tích phân từ 5 đến 10 điểm

TÍCH PHÂN Chuyên đề 26TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng... TÍCH PHÂN- PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 263... mà mẫu khô

Trang 1

TÍCH PHÂN Chuyên đề 26

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM

Dạng Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên K ; , a b là hai phần tử bất kì thuộc K , F x( )

f x dx=

∫+

 Nhận xét Khi thay x bằng (ax b+ ) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1a

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu 2 ( )

Trang 2

Câu 4 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết F x( ) =x2 là một nguyên hàm của hàm số f x( )

trên ¡ Giá trị của

( )2

Trang 3

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Biết F x( ) =x2 là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên ¡ Giá trị

Trang 4

d( )

( )d

b b

a b a

a

f x x

Câu 27 (THPT - YÊN Định Thanh Hóa2019) Cho

1 0

Trang 5

Câu 30 (Sở Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f x( )

( )d

I =∫ f x x

94

Câu 34 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f x( )

liên tục trên ¡ thoả mãn

( )8

f x x=

∫

, 8 ( )4

Trang 6

Câu 37 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x( )

liên tục trên đoạn [0;10]

và 10 ( )0

Câu 38 Cho ,f g là hai hàm số liên tục trên [ ]1;3

I =

B

52

I =

C

72

I =

D

112

Trang 7

Câu 45 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho 5 ( )

2sin 3

−

B

16

−

C

310

−

D

15

Trang 8

Câu 54 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f x( )

Giá trị của tham số m thuộc

khoảng nào sau đây?

5ln3

I e

= +

C I =1 D I =e

Câu 61 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tính tích phân

3 0

d2

x I

x

=+

∫

A

21100

I = −

5ln2

I =

5log2

I =

45815000

I =

Câu 62 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019)

2 1

Trang 9

TÍCH PHÂN Chuyên đề 26

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 63 Tính tích phân

2 1

1d

I =

Câu 64 Biết

3 1

2

ln ,

x

dx a b c x

I =

B

1

I e

1d1

x

=+

d1

K =

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM

Trang 10

Dạng Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân

f x dx=

∫+

Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu 2 ( )

Trang 11

Câu 4. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết F x( ) =x2 là một nguyên hàm của hàm số f x( )

trên ¡ Giá trị của

( )2

Trang 13

Trang 14

( )1

Lời giải Chọn C

Trang 15

d( )

( )d

b b

a b a

a

f x x

Trang 16

Lời giải

Ta có 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

1 1

Trang 17

Câu 30. (Sở Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f x( )

( )d

I =∫ f x x

94

Trang 18

Lại có: 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )

1 1

F x x F x′ = =F −F

∫

.Suy ra ( )4 ( )1 1ln 7

f x x=

∫

, 8 ( )4

X Y

=



 =

Trang 19

Câu 37. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x( )

liên tục trên đoạn [0;10]

và 10 ( )0

Câu 38. Cho ,f g là hai hàm số liên tục trên [ ]1;3

u v

3

1 3 1

dx=4dx=2

Trang 20

I =

B

52

I =

C

72

I =

D

112

I =

Lời giải Chọn A

Trang 21

Câu 43. (Sở Bình Phước 2019) Cho

2 1

Trang 22

Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân 0( )

+ Tính được

2 0

0 0

Trang 23

2sin 3

−

B

16

−

C

310

−

D

15

Lời giải Chọn B

Ta có

4

4 0 0

200

0

10 8 2d

Giá trị của tham số m thuộc

khoảng nào sau đây?

