Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

Mỗi dạng bài tập lớn đều có phương pháp và kỹ thuật giải khác nhau, đặc biệt là các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chƣa ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Việt Trì, tháng 7 năm 2021

Tác giả luận văn

Phạm Cao Cường

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Giảng viên, Khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Tam Nông, THPT Hưng Hóa, THPT Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến GS TS Bùi Văn Nghị -người

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân, các bạn đồng nghiệp, những người luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành công việc nghiên cứu của mình

Việt Trì, tháng 7 năm 2021

Tác giả luận văn

Phạm Cao Cường

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC BẢNG v

DANH MỤC BIỂU ĐỒ vi

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Tổng quan nghiên cứu 3

3 Mục đích nghiên cứu 4

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

5 Giả thuyết khoa học 4

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 4

7 Phương pháp tiến hành nghiên cứu 5

8 Những đóng góp mới của luận văn 6

9 Cấu trúc luận văn 6

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán 7

1.1.1 Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán 7

1.1.2 Phân loại kỹ năng, sự hình thành kỹ năng giải toán 8

1.1.3 Điều kiện để có kỹ năng 9

1.1.4 Các mức độ của kỹ năng giải toán 9

1.2 Dạy học giải toán 9

1.2.1 Vị trí vai trò của bài tập toán 9

1.2.2 Phương pháp giải bài toán 10

1.3 Giải bài toán bằng phương pháp hàm số 11

1.3.1 Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT 11

1.3.2 Phương pháp giải toán bằng hàm số 12

1.4 Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phương pháp hàm số 13

1.4.1 Mục đích, đối tượng, hình thức, nội dung khảo sát 13

1.4.2 Kết quả khảo sát giáo viên 13

1.4.3 Kết quả khảo sát 100 học sinh 17

1.4.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải toán lớp 12 20

Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 24

2.1 Định hướng 24

2.2 Biện pháp rèn luyện 24

2.3 Nội dung rèn luyện 25

2.3.1 Rèn luyện kỹ năng giải toán về phương trình (tìm điều kiện có nghiệm, biện luận về số nghiệm của phương trình) bằng phương pháp hàm số 25

2.3.2 Rèn luyện kỹ năng tìm GTLN – GTNN của biểu thức đại số hoặc hình học bằng phương pháp hàm số 39

2.3.3 Rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình, điều kiện có nghiệm của bất phương trình bằng phương pháp hàm số 68

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

3.1 Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm 83

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 83

3.1.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 83

3.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 83

3.2.1 Thời gian thực nghiệm sư phạm 83

3.2.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 83

3.3 Đề kiểm tra sau thực nghiệm 84

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 88

3.4.1 Đánh giá định tính 88

3.4.2 Đánh giá định lượng 92

3.4.3 Đánh giá chung kết quả thực nghiệm 94

KẾT LUẬN 96

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả điều tra nhận thức của GV về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán 13 Bảng 1.2 Điều tra về tính hiệu quả khi sử dụng “phương pháp hàm số” để giải các dạng toán có liên quan 15 Bảng 1.3 Tổng hợp nhận thức của HS về vai trò, tác dụng của rèn luyện kỹ năng giải toán 17 Bảng 1.4 Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phương pháp hàm số 19 Bảng 3.1 So sánh mức độ học lực hai lớp (kiểm tra học kì I năm học 2020-2021)84 Bảng 3.2 Kết quả kiểm tra trước khi thực nghiệm (kết quả bài thi học kì I) 93 Bảng 3.3 Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm (kết quả bài kiểm tra 45 phút) 93

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Tần suất vận dụng phương pháp hàm số vào giải toán trong quá trình giảng dạy của GV 14 Biểu đồ 1.2 mức độ hiệu quả khi sử dụng “phương pháp hàm số” để giải toán 16 Biểu đồ 1.3 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số 18 Biểu đồ 1.4 Khả năng vận dụng phương pháp hàm số để giải toán của HS 18 Biểu đồ 1.5 Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phương pháp hàm

số 19 Biểu đồ 3.1: Kết quả kiểm tra trước khi thực nghiệm 93 Biểu đồ 3.2 Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm 94

