phương trình mặt cầu từ 5 đến 10 điểm

Chuyên Bắc Giang 2019 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?. Chuyên KHTN 2019 Trong không gian với hệ tọa độ O

I R

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM

Dạng 1 Xác định tâm và bán kính

g Mặt cầu tâm ( ; ; ) I a b c và có bán kính R có phương trình ( ) : (S x a )2 (y b)2 (z c)2 R2

g Phương trình x2y2 z2 2ax2by2cz d   với 0 a2   b2 c2 d 0

là phương trình của mặt cầu có tâm ( ; ; ) I a b c và bán kính R a2  b2 c2 d

g Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước x y z phải bằng nhau và 2, , 2 2 a2   b2 c2 d 0

Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Câu 8 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Câu 9. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu( ) : (S x1)2 (y 2)2 (z 3)2 9

Tâm của ( )S có tọa độ là:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 17 (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S : x2y2 z2 2y2z 7 0

Bánkính của mặt cầu đã cho bằng

Câu 18 (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x2y 7 0. Bán

kính của mặt cầu đã cho bằng

Câu 19 (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2y2z  Bán7 0.

kính của mặt cầu đã cho bằng

Câu 20 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

 S :x2y2 z2 8x2y 1 0 Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu  S

Câu 24 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y2z 3 0.

Tọa độ tâm I của mặt cầu  S là:

Câu 27 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có

 Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và đi qua điểm A

Phương pháp:

( ) :

âm I T S

Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 4. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

Câu 5 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

mặt cầu có tâm I1; 4;3  và đi qua điểm A5; 3;2 .

Câu 8. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau

phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

Câu 10 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây không

phải là phương trình của một mặt cầu?

A x2y2  z2 x 2y4z 3 0. B 2x22y22z2   x y z 0.

C 2x22y22z24x8y  6z 3 0. D x2y2 z2 2x4y  4z 10 0.

Câu 11 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz , cho hai

điểm A1;2;3 , B 5;4; 1  Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Câu 13 (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu  S tâm A2;1;0 ,

đi qua điểm B0;1; 2

là phương trình của mặt cầu có tâm ( ; ; ) I a b c và bán kính R a2  b2 c2 d.

g Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước x y z phải bằng nhau và 2, , 2 2 a2   b2 c2 d 0

Tâm của mặt cầu  S

Tâm của mặt cầu  S có tọa độ là 1; 2; 3  .

Câu 9. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu( ) : (S x1)2 (y 2)2 (z 3)2 9

Tâm của ( )S có tọa độ là:

A ( 2; 4;6)  . B (2; 4; 6) C ( 1; 2;3)  . D (1; 2; 3)

Lời giải Chọn C

Tâm của ( )S có tọa độ là: ( 1; 2;3) 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Tâm của mặt cầu  S

Phương trình mặt cầu tâm I a b c ; ; 

C I1; 2; 4 ,  R2 5 D I1; 2; 4 ,  R5 2

Lời giải Chọn C

Lời giải Chọn D

Câu 18. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x2y 7 0. Bán

kính của mặt cầu đã cho bằng

Lời giải Chọn D

Vậy bán kính của mặt cầu bằng 3

Câu 19. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) :S x2 y2  z2 2y2z  Bán7 0.

kính của mặt cầu đã cho bằng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu đã cho có phương trình dạng x2 y2  z2 2ax2by2cz d  có bán kính là0

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 S :x2y2 z2 8x2y 1 0 Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu  S

Vậy mặt cầu  S có tâm I4; –1;0 và bán kính R4.

Câu 21 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho mặt cầu  S :x2y2 z2 2x4y2z 3 0.

Vậy bán kính của mặt cầu  S là R3.

Câu 22. Trong không gian vơi hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S :x2y2 z2 8x2y 1 0 Tìm tọa độ

Câu 24 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y2z 3 0.

Tọa độ tâm I của mặt cầu  S là:

Câu 25 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là 2; 1;3 .

Mặt cầu đã cho có tâm I1; 2;3  và bán kính R 2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và đi qua điểm A

Phương pháp:

( ) :

âm I T S

Phương trình x2   y2 z2 2x 2y   là một phương trình mặt cầu4z m 0

Câu 4. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

mặt cầu có tâm I1; 4;3  và đi qua điểm A5; 3;2 .

