Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

Đặc biệt các bài toán về cực trị, liên quan đến chủ đề này luôn gây không ít khó khăn cho người học; các bài toán loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lí do chọn đề tài

Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời

Trong quá trình dạy học toán ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên Thực tế cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức, các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọng nhiều

về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy và sáng tạo cho học sinh Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó Học sinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn Chính vì vậy việc bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao

Mặt khác, Toán học là một bộ môn đòi hỏi phải tư duy logic, phải biết vận dụng và kết hợp linh hoạt nhiều kiến thức lại với nhau Do đó, việc hình thành phương pháp giải từng dạng toán cho các em học sinh là rất cần cần thiết, đặc biệt

là để vừa đảm bảo tính chính xác và cả sự nhanh lẹ Trong chương trình Toán học THPT, hình học không gian là một trong những chủ đề trọng tâm, xuyên suốt Đặc biệt các bài toán về cực trị, liên quan đến chủ đề này luôn gây không ít khó khăn cho người học; các bài toán loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11, 12 và kỳ thi tốt nghiệp THPT ở mức độ vận dụng của đề thi Để học tốt chủ đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng giải, có tư duy độc lập và tư duy sáng tạo Vì vậy, trong quá trình dạy học, nếu người dạy biết cách khai thác các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, các đại lượng Hình học từ những kiến thức cơ bản, bài tập đơn giản thì không những giúp các em học tập có hiệu quả mà còn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, và còn góp phần quan trọng trong việc rèn luyện

và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho người học

Từ những ý tưởng và lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu

(SKKN) là: ‘‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về mặt lý luận dạy học

- Nghiên cứu và khai thác một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian vào giải quyết bài toán cực trị hình không gian

- Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tòi, phát hiện các tính chất của hình học, các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích để giải quyết bài toán liên quan đến

đề tài nghiên cứu Bên cạnh đó nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển các năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi, định hướng, giải quyết các bài toán của bản thân học sinh

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khá giỏi THPT, đặc biệt là học sinh khối 11, 12 đam mê và có định

hướng tham gia các kì thi HSG hay kì thi tốt nghiệp THPT với mục tiêu cao

- Giáo viên THPT

- Bám sát nội dung chương trình Toán THPT

- Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG

1.4 Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu

- Phương pháp điều tra, phân tích

- Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán hỗ trợ học sinh luyện tập trong quá trình tự học, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và đồng nghiệp sử dụng để rút ra các kết luận, bổ sung vào đề tài

- Xây dựng từng lớp các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian theo từng nội dung mà đề tài đưa ra

- Định hướng khai thác, mở rộng hoặc sáng tạo ra bài toán mới phát huy được năng lực tư duy của học sinh

1.5 Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài

Nội dung chính của đề tài là khai thác một số bài toán hình học không gian phát triển năng lực tư duy cho học sinh

Đề tài chỉ đề cập tới một số bài toán điển hình về cực trị có thể vận dụng trong hình học không gian, chưa bao quát hết tất cả các dạng toán Tuy nhiên thông qua các bài toán này phần nào giúp các em nắm được phương pháp chung để vận dụng vào giải quyết các bài toán cũng như phát hiện và phát triển thêm bài toán mới, nhiều cách giải quyết bài toán góp phần nâng cao năng lực tư duy của bản thân người học

Đề tài khai thác được một số bài toán liên hệ thực tế để học sinh có cái nhìn sinh động hơn và sâu sắc hơn về toán học nói chung và hình học không gian nói riêng Đề tài tập trung vận dụng kết quả bài toán đại số hay tính chất hình học để giải quyết bài toán hình học đồng thời vận dụng nó để giải quyết những bài toán mới

và có thể mở rộng, nâng cao mức độ của bài toán Vì thế nó giúp học sinh cũng cố được kiến thức đã học vừa phù hợp để ôn thi tốt nghiệp THPT vừa làm tài liệu tự học hỗ trợ cho học sinh khá giỏi

