Phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất

Khảo sát thực trạng việc dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất tại một số trường Trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, chúng tôi nhận thấy: Học sinh tuy được trang bị kiến thức lý th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Thị Tình

PHÚ THỌ, 2018

MỞ ĐẦU 1.1 Tính cấp thiết của đề tài

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành một nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Trước bối cảnh đó, việc chuẩn bị tiềm lực con người là hết sức quan trọng và cần phải được tiến hành ở tất cả các cấp học Nghị quyết đại hội đại biểu toàn quốc

lần thứ XII của Đảng cộng sản Việt Nam (2016) đã khẳng định:“Phát huy nguồn

lực con người là yếu tố cơ bản cho sự phát triển nhanh và bền vững của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước” Trọng trách của ngành Giáo dục trong

chuẩn bị về tiềm lực con người giai đoạn hiện nay được cụ thể hóa trong Nghị quyết

29 – NQ/ TW Hội nghị lần thứ VIII Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới

căn bản, toàn diện giáo dục đào tạo: “Phải chuyển đổi căn bản toàn bộ nền giáo

dục từ chủ yếu nhằm trang bị kiến thức sang phát triển phẩm chất và năng lực người học, biết vận dụng tri thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn; chuyển nền giáo dục nặng về chữ nghĩa, ứng thí sang một nền giáo dục thực học, thực nghiệp”

Theo đó, Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã công bố tháng 7- 2017 đã xác định một trong những mục tiêu của giáo dục phổ thông là phát triển năng lực con người Trong đó, giải quyết vấn đề toán học là một trong những năng lực trung tâm có ảnh hưởng lớn tới sự thành bại của con người khi tham gia thế giới hội nhập Như vậy, coi trọng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh là một vấn đề có ý nghĩa cả về mặt lí luận và thực tiễn

Môn Toán có nhiều ưu thế trong hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất, năng lực cần thiết thích ứng yêu cầu cuộc sống Ở giai đoạn giáo dục Trung học phổ thông, môn Toán tiếp tục giúp học sinh phát triển các năng lực toán

đã được định hình ở giai đoạn giáo dục cơ bản, đồng thời được tiếp cận với các ngành nghề có liên quan đến môn học, góp phần thực hiện yêu cầu định hướng giáo dục nghề nghiệp

Giải quyết vấn đề toán học là một trong các năng lực chủ chốt cần được phát triển cho học sinh phổ thông hiện nay Năng lực này bao gồm các khả năng thành

phần là khả năng phát hiện và làm rõ vấn đề; đề xuất, lựa chọn giải pháp; thực hiện

và đánh giá giải pháp; nhận ra, hình thành và khai thác ý tưởng mới trong giải quyết vấn đề; khả năng tư duy độc lập Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo được hình thành và phát triển trên nền của các hoạt động phát hiện giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khi giáo học sinh chủ động, tích cực tham gia các hoạt động học tập, trải nghiệm

Tổ hợp – xác suất là một chủ đề toán học thuộc lĩnh vực toán với cấu trúc rời rạc,

toán về các hiện tượng ngẫu nhiên xuất phát từ thực tiễn Đối với học sinh Trung

học phổ thông, việc tiếp cận kiến thức chủ đề này là khó và trừu tượng bởi bởi mạch

suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học Tuy nhiên, đây là các chủ đề

toán giàu tiềm năng cung cấp cho học sinh những hiểu biết về mối liên hệ giữa toán học và các lĩnh vực khoa học khác nhau của đời sống Với sự phong phú về các lĩnh vực thực tiễn có thể phản ánh qua các bài tập của chủ đề này, học sinh có cơ hội đặt

và giải quyết nhiều tình huống, bài toán nảy sinh từ thực tiễn đòi hỏi sự linh hoạt và tính sáng tạo cao Qua đó năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh được rèn luyện, phát triển

Khảo sát thực trạng việc dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất tại một số trường Trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, chúng tôi nhận thấy: Học sinh tuy được trang bị kiến thức lý thuyết về các bài toán đếm, tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất một cách lôgíc, hệ thống nhưng khả năng giải quyết các vấn đề dưới dạng tình huống thực tiễn đơn giản, gần gũi với đời sống qua sử dụng kiến thức về Tổ hợp - xác suất một cách sáng tạo, linh hoạt còn hạn chế Một trong những nguyên nhân dẫn tới tình trạng trên là giáo viên chủ yếu chú trọng việc hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải của từng bài toán cụ thể mà chưa quan tâm đúng mức tới việc tạo các tình huống có vấn đề theo các chiều hướng khác nhau để học sinh được tham gia giải quyết Như vậy, mặc

dù tiềm năng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua học tập chủ

đề này là sẵn có nhưng hiệu quả của việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh qua chủ đề chưa được khai thác tối đa

