Chủ đề 2 tích có hướng của hai véc tơ

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1) Công thức định thức 2) Định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ Cho 2 vectơ Khi đó tích có hướng của 2 vectơ ký hiệu là một vectơ và được tính như sau 3) Tính chất Độ dài của vectơ tích có hướng Hai vectơ cùng phương Ba vectơ đồng phẳng khi Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ không đồng phẳng hay và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 4) Ứng dụng Diện tích hình bình hành Diện tích tam giác Thể tích khối hộp Thể tích tứ diện ABCD Ví.

CHỦ ĐỀ 2: TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1) Công thức định thức: a b ad bc

c d = −

2) Định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ: Cho 2 vectơ: ur=(x1; y ;1 z1);vr=(x y2; ; z 2 2)

Khi đó tích có hướng của 2 vectơ ur =(x1; y ;1 z1);vr=(x y2; ; z2 2)ký hiệu: ,u vr r là một vectơ và được tính

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

y z z x x y

r r

3) Tính chất: ,u vr r⊥u u vr r r; , ⊥v u vr r r; , = −v ur r, 

Độ dài của vectơ tích có hướng u vr r,  = u vr r .sin( , ).u vr r

Hai vectơ ;u vr r

cùng phương ⇔u vr r, =0 (0;0;0).r

Ba vectơ ; ;a b cr r r

đồng phẳng khi ,a b cr r r = 0

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ uuur uuuur uuuurAB AC AD; ;

không đồng phẳng hay uuur uuur uuurAB AC AD,  ≠0 và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi uuur uuur uuurAB AC AD,  =0

4) Ứng dụng:

 Diện tích hình bình hành ABCD S: ABCD = AB AD, 

uuur uuur

2

ABC

ABC S = AB AC

uuur uuur

 Thể tích khối hộp ABCD A B C D V ' ' ' ' : ABCD A B C D ' ' ' ' = AB AD AA,  '

uuur uuur uuur

 Thể tích tứ diện ABCD: 1 ,

6

ABCD

V = AB AC AD

uuur uuur uuur

Ví dụ 1: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau:

a) ar=(1;0; 2 ;− ) br=(0;1;3 ) b) ar=(3;1; 1 ;− ) br=(2;1; 2 − )

c) ar= −( 3;1;4 ;) br= −(1; 1; 2 ) d) ar=(1;3;5 ;) br =(2; 1;3 − )

Lời giải:

a) , 0 2; 2 1 1 0; (2; 3;1 )

r r

b) , 1 1; 1 3 3 1; ( 1; 4;1 )

r r

c) , 1 4 4; 3; 3 1 (6;10;2 )

r r

d) a br r,  = − ( 4;13; 7 − )

Ví dụ 2:

a) Cho 3 vectơ ur=(2; 1;1 ;− ) vr=(m;3; 1 ;− ) wur=(1; 2;1 ) Tìm m để 3 vectơ đồng phẳng.

b) Cho 3 vectơ ur =(1; 2;3 ;) vr=(2;1;m w);ur=(2; ;1 m ) Tìm m để 3 vectơ không đồng phẳng

Lời giải:

a) Ta có: u vr r, = −( 2;m+2;m+ ⇒6) u v wr r ur,  = − +2 2m+ + + =4 m 6 3m+8

Ba vectơ ; ;u v wr r ur

3

⇔ + = ⇔ = −

 = − − − ⇒  = − + − − = − + −

Để 3 vectơ ; ;u v wr r ur

9

m

m

≠



  ≠ ⇔ − + − ≠ ⇔ 

r r ur

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: (1;0;1); ( 1;1; 2); A B −

( 1;1;0); (2; 1; 2)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Lời giải:

a) Ta có: uuurAB= −( 2;1;1);uuuurAC= −( 2;1; 1);− uuuurAD= − −(1; 1; 3)

Suy ra uuur uuurAB AC, = − −( 2; 4;0)⇒uuur uuur uuurAB AC AD,  = ≠ ⇒2 0 uuur uuur uuurAB AC AD; ; không đồng phẳng

Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Thể tích tứ diện ABCD là: 1 , 1 ( )

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC ADđvtt =

Lại có: BCuuur=(0;0; 2);− uuurBD=(3; 2; 4)− − ⇒uuur uuurBC BD, = − −( 4; 6;0)

3

ABCD BCD

BCD

V

S

∆

∆

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: ( 3;5;15), (0;0;7), A − B C(2; 1; 4),−

(4; 3;0).