Trang 24

Ta có 2 2 ( )

1 1

5ln3

Lời giải Chọn D

2

2 0 0

I e

= +

C I =1 D I =e

d2

x I

x

=+

∫

A

21100

I = −

5ln2

I =

5log2

I =

45815000

I =

Lời giải

Trang 25

3

3 0 0

1 1

1d

2

ln ,

x

dx a b c x

I =

B

1

I e

=

C I =1 D I =e

Trang 26

TÍCH PHÂN- PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26

(3 )

I =∫ f x dx

1d1

x

=+

∫

có giá trị bằng

Cách 1: Ta có:

1 0

d1

K =

Lời giải

3 2 2

d1

Trang 27

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 1 Tích phân cơ bản có điều kiện

Câu 1 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F x( )

là một nguyên hàm của f x( ) 22

x

=+ Biết

( )1 0

F − = Tính F( )2

kết quả là

A ln 8 1+ . B 4ln 2 1+ C 2ln 3 2+ . D 2 ln 4

Trang 28

Câu 2 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x( ) Biết f ( )0 =4 và f x'( ) =2sin2x+ ∀ ∈1, x ¡ , khi đó

( )4

π + π −

B

2 4.16

π −

C

2 15

.16

D

.16

f x x= −

∫

, 2 ( )0

−

43

Giá trị của tham số m

thuộc khoảng nào sau đây?

A (−1; 2). B (−∞;0) . C (0; 4)

Trang 29

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 9 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho 1( 2)

−

6 ln 2 34

+

8ln 2 34

+

8ln 2 34

−

Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x( ) có f(0)=4 và

2

4 0

π +

2 1416

−π

2 332

−π

Trang 30

Dạng 2 Tích phân hàm số hữu tỷ

Tính

( ) ( )

b a

P x

Q x

=∫

? với P x( ) và Q x( ) là các đa thức không chứa căn

 Nếu bậc của tử P x( ) ≥ bậc mẫu Q x( ) →PP chia đa thức.

 Nếu bậc của tử P x( ) < bậc mẫu Q x( )

mà mẫu số phân tích được thành tích số →PP đồng

nhất thức để đưa thành tổng của các phân số

mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số

trường hợp thường gặp sau:

và giải A bằng cách đặt t= mẫu số.

Câu 1 (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Biết ( ) ( )

2 1

Trang 31

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 3. Biết

2 1 0

ln 21

2 0

Câu 5 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết

5 2 3

+

∫

với a, b là các số nguyên.Tính S= -a 2b

A S=2. B S= −2. C S =5. D S=10.

Câu 6 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho

2 2 1

1

a x

π

=+ +

Trang 32

A 30 B 60 C 50 D 40.

Câu 13 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Biết

4 3 2 2 1

Câu 20 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết

4 3 22 1

Trang 33

Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Câu 21 (Bình Phước - 2019) Cho ( ) ( )

3 2

Dạng 3 Tích phân đổi biến

 Tích phân đổi biến: ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

Các bước tính tích phân đổi biến số

 Bước 1 Biến đổi để chọn phép đặt t u x= ( ) ⇒dt u x dx= '( ) (quan trọng)

 Bước 2 Đổi cận:

( ) ( )

I =∫ f t dt đơn giản hơn và dễ tính toán.

Một số phương pháp đổi biến số thường gặp

Trang 34

I =∫ f x +a x dx → đặt x a= .tant hoặc x a= .cott.

(mấu chốt xuất phát từ công thức

Đổi biến dạng 4 ∫ f (sin cos x) x dx→ =t sinx⇒ =dt cos x dx

Đổi biến dạng 5 ∫ f (cos sin x) x dx→ =t cosx⇒ = −dt sin x dx

Trang 35

d1

x

=+

5 1

11

d2

5 1

1d

4 1

11

d2

4 1

13

d2

1

=+

1

2.2021

−

D

1.1011

−

Câu 6 (Đề Tham Khảo 2019) Cho ( )

1

2 0

Trang 36

Câu 8 (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Biết

1 2 2 0

Câu 9 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho với m , p , q∈¤ và

là các phân số tối giản Giá trị m+ + bằngp q

d2

với ,a b là các số nguyên dương.

Tính giá trị của biểu thức T =a2−ab b+ 2.

