Chủ đề 8 bài toán tìm điểm trong tọa độ không gian

Chủ đề 8 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN ( Dạng 1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng Phương pháp giải Loại 1 Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng Tham số hóa điểm Do , giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H Chú ý Nếu là điểm đối xứng của A qua đường thẳng thì H là trung điểm của Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm Loại 2 Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng (P) Gọi d là đường thẳng đi.

Chủ đề 8: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN

 Dạng 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng

Phương pháp giải:

 Loại 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng 

Tham số hóa điểm H � � AHuuur Do AH  �uuuuruurH u  0, giải phương trình tìm giá trị của tham số,

từ đó suy ra tọa độ của điểm H.

Chú ý: Nếu A� là điểm đối xứng của A qua đường thẳng  thì H là trung điểm của AA�.

Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm A�

 Loại 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng (P)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó uuur uuurd n từ đó ta viết được phương trình P

đường thẳng d suy ra H  �d  P

Chú ý: Nếu A� là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của AA�

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2



Tìm tọa độ điểm H là

hình chiếu vuông góc của điểmA2; 3;1  lên đường thẳng 

Lời giải:

Gọi H 1 2 ; 2t  t t; 2 �uuurAH 2t3;1 ; 2 1t t 

Cho uuuuruurH u  0�2t3;1t t; 2 1 2; 1; 2    0

2 2t   3 t 1 2 2t 1 0 t1 H  1; 3; 2 

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có

1;0;0 , B 0;1;0 ,   0;0;1 ,  2;1; 1

A C D   Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện.

Lời giải:

PT mặt phẳng ABC: x y z 1 0    , phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC) có

vectơ chỉ phương là   1;1;1 : 2 1 1

uur uuur

 

� � Gọi H 2 t;1   �t; 1 t d

Do H� P �       2 t 1 t 1 t 1 0�t 1 Vậy H1; 2;0

Ví dụ 3: Hình chiếu vuông góc của M2;0;0lên đường thẳng 3

1

 

�

�  

�

�  

�

có tọa độ là:

A 2; 2;1 B 2;0;0 C 2;1; 1  D 1;2; 1 

Lời giải:

Gọi Ht;3t;1t �MHuuuur   t 2;3t;1t u;uurd   1;1;1

Cho MH uuuuur uur d 0�t     2 3 t 1 t 0�t  2�H2;1; 1  Chọn C.

Ví dụ 4: Hình chiếu vuông góc của M1; 4; 2lên mặt phẳng   : x y z 1 0    có tọa độ là:

A 1;2;0 B 2; 1;0  C 2;3;1 D 3; 2; 1 

Lời giải:

Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với   là: : 1 4 2

 

H  �d  , gọi H1t;4t;2t� �d 1      t 4 t 2 t 1 0�t 2

 1; 2;0

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng   : x 3 y z 27 0    Điểm đối xứng với điểm M2;1;0qua mặt phẳng   có tọa độ là:

A 2; 1;0  B  2; 1;0 . C 13;6; 4 D  6;13; 4 

Lời giải:

Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với   là: : 2 1



  4;7; 2

H d� �H  là trung điểm của MM��M�6;13; 4  Chọn D.

Ví dụ 6: Điểm đối xứng với điểm A1; 2; 5  qua đường thẳng   

1 2

2

 

�

�   

�

� 

�

có tọa độ là:

A  2; 1;7 B  1; 2;5 C 3; 2;1 D 1; 2; 4 

Lời giải:

Gọi A� là điểm đối xứng quả A qua d.

Gọi H1 2 ; 1 t  t t; 2  ta có: uuurAH 2 ;1t t t; 2 5

Cho uuuuruurH u d     4t t 1 4t 10 0 �t  1�H1;0; 2  �A�3; 2;1 Chọn C.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A2;3; 1 ,  B 0; 1; 2 ,  C 1;0;3 Tọa độ chân đường

cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là :

A 3;1;0  B 1;0;3  C  2; 3;1 D 3; 2; 1 

Lời giải:

Ta có: BC uuuur uuur BC 1;1;1

Phương trình đường thẳng BC là BC : 1

2

x t



�

�   

�

�  

�

Gọi H t ; 1 t; 2 �t BCta có: uuurAH  t 2;t4;t3 ; uuuurBC 1;1;1 0

 

uuur uuur

Chọn B.

 Dạng 2: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp giải:

Tham số hóa tọa độ điểm M�d và thế vào điều kiện K để tìm giá trị của tham số Từ đó suy ra tọa độ điểm M.

