gian cụ thể Phần cực trị về khoảng cách ít được chú ý

Trong hình không gian toạ độ các bài cơ bản tính khoảng cách liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu đã xuất hiện nhiều trong đề thi và các tài liệu tham khảo Những bài toán về toạ độ cần phát triển năng lực tư duy là những bài có sử dụng được tính chất hình học không gian, tức là phải được bài toán đó trong hình không gian rồi mới chuyển sang tọa độ (tọa độ là công cụ để tính toán) Do đó đây là “miếng đất màu mỡ để khai thác” các dạng bài tập, đặc biệt là bài vận dụng cao

Thực tế, các đề thi tuyển sinh trước đây và đề thi THPT QG hiện nay thường xuất hiện các bài tập liên quan đến khoảng cách (trong hình không gian tổng hợp hay hình toạ độ) Trong đó có những bài toán rất khó làm cho nhiều học sinh thiếu tự tin khi giải các dạng toán này

Phạm vi áp dụng của đề tài: Phần bài khoảng cách ở lớp 11 và chương III hình học 12

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Hình học không gian là môn học có tính trừu tượng cao, tính logic chặt chẽ, học sinh phải hình dung không gian, vẽ hình, tính toán… nên đa số học sinh sợ môn này kể cả học sinh có học lực khá

Trong số các bài toán liên quan đến khoảng cách, nếu các bài toán về toạ độ cơ bản thì các học sinh trung bình có thể làm được, còn bài toán áp dụng tính chất hình học không gian tổng hơp để giải bài toán trong toạ độ thì thường là bài khó nên học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất của bài toán; một phần vì học sinh ngại bài toán khó, không biết bắt đầu từ đâu; một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh

Như vậy, căn cứ vào mức độ học tập của học sinh, giáo viên có thể đưa ra một hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng cơ bản và khắc sâu kiến thức Từ những kiến thức đó giáo viên có thể nâng dần mức độ khó của bài toán, đòi hỏi học sinh phải sử dụng một kiến thức tổng hợp, đa dạng đồng thời trang bị cho học sinh các kỹ năng trong giải toán, đưa ra được một số vấn đề gợi mở nhằm phát huy tính tích cực của học sinh để học sinh tự tìm tòi, khám phá, phát hiện ra vấn đề mới, sẽ giúp học sinh phát huy hết khả năng trong học tập

Để làm được điều đó thì cần có hệ thống bài tập phù hợp

5

C NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Đề tài giúp học sinh phát triển năng lực tư duy qua hệ thống bài tập cực trị về khoảng cách và cách giải các bài toán đó trong hình không gian tổng hợp sau đó minh họa bằng các bài toán trong hình toạ độ không gian

1) Những kiến thức cơ bản phần khoảng cách áp dụng trong đề tài:

- Các kiến thức cơ bản về vectơ, đường thẳng, đường tròn, hệ thức lượng trong tam giác đã học trong mặt phẳng;

- Kiến thức về khoảng cách phần hình không gian lớp 11

- Kiến thức về phần toạ độ không gian lớp 12

- Kiến thức cơ bản về cực trị của khoảng cách như:

+ Cho điểm A và đường thẳng , điểm M tùy ý thuộc  thì d A ,   AM Đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của A lên 

+ Cho điểm A và mặt phẳng( ) , điểm M tùy ý thuộc ( ) thì d A ,( ) AM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của A lên ( )

+ Cho điểm A và đường tròn (C) tâm O, bán kính R, điểm M tùy ý thuộc (C) thì

OA R  AM OA R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao của OA với (C)

- Bất đẳng thức thường sử dụng trong đề tài là:

Bất đẳng thức (1) và (2) lần lượt tương đương với (3) và (4) gọi là bất đẳng thức hình học

Đó là các bất đẳng thức cơ bản trong hình học Có thể dùng vectơ để chứng minh (1) và (2) Chọn u a b; , v c d; Do u   v u v nên ta có (1), lại có u v  u v nên có (2)