D − Chứng minh rằng AB và CD cắt nhau

Lời giải:

Ta có: uuurAB=(3; 5; 8);− − uuuurAC=(5; 6; 11);− − uuurAD=(7; 8; 15)− − và CDuuur=(2; 2; 4)− −

Do uuur uuurAB AC, =(7; 7;7)− ⇒uuur uuur uuurAB AC AD,  = ⇒0 uuur uuuur uuuurAB AC AD; ; đồng phẳng (1) Mặt khác uuurAB k CD≠ .uuur⇒uuurAB và CDuuur không cùng phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Ví dụ 5: Cho 3 vectơ ur =(3;7;0);vr=(2;3;1);wur=(3; 2; 4).−

a) Chứng minh 3 vectơ ; ;u v wr r ur

không đồng phẳng

b) Biểu thị vectơ ar= − −( 4; 12;3) theo 3 vectơ ; ; u v wr r ur

Lời giải:

a) Ta có: ,u vr r=(7; 3; 5)− − ⇒u v wr r ur,  = ≠ ⇒7 0 3 vectơ ; ;u v wr r ur không đồng phẳng.

b) Giả sử a m u n v p wr= r+ r+ ur⇔ − −( 4; 12;3) (3 ;7 ;0) (2 ;3 ; ) (3 ; 2 ; 4 )= m m + n n n + p − p p

⇔ + − = ⇔ =

Vậy ar= −5.ur+7.v wr ur− .

Ví dụ 6: Cho 4 điểm (1;1;0); (0; 2;1);A B C(1;0;2);D(1;1;1)

a) Chứng minh 4 điểm đã cho đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD.

c) Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.

Lời giải:

a) Ta có: uuurAB= −( 1;1;0); uuurAC=(0; 1; 2);− uuurAD=(0;0;1)

Suy ra uuur uuur uuurAB AC AD,  =(3; 2;1).(0;0;1) 1= ⇒uuur uuur uuurAB AC AD; ; không đồng phẳng

Do đó 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Thể tích tứ diện ABCD là: 1 , 1

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC AD =

S∆ = uuur uuurAB AC = S∆ = uuur uuurAC AD =

S∆ = uuur uuurAD AB = S∆ = uuur uuurBC BD =

c) Ta có 1 3

3

V

V Sh h

S

= ⇒ = Gọi ;h h h h lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A, B, C, D của tứ diện A B; C; D

Ví dụ 7: Cho 3 điểm (1;0;0); (0;0;1) vàA B C(2;1;1)

a) Chứng minh 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác, tính diện tích tam giác đó.

b) Tính độ dài đường cao h kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC A

Lời giải:

a) uuurAB= −( 1;0;1); uuurAC=(1;1;1)⇒uuur uuurAB AC, = −( 1;2; 1) 0− ≠ ⇒uuur uuurAB AC; không cùng phương hay 3 điểm

A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

Diện tích tam giác ABC là 1 , 6

ABC

S = uuur uuurAB AC =

5 5

ABC A

S h

BC

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có (2;1; 1), (3;0;1), A − B C(2; 1;3)− và điểm D thuộc trục Oy Biết V ABCD =5

Tìm tọa độ điểm D

Lời giải:

Gọi (0; ;0)D y ∈Oy ta có: uuurAB= −(1; 1; 2); uuurAD= −( 2;y−1;1); uuurAC=(0; 2; 4)−

Suy ra uuur uuurAB AC, =(0; 4; 2)− − ⇒uuur uuur uuurAB AC AD,  = −4(y− − = − +1) 2 4y 2

8 6

ABCD

y

y

= −



= ⇒ − + = ⇔  =

Vậy (0; 7;0)D − hoặc (0;8;0).D

Ví dụ 9: Chứng minh đẳng thức: 2 2 ( )2 2

ar br − a br r =  a br r

Lời giải:

VT= ar br − ar br cos ( , )a br r = ar br 1 cos− a br r, = ar br sin a br r,

Lại có: a br r,  = a br r .sin ,( )a br r

ar br − a br r =  a br r (đpcm)

Ví dụ 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ ( a mur +2;3; 2 ); (2; 1; ); (1;2;1)m bur − m cr Gọi S là tập hợp

các giá trị của tham số m để 3 vectơ trên đồng phẳng Số phần tử của tập hợp S là:

Lời giải:

Ta có: a br r,  = (5 ; 2m m m− 2;− −m 8)

Ba vectơ đã cho đồng phẳng khi a b cr r r,  = ⇔ 0 5m+4m−2m2− − =m 8 0

2

2m 8m 8 0 m 2

⇔ − + − = ⇔ =

Do đó tập hợp S có một phần tử Chọn B.