Câu 12 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết 2( )

1

1 2

2 d1

Trang 37

Câu 16 (Mã 102 2018) Cho

21 5

I =∫ udu

B

2 1

12

I = ∫ udu

C

3 0

2

I = ∫ udu

D

2 1

I =∫ udu

Câu 19 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Giả sử tích phân

5 1

A

53

a b c+ + =

43

a b c+ + =

73

a b c+ + =

83

d2

A T = −1. B T =0. C T =2. D T =1.

Câu 22 (Chuyên Vinh - 2018) Tích phân

1 0

Trang 38

Câu 24 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết 1

S =

34

S =

23

−

B

53

S =

34

S =

23

S =

Trang 39

Câu 31 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho

3 0

∫

, với a b c d, , , là các sốnguyên và

d1

x x x

sindcos

x x x

∫

2 4 0

sindycosy

−

325

−

32

−

320

d4

x I

A

3 0

d

π

t I t

=∫

Trang 40

Câu 38 (THPT Phú Lương - Thái Nguyên - 2018) Biết

I n

=+ .

Câu 40 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Giả sử

64

3 1

ln3

Trang 41

Câu 46 (Sở Bình Phước - 2020) Cho

2 2 0

I = −

B

4

14

I = − π

C I = −π4 D I =0

Câu 48 (THPT Kinh Môn - 2018) Cho

2 2 0

d

I =∫ t t

3 2

d

I =∫ t t

2 3

I = ∫ t t

2 0

sindcos

1d

d

I = −∫u u

1 2 0

sindcos

I =

32

I =

Câu 52 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho tích phân

2 3

Trang 42

Câu 54 (HSG Bắc Ninh 2019) Biết ( )F x nguyên hàm của hàm số

, khi đó b a− bằng

Câu 59 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số y= f x( ) có f ( )0 =0 và

+

= ++

3 1d

Trang 43

Câu 62 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho ( )2

a b c∈¢ Khẳng định nào sau đâu đúng.

Trang 44

Câu 70 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho

1 0

+

e

14

−

e

12

−

e

12

Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân nhau (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…)

Thứ tự ưu tiên chọn u là: "log – đa – lượng – mũ" và dv là phần còn lại.

Nghĩa là nếu có ln hay loga x thì chọn u =ln hay

không có ln; log thì chọn u= đa thức và dv= còn lại,…

CHÚ Ý: ¾¾® tích phân từng phần luân hồi

Nghĩa là sau khi đặt u, dv để tính tích phân từng phần và tiếp tục tính sẽ xuất hiện lại tích phânban đầu Giả sử tích phân được tính ban đầu là I và nếu lập lại, ta sẽ không giải tiếp mà xem đây

là phương trình bậc nhất ẩn là

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét

2 2 0

2 e d∫ u u

4 0

2 e d∫ u u

2 0

1

e d2

u u

∫

4 0

1

e d2

Trang 45

A

2 14

e

B

12

I =

C

2 22

e

D

2 14

f x = +e ∫xf x dx

Giá trị của(ln(5620))

Trang 46

A

2

5 3e

.4

0 0

π π

2 1

ln1

Trang 47

Câu 18 (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết rằng ( )

∫

trong đó, ,

Câu 23 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho tích phân

2 2 1

Trang 48

A T =9. B T =13. C T =7. D T =11.

Câu 27 (Thpt Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho

2 2 1

P=

92

P=−

Câu 29 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân

1 0

2 0

Câu 31 (Chuyên Thái Bình 2019) Biết

1 12

11

c x

= ++

Trang 49

TÍCH PHÂN- PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Chuyên đề 26

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1 Tích phân cơ bản có điều kiện

Trang 50

Câu 1. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F x( )

là một nguyên hàm của f x( ) 22

x

=+ Biết

π + π −

B

2 4.16

π −

C

2 15

.16

D

.16

π + π −

Trang 51

π +

m n

=



⇔  =

Trang 52

f x x= −

∫

, 2 ( )0

−

43

0

13d2

a b c

a a

Trang 53

Câu 8. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho ( 2 )

Giá trị của tham số m

thuộc khoảng nào sau đây?