Dấu “=” xảy ra ở (1) và (2) khi và chỉ khi u v, cùng hướng tức là a b 0

c  d  2) Thuật ngữ dùng trong đề tài:

Nói đến đường gồm đường thẳng và đường tròn Nói đến mặt gồm mặt phẳng và mặt cầu

3) Trong đề tài các bài tập được phân chia theo từng nhóm dựa trên sự tương đồng về dạng bài tập như: Bài tập liên quan đến điểm thay đổi, hai điểm thay đổi trên đường hoặc trên mặt

Căn cứ vào sự thay đổi của điểm thuộc đường, mặt và tương giao giữa đường và mặt ta xây dựng và phân loại thành các nhóm bài toán như sau:

6

I KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN MỘT ĐIỂM THAY ĐỔI THUỘC MỘT

ĐƯỜNG HOẶC MỘT MẶT

1) Điểm thay đổi thuộc đường thẳng cho trước

Trong hình học phẳng ta có bài toán: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm cùng phía

đường thẳng d Tìm vị trí của điểm M thuộc đường thẳng d sao cho AM BM là nhỏ nhất Tương tự ta có bài toán trong không gian

Bài 1.1 Trong không gian, cho hai điểm A, B và đường thẳng d không đi qua hai điểm A,

B Tìm vị trí của điểm M thuộc d sao cho AM BM là nhỏ nhất

Giải: Cách 1 Dùng phương pháp đại số hoá

Tham số hoá điểm M, tức gọi toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d (chỉ có một ẩn t) Tính

AM BM theo t, sau đó khảo sát hàm số theo t hoặc dùng bất đẳng thức hình học

Vậy AM BM nhỏ nhất bằng BE khi và chỉ khi

M là giao điểm của BE với d

 Một điểm M thay đổi trên đường thẳng d , xác định tọa độ của điểm M

để AM BM đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó toạ độ của điểm M là:

Như vậy ta đã tìm được vị trí của M thuộc d sao cho AM BM nhỏ nhất Vậy hiệu của

AM và BM thì sao Bằng cách tương tự ta có bài toán sau:

Bài 1.2 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d không đi qua hai điểm A, B Tìm vị trí của

điểm M thuộc d sao cho AM BM là lớn nhất

Giải: Cách 1 Dùng phương pháp đại số hoá

Tham số hoá điểm M, tức gọi toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d (theo tham số t) Tính

AM BM theo tham số t sau đó khảo sát hàm số theo tham số t là được

Vậy AM BM lớn nhất bằng BE khi và chỉ khi

M là giao điểm của BE với d

d      Tìm điểm M thuộc d sao cho AM BM lớn nhất

HD: Hình chiếu của A, B lên d lần lượt là H(1; 2;1) và K(3; 4;5)

từ M đến hai mặt phẳng cho trước thì như thế nào? Từ đó gợi cho ta bài toán sau:

Bài 1.3 Trong không gian cho đường thẳng d và hai mặt phẳng (P) và (Q) Tìm vị trí của

điểm M thuộc đường thẳng d sao cho d M P ,( )d M Q( ,( )) nhỏ nhất

HD: Bài 1.3 có thể giải bằng phương pháp đại số Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng,

tính khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng sẽ đưa về biểu thức dạng f t( )  at b ctd

Dùng bất đẳng thức hoặc khử dấu giá trị tuyệt đối ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của f(t)

Nhận xét: Nếu xét hiệu khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến hai mặt phẳng thì

sẽ đưa về dạng f t( )  at b ctd Biểu thức này có thể có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 1 khi và chỉ khi M0;1; 1 

c) (Cách dùng thuần túy đại số) Gọi M1t;2t;1 2 t thuộc đường thẳng d, ta có

2) Điểm thay đổi thuộc mặt phẳng cho trước

Bằng cách tương tự hóa, thay đường thẳng bởi mặt phẳng ta xây dựng các bài toán sau:

Bài 1.5 Cho hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P) Tìm vị trí của điểm M thuộc

mp(P) sao cho AM BM là nhỏ nhất

Giải: Cách 1 (Dùng hình học)