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Yêu cầu mới về giáo dục trong giai đoạn hiện nay

Một mục tiêu rất quan trọng của giáo dục phổ thông là trang bị tri thức, rèn

luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh “Giáo dục phổ thông nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục số 43/2019/QH14 của Quốc hội

Nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, Đảng và Nhà nước đã ra nhiều chủ trương, chính sách để nền giáo dục nước nhà có những chuyển biến đáp ứng được với sự kì vọng của nhân dân

1.2 Mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông

Trong cuộc sống hiện tại chúng ta đang phải đối đầu với nhiều vấn đề thực tế

mà đòi hỏi phải dùng kiến thức và kỹ năng Toán học để giải quyết, bằng những ứng thực tế của toán học mà con người đã giải quyết được những điều đó để góp phần thúc đẩy xã hội phát triển

Môn Toán ở trường trung học phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực Toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm

Hiện nay phong trào đổi mới phương pháp dạy và học đang diễn ra sâu rộng

ở tất cả các bậc học và cấp học Người giáo viên dạy Toán có nhiệm vụ là phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Nếu học sinh không có kỹ năng giải toán thì bản thân học sinh sẽ không có năng lực thực hành Trong dạy học ở trường THPT, tất cả các môn học đều giúp các em học sinh phát triển toàn diện về bản thân, trong

đó môn toán được coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic Khi học Toán các em học sinh phải hoạt động giải toán, đây chính là cơ hội tốt để học sinh được bộc lộ và phát triển khả năng tư duy sáng tạo của mình

1.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán nói chung, giải toán bằng phương pháp hàm số nói riêng cho học sinh lớp 12 là nhiệm vụ quan trọng và cần thiết

Trong chương trình giải tích 12 trung học phổ thông: Hàm số và ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo, có số tiết khá lớn trong môn toán và bằng phương pháp hàm số giải quyết được khá nhiều dạng toán ra thi trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi THPT Quốc gia

Phương pháp sử dụng hàm số để giải phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, được bổ sung khi học sinh có đủ kiến thức

về đạo hàm Tuy nhiên trong chương trình giải tích 12 bài tập dạng này không nhiều

Chương trình môn Toán của cấp THPT gồm rất nhiều chủ đề, mỗi chủ đề có rất nhiều dạng toán, số lượng bài tập của mỗi dạng khá nhiều Học sinh cần phải biết hết các dạng bài tập, nhìn nhận về phương pháp giải chung cho từng dạng Mỗi dạng bài tập lớn đều có phương pháp và kỹ thuật giải khác nhau, đặc biệt là các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cực trị hình học trong không gian Học sinh sẽ dễ mắc sai lầm trong lập luận trình bày và đa số các em học sinh đều chưa có kỹ năng thành thạo để giải phương trình và bất phương mũ, lôgarit, GTLN – GTNN của hàm số và các bài toán về cực trị hình học trong không gian bằng phương pháp hàm số Trong khi đó, những năm gần đây các đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi các cấp luôn luôn có dạng bài tập về phương trình bất phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất, giá

trị lớn nhất, trong đó có rất nhiều bài tập được giải bằng phương pháp hàm số

Trong chương trình giải tích 12 THPT trong nội dung phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số giữ vai trò quan trọng,

có số tiết khá lớn trong môn toán, dùng phương pháp hàm số có thể giải quyết các vấn đề đó một cách nhẹ nhàng, ngắn gọn và dễ hiểu cho học sinh

Từ những lí do trên và từ kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu sâu về chuyên

đề phương pháp hàm số trong giải toán của bản thân, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12”

2 Tổng quan nghiên cứu

Đã có một số luận văn, khóa luận với đề tài về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua các nội dung toán như tích phân, đạo hàm, phương pháp vectơ, phép biến hình

Đã có một số luận văn với các đề tài liên quan đến sử dụng phương pháp hàm số trong giải Toán như:

+ Luận văn Thạc sĩ của Hoàng Trung Hiếu (2014) về “Dạy học giải toán phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT”, trường ĐHSP – ĐH Thái Nguyên [10]

+ Luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Trung Sỹ (2015) về “Sử dụng phương pháp hàm số

để chứng minh bất đẳng thức”, trường Đại học Khoa học – ĐH Thái Nguyên [26] + Luận văn Thạc sĩ của Vũ Thị Thùy Hương (2015) về “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số”, trường Đại học Giáo dục – ĐH Quốc gia Hà Nội [11]

Lí luận về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn toán có thể kể đến các tài liệu [19], [17], [28] của các tác giả Bùi Văn Nghị (2009, 2017), Nguyễn Bá Kim (2004, 2017), Nguyễn Cảnh Toàn (2002)

Ngoài ra có thể kể đến một số sách tham khảo [9], [14] của Nguyễn Đại Dương, Đoàn trí Dũng (2016) về Phương pháp hàm số, Tư duy giải bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; của Phan Huy Khải (2013) về phương pháp giải toán trọng tâm, các bài giảng luyện thi Tốt nghiệp – Đại học – Cao Đẳng

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là đề xuất được một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12, thông qua các hoạt động phân tích, tổng hợp, vận dụng vào giải các dạng toán về phương trình và bất phương trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, cực trị hình học Từ đó góp phần phát triển tư duy lôgic, các hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo cho học sinh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu là những biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

+ Khách thể nghiên cứu: là quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT + Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải các bài tập về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số, hình học bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

- Phạm vi thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 04 năm 2020 đến tháng

04 năm 2021

- Phạm vi về khách thể khảo sát: Khảo sát thực trạng và tổ chức thực nghiệm được thực hiện tại trường THPT Tam Nông, trường THPT Hưng Hóa, trường THPT

Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ

5 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lí luận của phương pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạy học

ở trường phổ thông, nếu thực hiện và vận dụng các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12 như đã đề xuất trong luận văn, thì sẽ rèn luyện được cho học sinh kỹ năng sử dụng hàm số để giải một số dạng toán thường hay gặp trong chương trình THPT, góp phần khắc phục những yếu kém của học sinh, đồng thời cho các em sự hứng thú trong học tập, nâng cao chất lượng dạy học môn Toán lớp 12 THPT

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm

số cho học sinh lớp 12 THPT Đề xuất một số kỹ năng thành phần của kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số vào giải toán ở trường THPT và việc rèn luyện kỹ năng trong dạy học giải toán

- Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phương pháp hàm số, phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh thường mắc khi sử dụng phương pháp hàm số để giải toán

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

- Thực nghiệm sư phạm và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của những biện pháp đã đề xuất

7 Phương pháp tiến hành nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận:

- Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu nội dung, cấu trúc chủ đề: Giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

7.2 Phương pháp điều tra – khảo sát:

- Dùng phiếu khảo GV toán và HS lớp 12 tại các trường THPT trên địa bàn huyện Tam Nông tỉnh Phú Thọ xung quanh việc rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học về phương trình, bất phương trình, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số hoặc hình học ở trung học phổ thông; chất lượng của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

- Trao đổi trực tiếp với học sinh để nắm được mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng

- Dùng phiếu khảo sát học sinh để thấy được trình độ khả năng tiếp thu và khả năng vận dụng các phương pháp hàm số để giải toán, áp dụng vào các bài toán

có mức độ vận dụng và vận dụng cao

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm sư phạm

tại trường THPT Tam Nông – huyện Tam Nông – tỉnh Phú Thọ để kiểm nghiệm tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong dạy học giải toán bằng

- Cụ thể hóa những kỹ năng cần thiết giải toán lớp 12 bằng phương pháp hàm

số nhằm rèn luyện cho học sinh

- Xây dựng được một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

8.2 Về thực tiễn

- Đánh giá được một phần thực trạng về kỹ năng giải toán của học sinh, kỹ

năng giải toán bằng phương pháp hàm số trong các bài toán về phương trình, bất phương trình, GTLN – GTNN của biểu thức đại số, hình học, những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh

