POWER POINT TOÁN ĐẠI CƯƠNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

GIẢNG DẠY MÔN KINH TẾ LƯỢNG TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI 1 MÔN HỌC TOÁN ĐẠI CƯƠNG Chương 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 1 1 Ma trận 1 2 Không gian Vector Rn Chương 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3 Chương 1 1 1 Ma trận 1 1 1 Khái niệm và các phép toán Định nghĩa 1 1 1 Một bảng số gồm số thực , được sắp xếp thành m dòng, n cột được gọi là một ma trận cỡ 4 Chương 1 1 1 Ma trận 1 1 1 Khái niệm và các phép toán Một ma trận cỡ thường được ký hiệu là là phần tử nằm ở dòng i, cột j trong ma trận A Ma trận dòng thứ i là Ma.

Chương 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1.1 Ma trận

1.2 Không gian Vector Rn

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

Định nghĩa 1.1.1 Một bảng số gồm số thực , được sắp xếp thành m dòng, n cột được

gọi là một ma trận cỡ

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

Một ma trận cỡ thường được ký hiệu là:

Ví dụ:

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

• Ma trận chuyển vị của một ma trận A, ký hiệu là A’ hoặc AT, là ma trận nhận được

từ A bằng cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột tương ứng.

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

• Ma trận bằng nhau: Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và

các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau:

,

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

• Ma trận tam giác trên là ma trận có các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều

bằng 0

• Ma trận chéo: là ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng

0.

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

• Ma trận đơn vị là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, kí

hiệu ma trận đơn vị cấp n là En hoặc đơn giản là E.

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

hàng i

(của A)

cột j (của B)

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

i 1

ij

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.1 Khái niệm và các phép toán

Chú ý: phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

• Định thức cấp 3: Quy tắc Sarrus

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

1 Nếu A và B là các ma trận vuông cùng cỡ thì ta có |A.B|= |A|.|B|.

2 Nếu A có dạng tam giác thì định thức của A bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính.

3 |AT|=|A|

4 Định thức bằng 0 nếu nó có một dòng (cột) toàn là 0.

• Tính chất định thức:

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

5 Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của định thức thì định thức đổi dấu

6 Nếu nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với số k thì định thức mới bằng

định thức cũ nhân với k

7 Nếu nhân một dòng nào đó với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác thì định thức không thay đổi

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

• Tìm định thức bằng biến đổi sơ cấp: Ta sử dụng ba phép biến đổi sơ cấp sau đây

để đưa định thức về dạng tam giác:

Đổi chỗ hai dòng (hai cột) Định thức đổi dấu

Nhân một dòng (một cột) với một số k Định thức tăng k lần

Nhân một dòng (một cột) với một số rồi cộng

vào một dòng (một cột) khác

Định thức không thay đổi

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

• Hạng ma trận: Cho ma trận A ≠ 0 Ta gọi cấp cao nhất của một định thức con

khác 0 của A là hạng của ma trận A và ký hiệu là r(A)

Ta quy ước rằng hạng của ma trận 0 là 0.

Chương 1

1.1 Ma trận

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

• Định lý : Ba phép biến đổi sơ cấp trên các dòng hay các cột của một ma trận không

làm thay đổi hạng của ma trận:

1. Đổi chỗ hai dòng của ma trận.

2. Nhân các phần tử của một dòng với một số ≠ 0.

3. Nhân một dòng với một số rồi cộng vào một dòng khác

1.1.2 Định thức và hạng của ma trận

• Tìm hạng của A:

1. Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng (hoặc các cột) để đưa ma trận A về

dạng đơn giản (tam giác hoặc hình thang).

2. r(A)= Số dòng khác không của ma trận sau biến đổi.

1.1.3 Ma trận nghịch đảo

• Định nghĩa: Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu có ma trận

vuông B cấp n sao cho: A.B = B.A = En

Khi đó, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ta ký hiệu là B = A-1.

Phần bù đại số của hàng viết

n n

K

1.2.1 Khái niệm và các phép toán

• Định nghĩa: Một vectơ n chiều X là một bộ n số thực được sắp xếp theo thứ tự:

được gọi là thành phần thứ i của vectơ X

Ta chú ý rằng, một vectơ cũng có thể được sắp xếp theo cột, khi đó ta nói rõ là vectơ cột.

• Vectơ không n chiều 0 =(0, 0, …, 0).

• Vectơ đối của véctơ X là vectơ –X xác định bởi

.