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua mp(P)

Khi đó A1 và B nằm khác phía với mp(P)

và với mọi điểm M thuộc mp(P) ta có AM = A1M

Suy ra AM BM  A M1 BM  A B1 không đổi,

dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A1B với (P)

Vậy giá trị nhỏ nhất của AM BM bằng  2 2

AH BK HK , dấu “=” xảy ra khi và chỉ

khi AH MH

BK  MK và MH MK, ngược hướng MH AH.MK

BK

Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;2;3 ,  B 1; 3;1 ,   C 3; 2;2 

a) Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức S MAMB đạt giá trị nhỏ

Bài 1.6 Cho hai điểm A, B khác phía với mặt phẳng (P)

Tìm vị trí của điểm M thuộc mp(P) sao cho AM BM là nhỏ nhất

Giải: Cách 1 Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua mp(P)

Khi đó A1 và B nằm cùng phía với mp(P) và

với mọi điểm M thuộc mp(P) ta có AM = A1M

Suy ra AM BM  A M1 BM  A B1 không đổi,

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A1B với mp(P)

Vậy AM BM là nhỏ nhất bằng A1B khi và chỉ khi M là giao điểm của A1B với mp(P)

Cách 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và B lên mp(P)

Khi đó với mọi điểm M thuộc mp(P) ta có

AM BM  AH HM  BK KM  AHBK  HM KM  AHBK HK

Vậy giá trị lớn nhất của AM BM bằng  2 2

AH BK HK , dấu “=” xảy ra khi và chỉ

khi AH MH

BK  MK và MH MK, cùng hướng MH AH.MK

BK

 

Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x   y z 1 0 và hai điểm

, điểm M thay đổi trên mp(P) Giá trị lớn nhất của là:

12

Cho điểm A và mặt phẳng( ) , điểm M tùy ý thuộc ( ) thì AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của A lên ( ) Nếu thêm điều kiện AM song song với một mặt phẳng cho trước thì ta có bài toán sau:

Bài 1.7 Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P), (Q) và điểm A không thuộc hai mặt phẳng trên

Tìm vị trí của điểm M thuộc (P) sao cho AM song song với (Q) và độ dài AM là nhỏ nhất

Giải: Gọi mặt phẳng(R) đi qua A và song song với mp(Q) và đường thẳng d là giao tuyến

của mp(P) và mp(R) Suy ra điểm M thuộc đường thẳng d Do đó AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d

Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng( ) :P x   y z 1 0, điểm A1; 3; 2   Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho AM song song với (P) Giá trị nhỏ nhất của AM là:

Nhận xét: - Bài toán trên có thể giải bằng đại số: Gọi M(a; b; c), dùng điều kiện M thuộc

mp(P) và AM song song với mp(Q) ta được hai phương trình bậc nhất ba ẩn Rút hai ẩn theo ẩn còn lại và thế vào biểu thức AM sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của đoạn AM

- Thay điều kiện AM song song với mặt phẳng bằng điều kiện AM vuông góc với đường thẳng ta có bài toán tương tự

Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng( ) :P x   y z 1 0, điểm A1; 3; 2  

và đường thẳng d: 1 1

x  y  z

 Điểm M thuộc mp(P) sao cho AM vuông góc với d

Khi độ dài đoạn AM nhỏ nhất, tọa độ của điểm M là:

Dựa vào bài 1.4 khi thay đường thẳng bởi mặt phẳng ta có bài toán sau:

Bài 1.8 Trong không gian cho mặt phẳng(P), n điểm A A1, , 2 A n và n số thực  1, 2, nsao cho  1 2+ + n 0 Tìm vị trí của điểm M thuộc mp(P) sao cho

a) P 1MA12MA2   n MA n đạt giá trị nhỏ nhất

b) Q1MA12 2MA22   n MA n2 đạt giá trị nhỏ nhất biết  1 2+ + n 0

c) R1MA12 2MA22  n MA n2 đạt giá trị lớn nhất biết  1 2+ + n 0

HD: Giải tương tự như bài 1.3 ở phần trước

Các bài tập minh họa

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm Tìm điểm M trên mặt phẳng

Nhận xét: Các bài toán cực trị thường liên quan đến hình chiếu vuông góc của một điểm lên

