một số bài toán khó thể tích khối chóp và lăng trụ

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng , khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng và , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của và Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A B C D Câu 2 (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng 2, khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng 1 và , hình chi.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C.   , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 2

, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của B C   và

2 33

A M 

Thể tích củakhối lăng trụ đã cho bằng

2 33

Câu 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng ' ' ' BB bằng'

2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và ' CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông'

góc của A lên mặt phẳng ( ' ' ') A B C là trung điểm M của ' ' B C và ' A M  Thể tích của khối2lăng trụ đã cho bằng

A

2 3

Câu 3 (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến . BB là 5 , khoảng cách'

từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ' ' '' A B C là trung điểm M của ' ' B C ,

15'

Câu 4 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và A M  5 Thể tíchcủa khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 5 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông

tại A, AB 2, AC  3 Góc CAA   90 , BAA 120 Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham

khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với A B , tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Câu 6 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại C, AB2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 60 Gọi M N lần,lượt là trung điểm của A C  và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thểtích của phần nhỏ bằng

A

3

7 324

a

366

a

3

7 624

a

333

a

Câu 7 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có SA  Gọi 2 D, E lần lượt

là trung điểm của cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BDAE

Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại   

A, cạnh BC2a và  ABC600 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có    B BC nhọn Mặt phẳng

A

377

a

3

3 77

a

3

6 77

a

3721

a

Câu 9 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều Mặt

phẳng A BC 

tạo với đáy góc 30 và tam giác A BC0  có diện tích bằng 8 Tính thể tích V của

khối lăng trụ đã cho

Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vuông tại A,

AB a BC  a Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC

là trung điểm củacạnh Hcủa cạnhAC Góc giữa hai mặt phẳng BCB C' 'và ABC bằng 600 Thể tích khối lăngtrụ đã cho bằng:

A

3

3 34

a

338

a

3

3 38

a

3 316

a

Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a  , SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc giữa hai mặt phẳng SBC

và SCD

bằng  , với1

a

3

2 23

a

323

4

  Thể tích của khối lăng trụ

ABCD A B C D    là

Trang 2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13 (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông

tại A, cạnh BC2a và ABC   Biết tứ giác BCC B60   là hình thoi có B BC nhọn Biết

BCC B 

vuông góc với ABC

và ABB A 

tạo với ABC

góc 45 Thể tích của khối lăngtrụ ABC A B C.    bằng

A

37

a

337

a

367

Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' '

a, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng ABC

trùng với trọng tâm tam giác ABC

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'và BC bằng

34

Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC

và tam giác ABC cân tại A Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 30 và 0 0

2



S ABC

a V

3

3



S ABC

a V

3

6



S ABC

a V

20 và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khốichóp V S ABC. .

Câu 19 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a

  900

SAB SCB  Gọi M là trung điểm của SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng MBCbằng

67

Câu 21 Cho hình chóp S ABC. có ASB CSB 60, ASC 90, SA SB a  , SC 3a Tính thể tích

của khối chóp S ABC.

A

3 24

a

3 618

a

3 212

a

3 66

a

Thể tích của khối chóp

a

3

4 133

a Tính thể tích V của khối chóp S ABC.

A

3

5 3.12

a

B

3

3 2

a

C

3.6

a

D

3

2 3

a

Câu 26 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C. ¢ ¢ ¢ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC¢) bằng a

, góc giữa hai mặt phẳng (ABC¢) và (BCC B¢ ¢)

bằng  với

1cos

2 3

 =

Tính thể tích khối lăngtrụ ABC A B C. ¢ ¢ ¢

Trang 4

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A

3

3 24

a

V =

C

3 22

4

  Thể tích khối lăng trụ    

ABCD A B C D bằng?

Câu 29 (Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác

ABC vuông cân tại A , cạnh BC a 6 Góc giữa mặt phẳng AB C 

và mặt phẳng BCC B bằng 60 Tính thể tích V của khối đa diện AB CA C  

3

3 32

a

3 32

a

3 33

A M 

Thể tích củakhối lăng trụ đã cho bằng

2 33

Lời giải Chọn A

M T S BÀI TOÁN KHÓ TH TÍCH KH I CHÓP - LĂNG TRỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ Ố BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ Ể TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ Ố BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ ỤChuyên đề 12

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác

1 1

A B C có các cạnh A B 1 ; 1 A C 1 3; B C  1 1 2

Suy ra tam giác A B C 1 1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1

Gọi giao điểm của AM và A H là T

Ta có:

2 33

A M 

; A H 1

13

A M AA

A B C

Câu 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng ' ' ' BB bằng'