Ví dụ 1: Trong không gian với tọa độ Oxyz cho 2 điểm A1; 4;2 ; B 1; 2; 4 và đường thẳng

:

 Tìm điểm M� sao cho  MA2 MB2 28.

Lời giải:

Phương trình tham số của

1

2

 

�

�

 �   

� 

�

Gọi M1  t; 2 t t; 2 � , ta có:  MA2 MB2 28

         

 

2

2

�

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trên Ox điểm A sao cho A cách đều đường thẳng

:

và mặt phẳng  P : 2 x y 2 z 0   .

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M1;0; 2 và có VTCP là  uuurd 1; 2;2

4 1 4

d d

u AM

u

 

uur uuuur uur

Theo giả thiết ta có:       8 2 24 36 2 2

Vậy A3;0;0là điểm cần tìm.

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 3 1

 và hai điểm

2; 1;1 ; 0;1; 2

A  B  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ

nhất

Lời giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số d : 3

1 2

x t



�

�  

�

�   

�

Gọi M là điểm cần tìm Do nếu M thuộc d thì M nên M t ;3  t; 1 2t

2; 4 ;2 2

; 2 ; 2 1

�

�

�

uuuur

uuuur

uuuur uuuur

ABM

S  ��uuuur uuuurAM BM�� t  t   t  �

Vậy min 34

2

S  khi t  5�M5;8; 11  

Ví dụ 4: Cho hai điểm A1; 1; 2 ,  B 1; 2;3và đường thẳng d : 1 2 1

Tìm điểm M a b c ; ; 

thuộc d sao cho MA2 MB2 28, biết c 0

A M1;0; 3  B M2;3; 3 

C 1 7; ; 2

� � D

; ;

M ��   ��

Lời giải:

2

  2

1

6



�

�

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A5;8; 11 ;  B 3;5; 4 ;  C 2;1; 6 và đường

thẳng : 1 2 1

Điểm M thuộc d sao cho MA MB MCuuur uuur uuuur  đạt giá trị nhỏ nhất Tính

Px  y z

A 14

9

P  B 14

9

P C 13

9

P D 13

9

P 

Lời giải:

Điểm M thuộc d nên M1 2 ; 2 2 ;1 t  t t

Ta có:

2 4; 2 6; 12

2 1; 2 1; 7

�

�

�

uuur

uuuur

  2 2 2 2 10 2 53 53

uuur uuur uuuur

t   �M  ��   ���P 

 Dạng 3: Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB = MC

Phương pháp giải:

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

 

2

2

AB OM

AC OM

�

�



�

�

� �

�

�

uuur uuuur

uuur uuuur

giải hệ phương trình tìm tọa độ

điểm M.

Ví dụ 1: Cho ba điểmA0;1; 2 , B 2; 2;1 ,  C 2;0;1 và mặt phẳng  P : 2x2y z    Tìm điểm M3 0

trên (P) sao cho MA MB MC

Lời giải:

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

 

2

2

AB OM

AC OM

�

�



�

�

� �

�

�

uuur uuuur

uuur uuuur

   

   

7

z

�

Vậy M2;3; 7 

Ví dụ 2: Cho ba điểm A1;3;1 , B 3;1;5 , C 5;1; 1 và mặt phẳng   P : 3x y z     Tìm điểm M8 0

trên (P) sao cho MA MB MC.

Lời giải:

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

 

2

2

AB OM

AC OM

�

�



�

�

� �

�

�

uuur uuuur

uuur uuuur

   

   

2

z

x y z

�

Vậy M4; 2; 2.

Ví dụ 3: Cho ba điểmA1;1;3 , B 3; 1;1 ,  C 2; 2; 1 và mặt phẳng  P : 2x y z     Tìm điểm M4 0

trên (P) sao cho MA MB MC

Lời giải:

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

 

2

2

AB OM

AC OM

�

�



�

�

� �

�

�

uuur uuuur

uuur uuuur

   

   

1

z

x y z

�

Vậy M2;1;1 .

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A4;3;0 ; B 2;5; 2 ;  C 0; 1;0  và mặt phẳng

 P : 2x y z    Điểm 1 0 M a b c ; ;   �P và thỏa mãn MA MB MC, tính a b c 

A a b c   1 B a b c   0 C a b c   2 D a b c   3

Lời giải:

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

 

2

2

AB OM

AC OM

�

�



�

�

� �

�

�

uuur uuuur

uuur uuuur

   

   

3

�

a

c

a b c

Chọn B.

 Dạng 4: Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho

trước

Phương pháp giải:

Cách 1: Do MA MB � điểm M thuộc mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB (mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB).

Khi đó M�d    P �Q , ta tham số hóa điểm M theo ẩn t và thế vào điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.

