Chủ đề 15 một số bài TOÁN CHỌN lọc và NÂNG CAO về TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 15 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ TÍCH PHÂN Ví dụ 1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn Biết , tính A B C D Lời giải Ta có Lấy nguyên hàm 2 vế ta được Thay Chọn D Ví dụ 2 Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn và thỏa mãn và Khi đó A B C D Lời giải Ta có Lấy nguyên hàm 2 vế ta được Lại có Do đó , thay Chọn D Ví dụ 3 Cho hàm số đồng biến và luôn dương trên đoạn đồng thời thỏa mãn , biết Khi đó A B C D Lời giải Ta có (do ) Lấy nguyên hàm 2 vế ta được Do Chọn D Ví dụ 4 Cho hàm.

CHỦ ĐỀ 15: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ TÍCH PHÂN

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1; 2 thỏa mãn

f x x f x�  ��x f x  �� Biết f  1   , tính 2 f  2

A  2 1

2

B  2 1

2

2

D  2 3

4

Lời giải:

 

 

 

2

x f x

f x x f x

f x x f x x f x

�

�

�

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: x f x  1 1 x C



x x

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn

x f x x f x� ��x f x  ��  �x và  1 2

3

f  

Khi đó:

A 0 f  3 1 B 1 f  3 3 C f  3 3 D f  3 0

Lời giải:

x f x x f x� ��xf x  ���x ��f x x f x� � �� � xf x  ��

 

 

 

x f x

f x x f x

�

�

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:  

1 1

d xf x

x

xf x







2

3

f

Do đó x f x  1 1 1x 2

 , thay x 3 3.f 13 1 13 2 f  3 214



Ví dụ 3: Cho hàm số y f x  đồng biến và luôn dương trên đoạn  1;3 đồng thời thỏa mãn

  2  4 2  

3

f x�  x  x f x

� � , biết f  1  Khi đó4

A 0 f  2 3 B 3 f  2 5 C 5 f  2 9 D f  2 9

Lời giải:

Ta có:   2  4 2       2 2 2 

f x

�

 

 

2 3

f x

x x

f x

�

� (do f x    �0 x  1; 2 )

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:  

2

d f x

f x

�

3

x

2 14,1

x

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục    0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện

 0 1

f �   và   2  

f x�  f�x

� � Đặt T  f  1  f  0 , hãy chọn khẳng định đúng?

A 2�T  1 B 1�T 0 C 0�T 1 D 1�T 2

Lời giải:

 

2

f x

f x

�

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:  

d f x

f x

�

�

Do f� 0  1�C 1

1

1

x





Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục và đồng biến trên đoạn    0;1 , biết f  0  và1

f x�  x  x  x f x  �x

A f  1 3 B f  1 5 C f  1 6 D f  1 4

Lời giải:

 

2

� 

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được  

 

2

d f x x

xdx

f x x



2 f x x 2 x 2C f x x  x C

Thay x0�C 1� f x  x2  x3 1

Suy ra f x   x3 12 x2 � f  1 3. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn      2     4

f x�  f x f�x  x  x  �� và x

 0  0 1

f  f �  Giá trị của f2 1 bằng

5 2

Lời giải:

Ta có:       2     4

f x f x� � f x�  f x f�x  x  x

Nguyên hàm 2 vế ta được     15 5 2 5 2

5

x

f x f x�   x  C x  x C

Do f  0  f� 0 1�C 1

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: �f x df x    � 3x5 6x2 1dx

 

2

2

f  �D � f  Chọn A.

Ví dụ 7: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục và luôn dương trên đoạn  1;3 thỏa mãn

 1  1 1

f  f �  và f�   x f x  f�2 x x f2 2 x Giá trị của ln��f  3 �� thuộc khoảng nào trong các khoảng sau:

A  1;6 B 7;12  C  0;1 D 12;15 

Lời giải:

Ta có:     2  2 2      2  2 2 

f�x f x  f�x x f x � f�x f x  f�x x f x

2

2 2

x

f x

�

Mặt khác  

2

2

�



, lấy nguyên hàm 2 vế của   ta được:

 

 

3

3

C

f x

�

Do  1  1 1 2

3

f  f�  �C  Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: ln   4 2

12 3

�  �

Do  1 1 3 ln   4 2 3 ln  3 8

f  �D  � f x    � ��f �� Chọn B.

Ví dụ 8: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn    0;1 thỏa mãn

0

9

1 1,

5

f  ���f x� ��dx và 1  

0

2 5

f x dx

� Tính tích phân 1  

0

I �f x dx

A 3

5

4

4

5

I 

Lời giải:

Đặt t  x �t2  x� dx2tdt và 0 0

�

�  � 

�

f x dx t f t dt  x f x dx  � x f x dx

2

2

du f x dx

x

�



�





Do đó f x�  3x2 0� f x�  3x2 � f x  �f x dx�   x3C mà f  1 1�C 0

1

x

f x x ���I �x dx  Chọn B.