Phần II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở khoa học

a) Cơ sở lí luận:

- Năng lực tư duy

Có thể hiểu năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện,

trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải quyết vấn đề, xử lí tình huống trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn

Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán , một trong những

biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018)

- Phát triển năng lực tư duy

Có thể nói, phát triển năng lực tư duy HS chính là hình thành và rèn luyện cho

HS 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học sinh các thao tác của tư duy (phân tích, so sánh, suy luận, tổng hợp, khát quát, đánh giá, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa); các phẩm chất của tư duy (tính linh hoạt, tính sáng tạo, tính bền bỉ, tính năng động, tính đa dạng, đa chiều trong tư duy); các kỹ năng của tư duy (kỹ năng tư duy phê phán, kỹ năng tư duy đối thoại, kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng tư duy giải quyết vấn đề)

- Khai thác một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian, kiến thức

về cực trị hàm số, các bất đẳng thức đại số cơ bản thường dùng, sử dụng cho các bài toán tìm cực trị hình học không gian, từ đó HS có thể tự tìm phương pháp giải quyết bài toán phù hợp, và cao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới

b) Cơ sở thực tiễn

- Sau khi giải quyết một bài toán ngoài việc kiểm tra, mở rộng bài toán thì chúng ta luôn suy nghĩ xem phương pháp, kết quả của nó có thể vận dụng như thế nào vào việc giải các bài toán khác

- Giải toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao và liên kết các phần kiến thức lý thuyết liên quan một cách trực tiếp rõ ràng nhất Đồng thời giúp cho học sinh phát triển tính tự giác tích cực, tạo tiền đề nâng cao các năng lực tư duy, khả năng

tự học, củng cố cách trình bày lời giải, khả năng khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu quả

- Thông qua hệ thống bài tập nâng cao giúp giáo viên có thêm một kênh thông tin đánh giá năng lực tư duy trong học tập của học sinh Từ đó phát hiện và hỗ trợ các em phát huy được khả năng bản thân hiệu quả và toàn diện nhất

- Trong thực tế quá trình dạy học tại trường, tôi thấy việc học tập bộ môn hình học không gian còn khá nhiều khó khăn đối với học sinh,

- Việc dạy học chủ đề cực trị hình học không gian của đa số giáo viên còn gặp khá nhiều khó khăn trong việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học và xây dựng nguồn bài tập phong phú, đa dạng để kích thích được tư duy người học

- Nhóm nội dung kiến thức về cực trị trong hình học không gian là một trong những nội dung cần thiết cho học sinh khá giỏi Sách giáo khoa, sách bài tập cũng

đã đề cập đến dạng toán này Và đặc biệt có khá nhiều bài toán xuất hiện trong các kì thi HSG, các bài toán mức độ vận dụng trong kì thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây Do đó, nội dung đề tài mang tính thời sự cao và đáp ứng được nhu cầu giảng dạy cũng như học tập của một bộ phận không nhỏ giáo viên và học sinh

- Thực tế nội dung liên quan đến đề tài vẫn còn hạn chế nhiều về nguồn tài liệu một cách hệ thống nên bài viết phần nào hỗ trợ giáo viên và học sinh có thêm nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy và học tập bộ môn hình học không gian

- Trong quá trình giải toán, tiềm năng sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý tình huống Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy rằng để gây hứng thú học tập, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá kiến thức, học sinh, giáo viên cần phải trang bị cho mình các kiến thức, kỹ năng, các phương pháp học tập phù hợp Bản thân nhận thấy trong quá trình tham gia giảng dạy lớp 12 và bồi dưỡng HSG tỉnh, chúng ta thường bắt gặp các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, trong đó có các bài toán cực trị trong hình học không gian thường hay gặp ở các chủ

đề về thể tích, góc, khoảng cách, biểu thức về độ dài, Oxyz, Do vậy bản thân rất

trăn trở suy nghĩ tìm cách rèn luyện cho học sinh cách tư duy khi đứng trước các bài toán này Tôi hy vọng rằng, qua đề tài này có thể phần nào thực hiện được điều đó