Vì những lí do trên, đề tài được chọn là "Phát triển năng lực giải quyết vấn

đề toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất"

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống hoá và làm rõ một số yếu tố của năng lực và giải quyết vấn đề toán học Từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 11 THPT

1.4 Phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất lớp 11 THPT với việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

1.5 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và sử dụng một cách hợp lí các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất thì sẽ góp phần nâng cao năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông

1.6 Phương pháp nghiên cứu

1.6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề

tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài:

 Các nội dung trong chương trình môn Toán ở trường THPT có liên quan đến luận văn

 Thành phần năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh

 Các vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT

 Vai trò của việc sử dụng các phương pháp dạy học tích cực với phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh

 Tiềm năng của chủ đề Giải tích tổ hợp đối với việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT đáp ứng yêu cầu giáo dục hiện nay

1.6.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, Dùng phiếu (An két) để tiến hành điều tra, tìm hiểu nhằm thu thập thông tin về thực trạng việc dạy học Tổ hợp - xác suất ở trường THPT; thực trạng nhận thức của giáo viên THPT về tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh; thực trạng việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học

Tổ hợp - Xác suất

1.6.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Xin ý kiến giảng viên hướng dẫn, các giảng viên giảng dạy môn Toán ở trường đại học Hùng Vương và một số giáo viên dạy giỏi môn Toán ở trường THPT về nội dung nghiên cứu để hoàn thiện đề tài

1.6.4 Phương pháp thử nghiệm sư phạm

Tiến hành thử nghiệm đề tài nghiên cứu nhằm xác định tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong đề tài Các số liệu được phân tích, xử lý bằng công cụ của Thống kê Toán học

1.7 Dự kiến đóng góp của luận văn:

1.7.2 Ý nghĩa thực tiễn

- Hướng dẫn sử dụng và các ví dụ minh họa trong mỗi biện pháp là tư liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên ngành Toán, giáo viên toán trong dạy và học Toán ở THPT theo định hướng phát triển năng lực nói chung, năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh nói riêng

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử ra đời của vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Trên thế giới đã có rất nhiều nghiên cứu về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ ở trường THPT, cụ thể vào những năm 70 của thế kỷ XIX phương pháp “dạy học nêu vấn đề” xuất phát từ thuật ngữ “Orixtic”, phương pháp này còn có tên gọi là “Dạy học phát hiện và GQVĐ” đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu như A Ja Ghecđơ, B E Raicôp, Các nhà khoa học này đã nêu lên phương án tìm tòi, phát kiến trong dạy học nhằm hình thành năng lực nhận thức của học sinh bằng cách đưa học sinh vào hoạt động tìm kiếm ra tri thức, học sinh

là chủ thể của hoạt động học, là người sáng tạo ra hoạt động học Đây có thể là một trong những cơ sở lí luận của phương pháp dạy học PH & GQVĐ Vào những năm 50 của thế kỉ XX, xã hội bắt đầu phát triển mạnh, đôi lúc xuất hiện mâu thuẫn trong giáo dục đó là mâu thuẫn giữa yêu cầu giáo dục ngày càng cao, khả năng sáng tạo của HS ngày càng tăng với tổ chức dạy học còn lạc hậu Phương pháp phát hiện và GQVĐ ra đời Phương pháp này đặc biệt được chú trọng ở Ba Lan V Okon – nhà giáo dục học Ba Lan đã làm sáng tỏ phương pháp này thật sự là một phương pháp dạy học tích cực, tuy nhiên những nghiên cứu này chỉ dừng ở việc ghi lại những thực nghiệm thu được từ việc sử dụng phương pháp này chứ chưa đưa ra đầy đủ cơ sở lí luận cho phương pháp này Những năm 70 của thế kỉ XX, Trên thế giới cũng có nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục nghiên cứu phương pháp này như: Xcatlin, Machiuskin, Lecne…,M I Mackmutov đã đưa ra đầy đủ cơ sở lí luận của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

Khái niệm xác suất nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat Cho đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal) thì thuật ngữ xác suất mới thực sự xuất hiện lần đầu tiên với ý nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay Năm 1736, nhà toán học Euler đã giải quyết thành

công bài toán tổ hợp về bảy cây cầu ở thành phố Konigsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga)

Trong vòng nửa sau thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cược mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan tới xác suất: “xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…”, “dự đoán một điều gì đó là đo lường xác suất của nó…” Năm 1812, Laplace công bố “Chuyên luận giải tích về xác suất” Với chuyên luận này Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất Năm 1933, nhà toán học người Nga là Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại Ý tưởng này đã được chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê đã trở thành một ngành toán học ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: vật lý, cơ học, sinh học, y học, kinh tế, địa lý

