Chủ đề 3 véc tơ trong không gian

CHỦ ĐỀ 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Vectơ trong không gian là một đoạn thằng có hướng Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là , , , 2 Các quy tắc về vectơ Quy tắc 3 điểm hoặc Quy tắc hình bình hành Cho hình bình hành ACBD ta có Quy tắc trung điểm Nếu M là trung điểm của AB thì Quy tắc trung tuyến Nếu AP là trung tuyến của tam giác ABC thì Tương tự hình bên ta có Quy tắc trọng tâm Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì Khi đó với mọi điểm.

CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa:

Vectơ trong không gian là một đoạn thằng có hướng Kí hiệu ABuuur chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là ar

, br , cr ,…

2 Các quy tắc về vectơ

 Quy tắc 3 điểm: uuur uuur uuurACAB BC hoặc uuur uuur uuurACBC BA

 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta

có: uuur uuur uuurACAB AD

 Quy tắc trung điểm: Nếu M là trung điểm của AB thì

0

MA MB  uuur uuur r

 Quy tắc trung tuyến: Nếu AP là trung tuyến của tam

giác ABC thì 1 

2

AP AB AC uuur uuur uuur

Tương tự hình bên ta có: 2

2







uuur uuur uuur uuur uuur uuuur

 Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC

thì GA GB GCuuur uuur uuur r  0

Khi đó với mọi điểm M ta có: MA MB MCuuur uuur uuuur  3MGuuuur

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

thì uuur uuur uuur uuuurAB AD AA  'AC'

Chứng minh:

Ta có: ACC’A’ là hình bình hành nên uuuur uuur uuurAC'AC AA '

Tương tự: uuur uuur uuurACAB AD suy ra uuuur uuur uuur uuurAC'AB AD AA  '

Chú ý: Nếu G là trong tâm tứ diện ABCD, ta có:

0

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r   

3 Sự đồng phẳng của các vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng

Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

 Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ ar

, br , cr đồng phẳng là ar

và br cùng phương

hoặc tồn tại các số m, n duy nhất sao cho c m a n br .r .r

 Định lí 2: Nếu ar

, br , cr

là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ dur

trong không

gian, ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho

4 Tích vô hướng của 2 vectơ

Góc giữa 2 vectơ ar

và br khác 0r

được định nghĩa bằng

góc AOB với OA auuur r ; OB buuur r

Nếu ar

hoặc br

bằng 0r

ta quy ước góc giữa chúng có thể nhận một giá trị tùy ý

Tích vô hướng giữa 2 vectơ ar

và br

là một số, được kí hiệu a br r.

và được xác định bởi a br r  a br r cos ; a br r từ đó suy ra cosin góc giữa 2 vectơ ar

và br là

cos ;

a b

a b

a b



r r

r r

r r

Đặc biệt khi ar  br cos ; a br r  0 a br r 0

Tính chất: Cho 3 vectơ ar

, br , cr

và số thực k Khi đó ta có:

i) a b b ar r r r.  . ii) a b cr r r  a b a cr r r r 

iii)  ka b k a br r    r r a kbr r iv) 2 2

ar ar

Vectơ chỉ phương của đường thằng:

Vectơ ar r0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thằng d nếu giá của vectơ ar

song song hoặc trùng

với đường thẳng d

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ

phương ar

của đường thẳng d.

Ứng dụng của tích vô hướng

Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB uuurAB  uuurAB2

Xác định góc giữa hai vectơ:  

cos ;

a b

a b

a b



r r

r r

r r

II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Chứng minh các đằng thức vectơ, chứng minh 3 vectơ đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách:

 Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng

 Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai các số m n duy nhất sao cho c m a n br r r thì 3 vectơ ar

, br

, cr

đồng phẳng

Để biểu diễn vectơ rx

theo 3 vectơ ar

, br , cr

không đồng phẳng ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao

cho x m a n b p cr r r r

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm của AB và CD.

a) Hãy biểu diễn vectơ uurIJ

theo 3 vectơ ABuuur, uuurAC

, ADuuur b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Hãy biểu diễn vectơ uuurAG

theo 3 vectơ ABuuur, uuurAC

, ADuuur

Lời giải

a) Ta có: IJuurIA AJuur uuur , mặt khác 1

2

IA AI   AB

uur uur uuur

1

2

AJ  AC AD

uuur uuur uuur

(tính chất trung điểm)

