Chủ đề 9 tỉ số thể tích khối đa diện

CHỦ ĐỀ 9 TỈ SỐ THỂ TÍCH I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Chú thích Thể tích cũ, Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy) 1 Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a Song song với đáy b Cắt đáy 2 Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) ;với là diện tích đáy cũ; là diện tích đáy mới Chú ý i Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới) Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới ii Nếu tăn.

CHỦ ĐỀ 9: TỈ SỐ THỂ TÍCH

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Chú thích V Thể tích cũ, 1 V Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).2

1 Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)

a Song song với đáy

1.3

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên

trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các

hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.

b Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác

 Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng  P

song song với đáy cắt các cạnh bên SA SB SC SD lần lượt tại , , ,, , , A B C D   

Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác

 Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)

Bài toán: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng  P cắt các cạnh

1 1 1 14

4 Tỉ số thể tích của khối lăng trụ

a Lăng trụ tam giác

Kết quả 1:

Kết quả 2:

thẳng AA BB CC, , lần lượt tại M N P (tham khảo hình vẽ bên)., ,

ABC MNP ABC A B C

Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác ABCD A B C D     Mặt phẳng   cắt

các đường thẳng AA BB CC DD, , , lần lượt tại M N P Q (tham, , ,

Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;

.

14

ABC MNP ABC A B C

ABCD MNPQ ABCD A B C D

Lời giải

3

SN SBE

S ANE S AME S AMN S AME S ABC

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S ABC có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.

lượt tại P, Q Tính thể tích khối chóp MPQCB

Lời giải

Tam giác SAG vuông tại G, có

 

2 2

 Thể tích khối chóp S ABC là

3

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, cạnh bên SA vuông góc với đáy.

b) Gọi H là hình chiếu của A trên SD; E là trung điểm của BC Nối AC cắt DE tại F Tính thể tích các khối

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi V  là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của

V





27

V V



27

V V





Lời giải

Gọi M là trung điểm AC; E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB6 ,a AC 9 ,a AD3 a Gọi M, N,

P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5 Gọi M là trung điểm của cạnh

SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS 2NC. Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC.

Lời giải

Suy ra thể tích khối chóp S.AEF là

3

Ví dụ 8: Cho tứ diện đều cạnh ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC

trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V Tính V

a

3

13 2216

a

3

218

 P, Q lần lượt là trọng tâm của BCE và ABE

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD2,BA BC 1 Cạnh

khối đa diện SAHCD.

2

AD

CM AB a 

Ta có V S AHCD. V S ACD. V S AHC.

2

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a vuông góc với mặt phẳng

đáy ABCD Điểm M thuộc cạnh SA sao cho  SM k

chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau

k k



 

Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S.ABCD Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A Mặt

511

V

1 2

59

V

1 2

513

S ABCD

Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F.

Tam giác SBM có A, N lần lượt là trung điểm của BM và

SB Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.

Vì ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC.

Ta có V BNC AEF. V ABCEN V E ACF.

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có SA1,SB2,SC 3,ASB60 , ASC 90 , CSB 120  Thể tích của

khối chóp S.ABC bằng?

A 2

2

6

Lời giải

H hạ từ S xuống APK trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp  APK

Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, với ACa 2. Cạnh SA a và

với BC cắt SB, SC lần lượt tại M và N Tính theo a thể tích V của khối chóp A.BCNM

a

3

2.27

a

3

.18

A BCNM S ABC S AMN S ABC

Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM AM Mặt phẳng   đi qua M

1.8

V

1 2

1.4

V

1 2

1.24

2

18

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB a AD a ,  3 Cạnh SA2a

I, K Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AHIK.

 I là trung điểm của cạnh SC SC 2.

Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có SA6,SB2,SC 4,AB2 10 và SBC90 , ASC 120  Mặt

với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Gọi H là trung điểm DN  SH BDN  SDN BDN

a

C

3

23

a

D

3

32

a

C

3

29

Mà SA   SACE suy ra CESAB  CE SB

Ví dụ 19: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc Các điểm M, N, P lần lượt là

AMNP A BCD

Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB và G là trọng

Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành I nằm trên cạnh SC sao cho IS 2IC.

S.AMIN và S.ABCD Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V

Lời giải

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.