Ví dụ 9: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0  f  1  Biết rằng tích0

phân 1 2  1  

1

f x dx f x� xdx 

0

f x dx

A 3

2



B 2

1



Lời giải:

0

f x� xdx xd f x  f x x  f x  �x dx

1

Xét 1   2 1 2  1   2 1 2 

f x k x dx � f x dx k f x xdx k x dx

 2 2

2k  k 2 2 k  k  

0

f x  x dx

�

2



Ví dụ 10: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn    0;1 , f x và   f x� luôn nhận giá trị dương 

trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0  ; 1 1 2     2 1 2    

4

f x f x x dx x f x f x dx

A f  1  3 4 B f  1 2 C f  1 1 D f  1 4

Lời giải:

Giả thuyết tương đương với 1 2     2

0

f x f x x dx

�

f x f x  x f x f x x f x� f x  x

Nguyên hàm 2 vế ta được: 2 3  2 3

3 f x  3 x C

3

Vậy f  1  3 4. Chọn A.

Ví dụ 11: Cho hàm số f x xác định trên   \ 1

2

� �

� �

�

� thỏa mãn   2 ,  0 1

2 1

x

 và f  1  Giá2 trị của biểu thức f   1 f  3 bằng

A 4 ln 5. B 2 ln15. C 3 ln15. D ln15

Lời giải:

1

2

1

ln 2 1 khi

2

1

ln 1 2 khi

2

�

�

�

Do f  0  và 1   1    

2

1

2

C

C



�

Ví dụ 12: Cho hàm số f x xác định trên   �\2; 2 và thỏa mãn   2

4 4

f x

x

 ; f    ; 3 0 f  0 1

và f  3  Tính giá trị biểu thức 2 P f   4 f   1 f  4

A 3 ln 3

25

3

3

P 

Lời giải:

 

1

2

3

2

ln khi 2 2

2

ln khi 2 2

x

x

x

x



�

� Lại có: f   3 0�C3  ln 5; f  0 1�C2 1;   1

1

5

1

3

P f   f   f    C C C   Chọn B.

Ví dụ 13: Cho hàm số f x xác định trên   �\ �1 thỏa mãn   2

1 1

f x

x

 Biết f   3 f  3  và0

2

f � � � �� � � �  f 

� � � � Giá trị T  f   2 f  0  f  4 bằng

A 2 1ln 5

2 9

2 5

2 5

2 5

T 

Lời giải:

 

1

2

3

ln khi 1

ln khi 1

x

x

x

x



�

� Theo bài ra ta có:

0

2

�

�

� � � � �� � � �   ��  � 

�

Do đó T  f   2 f  0  f  4 ��f   2 f  4 �� f  0

Ví dụ 14: Cho hàm số f x liên tục trên   0;� và thỏa   

0

.cos

x

f t dt x x

� Tính f  4 .

A  4 1

2

4

4

f  D f  4  312

Lời giải:

Ta có 2        2 2

0

x

�

 2

2 x f x cosxx.sinx

� Thay x vào 2 vế, ta được 2 4  4 1  4 1

4

f  � f  Chọn B.

Ví dụ 15: Cho hàm số    

2

0

x

G x � tdt x Tính G x�  

A   2

.cos

G x� x x B G x�  2 cos x x C G x�  cos x D G x�  cosx1

Lời giải:

Gọi F t là nguyên hàm của hàm số   f t  cos t

0

x

G x � tdt F x F ���G x� ��F x ��� x F x�  x f x

Lại có  2 2

f x  x  x nên suy ra G x�  2 cos x x Chọn B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số f x xác định trên   �\ 1  thỏa mãn f x  11

x

 , f  0 2017, f  2 2018 Tính

 3  1

S f  f 

A S1 B S ln 2 C Sln 4035 D S 4

Câu 2: Cho hàm số f x xác định trên R thỏa mãn   f x�  2x và 1 f  1  Phương trình5

  5

f x  có hai nghiệm x x Tính tổng 1, 2 S log2 x1 log2 x2

Câu 3: Cho hàm số f x xác định trên   \ 1

3

� �

� �

�

� thỏa mãn f x  3 3 1

x

 , f  0  và 1 2 2

3

f � �� �

� � Giá trị của biểu thức f   1 f  3 bằng

A 3 5ln 2. B 2 5ln 2.  C 4 5ln 2. D 2 5ln 2.