- Kết quả nghiên cứu có thể là tài liệu tham khảo hữu ích đối với GV và HS trong dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh bằng

phương pháp hàm số

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán

a) Kỹ năng

Theo Từ điển Hán Việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng được hiểu là “Sức đã có (về mặt nào đó) để có thể làm tốt một việc gì”.[1, tr.548]

Từ điển Tiếng Việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [32, tr.426]

Theo giáo trình tâm lý học đại cương “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [3, tr.149]

“Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Cơ sở của kỹ năng là kiến thức Người có kỹ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động” [11, tr.16]

b) Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…) Kỹ năng giải toán cũng dựa trên cơ sở tri thức toán học, do đó khi nói đến kỹ năng giải toán thì gắn liền với nó là phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó

Kỹ năng dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức Tri thức là cơ sở của kỹ năng Kỹ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động

Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Do đó nói đến kỹ năng sử dụng đạo hàm để giải toán không thể tách rời phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng tính toán đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để giải toán phương trình bất phương

trình và chứng minh bất đẳng thức

1.1.2 Phân loại kỹ năng, sự hình thành kỹ năng giải toán

a) Phân loại kỹ năng

Kỹ năng giải toán có thể phân loại chi tiết như sau:

+ Kỹ năng phát hiện vấn đề: Phát hiện được điều kiện đặt ra của bài toán, bài toán yêu cầu giải quyết vấn đề gì Đối với các bài toán có tính chất là một vấn đề thì việc phân tích làm rõ các thành phần, mối liên hệ qua các yếu tố của bài toán là hết sức quan trọng

+ Kỹ năng định hướng và xác định đường lối giải: Việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết là xác định đúng thể loại bài toán Mỗi bài toán tuy nằm trong một thể loại nào đó nhưng lại có những cái riêng biệt của nó Vì thế người giải toán phải nắm vững các đường lối chung, phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán

để chọn đường lối thích hợp nhất

+ Kỹ năng chọn lựa phương pháp và công cụ: Kỹ năng này thể hiện qua việc xác định các phương pháp và công cụ cũng như các phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật

+ Kỹ năng liên tưởng, liên hệ các bài toán liên quan, các bài toán tương tự: Việc liên tưởng, liên hệ các bài toán liên quan giúp học sinh quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng khía cạnh nào đó của bài toán liên quan để giải bải toán đã cho

b) Sự hình thành kỹ năng

Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở là kiến thức Để có kỹ năng sử dụng phương pháp đạo hàm để giải toán học sinh phải thông thạo các quy tắc tính đạo hàm, nắm chắc các khái niệm có liên quan, vững vàng trong lập luận và ngôn ngữ chính xác trong lời giải Rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ

Để hình thành một kỹ năng cho học sinh, cần phải tổ chức cho các em tập luyện những hoạt động tương ứng với kỹ năng đó và phải được tập luyện nhiều lần trên một hoạt động; cần giúp học sinh biết cách tìm tòi nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng từ đó hình thành kỹ năng Học sinh cần hình

thành được một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại; xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng; biết qui lạ

về quen, biết khái quát hóa, đặt biệt hóa…

1.1.3 Điều kiện để có kỹ năng

Muốn có kỹ năng về hành động nào đó chủ thể cần:

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đạt được kết quả

- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải cần thời gian đủ dài

1.1.4 Các mức độ của kỹ năng giải toán

Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải toán:

- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp

Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:

- Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài toán cơ bản nào đó tương

tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi

- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với các bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Vị trí vai trò của bài tập toán

Theo Nguyễn Bá Kim (2004, 2017): “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,

phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán

ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán”.[16, tr 201]

Cũng theo Nguyễn Bá Kim (2017): “Bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.” [16,

tr.388]

Toán học có vai trò lớn trong khoa học, công nghệ hiện đại và đời sống, như

Các–Mác đã nói “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có sử dụng được phương pháp của toán học.” (Dẫn theo Hoàng Chúng, [4, tr.5])

Học toán giúp cho học sinh phát triển được năng lực tư duy như: tính lôgic, tính sáng tạo khoa học và năng lực trí tuệ như: khái quát hóa, đặc biệt hóa, phân tích, tổng hợp Rèn luyện những phẩm chất, đức tính tốt như: tính kỷ luật, chính xác, cẩn thận