Để viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) ta có thể cho x t  và tìm y và z theo ẩn

t.

Cách 2: Gọi tọa độ M x y z giải hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình  ; ;  M � P M; � Q và điều kiện

K để tìm tọa độ điểm M.

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;0;1 , B 0; 2;3  và mặt phẳng

 P : 2x y z     Tìm điểm M trên (P) sao cho 4 0 MA MB  3

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua I1; 1;2  và có VTPT là

 2; 2; 2

n AB  

r uuur

suy ra  Q x y z:     �2 0 M �   P � Q

Cho

1 1

3 2

�  

�

  

 �

�

�

Ví dụ 2: Cho ba điểm A3;1; 2 , B 1;1;0 , C 0;1; 2 và mặt phẳng   P : 3x2z 5 0 Tìm điểm M trên

(P) sao cho MA MB và MC 11

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua I1;1;1 có VTPT:

 4;0; 2 2 2;0;1   : 2 3 0

r uuur

1

1

x

x z

z



�

  

2 1; 2;1

 �

�

 �

�

Ví dụ 3: Cho ba điểm A1;0; 2 ,  B 1; 2;4 , C 4;5;3 và mặt phẳng  P x y:  3z10 0

Tìm điểm M trên (P) sao cho MA MB và MBMC.

Lời giải:

Trung điểm của AB là I0;1;1 và uuurAB  2; 2;6  2 1; 1; 3   

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:  Q x y:    3z 4 0

Mặt khác MBMC�MB MCuuur uuuur 0�4;3t  5; t 4 1;3  t2;3 t 0

1 3; 4;1

3; ;

 �

�

�

�

Ví dụ 4: Cho hai điểm A2; 1;1 ;  B 0;3;3 và mặt phẳng  P : 2x z  0

Điểm M a b ; ;c trên (P) thỏa mãn MA MB 3 10 Biết x M  , tính giá trị của biểu thức 0 T   a b c

A T  9 B T 14 C T  12 D T 9

Lời giải:

Trung điểm của AB là I1;1;2 và uuurAB  2; 4;2  2 1; 2; 1   

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:  Q x: 2y z  3 0

Khi đó điểm M    P � Q Cho

2 2

3

2



�



 ��    ��  

Suy ra ; 3;2

t

M t��  t��

t

MA  t ��  �� t 

0

3





�

 � ��t t � � �t t t t M

Vậy a b c  14 Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A3;5; 4 , B 3;1; 4và mặt phẳng

 P x y z:    1 0 Điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng

2 17 Biết điểm C có cao độ dương Độ dài OC bằng:

Lời giải:

0; 4;0

uuur

, gọi I3;3;4là trung điểm của AB thì CI  AB (do tam giác ABC cân tại C).

Do CA CB � thuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB có phương trình C  Q : y 3

Gọi    : 3 3

Gọi C t ;3; t 4 ta có:  1 1   2 2   2 2

ABC

   

7

t

t



�

Vì z C 0�C7;3;3 �OC  67 Chọn C.

Ví dụ 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A2;7;3 ; B 4;5;3 và mặt phẳng

 P x y z:     Điểm C trên (P) sao cho tam giác ABC đều Tính 4 P OC max.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB ta có M3;6;3 ; uuurAB2; 2;0 

Do CA = CB nên C thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình  Q : x y  3

Giải hệ phương phương trình

  2  2 2   2 2

Vậy C2;5;1 , C 4;7;1 là các điểm cần tìm suy ra OCmax  66 Chọn A.

Ví dụ 7: Cho hai điểm A0;1; 1 ;  B 2;3;1 và mặt phẳng  P : 2x y z    4 0

Điểm M có hoành độ nguyên nằm trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích bằng 4 6 Tính

P = OM.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB ta có 1; 2;0 ; 2; 2; 2 2 1;1;1 

2 3

AB



�



� uuur

Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình  Q : x y   z 3 0

Khi đó M    P �Q , cho

2 2

z



�

   

ABC

 2 2 2 2 1

7

t

t



�

� 

�

Do M có hoành độ nguyên nên M1; 2; 4  �OM  21 Chọn B.

Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x: 2y z  5 0và các điểm

3; 1; 3 ; 5;1;1

A   B Điểm C thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và diện tích tam giác

ABC bằng 3 Tính P OC max

Lời giải:

Mặt phẳng (Q) chứa AB vuông góc với (P) nên có VTPT là: nuurQ ��uuur uurAB n; P��1;1; 1 

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là: x y z   5 0� �C  Q �C    P �Q

Phương trình giao tuyến của (Q) và (P) xét hệ 5 0

x y z

   

�

�    

x t



�

�

 � �

�   

�

3



�

�

uuur uuur

ABC

t

t

5 5;0;0

5

OC C

P OC



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

6 4

1 2

 

�

�   

�

�   

�

và điểm A1;1;1.