Câu 4: Cho hàm số f x xác định trên   �\2;1 thỏa mãn   2

1 2

f x

  ; f   3 f  3  và 0

 0 1

3

f  Giá trị của biểu thức f   4 f  1  f  4 bằng

A 1 1ln 2

3 3 B 1 ln 80. C 1 ln 2 1ln 4

3 5

3 5



Câu 5: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên   0;� thỏa mãn   2 1

15

     2

f x�  x f x  Tính f  1  f  2  f  3

A 7

11

11

7 30

Câu 6: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên � Biết   f6   x f x � 12x và 13 f  0  Khi đó2 phương trình f x   có bao nhiêu nghiệm?3

Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên � và thỏa mãn   f x    �� Biết 0, x f  0  và1

 

f x

x

f x

�

  Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f x   có hai nghiệm thực phânm

biệt

A m e B 0 �m 1 C 0 m e D 1 m e

Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên � và   f x  � với mọi x ��; 0 f x�   2x1  f2 x và

 1 0,5

f   Biết rằng tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 a

b

     ; a��,b�� với  a

b tối giản.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b  1 B a�2017; 2017  C a 1

b  D b a 4035

Câu 9: Cho hàm số f x  � thỏa điều kiện 0      2

2 3

f x�  x f x và  0 1

2

Biết tổng

 1  2 2017 2018 a

b

     với a��, b�� và  a

b là phân số tối giản Mệnh đề nào sau

đây đúng?

A a 1

b  C a b 1010 D b a 3029

Câu 10: Cho hàm số y f x , � , thỏa mãn x 0        

�

A 2

3

6

7 6

Câu 11: Cho hàm số y f x  đồng biến trên 0;� ;  y  f x  liên tục, nhận giá trị dương trên

0;� và thỏa mãn   3 2

3

f  và   2    

1

f x�  x f x

� � Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 2613 f2 8 2614 B 2614 f2 8 2615

C 2 

2616 f 8 2617

Câu 12: Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương trên 0;� và thỏa mãn  f  1  ,1

f x  f x� x  , với mọi x > 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 4 f  5 5 B 2 f  5 3 C 3 f  5 4 D 1 f  5 2

Câu 13: Cho hàm số f x liên tục trên � và thỏa mãn    1 2 1 3

5 1

x x





hàm của hàm số f  2x trên tập � là:

A  2 

3

x

C x

3 4

x

C

x  

x

C x

x

C x



Câu 14: Cho hàm số f x thỏa mãn  

 

2

0

cos

f x

t dt  x x

� Tính f  4 .

A f  4 2 3 B f  4  1 C  4 1.

2

f  D f  4  312

Câu 15: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn    0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f � 0   và 1   2  

f x�  f�x

� � Đặt T  f  1  f  0 Hãy chọn khẳng định đúng?

A 2�T  1 B 1�T 0 C 0�T 1 D 1�T 2

Câu 16: Cho hàm số   2

1 1

x

G x �t dt Tính G x�  

A 2 .

1

x

x

1

1 x D x21 x21

Câu 17: Cho hàm số   2  

1

x

G x  � t dt x Tính G x�  

A sin x B sin .

2

x

2sin

x

Câu 18: Tính đạo hàm của f x , biết   f x thỏa      

0

x

t e e

A f x�   x B f x�  x2 1 C f x  1

x

1

f x

x



Câu 19: Cho hàm số y f x  liên tục trên 0;� và     

2

0

sin

x

f t dt x x

� Tính f  4 .

A   1

4

f   

B  

2

f  

C  

4

f  

D   1

2

f  

Câu 20: Cho hàm số f x xác định trên   �\ 0  , thỏa mãn   3 5  

1 , 1

 và f   2 b Tính

 1  2

f   f

A f   1 f  2   a b B f   1 f  2   a b

C f   1 f  2  a b D f   1 f  2  b a

Câu 21: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên � thỏa mãn đồng thời các điều kiện

f x  x�� f x�  e f x x�� và  0 1

2

f  Tính giá trị của f  ln 2 .

1

2 3

Câu 22: Cho hàm số y f x  có đồ thị (C), xác định và liên tục trên �thỏa mãn đồng thời các điều

kiện

       2

f x  x�� f x�  x f x x�� và f 0  Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ2

1

x của đồ thị (C) là

A y 6x30 B y  6x 30 C y36x30 D y  36x42

Câu 23: Cho hàm số y f x   xác định, có đạo hàm trên đoạn 0  0;1 và thỏa mãn:

0

1 2018

x

g x   �f t dt, g x   f2 x Tính 1  

0

g x dx

A 1011

1009

2019

Câu 24: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn    0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện

 0 1

f �   và   2  

f x�  f�x

� � Đặt T  f  1  f  0 Hãy chọn khẳng định đúng?