Mặt cầu có tâm I1; 4;3  và đi qua điểm A5; 3;2 nên có bán kính R IA 3 2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

A x2y2 z2 2x4z 1 0 B x2 z2 3x2y4z 1 0

C x2y2 z2 2xy4y4z 1 0 D x2y2 z2 2x2y4z 8 0

Lời giải Chọn A

Đáp án B vì không có số hạng y Đáp án C loại vì có số hạng 2 2xy Đáp án D loại vì

phải là phương trình của một mặt cầu?

điểm A1;2;3 , B 5;4; 1  Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Câu 12. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I2;1; 2  bán

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

+ Gọi I là trung điểm của AB  I3;3;1.

Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I4;0;3 của AB làm tâm

Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn MN  I1; 2;1

là phương trình của mặt cầu có tâm ( ; ; ) I a b c và bán kính R a2  b2 c2 d.

g Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước x y z phải bằng nhau và 2, , 2 2 a2   b2 c2 d 0

Câu 1 (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để

A R 2 B R 3. C R3. D R 2.

Câu 6. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm

1; 2; 4

A  , B1; 3;1 , C2; 2;3

Tính đường kính l của mặt cầu  S

đi qua ba điểm trên và cótâm nằm trên mặt phẳng Oxy

A l2 13. B l2 41. C l2 26. D l2 11.

PH NG TRÌNH M T C U ƯƠ Ặ Ầ

Chuyên đề 29

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 7. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1;0;0, B0;0; 2

Câu 8 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi  S

là mặt cầu đi qua 4 điểm

2;0;0 , 1;3;0 ,  1;0;3 , 1; 2;3

A R2 2. B R 3 C R 6 D R 6.

Câu 9 (Sở Hà Nội 2019) Cho hai điểm A B, cố định trong không gian có độ dài AB là 4 Biết rằng tập

hợp các điểm M trong không gian sao cho MA3MB là một mặt cầu Bán kính mặt cầu đó bằng

là phương trình của một mặt cầu

Câu 11 (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz Cho tứ diện đều ABCD có A0;1; 2

và hìnhchiếu vuông góc của A trên mặt phẳng BCD là H4; 3; 2   Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD

của mặt cầu là

A 2; 1;0 . B 2;1;0. C 0;0; 2  . D 0;0;0

Câu 13 Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu  S

đi qua điểm O và cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại, ,

các điểm , ,A B C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G 6; 12;18 Tọa độ

tâm của mặt cầu  S

là

A 9;18; 27 . B  3; 6;9. C 3;6; 9 . D  9; 18;27 .

Câu 14 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu     2  2 2

,

  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox Oy và Oz Biết rằng mặt cầu ,  S

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

Câu 15 Cho phương trình x2 y2 z2  4x 2my 3m2  2m 0 với m là tham số Tính tổng tất cả các

giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

A 0 B 1 C 2 D 3.

Câu 16 (Sở Kon Tum 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;0; 0 , B0; 2;0 , C0;0; 4 .

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

294

Câu 18 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , gọi  S

là mặt cầu đi qua điểm

có đỉnh A3; 2; 2  và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu Một

đường sinh của hình nón  H

cắt mặt cầu tại M N, sao cho AM 3AN Viết phương trình mặtcầu đồng tâm với mặt cầu  S

và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  H

là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa

mãn đẳng thức MA MB MC MDuuur uuur uuuuruuuur.  . 1 Biết rằng  L

là một đường tròn, đường tròn đó có bán

kính r bằng bao nhiêu?

A

112

r

72

r

32

r

52

r 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu

 Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và đi qua điểm A

Phương pháp:

( ) :

âm I T S

 Dạng 4 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ.

Phương pháp:

( ) :

âm I T S

 Dạng 5 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ). P

( ) :

T S

g Khoảng cách từ điểm ( ; M x M y M;z M) đến mặt phẳng ( ) : P ax by cz d     được xác định bởi0

Vì , , , A B C D( )S nên tìm được 4 phương trình a b c d, , , ( ).S

 Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu ( ) S đi qua 3 điểm , , A B C và tâm thuộc mp ( ). P

Phương pháp: Gọi ( ) :S x2y2 z2 2ax2by2cz d 0

Vì , , A B C( )S nên tìm được 3 phương trình và ( ; ; ) ( ) I a b c  P là phương trình thứ tư.