IJ   AB AC AD

uur uuur uuur uuur

b) Ta có:

AD AG GD





uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur cộng vế theo vế ta được:

3AG GB GC GD AB AC ADuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur     

Mặt khác GB GC GDuuur uuur uuur r  0 (do G là trọng tâm tam giác BCD) Do vậy

3

AB AC AD

AGuuur uuur uuur  uuur

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc AD và BC sao cho uuuurAM 3MDuuuur,

3

NB  NC

uuur uuur

Biết uuur rAB a , CD buuur r a) Hãy biểu diễn vectơ MNuuuur

theo ar

và br

b) Gọi P và Q lần lượt là trun điểm của AD và BC Chứng minh rằng ba vectơ MNuuuur

, DCuuur , PQuuur đồng phẳng

c) Gọi G là trung điểm của PQ, chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Lời giải

a) Ta có: MNuuuur uuuur uuur uuurMD DC CN   1

Lại có: MNuuuur uuur uuur uuurMA AB BN   2

Lấy  2 3 1  ta được 4MNuuuur uuur AB3DCuuur

MN  a b

uuuur r r

b) Ta có: MN MP PQ QN 2MN PQ DC





uuuur uuur uuur uuur

uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

Suy ra 1 

2

MN  PQ DC

uuuur uuur uuur

ba vectơ MNuuuur

, DCuuur , PQuuur đồng phẳng

2 2





uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Mặt khác GP GQuuur uuur r  0 GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r   0 G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có uuur rAA'a , uuur rAB b , uuur rAC c

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB' và A'C', điểm K thuộc B'C sao cho KCuuuur' 2KBuuuur'

a) Hãy biểu thị vectơ uuuurB C'

; CIuur

và BJuuur

qua 3 vectơ ar

, br , cr

b) Biểu thị vectơ AKuuur theo vectơ AIuur và uuurAJ

từ đó suy ra 3 vectơ AKuuur , AIuur, uuurAJ

đồng phẳng

Lời giải

a) Ta có: B Cuuuur uuuuur uuuur' B C' 'B B' (theo quy tắc hình bình hành)

Suy ra B C BC A A AC AB AAuuuur uuur uuuur uuur uuur uuur r r r'   '    '  c b a

'

CI CB BIuur uuur uur   uuur uuurAB AC  BBuuur r r  b c ar

Mặtkhác:

1

c

BJ BA AA A J  AB A    b a AC   b a

uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur r r uuur r r

b) Ta có: uuur uur uuur uuuurAK AI IB 'B K'  1

 

AK  AJ JC C K

uuur uuur uuur uuuur

Lấy 2 1    2 ta được:

0

3uuurAK 2uur uuurAI AJ 2uuur uuurIB'JC' 2 '1 44 2 4 43B K C Kuuuur uuuur ' 2AI AJ BBuur uuur uuur uuuur  'A J' 2uur uuur uuurAI AJ AJ 

3

AK  AI AJ

uuur uur uuur

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Đặt uuur rBA a , BBuuur r'b, BC cuuur r Gọi M và N lần lượt là hai điểm

nằm trên AC và DC’ sao cho MN//BD’ Tính tỷ số

'

MN BD

Lời giải

Giả sử: MC nACuuuur uuur, C Nuuuur' mC Duuuur'

Ta có: BDuuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r r r'BD DD 'BA BC DD  '  a b c

Lại có: MNuuuur uuuur uuuur uuuurMC CC 'C'NnAC b mC Duuur r  uuuur'

n BC BA b m C C CD

 uuur uuur  r uuuur

n c a b m b a m n a m b nc

 r r  r  r   r  r r

Khi đó MN/ /BD'MNuuuurk BD.uuuur'

2

1

3

m

B D n

 



        



 



Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành

ABB'A' và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCC'A Biểu thị vectơ BDuuur theo 2 vectơ

IK

uur

và C Buuuuur' '

từ đó suy ra ba vectơ BDuuur, IKuur, C Buuuuur' '

đồng phẳng

Lời giải

Ta có: BD BC CDuuur uuur uuur   C Buuuur' uuur uuurAD AC 

' ' ' ' 2

C B B C IK

 uuuuur uuuuur  uur (vì uuurAC 2uurIK)

Suy ra BDuuur 2 ' ' 2C Buuuuur IKuur

Do đó ba vectơ BDuuur, IKuur, C Buuuuur' '