• Hai vectơ n chiều

và gọi là bằng nhau nếu ta có:

Chương 1

1.2 Không gian vectơ Rn

1.2.1 Khái niệm và các phép toán

1.2.1 Khái niệm và các phép toán

• Định nghĩa: Cho hai vectơ và tùy ý, ta định nghĩa:

• Tính chất cơ bản: Cho X, Y, Z là các vectơ tùy ý có cùng số chiều và k, l là các

số thực, ta có:

Chương 1

1.2 Không gian vectơ Rn

1.2.1 Khái niệm và các phép toán

1.2.2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ

• Định nghĩa: Hệ m vectơ n chiều được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực với

ít nhất một số khác 0 sao cho

(2.1) Nếu hệ thức (2.1) chỉ xảy ra khi

thì hệ m vectơ đó được gọi là độc lập tuyến tính

• Định nghĩa: Cho m vectơ n chiều Một tổng với các được gọi là một tổ hợp tuyến tính của m

vectơ đã cho.

• Ví dụ: Xét tính độc lập tuyến tính của các hệ vectơ sau:

Chương 1

1.2 Không gian vectơ Rn

1.2.2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ

1. ;

1.2.2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ

• Tính chất:

1. Hệ vectơ chứa vectơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính (pttt)

2. Hệ gồm hai vectơ khác 0 độc lập tuyến tính (đltt) ⇔ hai vectơ đó không tỷ lệ.

3. Một hệ vectơ là pttt ⇔ có một vectơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

4. Một hệ vectơ chứa một hệ con pttt là hệ pttt

5. Một hệ vectơ đltt thì mọi hệ con của nó là đltt

6. Hệ có số vectơ lớn hơn số chiều của vectơ (m>n) là hệ pttt

• Định nghĩa: Mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ được gọi là

một cơ sở của hệ vectơ đó.

Chương 1

1.2 Không gian vector Rn

1.2.3 Hạng và cơ sở của hệ vectơ

Xét hệ m vec tơ n chiều ; (i=1, …,m)

• Định nghĩa: Mỗi hệ vectơ có thể có nhiều cơ sở, nhưng số vectơ trong các cơ sở

• Định lí: Hạng của hệ m véc tơ n chiều bằng hạng của ma trận cỡ tạo thành bằng

cách xếp liên tiếp các vectơ theo cột.

1.2.3 Hạng và cơ sở của hệ vectơ

• Ví dụ: Tìm hạng của hệ vectơ

Chương 1

1.2 Không gian vector Rn

1.2.3 Hạng và cơ sở của hệ vectơ

• Định lý: Mỗi vectơ của hệ có thể biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất dưới dạng tổ

hợp tuyến tính của các vectơ của một cơ sở của hệ.

• Ví dụ: Biểu diễn tuyến tính vectơ qua các vectơ

• Khái niệm: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2 ,…,xn là hệ có

L L L L L L

L

Ta đặt:

Lần lượt gọi là ma trận hệ số, ma trận cột ẩn và ma trận cột hệ số tự do của hệ

phương trình Khi đó hệ (4.1) được viết dạng ma trận

L

• Hệ có dạng đặc biệt:

1. Hệ thuần nhất là hệ pttt có cột hệ số tự do là vectơ 0 (Hệ này có dạng ma

trận là A.B=0 và luôn có nghiệm tầm thường (nghiệm 0)).

2. Hệ Cramer là hệ pttt có số phương trình bằng số ẩn (m=n) và định thức của

ma trận hệ số khác 0

1.2.4 Hệ phương trình tuyến tính

• Định nghĩa:

1. Một vectơ n chiều được gọi là nghiệm của hệ (4.1) nếu ta thay mỗi ẩn bởi vào tất cả các

phương trình của hệ ta đều được các đẳng thức.

2. Hai hệ phương trình có cùng các ẩn được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của

chúng trùng nhau hoặc cả hai hệ đều không có nghiệm.

Lần lượt gọi là ma trận hệ số, ma trận cột ẩn và ma trận cột hệ số tự do của hệ phương

K

(i) Hệ có duy nhất nghiệm ⇔ =n;

(ii) Hệ có vô số nghiệm ⇔ < n.

1. Hệ dạng tam giác:

1.2.4 Hệ phương trình tuyến tính

• Một số hệ đơn giản có thể tìm ngay được nghiệm

2 Hệ dạng hình thang:

Chương 1

1.2 Không gian vector Rn

1.2.4 Hệ phương trình tuyến tính

1.2.4 Hệ phương trình tuyến tính

Cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp biến đổi sơ cấp:

• Đưa hệ phương trình tuyến tính tổng quát về hệ tam giác (hoặc hình thang) tương đương, bằng

các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận hệ số mở rộng :

1. Đổi chỗ hai dòng;

2. Nhân một dòng với số

3. Cộng k lần một dòng r vào dòng s.

• Ví dụ: Giải hệ phương trình

Chương 1

1.2 Không gian vector Rn

1.2.4 Hệ phương trình tuyến tính

• Ví dụ: Giải hệ phương trình

1.2.4 Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2 GIẢI TÍCH

2.1 Hàm số thực một biến

2.2 Hàm số thực nhiều biến (hai biến)

Cho Một quy luật cho tương ứng mỗi điểm với duy nhất một giá trị thỏa mãn được gọi

Khi đó:

* được gọi là tập xác định của

* được gọi là tập giá trị của hàm số.