A 2 �T  1 B 1 �T 0 C 0�T 1 D 1�T 2

LỜI GIẢI CHI TIẾT

2

ln 1 khi 1 1

dx

�

Do f  0 2017�C2 2017; f  2 2018�C1 2018

Suy ra S ln 2 2018 ln 2017   Chọn A.1

Câu 2: f x�  2x1� f x   x2  x C

Do f  1 5�C 3� f x  x2  x 3

Khi đó   2

1

2

x

x



�

1

2

1

ln 3 1 khi

1

ln 1 3 khi

3

dx

�

�

�

Do f  0 1�C2 1; 1

2

3

f � �� � �C 

� � Khi đó f   1 f  3 ln 4 1 ln 8 2 3 5ln 2     Chọn A.

Câu 4:   2



 

1

2

3

ln khi 2

ln khi 1

x

x

x

x



�

� Khi đó:  3  4 1ln5

3 4

f   f   ;  4  3 1ln8

3 5

 3  4  4  3 ln 2  4  4 1ln 2

3

Mặt khác  1  0 1ln1  1 1 1ln1

Do đó  4  1  4 1 1ln8

3 5

f   f  f   Chọn D.

Câu 5:      2          

 

 

4

d f x

f x

�

Mặt khác     2

Suy ra  1  2  3 7

30

f  f  f  Chọn D.

Câu 6: Ta có 6      6    2

f x f x dx�  x dx� f x df x  x  x C

 

7

2

7

f x

�

Lại có f  0  nên 2 27 24 26 222

7   C�C   7 Suy ra   2

7 6 13

7

f x  ��x  x ��

� �do đó f x   có 2 nghiệm phân biệt Chọn A.3

Câu 7: Lấy nguyên hàm 2 vế của biểu thức  

f x

x

f x

�

  ta được:

 

f x

Do f  0 1�ln��f  0 ��C �C 0� f x  e2x x 2

Lại có: f x�   2 2  x e 2x x 2 0� x1

� �  � �  và f 1 e

Suy ra phương trình f x   có 2 nghiệm thực phân biệt khi 0 m e m   Chọn C.

Câu 8:      2          

 

 

d f x

f x

 

2

f   �C 

x x





1009

a b

 

�



Câu 9:      2          

 

 

3

d f x

f x

2

f   �C 

Vậy P 1 1 1 1 1 1 1009



Câu 10:                  

2

3

f x

�  ��� ��

Lại có:  

2

f x

�

Do đó lấy nguyên hàm 2 vế của   ta được:  

 

d f x

 

2 1

2

x

C

f x

   



Do đó  1 2

3

f  Chọn A.

Câu 11:              

2

f x

�

Lấy nguyên hàm hai vế của   ta được: ,

 

3 2

3 2

d f x

f x

�

3

f x  x C

2

Vậy 2613 f2 8 2614 Chọn A.

Câu 12:     3 1     1

3 1

f x

�

�

 Lấy nguyên hàm 2 vế ta được  

3 1

x �  C �C  

3 3 3

x � f    � f e � Chọn C.

t x �x t  Khi đó  1 2 1 3

5 1

x x





�

   2         

Câu 14: Ta có

2

f x

f x

f x t

�

Thay x vào biểu thức 4   , ta được 3     

4

3

f

Câu 15: Ta có      

 

 

 

2

�

'

 mà f ' 0   1���C1

Câu 16: Gọi F t là nguyên hàm của hàm số   f t   1t2

0

x

G x �t dt F x F ���G x� ��F x ���F x�  f x

Lại có f x   1x2 nên suy ra G x�   1x2 Chọn B.

Câu 17: Gọi F t là nguyên hàm của hàm số   f t  sint2

0

'

�

�

Lại có    2

f x  x  x nên suy ra   sin

2

x

G x

x

�  Chọn B.

Câu 18: Ta có            

0

x

t e dt e � x e  f x e� � f x� x

Câu 19: Ta có 2        2 2

0

x

 2

2 x f x sinxx.cosx

�

Thay x4 vào hai vế, ta được 4  4  4

4

f  � f 

Chọn C.

Câu 20: Ta có     1  

2





�

    � và     2  

1

f  f �f x dx�

    1   2      





Câu 21:   2         

x

 mà  0 1 1

2

f  ���C 

ln 2

x

Câu 22:   2 2      2     2

3

3

3

3

x

C

 mà  0 2 1

2

f  �C  

Do đó   3    

1 36 1

3 2

f

f x

� 

�

�

 nên phương trình tiếp tuyến là y36x30 Chọn C.

Câu 23: Ta có g 0  và 1          

1

x

g x   �f t dt �g x�  f x  g x

 

  1009 1

g t  t

0

1011 2

g t dt 