2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và ' CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông'

góc của A lên mặt phẳng ( ' ' ') A B C là trung điểm M của ' ' B C và ' A M  Thể tích của khối2lăng trụ đã cho bằng

A

2 3

Lời giải Chọn D

Trang 6

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi A A lần lượt là hình chiếu của A trên '1, 2 BB , CC Theo đề ra ' AA11;AA2  3;A A1 2 2

Do AA12AA22 A A1 22 nên tam giác AA A vuông tại A 1 2

Gọi H là trung điểm A A thì 1 2 1 22 1

A A

.Lại có MH BB ' MH (AA A1 2) MH AH suy ra MH  AM2 AH2  3

S S

Thể tích lăng trụ là V AM S ABC  2

Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu 'S Scos

Câu 3 (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến . BB là 5 , khoảng cách'

từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ' ' '' A B C là trung điểm M của ' ' B C ,

15'

Lời giải Chọn C

Kẻ AI BB , ' AK CC ( hình vẽ ).'

Khoảng cách từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2'  AI 1, AK 2.

Gọi F là trung điểm của BC

15'

Vì CC'BB' d C BB( , ') d K BB IK( , ')  5  AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK  EF BB  '  EF AIK  EF AE

AF

52153



32

  FAE 30 .

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng AIK

là AIK nên ta có:

cos

AM

15333

Câu 4 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và A M  5 Thể tíchcủa khối lăng trụ đã cho bằng

Trang 8

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải Chọn D

Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC , H là hình chiếu vuông góc

Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có

52

AFJF FK 

.Gọi N là trung điểm BC, xét tam giác vuông ANF ta có:

cosNAF AF

AN



525

AJK

.1.2 12

   SAJK SABC.cos 60

121cos 60

2

AJK ABC

.Vậy thể tích khối lăng trụ là V AM S. ABC

15 2 15.2

Câu 5 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông

tại A, AB 2, AC  3 Góc CAA   90 , BAA 120 Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham

khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với A B , tính thể tích khối lăng trụ đã cho

A

3 1 338

B

1 338

C

3 1 334

D

1 334

Lời giải Chọn C

Do ACAB , AC AA nên ACABB A 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 6 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại C, AB2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 60 Gọi M N lần,lượt là trung điểm của A C  và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thểtích của phần nhỏ bằng

A

3

7 324

a

366

a

3

7 624

a

333

a

Lời giải Chọn A

Gọi I là trung điểm AB , suy ra ABCIC

nên góc giữa C AB  và ABC là góc CI C I,  ,suy ra C IC  60.

Tam giác C IC vuông tại C nên

21

Trong ACC A , kéo dài AM cắt CC tại O.

Suy ra C M là đường trung bình của OAC, do đó OC2CC2a 3

Vậy phần thể tích nhỏ hơn là

3

7 324

C EM CAN

a V

Câu 7 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có SA  Gọi 2 D, E lần lượt

là trung điểm của cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BDAE

Gọi O là tâm tam giác đều ABC Do S ABC. là hình chóp đều nên ta có SOABC

Ta có

12

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại   

A, cạnh BC2a và  ABC 600 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có    B BC nhọn Mặt phẳng

BCC B  vuông góc với ABC và mặt phẳng ABB A  tạo với ABC góc 0

45 Thể tích khốilăng trụ ABC A B C bằng   

A

377

a

3

3 77

a

3

6 77

a

3721

a

Lời giải Chọn B

B HK vuông tại H có B KH 45  B HK vuông cân tại H  B H KH

Xét hai tam giác vuông B BH và BKH , ta có

tạo với đáy góc 30 và tam giác A BC0  có diện tích bằng 8 Tính thể tích V của

khối lăng trụ đã cho

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm cạnh BC

Vì ABC A B C.    là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều nên ABC A B C    là khối lăng trụ đều

Do đó ta có: A B A C   Suy ra tam giác A BC cân tại A  A I BC

Mặt khác: tam giác ABC đều  AI BC

Trang 14

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vuông tại A,

AB a BC  a Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC

là trung điểm củacạnh Hcủa cạnhAC Góc giữa hai mặt phẳng BCB C' '

và ABC

bằng 600 Thể tích khối lăngtrụ đã cho bằng:

A

3

3 34

a

338

a

3

3 38

a

3 316

a

Lời giải Chọn C

Gọi Klà trung điểm củaA C’ ’ từ K kẻ KM vuông góc vớiB C’ ’

Tứ giác KMIHlà hình bình hành nên

34

a

KM IH 

.Gọi Nlà điểm trên B C’ ’ sao cho M là trung điểm của C N’

3' 2

Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a  , SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc giữa hai mặt phẳng SBC

và SCD

bằng  , với1

a

3

2 23

a

323

a

Lời giải Chọn A

4

  Thể tích của khối lăng trụ

ABCD A B C D    là

Lời giải

Trang 16

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C

Gọi M là trung điểm của AA Kẻ A H vuông góc với AC tại H, BK vuông góc với AC tại

K , KN vuông góc với AA tại N.