đồng phẳng

Ví dụ 6: Trong không gian cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu có một điểm O trong không gian sao

cho OMuuuurxOA yOB zOCuuur uuur uuur, đồng thời , x y z    thì điểm M thuộc mặt phẳng 1 ABC 

Lời giải

Ta có: OMuuuurxOA yOB zOCuuur uuur uuur  x y z OMuuuurxOA yOB zOCuuur uuur uuur

0

xMA yMB zMC

 uuur uuur uuuur r

Nếu x 0 yMB zMCuuur uuuur r0 M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng

Nếu x 0 MA y MB z MC



 uuur uuur uuuur A, B, C, M đồng phẳng.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi P và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh AB

và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM BN k k 0

AC  BD   Chứng minh rằng 3 vectơ PQuuur

, PMuuuur,

uuur

đồng phẳng

Lời giải

PQ PC PD   AC AP  BD BP 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AM BN

AC BD AP BP

k



     

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

Lại có: AM AP PM







uuuur uuur uuuur

uuur uuur uuur nên 1  

2

k

uuur uuuur uuur

(Do uuur uuur rAP BP 0)

2

k

uuur uuuur uuur

 M, N, P, Q đồng phẳng

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

Phương pháp giải:

 Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: AB uuurAB  uuurAB2 , để tính độ dài vectơ ur

ta

sử dung công thứcur  ur2

 Để tính góc giữa 2 vectơ ta sử dụng công thức:  

cos ;

a b

a b

a b



r r

r r

r r

 Để chứng minh 2 đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta chứng minh: uuur uuurAB CD 0

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC a 2 Tính góc giữa hai vectơ ABuuur và SCuuur

Lời giải

Do SB = SC = a; BC a 2  SBCvuông cân tại S

Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: uuur uur uurAB SB SA 

Ta có: uuur uuurAB SC SB SA SC SB SC SA SCuur uur uuur uur uuur uur uuur   

2

2.cos900 2.cos 600

2

a

2

cos ;

a

AB SC

AB SC

AB SC a a



uuur uuur uuur uuur

uuur uuurAB SC;  1200

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD.

a) Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD AC DB AD BC   0

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra nếu tứ diện ABCD có ABCD và ACDB thì ADBC

Lời giải

a) Lấy điểm A làm điểm gốc

Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD AC DB AD BC.  .  .

AB AD AC AC AB AD AD AC AB 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

b) Do uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD AC DB AD BC   0

AD BC





uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Do đó ADBC

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900 Chứng minh rằng:

a) ABCD

b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ AB

Lời giải

a) Lấy điểm A là điểm gốc ta có uuur uuur uuur uuur uuurAB CD  AB AD AC.  

cos 60 cos 60 0

uuur uuur uuur uuur     

IJ  IA AJ   AB AC AD uur uur uuur uuur uuur uuur

Do đó IJ ABuuruuur   uuur uuur uuur uuurAB AC AD AB  

1

  uuur uuur uuur uuur uuur

1

cos 60 cos 60 0

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA Chứng minh rằng SABC,

SB AC và SC AB

Lời giải

Giả sử ASB BSC CSA   và SA = SB = SC = a

Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: SA BC SA SC SBuur uuur uur uuur uur    

SA SC SA SB a a

uur uuur uur uur     

Tương tự chứng mình trên ta cũng có SB AC và SC AB

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Biết rằng AB AC,

ABBD Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.

Lời giải

AB AC

AB BD







uuur uuur uuur uuur

PQ PA AQ    AB AC AD

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AB PQ AB AB AC AD 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur

Do đó ABPQ

Ví dụ 6: Trong không gian cho 2 vectơ ar

và br tạo với nhau một góc 120 Biết rằng 0 ar 3 và br 5

Tính a br r và a br r

Lời giải

a br r  a br r ar  a b br r r  ar  a br r a br r   br  

Do đó a br r  19

a b  a b a  a b b  a  a b a b   b  

Do đó a br r 7

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc giữa hai vectơ AC và DA'.

Lời giải

Ta có: uuur uuur uuurACAB AD và DAuuuur uuur uuuur'DA DD ' uuur uuurAD AA '

Đặt AB a AC a 2DA'

AC DA  AB AD AD AA  AD  a

uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur

0 2

1

a

a



uuur uuuur uuur uuuur

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho ba vectơ ar

, br

, cr không đồng phẳng

Xét các vectơ xr 2a br r ,ury  4ar 2br; zr  3br 2cr. Chọn khẳng định dúng?