54

V

1 2

56

V

1 2

65

V

Lời giải

AE, EF, FH, HK như hình vẽ Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế được chiều dài con đường từ A đến

Lời giải

Giả sử ngọn tháp được làm bằng bìa nên ta cắt được ngọn tháp theo các đường SA, AB, BC, CD, DA Và trải các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA lên cùng một mặt

phẳng

ta thu được một tam giác cân SAA có góc ở đỉnh

27V Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1 Trên cạnh SC lấy điểm E

Ví dụ 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy Gọi M là

3

Ví dụ 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC.

.

2,15

1515

y t

yt yt

yt

yt yt

Ví dụ 28: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB1,AD2,SA vuông góc với mặt

phần có thể tích bằng nhau Tính diện tích S của tam giác MAC

Ví dụ 29: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M thuộc cạnh SA, P thuộc cạnh SC sao

Ví dụ 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là điểm thuộc cạnh SB, N là điểm

2

V V

SA SM SP SN

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    Gọi D là trung điểm của AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện

Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC A B C    Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

3

AG AE

23

43

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC 2 2. Biết AC

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng A B C  

Suy ra HC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng A B C  

Do đó AC;ABC  AC HC;  AHC60

Diện tích tam giác

2

42

AC AB AD  sao cho AM 2AC AN, 3AB AP, 4AD Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V.

A V AMNP 8V B V AMNP 4V C V AMNP 6V D V AMNP 12V

3của khối lăng trụ tam giác.

Ví dụ 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có góc giữa hai mặt phẳng A BC  và ABC bằng  30

.4

.3

Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng V Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh

a

3

94

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D     Gọi M là điểm thuộc CC thỏa mãn CC 4CM Mặt phẳng

AB M  chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V và 1 V Gọi 2 V là phần thể tích có chứa điểm B Tính1

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ) Khi đó V ABB NCM. V ABB CM V MACN.

V  V  vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần

Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M là trung điểm của A B , N là trung điểm của BC Tính thể tích của khối tứ diện ADMN.

a

3

.6

a

3

.2

Ví dụ 12: Cho khối hộp ABCD A B C D     Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB2MA Mặt phẳng MB D 

chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

A 5

7

13

5.17

Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng MB D  là MND B 

Khi đó V ABCD A B C D.     V AMN A B D.   V B C D MBCDN  .

Ví dụ 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi I là trung điểm của BB mặt phẳng , DIC chia

khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng

512

Lời giải

Tham khảo hình vẽ dưới đây:

Đặt AA h S; ABCD   S V ABCD A B C D.     S h

Suy ra mp DIC chia khối lập phương thành hai khối   IBM C CD  và IMAA B C DD   

thẳng AA và BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A  tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B 

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC Gọi M là trung điểm canh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho

Câu 3: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi V  là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung

V





3

V V



8

V V





Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là điểm

V





6

V V



3

V V

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC2 ,a SA vuông góc với đáy,

Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có SA3 a D thuộc cạnh SB và DB a Mặt phẳng   đi qua AD và song song với BC cắt SC tại E Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện SADE và thể tích khối chóp S.ABC.

Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V và điểm E trên cạnh AB sao AE 3EB Tính thể tích V 

của khối tứ diện EBCD theo V.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC, SAABC SA a ABC,  , vuông cân, ABAC a, Blà trung điểm

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a Đường thẳng SA vuông

của khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB.

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, ABACa, SC vuông góc với mặt

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính thể tích

khối chóp S.AHK theo V.

Câu 16: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Gọi M, N, O lần lượt là

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có SC 2a và SCABC Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có

a

C

3

29

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thoả mãn AB2 ,a BC4 ,a AC 2 5 a Cạnh

Tính thể tích V của khối chóp S.AMN.

a

3 53

Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA2a và SA vuông góc với đáy ABC 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC Tính thể tích V của khối chóp S.MNP.