Ở Mỹ, Hội đồng Quốc gia năm 1980 GV toán đã đề nghị hoạt động GQVĐ phải là trọng tâm của toán học trong nhà trường Chương trình giảng dạy và đánh giá Toán của Hội đồng Quốc gia GV Toán Mỹ yêu cầu được dạy xây dựng kiến thức toán học mới thông qua GQVĐ[29] Chuẩn môn Toán của Bang New Jersey - Mỹ khẳng định tất cả HS sẽ phát triển khả năng đặt ra và GQVĐ trong toán học, trong ngành khác và trong cuộc sống hàng ngày Ở Canada chương trình giảng dạy lớp 11, 12 coi GQVĐ là trung tâm của học tập Toán và nên trở thành trụ cột chính của giảng dạy Toán [31] Chương trình toán phổ thông của bang Quebec, Canada, cũng đề cập đến GQVĐ Ở Anh, báo cáo [30] đã nhìn nhận khả năng GQVĐ là một mục tiêu có tính trọng điểm của giáo dục toán học và là yếu tố quan trọng trong việc dạy toán cho mọi lứa tuổi và mọi khả năng Chương trình New Zealand chú trọng đến các phương pháp tiếp cận để giải quyết các vấn đề liên quan đến toán học, phát triển khả năng tư duy, suy luận hợp lý Chương trình toán của Pháp nhấn mạnh tới yếu tố GQVĐ trong học toán Chương trình toán của Úc đề cập tới: Sự hiểu biết về kiến thức, kĩ năng toán học; GQVĐ; lập luận Ở Singapore năm 2001, Bộ Giáo dục khẳng định, mục tiêu chính của chương trình giảng dạy toán học là giúp HS phát triển khả năng GQVĐ Toán học (GQVĐ toán học bao gồm sử dụng và áp dụng toán

học vào các nhiệm vụ thực tế, các vấn đề thực tế cuộc sống và trong chính toán học) của HS [29] Sách giáo khoa Singapore xây dựng một sự hiểu biết sâu sắc hơn về khái niệm toán học

Tất cả các thông tin trên cho thấy GQVĐ đã được đưa vào chương trình giảng dạy của nhiều nước trên thế giới và có ý nghĩa quan trọng trong giảng dạy toán Năng lực GQVĐ là một năng lực quan trọng cần hình thành và phát triển cho

HS trong dạy học toán Tuy nhiên chưa có một công trình trên thế giới nào nghiên cứu về phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh thông qua chủ đề

tổ hợp xác suất

1.1.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam

Ở nước ta trong những năm gần đây có một số nghiên cứu về dạy học toán

theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ ở trường THPT, cụ thể:

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Anh Tuấn (2002), với đề tài “Bồi dưỡng năng lực

phát hiện và GQVĐ cho HS THCS trong dạy học khái niệm toán học (thể hiện qua một số khái niệm mở đầu đại số ở THCS)” [28], trên quan điểm hoạt động dạy học

gồm hai hoạt động phát hiện vấn đề và GQVĐ, có thể xem năng lực phát hiện và GQVĐ gồm nhóm năng lực phát hiện vấn đề và nhóm năng lực GQVĐ, xác định quy trình dạy khái niệm mở đầu đại số để bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Thị Hương Trang (2002), với đề tài “Rèn luyện

năng lực giải toán theo hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo cho HS khá giỏi trường Trung học phổ thông” [23], đã xây dựng một tiến trình giải toán, nhằm rèn

luyện năng lực giải toán cho HS khá giỏi theo hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo

Luận án tiến sĩ của Từ Đức Thảo (2012), với đề tài “Bồi dưỡng năng lực

phát hiện và GQVĐ cho HS Trung học phổ thông thông qua dạy học hình học”

[26], xem năng lực phát hiện và GQVĐ trong dạy học hình học gồm năng lực phát hiện vấn đề trong học hình học và năng lực GQVĐ trong học hình học, đưa ra các biện pháp

bồi dưỡng các thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ

Luận án tiến sĩ của Phan Anh Tài (2015), với đề tài“Đánh giá năng lực

GQVĐ của HS trong dạy học toán lớp 11 trung học phổ thông” [22], cho rằng năng

lực GQVĐ có bốn thành tố (năng lực hiểu vấn đề, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác GQVĐ, phát hiện vấn đề mới)