A Hai vectơ ury

, zrcùng phương B Hai vectơ xr

, ury

cùng phương,

C Hai vectơ xr

, zrcùng phương D Ba vectơ rx

, ury

, rz đồng phẳng

Câu 2: Cho ba vectơ ar

, br

, cr không đồng phẳng Xét các vectơ xr2a br r ,ur r ry a b  ,rz  3br 2cr Chọn khẳng định đúng?

A Ba vectơ xr

, ury

, zr đồng phẳng B Hai vectơ xr

,ar cùng phương

C Hai vectơ xr

,br cùng phương D Ba vectơ rx

, ury

, rz đôi một cùng phương

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C 1 1 1. Đặt uuur rAA1a,uuur rABb,uuur rACc,uuur urBCd, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A a b c dr r r ur r   0 B a b c dr r r ur   C b c dr r ur r  0 D a b cr r r 

Câu 4: Cho hình hộp ABCD A B D 1 1 1C 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A uuuur uuurAC1A C1 2uuurAC B uuuur uuurAC1CA12CCuuuur r10 C uuuur uuurAC1A C1 2uuurAA1 D CAuuur uuur uuuur1AC CC 1

Câu 5: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuur uuur uuur rAB BC CD DA   0

B Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuurAB CD

C Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB SD SA SCuur uuur uur uuur   thì tứ giác ABCD là hình hình hành

D Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuur uuurAB AC AD

Câu 6: Trong không gian cho điềm O và bốn điểm A, B, c, D không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để

A, B, c, D tạo thành hình bình hành là:

OAuuur OB OCuuur uuur  ODuuur B 1 1

OAuuur OC OBuuur uuur  ODuuur

C OA OC OB ODuuur uuur uuur uuur   D OA OC OB ODuuur uuur uuur uuur r   0

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M, N sao cho AM = 3MD, BN = 3NC.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm cùa AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Các vectơ uuur uuur uuuurBD AC MN, ,

không đồng phẳng B Các vectơ MN DC PQuuuur uuur uuur, ,

đồng phẳng

C Các vectơ uuur uuur uuurAB DC PQ, ,

đồng phẳng D Các vectơ uuur uuuuruuuurAB DC MN, ,

đồng phẳng

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A uuur uuur uuur uuur rAD CD BC DA   0 B 2

2

a

AB AC uuur uuur

C uuur uuur uuur uuurAC AD.  AC CD. D ABCDuuur uuurAB CD. 0

Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A TỪ uuurAB3uuurAC ta suy ra BAuuur 3CAuuur

2

AB BC

uuur uuur

thì B là trung điểm đoạn AC.

C Vì uuurAB 2uuurAC5uuurAD nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

D Tìr uuurAB 3uuurAC ta suy BCuuur2uuurAC

Câu 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur   4MGuuuur B GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur  

C GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r   0 D GM GNuuuur uuur r 0

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thòa mãn:

0

GS GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur uuur r     Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A G, s, O không thẳng hàng B GSuuur4OGuuur

C GSuuur5OGuuur D GSuuur3OGuuur

Câu 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C’ có uuur rAA ' a ,uuur rABb,uuur rACc . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ '

BC

uuuur

qua các vectơ ar

, br

, cr

A BCuuuur r r r'  a b c B uuuurBC'   a b cr r r C BCuuuur'   a b cr r r D BCuuuur r r r'  a b c

Câu 13: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MNuuuurk AC BDuuur uuur 

2

3

Câu 14: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có uuur rAA ' a ,uuur rABb,uuur rACc Hãy phân tích (biểu thị) vectơ '

B C

uuuur

qua các vectơ ã,b, C

A B C a b cuuuur r r r'    B uuuurB C'    a b cr r r C B C a b cuuuur r r r'    D B Cuuuur'    a b cr r r

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm cùa AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu SA SBuur uur 2SCuuur2SDuuur6SOuuur thì ABCD là hình thang

B Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SDuur uur uuur uuur   4SOuuur

C Nếu ABCD là hình thang thì SA SBuur uur 2SCuuur2SDuuur6SOuuur

D Nếu SA SB SC SDuur uur uuur uuur   4SOuuur thì ABCD là hình bình hành.

Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A'B’C'D' có tâm O. Đặt uuur rABa,BCuuur rb M là điểm xác định bởi

 

1

2

OMuuuur a br r Khẳng định nào sau đây đúng?