Ví dụ 11: Cho 2 vectơ ur=(1; 2; 1);− vr= −(1; 3; ).x Tìm x biết rằng u vr r,  = 30

Lời giải:

Ta có: ,u vr r = (2x−3;x+ −1; 5)

Do đó u vr r,  = (2x−3)2+ +(x 1)2+25 30= ⇔5x2−10x+ = ⇔ =5 0 x 1. Chọn B.

Ví dụ 12: Cho 3 vectơ ur =(1; ; 1);x − vr=(0; 2;1); wur=( ;7; 2).x Tìm x biết rằng , u v wr r ur = 0

3

x x

=



 = −

3 1

x x

=



 =



Lời giải:

3

x

x

=



 = + − ⇒  = + − + = ⇔ + − = ⇔ 

Chọn C.

Ví dụ 13: Cho 2 vectơ ur và vr biết ur = 2; vr =3. Góc giữa 2 vectơ ur và vr là 45o, độ dài vectơ

5 , 3u v

 − 

là:

Lời giải:

Do ( ), 45o (5 , 3 ) 135 o

u vr r = ⇒ ur − vr =

Ta có: 5 , 3ur − vr = 5 3 sin 5 , 3ur − vr ( ur − vr)=5 2.9.sin1350 =45. Chọn D.

Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm (3;1; 1); (1;0; 2); A − B C(5;0;0) Tính diện tích tam

giác ABC.

A 21 B 21.

Lời giải:

Ta có: uuurAB= − −( 2; 1;3); uuurAC=(2; 1;1)− ⇒uuur uuurAB AC, =(2;8; 4)

Vậy diện tích tam giác ABC là 1 , 21

2

ABC

S = uuur uuurAB AC = Chọn A.

Ví dụ 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm (0;1;1); ( 1;0; 2); ( 1;1;1); A B − C − D(1; 4;7) Khoảng

cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

A 9 2

2

D

4

D

h = D h D =9 2

Lời giải:

Ta có: uuurAB= − −( 1; 1;1); uuurAC= −( 1;0;0);uuurAD=(1;3;6)

ABCD

ABC

V

S

Ví dụ 16: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm (1;1;1), ( 1;7; 3), A B − − C m( +1; ;0).m Biết diện tích

tam giác ABC bằng 3 3 Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Lời giải:

Ta có: uuurAB= −( 2;6; 4);− uuurAC=( ;m m− −1; 1)

Khi đó uuur uuurAB AC,  = (4m−10; 2 4 ; 8+ m − m+2)

ABC

0

m

m

=



Ví dụ 17: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm ( A m−1; ; 2m m−1); ( 1;0; 2);B − C( 1;1;0);− D(2;1; 2).−

Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 5

6 Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

5 7

Lời giải:

Ta có: BCuuur=(0;1; 2);− BDuuur=(3;1; 4)− ⇒BC BDuuur uuur, = − − −( 2; 6; 3)

ABCD

BA= m m m− ⇒V = BC BD BA = − m− m− m+

1

7

m

m

=





 =



Chọn B.

Ví dụ 18: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm (1;1;1); ( 1;7; 3); A B − − C(2;1;0). Tìm điểm D thuộc Oz sao cho bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

A (1; 2;0).D B (0;0;3).D C (0;0; 3).D − D (0;0; 2).D

Lời giải:

Do điểm D Oz∈ ⇒D(0;0; )d

Ta có: uuurAB= −( 2;6; 4);− uuurAC=(1;0; 1);− uuurAD= − −( 1; 1;d−1)

Để bốn điểm A, B, C, D đổng phẳng thì uuur uuur uuurAB AC AD,  =0

( 6; 6; 6).( 1; 1;d 1) 0 6 6 6d 6 0 d 3 D(0;0;3)

⇔ − − − − − − = ⇔ + − + = ⇔ = ⇒ Chọn B.