Cuốn sách Tiếng Việt về xác suất - thống kê xuất bản lần đầu tiên ở nước

ta là cuốn “Thống kê thường thức” của cố giáo sư Tạ Quang Bửu được xuất bản vào năm 1948 Cuốn sách này trình bày các kiến thức cơ bản về xác suất, thống

kê và những ứng dụng của môn học này trong quân sự Toán tổ hợp xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế Vì vậy lý thuyết tổ hợp xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho HS THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này Ở nước ta, xác suất mới được đưa vào chương trình toán phân ban thí điểm ở lớp 11 năm 2005 – 2006

Phương pháp phát hiện và GQVĐ thật sự là một phương pháp tích cực Trong công cuộc đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp này là một trong những phương pháp chủ đạo được sử dụng trong các nhà trường nói chung và trong nhà trường THPT nói riêng Trải qua những thăng trầm của lịch sử, lí thuyết tổ hợp vẫn phát triển mạnh mẽ, đóng góp nhiều cho sự phát triển của khoa học và kĩ thuật hiện đại

Nói tóm lại, các công trình nghiên cứu trên thế giới và trong nước về dạy học giải quyết vấn đề, năng lực giải quyết vấn đề cho người học có rất nhiều nhưng chủ yếu tập trung vào nghiên cứu lý luận Các nghiên cứu về năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh và phát triển năng lực ấy còn chưa được cụ thể Vấn đề phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS THPT thông qua chủ đề tổ hợp –xác suất thì chưa có một công trình nào đề cập đến một cách có hệ thống, nghiên cứu chưa được

triệt để mặc dù đây là một chủ đề toán học giàu tiềm năng giúp rèn luyện và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh

Trên đây là những luận cứ quan trọng giúp chúng tôi xác định các biện pháp

sư phạm, thực hiện mục đích của đề tài

1.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.1 Vấn đề

Để hiểu đúng thế nào là vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái niệm khác

có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thê và khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể là một hệ thống nào đó Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán

Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật toán nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán Sau đây là một vài lưu ý:

Thứ nhất nếu hiểu như trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài toán Những bài toán nếu chỉ yêu cầu hoc sinh đơn thuần áp dụng trực tiếp một thuật toán chẳng hạn như giải phương trình bậc hai dựa vào công thức đã học, thì không phải

là một vấn đề

Thứ hai, khái niệm vấn đề như trên thường được dùng trong giáo dục Ta cần phân biệt vấn đề trong giáo dục và vấn đề trong nghiên cứu khoa học

Ví dụ 1.1: Bài toán yêu cầu khai triển hằng đẳng thức (a + b)4 không phải

là một vấn đề khi HS đã được học về khai triển nhị thức Newton nhưng nó lại là một vấn đề khi họ chưa được học công thức nhị thức Newton

Trong thực tế tình huống gợi vấn đề bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong quá trình tƣ duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn chƣa đủ để vƣợt qua

(ii) Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu một tình huống có vấn đề nhƣng vì lí do nào đó học sinh thấy không có nhu cầu tìm hiểu giải quyết chẳng hạn họ thấy vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì đó cũng chƣa phải là một tình huống gợi vấn đề Điều quan trọng là tình huống gợi nhu cầu nhân thức, chẳng hạn phải làm bộc lộ khiếm khuyết về kiến thƣc, kĩ năng của học sinh để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung kiến thức

(iii) Khơi dậy niềm tin ở khả năng của bản thân

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và học sinh tuy có nhu cầu nhận thức nhƣng nếu cẩn thấy vấn đề vƣợt quá so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ

là tuy họ chƣa có ngay lời giải , nhƣng đã có một số tri thức kĩ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu tích cực suy nghĩ thì có hy vọng giải quyết đƣợc vấn đề đó

Ví dụ 1.2: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ các

số 0,1,2,4,5,6,7,8,9?

Vấn đề đặt ra ở đây là HS chƣa đƣợc học quy tắc nhân, nếu sử dụng cách liệt

kê các phần tử thì mất rất nhiều thời gian Giáo viên gợi vấn đề để HS thấy tình

huống có vấn đề

Tóm lại tình huống có vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về mặt lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật toán mà phải trải qua một quá trình suy nghĩ tích cực , hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

1.2.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [8] đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề như sau: Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề , giáo viên tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác

(i) Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau đây:

- Học sinh được đặt vào tình huống có vấn đề chứ không phải là thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

- Học sinh hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri thức

và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy

(ii) Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường do thầy tạo ra Có thể liên tưởng đến những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán trong phần gợi động cơ mở đầu

- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Tìm giải pháp

-Tìm một cách để giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ sau:

Bắt đầu

Giải pháp đúng

Kết thúc

Giải thích sơ đồ theo Nguyễn Bá Kim [14]