1.2.2 Phương pháp giải bài toán

Qua những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học ; người giáo viên khi dạy học sinh giải toán không chỉ đưa ra lời giải, hay áp đặt học sinh giải theo một cách giải nhất định nào

đó đã biết trước; giáo viên cần phân tích, gợi ý, hướng dẫn để học sinh tự suy nghĩ

và tìm ra lời giải cho bài toán

Tổng quát hóa các bước giải toán theo Polya (1977) như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Điều gì chưa biết? Đâu là cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không? Có đủ dữ kiện để tìm ra những thứ chưa biết không?

- Vẽ hình; chú thích phù hợp với yêu câu bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm phải chứng minh; có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức hay không?

- Có thể đưa bài toán về dạng mới đơn giản hơn không?

- Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã dùng hết các điều kiện chưa?

Đã để ý một khái niệm chủ yếu của bài toán chưa?

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán?

- So sánh các cách giải tìm được để đưa ra lời giải khoa học nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

- Giải bài toán theo cách ngắn gọn, khoa học và hợp lí nhất

- Trình bày lại lời giải, điều chỉnh những chỗ chưa hợp lí, loại bỏ những tìm đoán bằng các khẳng định

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Bạn có thể đưa ra bài toán tổng quát áp dụng bằng phương pháp đó không?

- Trong các bước của quá trình giải bài toán thì bước nào quan trọng nhất? Dĩ nhiên đó là bước nảy ra “ý”

“Nảy ra một ý mới, như vụt lóe lên một tia sáng sau một thời gian dài suy nghĩ căng thẳng và phân vân dao động, có thể gây ấn tượng mạnh mẽ; đó là phút giây huy hoàng của cảm xúc mà mỗi người giải toán phải cố gắng đừng để lỡ.” [30]

1.3 Giải bài toán bằng phương pháp hàm số

1.3.1 Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

a) Kỹ Năng nhận thức

- Kỹ năng hiểu khái niệm: Khi dạy học sinh về sử dụng phương pháp hàm số để giải

toán, người giáo viên cần đảm bảo các yêu cầu như là:

+ Hiểu được các tính chất, các quy tắc tính đạo hàm của hàm số

+ Hiểu được khái niệm tính đơn điệu của hàm số, vận dụng trong từng trường hợp cụ thể của hàm số đạo hàm mà bài toán cho

- Biết xét dấu hàm số đạo hàm trong các trường hợp cụ thể

- Biết các định lý (và các kết quả) sau:

+ Nếu hàm số y f x  đơn điệu trên D thì phương trình f x  0 có không

quá một nghiệm trên D

Khi vận dụng định lý này, nếu ta nhẩm được một nghiệm x x o của phương trình, rồi chỉ rõ hàm số đơn điệu trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) sẽ kết luận được x x o là nghiệm duy nhất

+ Hàm số f t  đơn điệu trên khoảng  a b; và u v;  a b; thì

kỹ năng vận dụng tri thức vào giả thiết thực tế ngoài cuộc sống để học sinh có thể giải quyết được các vấn đề thực tiễn

c) Về kiểm tra đánh giá

Việc tự kiểm tra, đánh giá sẽ giúp học sinh tự điều chỉnh mình qua mỗi lần kiểm tra; từ đó thấy được chỗ nào mình còn yếu còn chưa chắc để có kế hoạch tự bổ sung

1.3.2 Phương pháp giải toán bằng hàm số

Trong chương trình môn Toán THPT, giải toán bằng PP hàm số có thể áp dụng cho những dạng toán sau:

Dạng 1: Những bài toán về số nghiệm của phương trình

Dạng 2: Những bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số hoặc hình học

Dạng 3: Những bài toán về giải bất phương trình, điều kiện có nghiệm của bất phương trình

1.4 Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phương pháp hàm số

1.4.1 Mục đích, đối tư ng, hình thức, nội dung khảo sát

Khảo sát này được thực hiện với mục đích biết được thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số ở lớp 12 trường THPT hiện nay như thế nào, tìm hiểu nguyên nhân của thực trạng để làm cơ sở đề xuất các biện pháp thích hợp