Câu 21: Cho hình chóp tam giác S.ABC có  ASB CSB 60 , ASC90 SA SB 1 ,SC  Gọi M3

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SAABC. Biết AB a ,

a

3

315

a

3

445

a

V 

Câu 24: (Sở GD và ĐT Bắc Giang) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 1,2,

AD  SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và  SA 2. Điểm M điểm trên cạnh SA sao cho mặt

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

tích V của khối đa diện ABCDD C B  

a

3

512

a

3

56

a

C

3

2518

a

D

3

2524

a

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD Gọi , , , A B C D    theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC,

SD Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D     và S ABCD

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, có đáy ABCD là hình bình hành Gọi N là trung điểm của

SC Một mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P Gọi V là thể tích của khối chóp

S.AMNP Tính giá trị nhỏ nhất của T V

Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC Mặt phẳng

 P chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Gọi V là thể tích của phần chứa đỉnh1

Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD Gọi M, N,

P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích của khối2

Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua

A Mặt phẳng MNC chia khối S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là  V , 1 V với 2 V <1 V Tính tỉ2

Câu 32: (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế 2017) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a Mặt

SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN.

Câu 33: Cho hình chóp đều S.ABCD có SA a , góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60 Gọi M là trung

Câu 34: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    có thể tích là V Gọi E là trung điểm của 1 A C , F là

giao điểm của AE và A C Biết khối chóp F A B C    có thể tích là V Tính tỉ số 2 2

1

V V

V

2 1

29

V

2 1

19

V

Câu 35: (Sở GD&ĐT Cần Thơ 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    và M là điểm tùy ý thuộc

cạnh bên BB Gọi ,V V  lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    và khối chóp M AA C C  

Câu 36: Cho lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 18 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA BB, 

Câu 39: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    có thể tích V Gọi P là một điểm trên đường thẳng0

AA Tính thể tích khối chóp tứ giác P BCC B   theo V0

Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần lượt là

AA CC  sao cho MA MA và NC 4NC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ diện

A Khối A BCN B Khối GA B C   C Khối ABB C  D Khối BB MN

Câu 42: Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B ABBC2 ,a

3

Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có AB a AC , 2 ,a AA2a 3, BAC 120 Gọi K, I

Câu 46: Cho hình hộp ABCD A B C D     có thể tích V Gọi V là thể tích của tứ diện 1 ACB D  Tính tỉ số

Câu 47: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M là trung điểm của A B  và N là trung điểm của BC Tính thể tích của khối tứ diện ADMN.

34

V

1 2

19

V

1 2

14

V

Câu 50: Cho hình hộp ABCD A B C D     Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB2MA Mặt phẳng

Câu 51: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác

Câu 53: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, mặt

1323

V

1 2

12

V

1 2

2547

V

Câu 54: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi I là trung điểm của BB, mặt phẳng DIC chia

khối lập phương thành hai phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 6: Diện tích tam giác ABC là

2

1

1

Câu 8: Qua D kẻ đường thẳng / / d BC cắt SC tại E,

1

31

Câu 10: Tam giác SAC cân tại A mà AC SC

2

SC SC

1

.

Câu 11: Qua G kẻ đường thẳng / / d BC cắt SB, SC tại I, J.,

Ta có SAABC SB ABC ;  SB AB;  SBA 60

Câu 20: Xét tam giác SAC vuông tại S có đường cao AP

Câu 21: Ta có SA SB SM  1 hình chiếu của đỉnh S

xuống mặt phẳng ABM là tâm đường tròn ngoại tiếp

23

Câu 28: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD

Câu 29: Nối ANSO I I là trọng tâm tam giác SAC

Qua I kẻ đường thẳng / /d BD cắt , SB SD lần lượt tại ,, E F

Câu 31: Nối MNSA E  E là trọng tâm SMB

Câu 32: Gọi O là tâm hình vuông ABCD SOABCD

Do đó SNO ; ABCD SN ON;  SNO 60

3

S ABCD

a

Vì  P chứa AG nên  P SC M là trung điểm của SC

Câu 33: Gọi O là tâm hình vuông ABCD SOABCD

Do đó SNO ; ABCD SN ON;  SNO 60

Câu 38: Do ABC/ /A B C    d G A B C ;     h với h là

chiều cao khối lăng trụ

Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện

,

B B lần lượt là diện tích hai đáy”

Xét khối chóp cụt MBP A B N   có chiều cao hBBa

Và diện tích đáy 8 8

ABC MBP

Chọn D

Câu 50: Chuẩn hóa thành hình lập phương ABCD A B C D     cạnh I