2.3 Triển khai nội dung của đề tài

Đối với bài toán cực trị trong hình học không gian có nhiều phương pháp giải nhưng trong giai đoạn hiện nay để phù hợp với yêu cầu thực tế giải quyết các bài toán này, đòi hỏi các đối tượng học cần nghiên cứu sâu sát, để có kĩ năng chuyển hóa, sự nhìn nhận vấn đề một cách tốt nhất, vận dụng linh hoạt để hướng đến các hướng giải quyết theo một lớp phương pháp cụ thể, từ đó người học có thể giảm bớt nhiều khó khăn khi trong quá trình định hướng cũng như giải quyết bài toán đó

Việc đề xuất các hướng giải quyết cho bài toán cực trị hình không gian theo các lớp phương pháp đã phân loại cụ thể góp phần phát triển năng lực tư duy của người học Qua đó học sinh sẽ vạch ra được các hướng giải quyết cho mỗi bài toán

và dần dần hình thành kĩ năng để có được sự lựa chọn phù hợp từng phương pháp dựa vào đặc thù của mỗi bài toán Cụ thể trong đề tài này tôi phân chia khai thác các

bài toán cực trị theo một số nhóm phương pháp giải quyết đồng thời cho học sinh tự rèn luyện và tổng hợp một số kết quả của học sinh trong từng dạng bài đã giáo

2.3.1 Khai thác các tính chất hình học giải quyết bài toán tìm cực trị hình học

1 Các tính chất

a) Nhóm tính chất hình học liên quan đến độ dài

Tính chất 1 Trong không gian, cho 2 điểm phân biệt A B, Với điểm M tùy ý, ta

Tính chất 2 Cho mặt cầu  S có tâm I, bán kính R và điểm A không thuộc mặt

cầu  S Gọi M là một điểm di động trên mặt cầu  S , khi đó ta luôn có tính chất

sau: R IA AM IA R (Tính chất 2 được mở rộng lên từ tính chất tương tự trong hình học phẳng về điểm và đường tròn)

b) Nhóm tính chất hình học liên quan đến khoảng cách

Tính chất 3 Cho mặt phẳng  P và điểm M P Với điểm N tùy ý thuộc  P

ta luôn có: MN MH , với H là hình chiếu vuông góc của M trên  P Dấu “=” xảy ra khi N H

Tính chất 4 Cho đường thẳng d và điểm Md Với điểm N tùy ý trên d, ta luôn

có MN MH , với H là hình chiếu vuông góc của M trên d Dấu “=” xảy ra khi

N H

Tính chất 5 Cho hai điểm phân biệt A và B Một mặt phẳng  P thay đổi luôn đi

qua B Khi đó d A P ;   AB Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi  P  AB

Tính chất 6

1 Cho điểm A và đường thẳng d A d   Một mặt phẳng  P thay đổi luôn

chứa đường thẳng d Khi đó d A P ;  d A d ;  Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi  P vuông góc với mặt phẳng chứa A và d

2 Cho điểm A không thuộc mặt phẳng  P và đường thẳng d thay đổi nằm

trong mặt phẳng  P Khi đó d A P ;  d A d ;  Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi d đi qua hình chiếu vuông góc của A lên  P

Gọi I  d1 d2 Lấy Md1 Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của , M lên

Khi đó MH MK Dấu “=” xảy ra khi H K

 Mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng chứa d d1, 2

Tính chất 8 Trong không gian cho hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau và đường

thẳng d  Q Khi đó,  d P,      P , Q , dấu “=” xảy ra khi d vuông góc với giao tuyến của  P và  Q

Chứng minh:

Gọi I  d  P Lấy Md M, I Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên

 P và K là hình chiếu của H lên giao tuyến của  P và  Q Khi đó HKHI

Dấu bằng xảy ra khi K  I hay d a với a   P  Q

d) Nhóm tính chất liên quan đến véc tơ

(P)