đường thẳng hoặc mặt phẳng nếu khai thác tốt tính chất này ta sẽ có một lớp các bài toán:

Bài minh họa: Trong Oxyz, cho hai điểm A1; 2;5, B2; 1;3  Gọi  S là mặt cầu tâm I Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B và OI nhỏ nhất

b) Mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B , O và OI nhỏ nhất

c) Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox, đi qua điểm A và IB nhỏ nhất

d) Mặt cầu (S) có tâm I thuộc mp(Oxy), đi qua B sao cho 2 2

2IA  3IB lớn nhất

3) Điểm thay đổi thuộc mặt cầu cho trước

Trong hình học phẳng có bài toán: Cho điểm A và đường tròn (C) tâm O, bán kính R Điểm

M tùy ý thuộc (C) ta có OA R  AM OA R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao của

OA với (C) Mở rộng vào không gian thay đường tròn bằng mặt cầu thì kết quả thế nào?

Bài 1.9 Cho mặt cầu S O R( ; ) Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho OM  d R

Tìm vị trí điểm N thuộc (S) sao cho độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Đường thẳng OM cắt (S) tại hai điểm A và B,

giả sử M nằm giữa A và O

Với mọi điểm N thuộc (S) khác với A và B, ta có

OAN ONAMNAMNMA

và OBN ONBMNBMNMB

Suy ra

Độ dài đoạn MN nhỏ nhất bằng R – d khi và chỉ khi N trùng A

Độ dài đoạn MN lớn nhất bằng R + d khi và chỉ khi N trùng B

Nhận xét: Khi điểm M nằm ngoài mặt cầu cũng kết quả tương tự Tổng quát ta có

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và điểm M với OM d, điểm N trên mặt cầu (S)

Độ dài đoạn MN nhỏ nhất bằng Rd Độ dài đoạn MN lớn nhất bằng Rd

Đây là bài toán cơ bản và được ứng dụng trong các bài ở phần sau

Các bài tập minh họa

A

B

N

M O

Độ dài đoạn MN nhỏ nhất khi và chỉ khi N trùng A(1; 6; 1)

Độ dài đoạn MN lớn nhất khi và chỉ khi N trùng B(5; -2; 9)

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

HD: Nối tâm I của mặt cầu với M cắt (S) tại hai điểm A, B (I nằm giữa A và M)

Ta có d M P ,( )MN MA không đổi nên d M P ,( ) lớn nhất khi và chỉ khi M trùng A

và mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với IA

Nhận xét: Nếu thêm điều kiện MN song song với mặt phẳng cho trước được bài toán sau:

Bài 1.10 Cho mặt cầu ( ; )S O R , mặt phẳng (P) không cắt (S) và điểm A nằm trong (S) Tìm

vị trí của điểm M trên mặt cầu (S) sao cho AM song song với mp(P) và độ dài đoạn AM lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Gọi mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mp(P)

Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo một đường tròn (C)

Gọi H là hình chiếu của O lên (Q), H là tâm của (C)

Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại hai điểm

phân biệt E và F, với A nằm giữa H và E

Do M thuộc (S) và AM song song với (P)

nên M thuộc đường tròn (C) Suy ra:

AM lớn nhất khi và chỉ khi M trùng F

AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng E

Bài tập minh họa Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;1; 2 , mặt phẳng  :y  z 3 0

và mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 4y6z 2 0 Tìm toạ độ điểm M trên mặt cầu (S) sao cho

AM song song với mp() và độ dài đoạn AM lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Mặt cầu (S) có tâm I 0; 2; 3 , bán kính R 11

Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mp  có phương trình:  P :y  z 3 0