* được gọi là đồ thị của hàm số

2.1.1 Khái niệm và giới hạn hàm số

59

Định lý 1 (Quy tắc Lôpitan) Xét giới hạn

Nếu tồn tại giới hạn là một số hữu hạn

Ví dụ: Tính giới hạn sau:

2.1.2 Đạo hàm và ứng dụng

Các dạng vô định trong tính giới hạn

Định lý: Nếu hàm có đạo hàm tại thì nó khả vi tại và

Ứng dụng 3: Tìm cực trị của hàm số

Chương 2

2.1 Hàm số thực một biến

2.1.2 Đạo hàm và ứng dụng

a.Tích phân bất định

b.Tích phân xác định

c.Tích phân suy rộng 2.1.3 Tích phân

Định nghĩa: Cho hàm số , xác định trên Hàm số được gọi là nguyên hàm của

Các công thức tích phân cơ bản:

Sách giáo trình Toán Cao Cấp

Chương 2

2.1 Hàm số thực một biến

2.1.3 Tích phân

Phương pháp tích phân đổi biến số

Phương pháp tích phân đổi biến số

b Đặt với là một hàm khả vi, đơn điệu thì: dx =

Tính chất của tích phân xác định

= +

2.1.3 Tích phân

Phương pháp đổi biến số

Định lý 1 (Đổi biến ) Xét tích phân , là hàm liên tục trên Nếu phép đổi biến

thỏa mãn:

1 Hàm đơn điệu, có đạo hàm liên tục trên

2 trở thành , là hàm liên tục

trên Khi đó:

Chương 2

2.1 Hàm số thực một biến

2.1.3 Tích phân

Ví dụ: Tính các tích phân

2.1.3 Tích phân

Định lý 2 (Đổi biến )

Xét tích phân , là hàm liên tuc trên Nếu phép đổi biến ) thỏa mãn:

1 có đạo hàm liên tục trên

Tích phân suy rộng:

a Khoảng lấy tích phân là khoảng vô hạn

b Khoảng lấy tích phân có điểm gián đoạn vô cực

Chương 2

2.1 Hàm số thực một biến

2.1.3 Tích phân

a Khoảng lấy tích phân là khoảng vô hạn

Định nghĩa 1 Cho hàm xác định trên , khả tích trên mọi đoạn [a, b] với Kí hiệu tích phân suy rộng

Tương tự, ta định nghĩa tích phân suy rộng

Ví dụ: Tính tích phân suy rộng sau:

2.1.3 Tích phân

Định lý so sánh Định lý 1: Giả sử các hàm khả tích trên mọi đoạn với lớn tùy ý và

Định lý 2: Giả sử là các hàm số dương, khả tích trên mọi đoạn với lớn tùy ý và

Khi đó hai tích phân , cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân sau:

2.1.3 Tích phân

b Khoảng lấy tích phân có điểm gđ vô cực

Định nghĩa Cho hàm khả tích trên mọi đoạn với và Kí hiệu tích phân suy rộng của hàm

Tương tự, nếu hàm khả tích trên mọi đoạn , với và gián đoạn vô cực bên phải tại thì

2.1.3 Tích phân

Định nghĩa 3: Nếu hàm có điểm gián đoạn vô cực , khả tích trên mọi đoạn với Ta định

Công thức Niwtơn-Lepnit suy rộng

Hàm có điểm gián đoạn vô cực tại và nó có nguyên hàm trên Nếu là hàm liên tục trên đoạn thì tích phân suy rộng hội tụ và:

gọi là một nguyên hàm mở rộng của hàm trên

Cho tập Một quy luật đặt tương ứng mỗi cặp với một số thực được gọi là một hàm của hai biến độc lập và

- Tương tự có đạo hàm riêng cấp 1 theo tại là .

Nhận xét: Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp 1 theo thì coi là hằng số và đạo hàm như

đối với hàm một biến Tương tự, tính đạo hàm riêng theo thì coi là hằng số.

Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 của hàm số:

Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng cấp 2

Ứng dụng ĐHR tìm cực trị của hàm hai biến:

Điều kiện cần của cực trị

Định lý:Nếu hàm đạt cực trị tại điểm và tại đó có các ĐHR thì

Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là một điểm dừng (hay điểm tới hạn) của hàm số.

2.2.2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị

Điều kiện đủ của cực trị:

Định lý: Giả sử điểm là một điểm dừng của hàm và tại đó hàm số có các ĐHR cấp hai:

b Cực trị có điều kiện

Bài toán: Tìm cực trị của hàm với điều kiện

Phương pháp giải: Phương pháp nhân tử lagrang.

Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràng buộc:

Điều kiện cần của cực trị

Nếu hàm số đạt cực trị tại thì tồn tại sao cho bộ ba thỏa mãn:

Khi đó được gọi là một điểm dừng của hàm Lagrang.

Điều kiện đủ của cực trị

Giả sử là một điểm dừng của hàm Lagrang.

Đặt

2.2.2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị

Khi đó:

+) Nếu thì là điểm cực đại của bài toán đã cho.

+) Nếu thì là điểm cực tiểu của bài toán đã cho.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

với điều kiện

b với điều kiện

3.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

3.2 Đại lượng ngẫu nhiên

3.3 Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng

Chương 3

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Phân loại biến cố

Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định xảy ra sau khi phép thử được thực hiện

Biến cố không thể có (V): là biến cố không thể xảy ra sau khi phép thử được thực hiện

3.1.1 Phép thử và biến cố

Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra sau khi phép thử

Trong một phép thử có tất cả n trường hợp đồng khả năng, trong đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A Xác suất của biến cố A, kí kiệu P(A) là tỷ số:

3.1.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

m P( A )

n

=

3.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

3.1.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Ví dụ 1: Cho hộp có 10 chính phẩm và 5 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm

Tìm xác suất :

a, Lấy được 3 chính phẩm

b, Lấy được 2 loại sản phẩm

c, Lấy được 3 sản phẩm cùng loại

3.1.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Chương 3

3.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

3.1.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

a, Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 chính phẩm”

Số khả năng thuận lợi cho A:

0

24

120 )

( = mA = = =

A P

3.1.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

b, Gọi B là bc:“ Lấy được 2 loại sản phẩm”

Số khả năng có thể có của B:

Số khả năng thuận lợi cho B:

c, Gọi C là bc: “Lấy được 3 sản phẩm cùng loại”

0 91

65 455

325 )

P

2857 ,

0 7143

, 0 1 ) ( 1

) ( C = − P B = − =

P

Định nghĩa 1 Giả sử ta thực hiện phép thử nào đó n lần Gọi nA là số lần biến cố

A xuất hiện Khi đó tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử được định nghĩa:

Chương 3

3.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

3.1.3 Định nghĩa thống kê về xác suất

n

n A

n ( ) =

Ví dụ: Tung 100 lần đồng xu thấy có 52 lần mặt sấp xuất hiện, ta có fn(A) = 52/100

Số lần tung (n) Số lần xuất hiện mặt sấp

Khi số phép thử n nhỏ thì fn(A) thay đổi rõ rệt còn khi n khá lớn thì tần suất fn(A) càng dao động ít đi và khi n đủ lớn thì fn(A) sẽ dao động xung quanh 1 vị trí cân bằng p không đổi nào đó.

Chương 3

3.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

3.1.3 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa 2 Xác suất của biến cố A trong một phép thử là giá trị cân bằng p

không đổi khi số phép thử tăng lên vô hạn

Chú ý: Khi n đủ lớn ta lấy: p = P(A) ≈ fn(A)

3.1.3 Định nghĩa thống kê về xác suất

Nguyên lý xác suất nhỏ: nếu một biến cố có xác suất nhỏ (gần 0), biến cố đó

hầu không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử

Chương 3

3.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

3.1.4 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ

Nguyên lý xác suất lớn: nếu một biến cố có xác suất lớn (gần 1), biến cố đó hầu

3.2.1 Định nghĩa và phân loại ĐLNN

Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có với một xác suất tương ứng xác định

ĐLNN được ký hiệu : X, Y, Z, X1, X2, …

Các giá trị có thể có được ký hiệu: x, y, z, x1, x2, …

Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo xúc sắc

X nhận các giá trị có thể có: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Gọi Y là khối lượng các gói hàng do một máy tự động đóng gói (gam)

Ví dụ.

Chương 3

3.2 Đại lượng ngẫu nhiên

3.2.1 Định nghĩa và phân loại ĐLNN

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của nó là

đếm được

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập các giá trị có thể có của nó lấp

đầy một khoảng bất kỳ trên trục số thực

3.2.1 Định nghĩa và phân loại ĐLNN