(Q) d

H

I M

K

 Cho n điểm phân biệt A A1, 2, ,A n và bộ số k k1, 2, ,k n thỏa mãn

Mỗi bài toán được đưa ra sau khi phân tích sẽ được trình bày theo hướng tìm

ra thuật giải chung gồm:

Bước 1: Phân tích bài toán: Tìm ra những yếu tố để phát hiện và liên hệ đến một tính chất hình học cụ thể đã biết

Bước 2: Sử dụng tính chất đó giải quyết bài toán

Bước 3: Khai thác các bài toán cùng dạng và hướng dẫn cho học sinh tự học

2 Ví dụ áp dụng

Trong phần này tác giả hướng dẫn học sinh tự rèn luyện bằng các bài toán phân loại theo yêu cầu bài toán sử dụng tính chất hình Ta xét bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện, bài toán cực trị về độ dài gắn liền với thực tế, bài toán về góc, khoảng cách sử dụng vecto tọa độ và các tính chất hình học liên quan

Bài toán 1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , G là trọng tâm tam giác BCD Gọi I

là trung điểm cạnh SG Mặt phẳng  P thay đổi luôn đi qua I, cắt các cạnh

AB AC AD lần lượt tại M N P Khi khoảng cách từ , , A đến  P là lớn nhất, tính

thể tích khối đa diện MNPABC

A

B

C

D G

M

N

P I

Bài toán đã chỉ rõ mặt phẳng đi qua điểm I cố định Nên sử dụng Tính chất

5 ta suy ra d A P ;   AI suy ra khoảng cách lớn nhất bằng AI

Bước 2: Giải quyết bài toán

Áp dụng tính chất 5, ta được d A P ;   AI Dấu “=” xảy ra khi

Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng  P cho

tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và

một điểm S di động ngoài mặt phẳng

 P sao cho tam giác MAB luôn có

diện tích bằng 2

16 3cm , với M là trung điểm của SC Gọi  S là mặt cầu đi qua

bốn đỉnh M , A, B, C Khi thể tích

khối chóp S ABC lớn nhất, tính bán

kính nhỏ nhất của  S

Bài toán 1.2 Cho hình chóp S ABCD

có ABCD là hình vuông cạnh 2a Cạnh

SA vuông với mặt phẳng ABCD và 

2

SAa Gọi E là điểm trên đoạn

BD sao cho DE3EB Gọi M là điểm

thuộc đoạn AB sao cho AM  x Tìm x

H I

A

D S

E M

Bài toán 1.3 Cho hình chóp đều

S ABCD có ABa SA, 2a Mặt

phẳng  P thay đổi đi qua Avà cắt các

cạnh SB SD lần lượt tại , M N sao cho ,

1.2

1.3

Bài toán 2 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC1 và ASB ASCCSB 30  Mặt phẳng   thay đổi luôn đi qua A và cắt các cạnh SB SC, tại M N, Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AMN

Bước 1: Phân tích bài toán

 Bài toán yêu cầu ta đi tìm min AM MNNA

 Biểu thức trên là tổng độ dài các đoạn thẳng có quy luật nối tiếp nhau nên ta

nghĩ đến việc sử dụng Tính chất 1

 Vì 3 đoạn thẳng AM MN NA, , thuộc 3 mặt bên của hình chóp nên chưa thể

áp dụng tính chất 1 ngay được Hơn nữa việc gắn biến hoặc xây dựng mối liên

 Từ đó gợi mở cho học sinh nãy sinh ý tưởng trải hình chóp ra phẳng như hình

vẽ dưới đây

Bước 2: Hướng giải bài toán

Trải hình chóp S ABC ra phẳng ta được hình vẽ như ở trên (D chính là điểm A

ban đầu) Khi đó chu vi tam giác AMN là

PAM MNNA AH HK KD AD Dấu “=” xảy ra M H N, K

Vì tam giác SAD vuông cân tại S , nên ADSA 2  2

Vậy, chu vi tam giác AMN nhỏ nhất bằng 2

Bước 3: Khai thác các bài toán thực tế liên quan đến độ dài đường gấp khúc và hướng dẫn cho học sinh tự học