Hình chiếu vuông góc của điểm I lên mp(P) là H 0;1; 2 , IH  2

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm H, bán kính r3

AM nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi M trùng E(3;1;-2)

Nhận xét: - Khi điểm A nằm ngoài mặt cầu thì bài toán trên có kết quả khi mặt phẳng qua

điểm A và song song với mp(P) phải cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn

- Nếu thay điều kiện MN song song với mặt phẳng bằng MN vuông góc với đường thẳng cho trước được bài toán tương tự

- Từ bài 1.8 và bài 1.9 ta có bài toán sau:

Bài 1.11 Trong không gian cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R, n điểm A A1, , 2 A nvà n số thực  1, 2, n sao cho  1 2+ + n 0 Tìm vị trí của điểm M thuộc (S) sao cho a) 1MA12MA2   n MA n đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P MA 2MB

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 2 2

16

Bài 1.12 Trong không gian cho mặt cầu (S), điểm A nằm trong (S) và B nằm ngoài (S) Điểm

M thay đổi nằm trên mặt cầu (S) Tìm giá trị nhỏ nhất của MA MB

Đây là bài toán đơn giản, nối A với B cắt mặt cầu tại E Ta có AM MB AB, dấu “=” xảy

ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB với mặt cầu ( tức M trùng E)

Sử dụng bài toán trên và cách cân bằng hệ số, ta xây dựng bài 1.12 ở mức vận dụng cao Bài 1.13 Trong không gian cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và hai điểm A, B nằm ngoài

mặt cầu Điểm M thay đổi nằm trên mặt cầu (S)

Tìm giá trị nhỏ nhất của MAMB với IA

IA R

IA



   nên điểm F nằm trong mặt cầu

Tam giác IMF và IAM có AIM chung, IF IM 1

A 105 B 2 26 C 2 29 D 102

Giải: Mặt cầu (S) có tâm I1;2;3, bán kính R6, ta có IA 12  2R

Gọi E là giao điểm của IA với mặt cầu (S) suy ra E là trung điểm của IA nên E5;4;7

Gọi F là trung điểm của IE suy ra F3;3;5

Xét tam giác MIF và AIM có AIM chung và 1

4) Điểm thay đổi thuộc đường tròn cho trước

Không có phương trình đường tròn trong không gian nhưng có thể cho bằng cách: giao của mặt phẳng với mặt cầu, giao của hai mặt cầu, tập hợp các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm nằm ngoài mặt cầu, cắt mặt tròn xoay bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Dựa vào tính chất đường tròn ta xây dựng một số bài toán liên quan đến đường tròn trong không gian như sau:

17

Bài 1.14 Cho đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P) và điểm A không nằm trong mp(P)

Tìm vị trí điểm M trên đường tròn (C) sao cho độ dài đoạn AM là lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(P),

I là tâm của đường tròn (C)

Nếu H nằm ngoài đường tròn (C), nối I với H

cắt đường tròn (C) tại hai điểm B, C

Nhận xét: - Các bài toán liên đến đường tròn (về khoảng cách hoặc tìm điểm) thường là các

bài dạng vận dụng và vận dụng cao Mức độ đơn giản hay phức tạp tùy thuộc cho tâm, bán kính đường tròn và phương trình mặt phẳng chứa đường tròn là tường minh hay ẩn tàng

- Chẳng hạn xét đường tròn là giao của mặt cầu với mặt phẳng, có thể cho ngay mặt cầu hoặc ẩn đi (bằng cách tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng dưới một góc vuông, cách điểm cho

trước một khoảng không đổi…) ta sẽ có các bài toán ở các mức độ khác nhau Do đó nếu khéo khai thác ta sẽ xây dựng được một lớp bài toán liên quan đến đường tròn

Bài minh họa 1 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và đường tròn (C) nằm trong mp(Oxy) có tâm I 5;2;0 , bán kính r = 2 Điểm M thay đổi trên (C), độ dài đoạn thẳng AM

Bài minh họa 3 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 6; 2) và B(2;  2; 0) Xét đường

thẳng d thay đổi thuộc mp(Oxy) và đi qua B, gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của độ dài đoạn AM