Khi phân tích vấn đề , cần làm rõ những mối quan hệ giữa những cái đã biết

và cái phải tìm Trong môn Toán thường dựa vào những tri thức toán học đã học hoặc liên tưởng tới những định lí hoặc định nghĩa thích hợp

Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức , thường hay sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, xem xét mối liên hệ và phụ thuộc Phương pháp được đề xuất không phải là bất biến mà trái lại

có thể phải điều chỉnh , thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Khâu này

có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm được hướng đi hợp lí

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

Tiếp theo là kiểm tra xem giải pháp có đúng đắn hay không Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng

Sau khi đã tìm ra được một giải pháp có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác (theo sơ đồ trên) so sánh chúng với nhau đề tìm ra giải pháp hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì không phải phát biểu lại

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

-Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề và giải quyết vấn đề nếu có thể

Để nắm được rõ hơn về các bước DH phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập, chúng tôi thể hiện trong ví dụ giải bài tập sau:

- Ví dụ 1.3: Buổi tổng kết cuối năm của một cơ quan, ban tổ chức phát ra 200

vé sổ số đánh số từ 1 đến 200 người Xổ số có bốn giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải

ba, 1 giải tư Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi:

a) Có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất?

Chúng ta có thể dạy học bài tập theo các bước DH phát hiện và giải quyết vấn đề như sau:

Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề

- GV cho HS đọc và nghiên cứu kĩ đề bài HS tự phát hiện ra vấn đề cần giải quyết đó là trả lời được hai câu hỏi của bài tập

Bước 2: Tìm giải pháp, tìm cách giải quyết

- GV hướng dẫn HS từng phần thông qua các câu hỏi gợi ý để các em tự tìm

ra lời giải

+ Phần (a): GV đưa ra các câu hỏi sau cho HS trả lời

GV: Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư có nghĩa là cần phải chọn ra bao nhiêu người trong 200 người?

HS: Cần phải chọn 4 người

GV: Việc chọn 4 người này tùy ý hay theo một trật tự xác định trong 200 người?

HS: 4 người này là được xếp thứ tự trong 200 người

GV: Vậy cần sử dụng công thức nào để tính? Số kết quả có thể xảy ra là bao nhiêu?

HS: Cần sử dụng công thức tính số chỉnh hợp Số kết quả có thể xảy ra là

4

200 1552438800

+ Phần (b): Tương tự GV đưa ra các câu hỏi sau cho HS trả lời

GV: Nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất thì còn lại bao nhiêu người để chọn các giải còn lại? Khi đó, còn mấy giải cần phải chọn?

HS: Còn 199 người để chọn các giải còn lại và còn 3 giải nữa cần phải chọn

đó là giải nhì, giải ba, giải tư

GV: Vậy còn 3 giải nữa cần phải chọn nghĩa là cần phải chọn ra bao nhiêu người trong 199 người còn lại

HS: Cần phải chọn 3 người trong 199 người còn lại

GV: Liệu việc chọn 3 người trong 199 người có khác gì phần (a) là 3 xếp thứ

tự trong 199 người hay không? Vì sao?

HS: Có giống.Vì khi đã chọn được giải nhất rồi thì việc chọn giải nhì, giải

ba, giải tư là một công việc chọn 3 người trong 199 người để xếp 3 giải Vậy có chỉnh hợp chập 3 của 199

GV: Ngoài ra ta còn có cách làm nào nữa không?

GV: Ta phải chọn lần lượt từ giải nhì, sau đó chọn giải ba và cuối cùng là chọn giải tư Vậy giải nhì có bao nhiêu cách chọn trong 199 người còn lại?

HS: Sử dụng quy tắc nhân, vì kết quả là việc chọn ra cả ba giải

GV: Vậy các kết quả có thể xảy ra là bao nhiêu?

HS: Áp dụng quy tắc nhân ta có các kết quả có thể xảy ra là:

199.198.197  7762194(kết quả)

Bước 3: Trình bày giải pháp

- GV cho HS trình bày lời giải theo giải pháp vừa tìm được

a) Số kết quả có thể xảy ra là A2004  1552438800 (kết quả)

b) Người giữ số vé 47 đạt giải nhất thì còn lại 199 người được chọn cho các giải còn lại Số cách chọn giải ba người nhận 3 giải còn lại là: A1993 Vậy các kết quả

có thể xảy ra sau khi biết người giữ số vé 47 đạt giải nhất là: 3

199

A =199.198.197  7762194(kết quả)

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Giải pháp giúp HS biết vận dụng tốt các kiến thức về Tổ hợp, biết được một số sai lầm thường gặp để có thể giải các bài tập tiếp theo chính xác hơn