Từ bài toán này, có thể khai thác các bài toán thực tế áp dụng tính chất đường gấp khúc có thay đổi hình thức của giả thiết hay kết luận cho học sinh tự rèn luyện thêm

Bài toán 2.1 Người ta cần trang trí một

kim tự tháp hình chóp tứ giác đều

S ABCD cạnh bên bằng 200m, góc

0

15

ASB bằng đường gấp khúc dây

đèn led vòng quanh kim tự tháp

AEFGHIJKLS (như hình vẽ) Trong đó

D

H

J K

G I

L

Trải phẳng

Bài toán 2.2 Cho hình lập phương

ABCD A B C D    cạnh a Một con kiến

xuất phát từ đỉnh A đi trên các mặt của

hình lập phương Tính quãng đường

ngắn nhất con kiến đi từ A đến B mà

phải đi qua tất cả các mặt ABCD,

,

CDD C  A B C D   của hình lập

phương

Bài toán 2.3 Cho hình chóp hình tứ

giác đều SABCD cạnh bên SA600

2.2

2.3

Bài toán 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SAa,

3.

ABSBSCSDa Gọi M là điểm thay đổi trên đường thẳng CD Gọi 

là góc giữa SM và mặt phẳng ABC , tính  tan khi lớn nhất

Bước 1: Phân tích bài toán

 Bài toán yêu cầu xác định số đo góc nhỏ nhất giữa đường thẳng và mặt phẳng,

ta liên tưởng đến việc sử dụng nhóm tính chất liên quan đến góc, cụ thể là

Tính chất 7

 Từ giả thiết đề cho thiết lập được một số mối quan hệ giữa các yếu tố của bài

toán để giải quyết nó

+ Gọi O là tâm của hình bình thoi ABCD

Xét hai tam giác ABD và SBDta có: ABSB AD, SD, BDchung

Suy ra ABD SBD AOCOSO(hai đường trung tuyến tương ứng)

Tam giác SAC có đường trung tuyến SO và AOCOSO Do đó SACvuông tại S

Bước 2: Giải quyết bài toán

Bước 3: Khai thác các bài toán sử dụng tính chất hình học trong tọa độ không gian

và hướng dẫn cho học sinh tự học

Các ví dụ trên đã góp phần định hướng tư duy cho học sinh, tôi thấy nhiều em

tự tin hơn và không còn bị động mỗi khi gặp dạng toán này nữa Thông qua quy trình thực hiện tương tự, tôi có giao một nhiệm vụ cho học sinh 12 khi các em tiếp cận

đến phần vecto và tọa độ trong không gian Yêu cầu đặt ra là “Các em hãy xây dựng một nhóm bài toán cực trị có sử dụng một số tính chất hình học về độ dài, góc, khoảng cách hay vecto” Kết quả thu được từ tập thể học sinh lớp 12A6 THPT

Chuyên Phan Bội Châu như sau:

Bài toán 4 Cho mặt cầu   2   2 2

S x  y  z  , và điểm A1; 2;0  Gọi

M là điểm thuộc  S Tìm giá trị lớn nhất của AM

Bước 1: Phân tích bài toán

 Bài toán cho mặt cầu, một điểm cố đinh không thuộc với một điểm bất kì thuộc mặt cầu đó

 Ta liên hệ đến Tính chất 2 để xác định vị trí tương đối của điểm cố định với

mặt cầu và xác định yêu cầu bài toán

Bước 2: Giải quyết bài toán

Dễ thấy I0;2; 4 ,  R3 là tâm và bán kính mặt cầu  S

Ta có IA 33   3 R nên điểm A nằm ngoài mặt cầu

Từ đó kết luận AM IA R 33  3 là giá trị lớn nhất cần tìm

Bước 3: Phát triển bài toán

Bằng việc thay đổi vị trí tương đối của điểm cố định ở giả thiết Bài toán 4 cộng thêm kết hợp các tính chất về tâm tỉ cự ta có sáng tạo lớp bài toán tương tự sau:

Bài toán 4.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A8;5; 11 ,

M S sao cho MAMBMC đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn phân tích: Bài toán này đòi hỏi ta phải biến đổi nhằm quy quy đại lượng thay đổi về một bằng cách xác định tâm tỉ cự của hệ điểm đã cho Lúc này ta chọn điểm I để IA IB IC    0 I 2;0;1 Suy ra điểm I cố định và ta có:

Với I:

MAMBMC  MI IA  MI IB  MI IC MI  IA IB IC 

Khi đó, bài toán trở thành tìm M S sao cho IM nhỏ nhất

Bài toán 4.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A7;0; 11 ,

,B 5;3; 4 , C 1;2; 6 và mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Gọi M là một điểm thuộc mặt cầu  S Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán 4.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A4; 2;4 ,

 Từ đó ta cố gắng đưa bài toán về bài toán xét trong mặt phẳng Oxy 

Gọi I là trung điểm của ABI1;2;4 Vì AMB900 nên M thuộc mặt cầu  S

O M

C

C'

Gọi C là hình chiếu của C trên mặt phẳng OxyC5; 1;0  và CC 6

Ta có: CM2 CC2 C M 2 36C M 2, do đó: CM lớn nhất C M lớn nhất Lại có: C M max  r C H 8 Vậy, CMmax 10

Bài toán 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1;1;1, B1;2;0, C3; 1;2  và điểm M thuộc mặt phẳng   :2x y 2z 7 0 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA4MB6MC

Bước 1: Phân tích bài toán

 Về mặt ý tưởng giải quyết bài toán này cũng có ba yếu tố thay đổi do điểm

M bất kì nên ta dùng kiến thức tâm tỉ cự để tìm điểm I thỏa mãn

IA IB IC   I 

 Biến đổi kết luận bài toán về một đại lượng thay đồi là P MI MI , khi đó

P nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất Đến đây ta liên tưởng đến Tính chất 3 để giải

quyết bài toán

Bước 2: Vận dụng tính chất giải quyết bài toán

Ta có, với điểm I nêu trên, P MI MI

Do I và mặt phẳng   cố định, ta gọi H là hình chiếu của I trên   Khi

đó IM IH Pmin IH d I ,   24

Bước 3: Phát triển bài toán

Từ Bài toán 5, thay biểu thức vecto của kết luận thành biểu thức độ dài hay chuyển mặt phẳng cố định về đường thẳng cố định ta có được các bài toán sau:

Bài toán 5.1 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P x: 2y2z 1 0 và ba điểm A1;2;0, B1; 2;4 , C3; 10;12  Điểm M a b c thuộc  ; ;   P sao cho

Bài toán 5.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng thay đổi lần

lượt có phương trình là  P :ax2by z 2a b  3 0,

 Q :mxny4z3m4n 4 0 không đi qua M2;1;0 Đường thẳng d đi qua

M không cắt  P và  Q Trong trường hợp tổng khoảng cách từ d tới  P và

 Q đạt giá trị lớn nhất Tìm một vectơ chỉ phương của d

 Viết phương trình đường thẳng d

đi qua A vuông góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

Bước 1: Phân tích bài toán

 Giả thiết bài toán cho đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng

 dẫn đến ý tưởng sử dụng Tính chất 6 là cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với 

 Từ đó ta có kết quả mô tả bằng hình ảnh sau:

Bước 2: Giải quyết bài toán

 Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với :

B

H K



Bước 3: Phát triển bài toán

Ta có thể phát triển một số bài toán cực trị hình giải tích dạng này ở mức độ vận dụng