Do AA C C    ABCD suy ra A H ABCD và BK AA C C   BK AA

    suy ra  AA C C   , AA B B    KNB 

Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB  6, AD  3 suy ra BD 3 AC

Suy ra ACA cân tại C Suy ra CM AA KN CM//

AC

và2

Xét ANK vuông tại N có

4 23

KN 

, AK 2 suy ra

23

3

Câu 13 (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông

tại A, cạnh BC2a và ABC   Biết tứ giác BCC B60   là hình thoi có B BC nhọn Biết

BCC B 

vuông góc với ABC

và ABB A 

tạo với ABC

góc 45 Thể tích của khối lăngtrụ ABC A B C.    bằng

A

37

a

337

a

367

Gọi H là chân đường cao hạ từ Bcủa tam giác B BC Do góc B BC là góc nhọn nên H thuộc

cạnh BC BCC B 

vuông góc với ABC

suy ra B H là đường cao của lăng trụ ABC A B C.   

BCC B  là hình thoi suy ra BB BC 2a Tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC2a và

vuông góc với AB nên góc giữa hai mặt phẳng ABB A 

và ABC

là góc B KH Theo giả thiết, B KH 45  B K h 2, với B H h

Xét tam giác vuông B BH có B H 2BH2 B B 2 hay h24BK2 4a2 1

.Xét tam giác vuông B BK B K :  2BK2 B B 2 hay 2h2BK2 4a2 2

a

h 

.Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C.    bằng

Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' '

a, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng ABC

trùng với trọng tâm tam giác ABC

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'và BC bằng

34

bc

aM

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A

+ Gọi M là trung điểm BC , H là trọng tâm tam giác ABC  A H' ABC

MN

.+ Tam giác AA M' có '

23

Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC

và tam giác ABC cân tại A Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 30 và 0 0

2



S ABC

a V

3

3



S ABC

a V

3

6



S ABC

a V

Lời giải Chọn C

+ Lấy M là trung điểm của BC , tam giác ABC cân tại A

a AB

3

Trang 20

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi H K, lần lượt là trung điểm cạnh CD AB,

  do đó AH BH (2 đường cao tương ứng) (2)

Từ (1), (2) suy ra AHB vuông cân tại H

Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có SA a 11, cosin góc

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH (ABCD) Đặt m HA , n SH Do tam giác

SAH vuông tại H nên m2n2 11a2

Xây dựng hệ trục tọa độ như sau: (0;0;0)H , ( ;0;0)B m , (D m ;0;0), (0; ;0)C m , (0;0; )S n

Chiều cao của hình chóp là SH 3a

Diện tích của hình vuông là S ABCD 4a2

Thể tích của khối chóp S ABCD là:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải Chọn B

Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC BC AB, ,

a

V 

Lời giải Chọn B

Vì SAB SCB  900  S A B C, , , cùng thuộc mặt cầu đường kính SB

Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có

 

Gọi H là điểm đối xứng với B qua O  SH ABC(vì OI là đường trung bình SHB )

Gọi BMAI  , ta có J trọng tâm SAB J 

Trong AID , kẻ JN/ /IO Khi đó, vì BCJND

Lời giải.

Trang 24

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

+ Dựng hình chóp S A B C ' ' ' sao cho A là trung điểm B C' ', B là trung điểm A C' ', C là trung điểm ' 'A B

+ Khi đó SBACBA'BC' 4 nên SA C' 'vuông tại S và SA'2SC'2 2.SB2 64 (1)

+ Tương tự SB C' ', SA B' ' vuông tại Svà

' ' 80 (2)' ' 36 (3)

Câu 21 Cho hình chóp S ABC. có ASB CSB 60, ASC 90, SA SB a  , SC 3a Tính thể tích

của khối chóp S ABC.

A

3 24

a

3 618

a

3 212

a

3 66

a

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Gọi M là điểm nằm trên SC sao cho

13

Ta có:

Tam giác SAM vuông tại S  AM  SA2SM2 a 2

Tam giác SBM là tam giác đều có độ dài cạnh SM SB BM a

Tam giác SABlà tam giác đều có độ dài cạnh SA SB AB a

Vậy AB2BM2 AM2  Tam giác ABM là tam giác vuông tại B