1.3 Năng lực giải quyết vấn đề toán học

1.3.1 Khái niệm năng lực

Năng lực được nhiều nhà tâm lý học, nhà triết học, nhà giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Chương trình giáo dục phổ thông ở Việt Nam sau năm 2015 theo định hướng hình thành và phát triển năng lực Khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:

Theo quan điểm di truyền học, năng lực phụ thuộc vào yếu tố bẩm sinh của

di truyền và yếu tố môi trường sống của con người và xem nhẹ yếu tố giáo dục Các nhà tâm lí học Mác xit không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với năng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành

năng lực Có thể hiểu, năng lực là những đặc trưng tâm lí của cá nhân thích hợp để hoàn thành có kết quả tốt hoạt động nào đó

Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy [3].

Qua nghiên cứu, chúng ta cũng có thể quan niệm năng lực là sự tích hợp các

kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra Định nghĩa này nêu nên

ba thành phần nổi bật của năng lực: kĩ năng, nội dung và tình huống

Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động Theo quan niệm này năng lực là khả năng kết hợp của các yếu tố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kinh nghiệm, thái độ tích cực, tinh

thần trách nhiệm để thực hiện hoàn thành các nhiệm vụ, vấn đề trong các tình

huống thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội và cá nhân

Khái niệm năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng yêu cầu phức hợp và thực

hiện thành công nhiệm vụ trong bối cảnh cụ thể hiện nay đang được dùng để đánh

giá năng lực HS của gần 70 nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam

Từ những nghiên cứu về năng lực, chúng tôi quan niệm năng lực của HS

trong học toán như sau: Năng lực của HS trong học toán là khả năng huy động kiến

thức, kĩ năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác như ý chí, niềm tin… của

HS đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công các nhiệm vụ trong hoạt động học tập toán

Như vậy, năng lực có các đặc điểm sau:

- Năng lực là khả năng của mỗi HS, nên đặc thù tâm lí, sinh lí, yếu tố bẩm sinh của mỗi HS và yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến năng lực của HS Năng lực của mỗi HS được hình thành và phát triển sẽ có sự khác biệt nhất định và phụ thuộc vào chương trình, phương pháp, hình thức dạy học,

- Năng lực gắn liền với hoạt động cụ thể Ví dụ trong lĩnh vực học tập năng

lực của HS được thể hiện thông qua việc vận dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm, thái độ để giải quyết các nhiệm vụ Năng lực của mỗi HS được bộc lộ thông qua các hoạt động nên để chứng minh năng lực của một HS trong một lĩnh vực nào đó phải xem xét các hoạt động của HS trong lĩnh vực đó

1.3.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một vấn đề mà ở nhiều nước trên thế giới đều có sự quan tâm đặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý đến việc phát hiện và bồi dưỡng HS có năng khiếu về Toán Đến nay vẫn chưa có được định nghĩa thống nhất về năng lực Toán Theo nghiên cứu của Trần Luận [12] về cấu trúc năng lực, khái niệm năng lực toán học được giải thích trên hai phương diện:

+ Như là năng lực sáng tạo (khoa học) - năng lực hoạt động khoa học toán học

mà hoạt động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội

+ Như là năng lực học tập - năng lực nghiên cứu (học tập, lĩnh hội) toán học (trong trường hợp này là giáo trình toán phổ thông), lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng tương ứng

Tiến sĩ Trần Luận đề xuất sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của HS gồm hai nhóm: Năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc thù Theo ông, sơ đồ cấu trúc năng lực toán học vừa nêu chỉ mới dừng ở nghĩa hẹp của năng lực Trên thực

tế, năng lực cần được hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm cả nhóm thành phần trí tuệ, cảm xúc, ý chí và thể chất

Từ những nghiên cứu về năng lực toán học, có thể thấy:

- Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức,

kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán

- Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…

1.3.3 Năng lực giải quyết vấn đề

Nghiên cứu dạy học phát hiện và GQVĐ được xem như là một cách tiếp cận,

mà mục tiêu của nó là hình thành cho HS năng lực GQVĐ

Có nhiều quan niệm về năng lực như: Năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong

học toán là một tổ hợp năng lực bao gồm các kĩ năng (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết những nhiệm vụ của môn toán Và

chỉ ra hai nhóm năng lực thành tố là: Nhóm năng lực phát hiện vấn đề trong toán học và Nhóm năng lực GQVĐ trong toán học Nghiên cứu năng lực giải toán theo hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo, đưa ra quan niệm về năng lực phát hiện và GQVĐ:

Đó là năng lực tập trung vào việc tìm kiếm và áp dụng chiến lược GQVĐ bằng con đường có mục tiêu, đòi hỏi tư duy phê phán và cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả

Nghiên cứu về năng lực phát hiện và GQVĐ, vận dụng vào thực tiễn dạy học Hình

học ở trường THPT, cho rằng: Năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong Hình

học là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở kĩ năng (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ của Hình học

[26]

Chương trình Đánh giá HS Quốc tế của Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh

tế đưa ra khái niệm: Năng lực GQVĐ là năng lực của một cá nhân để sử dụng các

quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các bối cảnh thực tế xuyên suốt các môn học ở đó con đường tìm ra lời giải là không rõ ràng ngay tức thì và ở đó các lĩnh vực hiểu biết hay chương trình có thể áp dụng được không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán, khoa học hay đọc

Trong luận văn này chúng tôi quan niệm năng lực GQVĐ trong học toán của

HS như sau: Năng lực GQVĐ của HS là khả năng huy động kiến thức, kĩ năng, kinh

nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác của HS để thực hiện hoạt động GQVĐ khi phải đối mặt với các vấn đề trong học toán mà ở đó con đường tìm ra lời giải không

rõ ràng ngay lập tức

Ví dụ 1.4: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác

nhau và chia hết cho 3?

Ở đây HS phải huy động kiến thức số học lớp 6 dấu hiệu chia hết cho 3 để giải bài toán trên Vậy với bài toán này HS phải huy động kiến thức để giả bài toán Tương tự bài toán trên GV có thể đặt ra bài toán khác mà nó gần giống với bài toán trên như sau:

Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8 lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau thỏa mãn: a) Các số này lẻ và không chia hết cho 5?

b) Chữ số đầu chẵn, chữ số cuối lẻ?

1.3.4 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề

Tiếp cận quá trình GQVĐ trong dạy học toán, Phan Anh Tài [22] cho rằng

năng lự c GQVĐ của HS trong dạy học toán THPT được cấu thành bởi các thành tố sau: Năng lực hiểu VĐ, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác để GQVĐ và năng lực phát hiện vấn đề mới

Tiếp cận theo quá trình GQVĐ, chúng tôi quan niệm năng lực GQVĐ gồm

có 4 thành tố sau:

*) Năng lực hiểu vấn đề: Là khả năng của cá nhân xác định và hiểu được vai

trò của các thông tin đưa ra, đưa ra các phán xét có cơ sở, gắn kết các thông tin và các kiến thức đã biết Năng lực hiểu vấn đề gồm các thành phần: năng lực nhận dạng và phát biểu vấn đề, Năng lực xác định và giải tích thông tin (bao gồm hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề và toán học hóa vấn đề)

*) Năng lực tìm ra giải pháp: Là khả năng của cá nhân sử dụng các thông tin

và kiến thức đã biết để rút ra những kết luận và đưa ra những quyết định đi đến giải

pháp Năng lực tìm giải pháp gồm các thành phần: năng lực thu thập và đánh giá thông tin (là khả năng phân tích mối liên hệ giữa các đối tượng), năng lực xác định cách thức GQVĐ (là khả năng định hướng kết nối các kiến thức, kĩ năng đã có với cái cần tìm)

*) Năng lực thực hiện giải pháp: Là khả năng của cá nhân sắp xếp các thông

tin và các kiến thức đã biết để triển khai giải pháp; năng lực này gồm hai thành phần

là năng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và điều chỉnh

*) Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp: Là khả năng của cá nhân xem xét,

kiểm nghiệm để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có được từ GQVĐ Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng lực

đề xuất giải pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng giải pháp vào tình huống mới, năng lực phát triển giải pháp

Quá trình GQVĐ Thành tố năng lực GQVĐ

Tìm hiểu và nhận biết vấn đề Năng lực hiểu vấn đề

Tìm giải pháp Năng lực tìm ra giải pháp

Thực hiện giải pháp Năng lực thực hiện giải pháp

Nghiên cứu sâu giải pháp Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp

Hình 1.1 Mối liên hệ giữa các thành tố của năng lực GQVĐ

1.3.5 Mối quan hệ giữa hoạt động giải quyết vấn đề và năng lực giải quyết vấn đề

Năng lực không mang tính chung chung, khi nói về năng lực là gắn với một hoạt động cụ thể nào đó, chẳng hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học, năng lực giảng dạy của hoạt động giảng dạy, năng lực GQVĐ trong dạy học Toán của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán, Giữa hoạt động GQVĐ và năng lực GQVĐ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, năng lực GQVĐ được thể hiện thông qua kết quả của hoạt động GQVĐ và hoạt động GQVĐ làm bộc lộ năng lực GQVĐ Như vậy, để hình thành và phát triển năng lực GQVĐ cần phải cho HS được thực hiện các hoạt động GQVĐ

Ví dụ 1.5: Khi gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập Tính xác suất để có

đó, giúp HS phát triển năng lực hiểu vấn đề

Hoạt động 2: Hướng dẫn HS tìm giải pháp, tìm cách giải quyết giúp phát triển năng lực tìm ra giải pháp cho HS

- GV hướng dẫn HS thông qua các câu hỏi gợi ý để các em tự tìm ra lời giải nhằm phát triển năng lực tìm ra giải pháp cho HS

GV: Muốn tìm xác suất của biến cố trước tiên ta phải tìm gì?