Bài toán 6.1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

S x  y  z  và các điểm A1;0;2 ,  B 1;2;2 Gọi  P

là mặt phẳng đi qua hai điểm ,A B sao cho thiết diện của  P với mặt cầu  S có

diện tích nhỏ nhất khi viết phương trình  P

Khá nhiều bài toán cực trị trong hình học không gian, thường chứa đựng trong

nó bản chất là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay một biểu thức đại số nào đó Từ đó, tác giả muốn khai thác các bài toán dạng này để góp phần tạo hứng thú học tập, bớt tâm lí e ngại cho học sinh đồng thời giúp các con hình thành tư duy thuật giải cho những lớp bài toán cực trị hình học Qua việc chuyển giao giữa yếu tố hình học và yếu tố đại số của một bài toán phần nào phát triển năng lực tư duy toàn diện hơn cho người học

2.3.2 Sử dụng công cụ khảo sát hàm số vào bài toán tìm cực trị hình học

Sử dụng kiến thức về tính đơn điệu cực trị của hàm số luôn là một vấn đề khá hấp dẫn, tôi muốn thông qua khai thác các ví dụ cụ thể, rèn luyện được cho học sinh biết chuyển từ bài toán cực trị trong hình học về bài toán cực trị của hàm số và đồng

thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng hàm số trong giải quyết các bài toán đó,

từ đó có thêm ý tưởng, lựa chọn cách giải quyết các bài toán ở mức độ nâng cao

Quy trình tư duy của việc khai thác bài toán cực trị hình học không gian bằng hàm số

Bước 1: Tham số hóa và chuyển yêu cầu bài toán qua hàm số bằng cách xây dựng

biểu thức của đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Ở bước này, ta cần xác định xem cần tham số hóa đại lượng nào Điều kiện của ẩn là gì Ẩn số đó biến thiên trong khoảng nào

Bằng các tính toán cần thiết, ta thiết lập biểu thức của đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất theo ẩn số vừa đưa vào

Bước 2: Huy động các kiến thức về tính cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số để giải quyết bài toán

Trong mục này ta sử dụng công cụ là khảo sát hàm số nên thông thường ta đưa yêu cầu bài toán về các biểu thức 1 biến, hoặc dạng quy về được 1 biến

Bước 3: Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học

Bài toán 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là

V Gọi M là trung điểm của cạnh SA N là điểm nằm trên cạnh , SB sao cho 2

SN  NB; mặt phẳng   di động qua các điểm M N và cắt các cạnh , SC SD ,lần lượt tại hai điểm phân biệt ,P Q Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp

Vì mặt phẳng   di động đi qua các điểm M N và cắt các cạnh , SC SD lần lượt ,tại hai điểm phân biệt P Q nên ta có đẳng thức , SA SC SB SD

Bước 3 Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học

Bài toán có 2 điểm di động là ,P Q và 2 điểm cố định M N Nên ta khai thác ,các yếu tố này khi gặp những bài toán cực trị liên quan đến tỉ số độ dài hay thể tích khối đa diện

Bài toán 7.1 Cho hình chóp

có đáy ABCD là hình bình hành và có

thể tích là Điểm là trung điểm

của Mặt phẳng   qua cắt

hai cạnh và lần lượt tại và

Gọi là thể tích của khối chóp

Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ

số ?

Bài toán 7.2 Cho hình chóp

S ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành tâm O Gọi I là điểm thuộc

đoạn SO sao cho 1

P

O B

Bài toán 7.3 Cho hình chóp

S ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành Gọi K là trung điểm của SC

Mặt phẳng  P qua AK và cắt các

cạnh SB SD lần lượt tại , M và N

Đặt V1V S AMKN. ,V V S ABCD. Tìm

7.2

7.3

Bài toán 8 Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C Khoảng

cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng  a 3, 0

90

SABSCB Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S ABC có thể tích nhỏ nhất

Bước 1 Tham số hóa chuyển bài toán về hàm số

x y

 



 3

Vậy   9 3

2

a min xy  khi ABx 2  3a

Bước 3 Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học

Bài toán trên ẩn đi đường cao bằng giả thiết cho mối liên hệ giữa các yếu tố khác của hình Sau đây, ta xét một số bài toán có tư duy tương tự

Bài toán 8.1 Cho khối chóp