Đối tượng khảo sát gồm 20 giáo viên và 100 học sinh của ba trường THPT thuộc tỉnh Phú Thọ: 8 GV trường THPT Tam Nông, 6 GV trường THPT Hưng Hóa,

6 GV trường THPT Mỹ Văn của huyện Tam Nông

Hình thức khảo sát là sử dụng bảng câu hỏi

Nội dung khảo sát được thể hiện thông qua hai loại phiếu:

Phiếu xin ý kiến giáo viên: xem ở phụ lục 1

Phiếu hỏi ý kiến học sinh: xem ở phụ lục 2

1.4.2 K t quả khảo sát giáo viên

+ Nhận thức về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán Bảng 1.1 Kết quả điều tra nhận thức của GV về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc

rèn luyện kỹ năng giải toán

TT Ý nghĩa của việc rèn luyện kỹ năng giải toán Đồng ý

Không đồng ý

1 Giúp HS tự giác, tích cực và chủ động trong

2 Giúp HS phát triển khả năng tư duy sáng tạo 17 85,0 3 15,0

3 Giúp HS biết đoàn kết thương yêu và giúp đỡ

Qua bảng số liệu trên cho thấy, hầu hết các GV đều nhận thức được ý nghĩa của

việc “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12” Rèn

luyện kỹ năng giải toán giúp cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tự giác, tích cực trong mọi hoạt động

+ Về sự cần thiết của việc “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số”

Có 12/20 (60% ) GV thấy rất cần thiết, 30% GV thấy cần thiết, 10% GV thấy bình thường và không có GV nào cho là không cần thiết Điều đó cho thấy rằng đa

số GV hưởng ứng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nói chung và “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12” nói riêng + Về mức độ vận dụng phương pháp hàm số trong giảng dạy của GV:

Có 2/20 = 10% GV sử dụng rất thường xuyên, 3/20 = 15% GV sử dụng thường xuyên, 4/20 = 20% GV ít sử dụng, còn lại 11/20 = 55% GV rất ít sử dụng

Biểu đồ 1.1 Tần suất vận dụng phương pháp hàm số vào giải toán trong quá trình

giảng dạy của GV

Như vậy giải toán bằng phương pháp hàm số được áp dụng trong thực tế giảng dạy của GV tuy nhiên không phải là phương pháp được sử dụng thường xuyên nhất, thể hiện chỉ có 25% GV được hỏi là sử dụng thường xuyên Việc áp dụng phương pháp hàm số vào giải toán còn khó khăn đối với nhiều giáo viên trẻ, chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, thể hiện 55% GV được hỏi rất ít sử dụng

phương pháp hàm số vào giải toán Đây cũng là một hạn chế trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

+ Về độ khó của phương pháp hàm số

Đánh giá về mức độ kiến thức của “phương pháp hàm số”, có 18/20 = 90%

GV cho rằng nội dung kiến thức của phương pháp hàm số là khó và rất khó áp dụng

+ Đánh giá tính hiệu quả của việc sử dụng “phương pháp hàm số” giải một số dạng toán cụ thể ở lớp 12

Bảng 1.2 Điều tra về tính hiệu quả khi sử dụng “phương pháp hàm số” để giải các

dạng toán có liên quan

nghiệm, biện luận số

nghiệm của phương

Biểu đồ 1.2 mức độ hiệu quả khi sử dụng “phương pháp hàm số” để giải toán

Thông qua biểu đồ 1.2 thấy rằng phần lớn giáo viên khi giảng dạy thực tế học sinh của mình thấy hiệu quả của việc áp dụng phương pháp hàm số vào giải toán còn ít và bình thường Khoảng gần 30% GV cho thấy hiệu quả và rất hiệu quả Như vậy cũng có thể nói rằng áp dụng phương pháp hàm số vào giải một số dạng toán sẽ mang lại hiệu quả, nếu như GV hiểu rõ ý nghĩa của phương pháp đó, góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán

+ Về khó khăn khi giảng dạy phương pháp hàm số

Khi được hỏi về trong quá trình “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12” gặp những khó khăn gì ở Câu hỏi 6 [Phụ lục 1],

thì 100% GV đều cho rằng để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp hàm số, mất nhiều công sức để chọn lọc các dạng toán; trong khi đó thời gian dạy các chủ đề về các dạng toán sử dụng phương pháp hàm số thì quá ít; mức độ các bài toán khó nhiều; thường xuất hiện trong các đề thi TN THPT gần đây; đặc biệt học sinh chưa hiểu được giải toán bằng phương pháp hàm số Điều đó cho thấy sự cần thiết “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12”

1.4.3 K t quả khảo sát 100 học sinh

+ Nhận thức của HS về vai trò và tác dụng của rèn luyện kỹ năng giải toán

Bảng 1.3 Tổng hợp nhận thức của HS về vai trò, tác dụng của rèn luyện kỹ năng

+ Mức độ cần thiết “rèn luyện kỹ năng giải toán”

Đa số HS nhận thức được tầm quan trọng của công việc này, cụ thể: có 35/100 = 35% HS rất cần thiết, 45/100 = 45% HS thấy cần thiết, 20/100 = 20% HS thấy mức độ cần thiết bình thường và không có HS nào thấy không cần thiết rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số

Biểu đồ 1.3 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương

pháp hàm số + Về khả năng vận dụng phương pháp hàm số để giải toán

Có 25/100 = 25% HS cho rằng rất khó vận dụng, 55/100 = 55% HS thấy khó vận dụng, 10/100 = 10% HS cho là bình thường và 10/100 = 10% HS dễ vận dụng

Biểu đồ 1.4 Khả năng vận dụng phương pháp hàm số để giải toán của HS + Về khó khăn khi học tập phương pháp hàm số

Bảng 1.4 Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phương pháp hàm số

5 Thời gian học tập các chủ đề ít 90 90 10 10

Biểu đồ 1.5 Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phương pháp hàm

số

+ Một số dạng toán thường xuyên giải bằng phương pháp hàm số

Khi đƣợc hỏi: Theo bạn phương pháp hàm số thường được áp dụng cho một

số dạng toán nào? thì tất cả (100%) học sinh đều cho thấy những dạng toán cần sử

dụng phương pháp hàm số như phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số hoặc hình học, đều được đề cập đến trong đề tài này Điều đó cho thấy phương pháp hàm số có tầm quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, phát triển tư duy sáng tạo, lôgic cho người học Toán

1.4.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải toán lớp 12

+ Sử dụng công thức sai:

Ví dụ 1.1 Giải phương trình 2 2

log x 3log x100 (1) Một học sinh giải bài toán này như sau:

Điều kiện x0

5 4

2 3

15

Ví dụ 1.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2log(x 2mx) log( x 1) 0

- Sai lầm:

(1)log(x 2mx)log(x 1) x (2m1)x 1 0

120

32

Ví dụ 1.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

sin 1( )

Lời giải của học sinh nhƣ sau:

Đặt t = sinx; hàm số viết lại ( ) 1

Tiểu kết chương 1

Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế; kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định; kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định

Kỹ năng giải toán là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…)

Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học và được rèn luyện qua họat động

Khảo sát thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán nói chung, kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số nói riêng với 20 GV và 100 HS của ba trường trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, kết quả cho thấy:

- Đa số GV và HS đã nhận thức được ý nghĩa và tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cũng như kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số Trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán, HS đã bước đầu vận dụng được các tính chất của hàm số để giải một số dạng toán cần thiết

- Khi tổ chức dạy học các chủ đề về rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số trong trường THPT Tam Nông tỉnh Phú Thọ có những thuận lợi nhưng cũng còn rất nhiều khó khăn đến từ GV, HS

Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

CHO HỌC SINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

2.1 Định hướng

Việc đề xuất các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh dựa trên những định hướng sau:

- Biện pháp phải phù hợp nội dung, yêu cầu cần đạt của chương trình

- Biện pháp phải phù hợp học lực của HS

- Biện pháp phải có tính khả thi và hiệu quả

- Biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng vận dụng hàm số vào giải một số dạng toán thường gặp