Ví dụ 19: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (1;0;3); ( 1; 2;1); A B − C(0;1; 4). Biết ( ; ; )H x y z là trực o o o

tâm của tam giác ABC Tính P x= −o y o

2

P=−

C 1

2

Lời giải:

Gọi H a b c là trực tâm tam giác ABC thì ( ; ; ) uuur uuur uuurAB AC AH; ;

đồng phẳng

Ta có: uuurAB( 2; 2; 2)− − = −2(1; 1;1);− uuurAC= −( 1;1;1);

CHuuur= a b− c− BHuuur= +a b− c− uuurAH = −a b c−

Suy ra uuur uuurAB AC,  = (4; 4;0) 4(1;1;0)=

Mặt khác

1

2

a

AB AC AH a b

BH AC

c

 =



  = + − =





uuur uuur uuur

uuur uuur

Ví dụ 20: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (2;0; 2); (3; 1; 4); ( 2; 2;0). A − B − − C − Điểm D nằm trong mặt

phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là

A (0;3; 1).D − B (0; 3; 1).D − − C (0;1; 1).D − D (0; 2; 1).D −

Lời giải:

Vì D∈(Oyz)⇒D(0; ; ),b c do cao độ âm nên c < 0.

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng c và bằng 1 ⇒ = ⇒ = −c 1 c 1 (do c < 0)⇒D(0; ; 1).b −

Ta có

(1; 1; 2)

( 2; ;1)

AB

 = − −

 = −



uuur

uuur

1

6

ABCD

V AB AC AD b

⇒ = uuur uuur uuur = −

1 (0; 1; 1)

ABCD

= ⇔ − = ⇔ ⇔

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho , a br r

là các vectơ khác 0.r Kết luận nào là sai?

A ,a br r  = b ar r,  B ,a br r không vuông góc với ar và br.

C ka br r, =k a br r,  D a br r,  = a br r sin( , )a br r

Câu 2: Cho ar = −( 2;5;3),br= −( 4;1; 2).− Kết quả của biểu thức a br r,  là

Câu 3: Cho ar =(1; ; 2),t br = +(t 1; 2;1),cr=(0;t−2; 2). Xác định t để , , a b cr r r

đồng phẳng

2

5

t=

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (1; 2 1), (3;0; 4), A − B C(2;1; 1).− Độ dài đường

cao hạ từ đỉnh A của ∆ABC là

5 6

50 33

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (1;0; 1), (1; 2; 2). A − B − Diện tích tam giác OAB bằng:

A 17

2

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với (1;0;1), A B(0; 2;3), C(2;1;0). Độ

dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là

26

Câu 7: Cho tam giác ABC biết (2;0;0), A B(0;3;1), C( 1;4; 2).− Độ dài trung tuyến AM và đường cao

AH lần lượt là:

A 83

2 và 2 2 B 83

2 và 2 C 79

2 và 2 2

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có

(2; 4; 4), (1;1; 3), ( 2;0;5)

A − B − C − Diện tích hình bình hành ABCD bằng

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm không đồng phẳng

(2; 1; 2), ( 1;1; 2), ( 1;1;0), (1;0;1)

A − − B − C − S Độ dài đường cao của hình chóp S.ABC xuất phát từ đỉnh

S bằng

A 1

1

2

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm (1;0;0), A B(0;1;0), C(0;1;1), D(1;1;1) không đồng phẳng.

Tứ diện ABCD có thể tích là

A 1

2

1 3

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm (1; 2; 2), A − B(0; 1; 2),− C(0; 2;3)− và ( 2; 1;1)

D − − Thể tích tứ diện ABCD là

A 1

5

5

1 6

Câu 12: Cho (3;0;0);A B(0;3;0); C(0;0;3); D(1; 1;0)− thì thể tích của tứ diện ABCD là

A 1

9

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

(0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), '(0;0; 2)

1

1 6

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho (1;1; 6), A − B(0;0; 2),− C( 5;1; 2),− D'(2;1; 1).− Nếu

ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì thể tích của nó là:

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (5;3; 4) A − và điểm (1;3; 4)B Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 8 5

A (3;7;0)

C (3;1;0)

C





(3;7;0)

C (3; 1;0)

C



( 3; 7;0)

C ( 3; 1;0)

C − −



 − −

( 3; 7;0)

C (3; 1;0)

C − −





Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm (2; 4; 1), A − B(1; 4; 1),− C(2; 4;3), D(2; 2; 1).−

Tìm tọa độ điểm M để MA2+MB2+MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất

A 7 14; ;0

3 3

7 4

; ;0

3 3

7 14

; ;0

4 4

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (3; 1;1), A − B(0; 3;3),− C(1;7;1) Biết rằng tọa

độ điểm M thỏa mãn MAuuur+2MB MCuuur uuuur+ đạt giá trị nhỏ nhất có dạng M a( ;0; ), ( ,b a b∈¡ Khi đó)

3

a + b bằng

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Theo lý thuyết SGK thì hiển nhiên A sai, B đúng, C đúng, D đúng Chọn A.