A (−1;2). B (−∞;0) . C (0; 4)

0 0

.Khi đó I+ > ⇔ −6 0 2m2+ + > ⇔ −2 6 0 m2+ > ⇔ − < <4 0 2 m 2

Mà mlà số nguyên nên m∈ −{ 1;0;1}

Vậy có 3 giá trị nguyên của mthỏa mãn yêu cầu

Câu 10. (Sở GD Kon Tum - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để ∫0a(2x−3 d) x≤4?

Vậy có 4 giá trị của a thỏa đề bài.

Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh - HN 2018).Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π π;3 ) sao cho

Trang 54

Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 12. (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f x( )

xác định trên R\{−2;2} thỏa mãn ( ) 2

44

2

22

x x

x

x x

d

x x

x

++

1

de

Trang 55

Câu 14. (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên ¡ \ 0{ } thỏa mãn ( ) 2

−

6 ln 2 34

+

8ln 2 34

+

8ln 2 34

−

Lời giải

π +

2 1416

Trang 56

4 4 4 4 4

2 2

−π

2

332

−π

là các đa thức không chứa căn

 Nếu bậc của tử P x( ) ≥ bậc mẫu Q x( ) →PP chia đa thức.

 Nếu bậc của tử P x( ) < bậc mẫu Q x( )

mà mẫu số phân tích được thành tích số →PP đồng

nhất thức để đưa thành tổng của các phân số

Trang 57

mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số

trường hợp thường gặp sau:

và giải A bằng cách đặt t= mẫu số.

Câu 1. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Biết ( ) ( )

2 1

Suy ra

1921,

2

a= b=

Vậy a+4b=59

Trang 58

Câu 3. Biết

2 1 0

ln 21

2 0

a

a b b

+

∫

với a, b là các số nguyên.Tính S= -a 2b

Trang 59

Ta có:

4 2 3

Câu 9. Biết

5 23

1d1

a x

π

=+ +

Trang 60

Với x=0, ta có t 6

π

=

.Với x=1, ta có t 3

a

a b b

I

21192

a b

Trang 61

Ta có

4 3 22 1

d3

Câu 14. Cho

1 2 2 0

Ta có:

1 20

2d1

x x x

−+

−

.Suy ra m=2; n= −1 Vậy S=1.

Câu 16. (THPT Cẩm Bình 2019) Cho

1 2 0

Trang 62

Câu 17. (Sở Hà Nam - 2019) Cho

2 0

Ta có:

2 0

Vậy a b c+ + =1.

Câu 18. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho biết

2 2 0

Trang 63

.Vậy P a b= − − = −2 c3 4.

Câu 21. (Bình Phước - 2019) Cho ( ) ( )

3 2

x x

+

=+ =ln45−ln34

Trang 64

Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Dạng 3 Tích phân đổi biến

 Tích phân đổi biến: ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

b a

Các bước tính tích phân đổi biến số

 Bước 1 Biến đổi để chọn phép đặt t u x= ( ) ⇒dt u x dx= '( ) (quan trọng)

 Bước 2 Đổi cận:

( ) ( )

I =∫ f t dt đơn giản hơn và dễ tính toán.

Một số phương pháp đổi biến số thường gặp

Trang 65

Nghĩa là nếu gặp tích phân chứa căn thức thì có khoảng 80% sẽ đặt t= căn trừ một số trường

I =∫ f x +a x dx → đặt x a= .tant hoặc x a= .cott.