Trong mỗi dạng toán cần chỉ ra những kỹ năng cụ thể để giải dạng toán đó Trong chương trình môn Toán THPT, giải toán bằng Phương pháp hàm số có thể áp dụng cho những dạng bài toán sau:

- Những bài toán về số nghiệm của phương trình

- Những bài toán về tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số hoặc đại lượng hình học

- Những bài toán về giải bất phương trình, điều kiện có nghiệm của bất phương trình

2.2 Biện pháp rèn luyện

Từ đặc điểm của kỹ năng (kỹ năng dựa trên kiến thức và kỹ năng chỉ được hình thành qua hoạt động) như đã trình bày ở chương 1, biện pháp “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12” được đề xuất như sau:

Thứ nhất, cần trang bị tri thức (kiến thức, kỹ năng cần thiết), đặc biệt là tri

thức phương pháp về sử dụng phương pháp hàm số để giải toán cho học sinh

Thứ hai, rèn luyện cho học sinh vận dụng phương pháp hàm số để giải toán

thông qua hoạt động từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

Thứ ba, con đường hình thành kỹ năng theo các bước: (1) Giáo viên hướng

dẫn làm mẫu trên lớp; (2) Học sinh tập luyện (theo cá nhân hoặc theo nhóm) dưới

sự hướng dẫn của thầy; (3) Học sinh tự luyện thêm

Thứ tư, vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán của Polya

2.3 Nội dung rèn luyện

2.3.1 Rèn luyện kỹ năng giải toán về phương trình (tìm điều kiện có nghiệm, biện luận về số nghiệm của phương trình) bằng phương pháp hàm số

a) Kiến thức cần thiết

+ Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị của hai hàm

số ở hai vế của phương trình

+ Nếu có f a f b 0, a b , thì phương trình có nghiệm trong khoảng

+ Kỹ năng nhẩm nghiệm xx o của phương trình,

+ Kỹ năng chứng minh tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định

+ Kỹ năng nhận ra hai vế phương trình có cùng dạng một hàm số

+ Kỹ năng cô lập tham số Sau khi cô lập tham số ở một vế phương trình ta

được biểu thức g m của tham số; sau đó khảo sát hàm số f x ở vế còn lại; xét tương giao giữa đồ thị hàm số y f x với đường thẳng y g m để suy ra

nghiệm phương trình

c) Hệ thống bài toán nhằm rèn luyện cho học sinh

Bài 1.1 Hãy tìm số nghiệm của phương trình:   1

Chú ý: Khi xét hàm số ta luôn phải để ý đến điều kiện của ẩn số, trong bài này hàm

số f x( ) và g x( ) có tập xác định khác nhau chính vì vậy trên từng khoảng xác định của hàm số g x( ) thì phương trình có duy nhất một nghiệm

Bài 1.2 Giải phương trình sau: (Ví dụ 2 – trang 95 – SBT – GT12)

Đồ thị 1.2 Nhận xét: - Bài toán trên cũng có thể dùng phương pháp đánh giá, x 1 là nghiệm,

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Bài 1.4 Giải phương trình log2x.log3xx.log3x3log2x3log3xx

Bài 1.6 Giải phương trình:     2

Suy ra  *  f  x3 f x  1 x  3 x 1

2

11

11

2 0

2

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1

Bài 1.7 Tìm m để phương trình log2 mx log 2x1 vô nghiệm?

+ Đạo hàm: f '3 ln 3 1 0,t     x D hàm số tăng trên D

Với m 0 phương trình có nghiệm kép x 0

Với m 1phương trình có nghiệm kép x 1

0

m m

x   m m m đó cũng là nghiệm kép của (1)

Kết luận:

Với m 0 phương trình có nghiệm kép x 0

Với m 1 phương trình có nghiệm kép x 1

Với 0 m 1 phương trình vô nghiệm

Với m 1 hoặc m 0 phương trình có 2 nghiệm x1,2 m m2 m

Bài 1.9 Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

t

x  , x0 thỏa mãn điều