Giải hệ bốn phương trình này a b c d, , , ( ).S

 Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và cắt mặt phẳng ( ) P theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính r.(dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn)

Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ

Câu 2. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) Viết

là trung điểm của AB.

với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa độ.

phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB2 3

A (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 16 B (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 20

C (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 25 D (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 9

Câu 3 (Sgd Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz, giá trị dương của m sao cho mặt phẳng Oxy

x y  z m  là

A m 5 B m 3. C m 3 D m 5.

Câu 4 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm M1; 2;3 .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

là mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu  S có tâm trùng với tâm của mặt cầu  S và có bánkính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu  S

Câu 10 (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I2;1; 3  và

tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

Câu 13 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua

điểm A1; 1; 4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.

Câu 15 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H1; 2; 2  Mặt phẳng   đi

qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viếtphương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   .

A x2y2z2  81 B x2y2z2  1 C x2y2  D z2 9 x2y2 z2 25.

Câu 16 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua

điểm A1; 1;4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.

là phương trình của mặt cầu có tâm ( ; ; ) I a b c và bán kính R a2  b2 c2 d

g Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước x y z phải bằng nhau và 2, , 2 2 a2   b2 c2 d 0

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

có phương trình dạng

x   y z x y az a  Tập hợp các giá trị thực của a để  S

có chu vi đường trònlớn bằng 8 là

A R 2 B R 3. C R3. D R 2.

Lời giải

Giả sử M x y z ; ; 

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB2MC2 là mặt cầu có bán kính là R 2.

Câu 6. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm

1; 2; 4

A  , B1; 3;1 , C2; 2;3

Tính đường kính l của mặt cầu  S

đi qua ba điểm trên và cótâm nằm trên mặt phẳng Oxy

a

b c d

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

là mặt cầu đi qua 4 điểm

hợp các điểm M trong không gian sao cho MA3MB là một mặt cầu Bán kính mặt cầu đó bằng

là phương trình của một mặt cầu

m m

 



Câu 11 (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz Cho tứ diện đều ABCD có A0;1; 2 và hình

chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng BCD

là H4; 3; 2   Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD

A I3; 2; 1  . B I2; 1;0 . C I3; 2;1 . D I 3; 2;1.

Lời giải

Gọi I a b c ; ;  IAuur  a;1b; 2c IH;uuur     4 a; 3 b; 2 c

ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện uurIA 3IHuuur

của mặt cầu là

A 2; 1;0 . B 2;1;0. C 0;0; 2 . D 0;0;0

Lời giải Chọn B

Câu 13. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu  S

đi qua điểm O và cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại, ,

các điểm , ,A B C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G 6; 12;18 Tọa độ

tâm của mặt cầu  S

là

A 9;18; 27 . B  3; 6;9. C 3;6; 9 . D  9; 18;27 .

Lời giải Chọn D

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox Oy Oz lần lượt là , , A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c

với

a b c

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vì G là trọng tâm tam giác ABCnên

3

a

a b

b c c

2 2 2

,

  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox Oy và Oz Biết rằng mặt cầu ,  S

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

A 40 . B 4 . C 20 . D 36.

Lời giải Chọn A

I O

Ta dễ dàng chứng minh được: cos2cos2cos2 1

Mặt cầu  S

có tâm Icos ;cos ;cos  .

Suy ra tâm I thuộc mặt cầu  S có tâm O 0;0;0 , R   cos2 cos2cos2 1

Mặt cầu  S

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu    S1 , S2

.Mặt cầu  S1

có tâm là O , bán kính R1 OI R   1 2 1.Mặt cầu  S2

Câu 15. Cho phương trình x2 y2 z2  4x 2my 3m2  2m 0 với m là tham số Tính tổng tất cả các

giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Lời giải Chọn B

Giả sử x2 y2 z2  4x 2my 3m2  2m 0 là phương trình mặt cầu

Khi đó tâm mặt cầu là I2;m;0, và bán kính R 4m23m22m  2m22m4

vớiđiều kiện2m22m    4 0 m  1;2

Do m  ¢ m  0;1

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 1.