(mấu chốt xuất phát từ công thức

t

=

a x

Đổi biến dạng 4 ∫ f (sin cos x) x dx→ =t sinx⇒ =dt cos x dx

Đổi biến dạng 5 ∫ f (cos sin x) x dx→ =t cosx⇒ = −dt sin x dx

Trang 66

d1

x

=+

5 1

11

d2

5 1

1d

4 1

11

d2

4 1

13

d2

Trang 67

d1

.d1

x x

=+

5 1

11

d2

t

t t

1

=+

0

< −

+ ≠ ∀ ∈ ⇒  >a

11

1

2.2021

−

D

1.1011

−

αα

Trang 68

,

463

Trang 69

Ta có

1 2 2 0

Câu 9. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho với m , p , q∈¤ và

là các phân số tối giản Giá trị m+ + bằngp q

22

m=, p=5 và q=2.Vậy

d2

với ,a b là các số nguyên dương.

Tính giá trị của biểu thức T =a2−ab b+ 2.

Trang 70

Câu 12. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết 2( )

1

1 2

m n p q

2 d1

∫

là

2 2

Trang 71

Câu 14. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ¡ đồng thời thỏa mãn

( ) ( )

1 0

d

f x

I =∫ f x e′ x 1 ( ) ( ( ) ) ( ) 1 ( )1 ( )0 5 5

0 0

Đặt t = x+ ⇒4 2tdt =dx.

Với x= ⇒ =5 t 3; x=21⇒ =t 5

Trang 72

dt t

Đặt t= x+9 ⇒ = + ⇒t2 x 9 2 dt dt = x.

Đổi cận x= ⇒ =16 t 5, x=55⇒ =t 8.

Do đó

55 16

d9

2 dt9

I =∫ udu

B

2 1

12

I = ∫ udu

C

3 0

2

I = ∫ udu

D

2 1

I =∫ udu

2 2 1

I =∫ udu

Câu 19. (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Giả sử tích phân

5 1

A

53

a b c+ + =

43

a b c+ + =

73

a b c+ + =

83

a b c+ + =

Trang 73

2

t dt t

=

+

∫

4 2

43

d2

Trang 74

Câu 21. (Nam Định - 2018) Biết tích phân

ln 6 0

x x

t t x

t

=+

2 2

x

t t t

Trang 75

Cách khác: Sử dụng công thức

ax b C a

0 0

+ +

S =

34

S =

23

Trang 76

Câu 25. (Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho tích phân

2 2

2 0

Trang 77

−

B

53

1

dx A

=

∫

Trang 78

S =

34

S =

23

S =

Trang 79

∫

, với a b c d, , , là các sốnguyên và

d1

.Đặt u= x2+ ⇒1 u2 =x2+ ⇒1 u u x xd = d .

u

+ +

Trang 80

Câu 34. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị của tích phân

1 2 0

d1

x x x

sindcos

x x x

∫

2 4 0

sindycosy

−

325

−

32

−

320

Trang 81

2 6 3

t t

d4

x I

A

3 0

d

π

t I t

I n

=+ .

Lời giải

Với n∈¥ , khi đó:*

Trang 82

6d

t

t t

=+

a b

Trang 83

Mà f ( )2 = − ⇔ −2 6 2− + = − ⇔ =C 2 C 0

.Suy ra f x( ) = − 6−x2 .

1 1

t t

x x

.Khi x=1 thì t=2 2; khi x=2 thì t= 35.

Khi đó

2 2 1

Trang 84

Vậy

2

2 1

b=

,

3527

+ +

Trang 85

π

= ⇒ =

.Khi đó

( ) ( )

1

1 0

Trang 86

Câu 47. (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân

3 0

I = −

B

4

14

I = − π

C I = −π4 D I =0

Ta có:

3 0

cos sin

π

=∫

Đặt t =cosx⇒dt = −sinxdx⇔ − =dt sinxdx

Đổi cận: Với x= ⇒ =0 t 1; với x= ⇒ = −π t 1.

2 2 0

t t

d

I =∫ t t

3 2

d

I =∫ t t

2 3

I = ∫ t t

2 0

sindcos

Tiêu đề	Tích Phân
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Việt Nam

Định dạng
Số trang	247
Dung lượng	12,67 MB