Chọn C.

Câu 3: Để , ,a b cr r r

đồng phẳng khi và chỉ khi ,a b cr r r = 0

t t

r r

5

  = + − + − − = ⇔ =

 

r r r

Chọn D.

Câu 4: Diện tích tam giác ABC là 1 , 5 2

ABC

S∆ = uuur uuurAB AC =

9

ABC

S

BC

∆

uuur

Chọn C.

OAB

S∆ = OA OBuuur uuur = − + − + − = Chọn A.

Câu 6: Diện tích tam giác ABC là 1 , 26

ABC

S∆ = uuur uuurAB AC =

3

ABC

S

AB

∆

uuur

Chọn C.

Câu 7: Diện tích tam giác ABC là 1 , 6

ABC

S∆ = uuur uuurAB AC =

BC

∆

uuur

Tọa độ trung điểm M của BC là 1 7 3; ; 83

M− ⇒AM =

Câu 8: uuurAB= − −( 1; 3;1);uuurAC= − −( 4; 4;9)

Diện tích hình bình hành ABCD bằng: S =2S ABC = uuur uuurAB AC,  = −( 23;5; 8− =) 618. Chọn D.

Câu 9: SAuur= − −(1; 1; 3); SBuur= −( 2;1;1); SCuuur= −( 2;1; 1)−

Thể tích hình chóp S ABC là . 1 , 1

S ABC

V = SA SB SCuur uur uuur =

2

ABC

AB= − AC= − ⇒S = AB AC =

13

S

V

h

S

Câu 10: uuurAB= −( 1;1;0);uuurAC= −( 1;1;1); uuurAD=(0;1;1)

Thể tích tứ diện ABCD là: 1 , 1

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC AD = Chọn A.

Câu 11: uuurAB= −( 1;1;0); uuurAC= −( 1;0;1); uuurAD= −( 3;1; 1)−

Thể tích tứ diện ABCD là: 1 , 3 1

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC AD = = Chọn A.

Câu 12: uuurAB= −( 3;3;0); uuurAC= −( 3;0;3); uuurAD= − −( 2; 1;0)

Thể tích tứ diện ABCD là: 1 , 27 9

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC AD = = Chọn C.

Câu 13: uuurAB=(1;0;0); uuurAD=(0;1;0); uuurAA' (0;0;2)=

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên uuur uuur uuur uuuurAB AD AA+ + '=AC' (1;1;2)=

Thể tích V của tứ diện ABA’C’ bằng : 1 , ' ' 2 1

V = uuur uuur uuuurAB AA AC = = Chọn C.

Câu 14: Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ABCD là hình bình hành

Ta có uuur uuurAB DC= = − −( 1; 1; 4)⇒ − −( 5 x D;1−y D; 2−z D) ( 1; 1; 4)= − −

Suy ra ( 4; 2; 2)D − − khi đó DDuuuur' (6; 1;1);= − DAuuur=(5; 1; 4);− − DCuuur= − −( 1; 1; 4)

Thể tích của khối hộp là V = DA DC DDuuur uuur uuuur,  ' 38.= Chọn B.

Câu 15: Ta có uuurAB= −( 4;0;8); AB=4 5

Gọi (3;3;0)I là trung điểm của AB và ( ; ;0) C x y ta có: CA CB= ⇒CIuur⊥uuurAB

( 4;0;8).(3 x;3 y;0) x 3

Suy ra (3; ;0),C y mặt khác 1 1 3 4 5 8 3 3 4 7

1

ABC

y

y

=



= = − = ⇔ − = ⇔  = − Chọn B.

Câu 16: Gọi G là trọng tâm tứ diện khi đó GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

Khi đó 7 14; ;0 ,

4 4

  ta có:

MA +MB +MC +MD =MAuuur +MBuuur +MCuuuur +MDuuuur

MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur uuur uuur uuur

MG

4 4

C.

Câu 17: Gọi I là điểm thỏa mãn uurIA+2IB ICuur uur r+ = ⇔0 I(1;0; 2)

Khi đó MAuuur+2MB MCuuur uuuur+ = MI IAuuur uur+ +2MIuuur+2uur uuur uurIB MI IC+ + = 4MIuuur nhỏ nhất ⇔MI nhỏ nhất

2

a

b

=