Tìm tọa độ hình chiếu A� của A trên d.

A A�2;3;1  B A�2;3;1  C A�2; 3;1   D A�2; 3; 1   

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho A0; 1; 2  và B1;0; 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

 ; ; 

 và  P : 2x y 2z   Tính S a b c6 0   

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M1; 2;3 Tìm tọa độ hình chiếu của M lên Ox.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1 , B 2; 1; 2 và C3; 4; 4 Giao điểm

M của trục Ox với mặt phẳng (ABC) là

A M1;0;0  B M2;0;0  C M3;0;0  D M1;0;0 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x2y z   và điểm9 0

 7; 6;1

A   Tìm tọa độ của A� đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

A A�1; 2; 3   B A�1; 2;1  C A�5; 4;9  D A�9;0;9 

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

 1;3;1 , 0; 2; 1

A  B  Tìm tọa độ C thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC bằng 2 2

A C 5; 2; 4  B C 3; 2;3  C C1;0; 2  D C1;1;1 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A4;0;0 , B 6; b;0(với b > 0) và AB2 10 Điểm

C thuộc tia Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8, tọa độ điểm C là

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;0 , B 2;3;1, đường thẳng

:

   Tung độ điểm M trên  sao cho MA = MB là

A 19

6

12

19 7



Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   : 2 1 5

 và hai điểm

 2;1;1 ,  3; 1; 2

A  B   Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng   sao cho tam giác MAB có diện tích

bằng 3 5

A M2;1; 5 hoặc M14; 35;19  B M1; 4; 7 hoặc  M3;16; 11 

C M2;1; 5 hoặc  M3;16; 11 . D M1; 4; 7 hoặc  M14; 35;19 .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A0;1;0 , B 2; 2; 2 và đường thẳng

:

 Tìm tọa độ M trên  sao cho MAB có diện tích nhỏ nhất.

A 1 26 7; ;

9 9 9

29 29 29

13 13 13

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  1

3 :

y t

z t

 

�

�

� 

�

và

 2

:

   Xác định tọa độ điểm M thuộc  sao cho khoảng cách từ M đến 1  bằng 12

A M9;6;6 hoặc M6;3;3 B M5;2; 2 hoặc M2;0;0

C M10;7;7 hoặc M0; 3; 3   D M   hoặc 2; 5; 5 M1; 2; 2  

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   : 1 2

 và mặt phẳng

 P : x 2 y z 0   Gọi C là giao điểm của  với (P), M là thuộc  Tìm M biết MC 6

A M1;0; 2 hoặc  M5;2; 4  B M3;1; 3 hoặc  M 3; 2;0

C M1;0; 2 hoặc  M 3; 2;0 D M3;1; 3 hoặc  M  1; 1; 1

Câu 13: Cho đường thẳng   : 1

   Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng

cách từ M đến  bằng OM

A M1;0;0 hoặc M2;0;0 B M3;0;0 hoặc M1;0;0

C M1;0;0 hoặc M2;0;0 D M4;0;0 hoặc M2;0;0

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trên Ox điểm M cách đều đường thẳng

  : 1 2

và mặt phẳng  P : 2 x y 2 z 0  

A M3;0;0 B M3;0;0 C M2;0;0 D M2;0;0

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 4;2 , B 1; 2; 4 và đường thẳng

:

 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA2 MB2nhỏ nhất

A M1; 2;0  B M2; 3; 2   C M1;0; 4 D M3; 4; 4  

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 1 ,  B 7; 2;3  và đường thẳng

d :



Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

A M2; 4;0 B M2;0; 4 C M3; 2;6  D M4; 4;8 

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A0;0; 2 , B 1; 1;1 ,  C 2; 2; 1 và đường

   Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MAuuur2MBuuur2MCuuuur đạt giá trị nhỏ nhất

A 5 1 7; ;

3 3 3

7 5 1

; ;

3 3 3

M ��  ��

1 5 2; ;

2 2

1 1 5

; ;

3 3 3

M ��  ��

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2;1;0 , B 1;2; 2 , C 1;1;0 và mặt phẳng

 P : x y z 20 0    Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

A 3 3; ;1

2 2

5 4 2

; ;

3 3 3

5 1

; ; 1

2 2

M ��  ��

� � D M1; 4;6

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A9; 3;5 ,  B a b c; ;  Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) Biết M, N, P nằm trên đoạn

AB sao cho AM = MN = NP = PB Giá trị a+b+c là