, B0; 2;0 , C0;0; 4 .

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

294



Lời giải Chọn B

294





TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A R 41. B R 15. C R 13. D R 26.

Lời giải Chọn D

Gọi phương trình mặt cầu  S

có dạng x2y2 z2 2ax2by2cz d  , với tọa độ tâm0

là mặt cầu đi qua điểm

Gọi I là tâm của mặt cầu  S

nên ta có IA Ox , IBOy , IC Oz hay A , B , C tương

ứng là hình chiếu của I trên Ox , Oy , Oz I a b c ; ; .

 Mặt cầu  S có phương trình: x2y2 z2 2ax2by2cz d  với 0 a2    b2 c2 d 0

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

hình nón  H

có đỉnh A3; 2; 2  và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu Một

đường sinh của hình nón  H

cắt mặt cầu tại M N, sao cho AM 3AN Viết phương trình mặtcầu đồng tâm với mặt cầu  S

và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  H

Gọi hình chiếu vuông góc của I trên MN là K

Dễ thấy

13

và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  H

chính là mặt cầu tâm I1;2;3 có bán kính

2133

Câu 20. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , gọi I a b c ; ; 

là tâm mặt cầu đi qua điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Nhận thấy chỉ có trường hợp a  b c thì phương trình AI d I Oxy ,   có nghiệm, các

trường hợp còn lại vô nghiệm

là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa

mãn đẳng thức MA MB MC MDuuur uuur uuuuruuuur.  . 1 Biết rằng  L

là một đường tròn, đường tròn đó có bánkính r bằng bao nhiêu?

A

112

r

72

r

32

r 

52

 Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và đi qua điểm A

Phương pháp:

( ) :

âm I T S

 Dạng 3 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có đường kính , AB với , A B cho trước.

là trung điểm của AB.

 Dạng 4 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ.

Phương pháp:

( ) :

âm I T S

 Dạng 5 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ). P

( ) :

T S

g Khoảng cách từ điểm ( ; M x M y M;z M) đến mặt phẳng ( ) : P ax by cz d     được xác định bởi0

Vì , , , A B C D( )S nên tìm được 4 phương trình a b c d, , , ( ).S

 Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu ( ) S đi qua 3 điểm , , A B C và tâm thuộc mp ( ). P

Phương pháp: Gọi ( ) :S x2y2 z2 2ax2by2cz d 0

Vì , , A B C( )S nên tìm được 3 phương trình và ( ; ; ) ( ) I a b c  P là phương trình thứ tư.

Giải hệ bốn phương trình này a b c d, , , ( ).S

 Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I và cắt mặt phẳng ( ) P theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính r.(dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn)

Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ

Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là I1;0;0 IM  13

.Suy ra phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM là: x12y2z213

Câu 2 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) Viết

phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB2 3

A (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 16 B (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 20

với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa độ.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 3 (Sgd Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz, giá trị dương của m sao cho mặt phẳng Oxy

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ?

Với điểm M1; 2;3  thì hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là I1;0;0

Có IM  13 vậy phương trình mặt cầu tâm I1;0;0

4 21

2

a b

c d

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vì mặt cầu đi qua 4 điểm nên:

a b c d

là mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu  S có tâm trùng với tâm của mặt cầu  S

và có bánkính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu  S

a b c d

Câu 10 (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I2;1; 3  và

tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

Câu 11 (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt

Gọi I1;1;0 , R2 II 10.

Gọi R là bán kính của mặt cầu  S Theo giả thiết, ta có R R IIRII R 8.

Câu 13 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua

điểm A1; 1; 4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

33

a c b R

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN

Ta áp dụng tính chất sau : “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có

3 4 5

45.0 4.2 3

3

3 4 5

85.0 4.2 3

có phương trình y 0Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxz

nên mặt cầu có bán kính R d I Oxz  ,   1.

x  y  z  .

Câu 15 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H1; 2; 2  Mặt phẳng   đi

qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viếtphương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   .

A x2y2z2  81 B x2y2z2  1 C x2y2  D z2 9 x2y2 z2 25.

Lời giải

O

A

B C

K H z

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   là  S :x2y2z2 9.

Câu 16 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua

điểm A1; 1;4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.