Tương như bài 1.11 thay mặt cầu bởi đường tròn ta có bài toán:

Bài 1.15 Trong không gian cho đường tròn (C), n điểm A A1, , 2 A nvà n số thực

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức P MAMBMC

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để Q2MB2MC22MO2 lớn nhất, nhỏ nhất

HD giải: a) Mặt cầu (S) có tâm I1;2;3, bán kính R5 Đường tròn (C) có tâm

 1;2;0

E  , bán kính r 4 Trọng tâm tam giác ABC là G1;2;2, hình chiếu vuông góc

Khi cho đường tròn dạng ẩn tàng ta có bài vận dụng cao sau đây:

Bài minh họa 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

S x  y  z  và hai điểm A(2;3; 4) và B(4;0;2) Xét các điểm M thuộc ( )S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( )S , Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức

a) P MAMBMO b) QMB2 MO2

1) Hai điểm thay đổi cùng thuộc một đường thẳng

Bài 2.1 Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A Hai điểm M, N thay đổi trên d sao

cho MN k cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của AMAN

Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d Ta có

4AH k khi và chỉ khi H là trung điểm của MN

Bài 2.2 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d không đi qua hai điểm A, B Hai điểm M, N

thay đổi thuộc d sao cho MN k cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của AM BN

Giải: Cách 1 Dùng phương pháp đại số hoá

MN cùng phương với u d (vec tơ chỉ phương của đường thẳng d) nên . d

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai điểm M, N

nằm giữa hai điểm H, K hoặc ngược lại và AH HM

Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng 3 5 khi và chỉ khi M1;2;0 , N 1;3; 2 

Bằng cách tương tự thay tổng khoảng cách bằng hiệu khoảng cách ta có bài toán:

Bài 2.3 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d không đi qua hai điểm A, B Hai điểm M, N

thuộc d sao cho MN k cho trước Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P AM BN

Giải: Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và B lên đường thẳng d Ta có

Tương tự như phần trước ta cũng có bài toán về độ dài vectơ và tổng bình phương độ dài

Bài 2.4 Trong không gian cho đường thẳng d, n điểm A A1, , 2 A nvà n số thực

2) Hai điểm thay đổi cùng thuộc một mặt phẳng

Bài 2.5 Cho hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng ( ) Hai điểm M và N thay đổi thuộc

mp( ) sao cho MN u cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của AM BN

Giải: Cách 1 (dùng hình học)

Xác định điểm A1 sao cho AA1 MN u

Khi đó tứ giác AMNA1 là hình bình hành suy raAM  A N1

Gọi A2 là điểm đối xứng với A1 qua mặt phẳng ( )

Giải: Cách 1 Xác định điểm A1 sao cho AA1 MN 3; 4;0 suy ra A11;5;3

điểm đối xứng với A1 qua mặt phẳng Oxy là A21;5; 3  Theo cách 1 trên ta có

Cách 2 Lấy điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng( ) , điểm E thỏa mãn A E' MN

Do độ dài đoạn MN a không đổi nên điểm E nằm trên đường tròn tâm A’ bán kính R = a

và nằm trong mặt phẳng( ) đi qua A’ và song song với mặt phẳng( )

Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên mp( )

Ta có AMBN A M' BN

2 '

nên kết quả hai cách trên trùng nhau

Bài minh họa 1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;1;3 và B 1; 3;2 Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN 2 Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng:

Suy ra mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu là mặt phẳng(Oxy)

Hình chiếu vuông góc của hai điểm A, B lên mp(Oxy) lần lượt là H 0;0;0 và K 3;4;0 , theo cách giải trên ta có

Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng   2 2   2 2

2 1 5 1 5

Trong bài 2.5 ta thay tổng độ dài hai đoạn bằng hiệu độ dài ta có bài toán:

Bài 2.7 Cho hai điểm A, B khác phía với mặt phẳng ( ) Hai điểm M và N thay đổi thuộc

mp( ) sao cho MN u không đổi Tìm giá trị lớn nhất của AM BN

Giải: Xác định điểm A1 sao cho AA1MN u Khi đó AMNA1 là hình bình hành nên

1

AM  A N Do đó AM BN A N1 BN và đưa về bài 2.3 ở mục trước

Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;1; 3 và B 1; 3;2 Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc Oyz sao cho MN 0;3;4 Giá trị lớn nhất của AM BN là:

Giải: Cách 1 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và B lên mp( ) , ta có

Cách 2 Gọi điểm A1 đối xứng với A qua mp( ) ,

điểm E thỏa mãn A E1 MN Suy ra điểm E nằm trên

24

Bài minh họa (ĐỀ THI TN THPT NĂM 2021)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;1; 3 và B 1; 3;2 Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN 3 Giá trị lớn nhất của AM BN bằng

Giải: Điểm A12;1;3 đối xứng với A qua Oxy , mặt phẳng (P) qua A1 song song với

Oxy là: z 3 0 Hình chiếu vuông góc của B lên mp(P) là H1; 3;3 , BH 1, A H1 5

Giá trị lớn nhất của AM BN bằng 2  2 2  2

BH  A H a    

Tương tự như bài 2.4 ta có bài toán sau :

Bài 2.9 Trong không gian cho mặt phẳng (P), n điểm A A1, , 2 A nvà n số thực  1, 2, nsao cho  1 2+ + n 0 Hai điểm M, N thay đổi thuộc mp(P) sao cho MN  a 0 cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  AM2 2BN2  AN22BM2

2) Hai điểm thay đổi cùng thuộc một mặt cầu

Trong mặt phẳng có bài toán: Cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R và điểm A sao cho

OA d R Đường thẳng thay đổi qua A cắt (C) tại hai điểm M, N thì 2 2

.

AM AN  R d

Mở rộng vào trong không gian, thay đường tròn bằng mặt cầu ta có kết quả tương tự

Bài 2.10 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R Điểm A nằm trong mặt cầu (S), OA d R Hai điểm M, N thuộc mặt cầu sao cho A, M, N thẳng hàng

a) Chứng minh rằng: AM AN không đổi

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Pa AM b AN.

c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 2 2

Qa AM b AN (với a, b là hai số thực cho trước)

Giải: a) Gọi H là trung điểm của AB,

  , khảo sát trên đoạn R d R d ;   ta có kết quả

Nhận xét: - Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu thì 2 2

.

AM AN d R

- Dựa vào kết quả 2 2

.

AM AN  R d có thể khai thác nhiều bài toán liên quan

Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2

(x 1)  (y 2)   (z 4)  16 và điểm M(2;1;2) Đường thẳng d đi qua M cắt mặt cầu tại hai điểm A, B

Tiếp theo ta xét các bài toán về hai điểm thuộc mặt cầu có độ dài không đổi

Bài 2.11 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) Hai

điểm M, N thay đổi nằm trên mặt cầu (S) sao cho MN2a2R Hai điểm A, B thuộc mp(P) sao cho AM và BN cùng phương với u cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức AM BN

Giải: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và AB

Ta có AM BN 2.EF và EF cùng phương với u

Lại có OE OM2EM2  R2a2 không đổi

nên điểm E nằm trên mặt cầu (S’) tâm O,

là hình chiếu vuông góc của hai điểm M N lên ,  P Tìm giá trị nhỏ nhất của MANB

HD giải: Mặt cầu  S có tâm I4;3; 2  bán kính R 16 9     4 4 5,

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MANB là 2hr 2 3 3  3

Bài minh họa 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z 1 0, đường thẳng

NB cùng song song với  d Giá trị lớn nhất của biểu thức MANB là

thuộc mặt cầu S sao cho tam giác ABC đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Gọi A

, B, C' là ba điểm thuộc mặt phẳng P sao cho AA,BB và CC' cùng song song với  d Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức AA BB CC'

HD: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A’B’C’

Ta có AABBCC'3GG' sau đó giải tương tự như bài 2.11