HS: Tìm không gian mẫu

GV: Sau khi tìm được không gian mẫu chúng ta phải làm gì tiếp theo?

HS: Tìm số phần tử của không gian mẫu

GV: Sau khi tìm đƣợc không gian mẫu và số phần tử của không gian mẫu ta phải làm gì?

HS: Ta phải tìm phần tử của biến cố A: “ít nhất một đồng xu sấp” và số phần

tử của biến cố này

Hoạt động 3: Hướng dẫn HS trình bày giải pháp, giúp phát triển năng lực thực hiện giải pháp cho HS

GV: cho HS trình bày lời giải theo giải pháp vừa tìm đƣợc

HS: trình bày lời giải

Không gian mẫu là:    SSS SSN SNS SNN NSS NSN NNS NNN , , , , , , , Suy ra: n ( )   8

Gọi biến cố A: “ít nhất một đồng xu sấp”

A  SSS SSN SNS SNN NSS NSN NNS

Suy ra: n (A)  7

Xác suất của biến cố A là: ( ) 7

P(A)

n A n

HS: còn cách khác là tìm biến cố đối của biến cố A

GV: sau đó ta làm thế nào để tìm ra xác suất của biến cố cần tìm?

HS: ta tìm xác suất của biến cố đối, sau đó tính theo công thức:

P(A) 1 P(A)  

GV: yêu cầu HS trình bày lời giải theo cách hai và đưa đến kết luận về cách tìm lời cho các bài toán tương tự (có lấy ví dụ minh họa)

1.3.6 Năng lực giải quyết vấn đề toán học

Năng lực giải quyết các vấn đề toán học được nhận định theo nghĩa thông thường là năng lực thiết lập những phương pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại gặp phải khi học toán

Năng lực giải quyết vấn đề toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hoạt động :

+ Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

+ Đề xuất , lựa chọn cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

+ Sử dụng được các kiến thức , kĩ năng toán học tương thích( bao gồm công

cụ và thuật toán ) để giải quyết vấn đề

+ Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

Năng lực giải quyết vấn đề toán học có thể phân chia thành các nhóm sau:

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, công thức, vẽ hình, đọc hình Khi giải quyết vấn đề toán học, học sinh cần sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, công thức, đọc hình và vẽ hình để chứng minh bài toán, hoặc giải bài toán, hay giải quyết vấn đề toán học nói chung

- Năng lực tính toán, năng lực suy luận và chứng minh Học sinh cần có năng lực tính toán trong giải quyết vấn đề toán học nói riêng, trong đời sống nói chung Năng lực suy luận và chứng minh là năng lực cần thiết để học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra

- Năng lực hệ thống hóa vấn đề toán học Khi giải toán, học sinh không chỉ giải quyết bài toán đó một cách riêng lẻ, mà cần hệ thống hóa các kiến thức, kỹ năng, phương

pháp để có cái nhìn sâu sắc và tổng thể hơn về các vấn đề toán học Từ đó, khi đứng trước các vấn đề đòi hỏi phải sử dụng các biện pháp tiến bộ hơn để giải quyết vấn đề học sinh sẽ có định hướng chính xác và hiệu quả hơn khi giải quyết vấn đề

- Năng lực quy kết quả giải quyết vấn đề đúng tình huống, đúng giới hạn vấn đề Khi giải quyết vấn đề toán học, học sinh cần sử dụng năng lực quy kết quả giải quyết vấn

đề đúng tình huống, đúng giới hạn vấn đề để giải quyết vấn đề toán học nói chung

- Năng lực sửa chữa sai lầm, chính xác hóa cách giải quyết Học sinh cần có năng lực sửa chữa sai lầm, chính xác hóa cách giải quyết vấn đề khi đó vấn đề đặt ra mới được giải quyết triệt để và do đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ bài toán Có những bài toán khi giữ nguyên đề bài mà

ta không biết chuyển đổi ngôn ngữ bài toán sẽ không thể giải được Trong toán học nói chung, năng lực chuyển đổi ngôn ngữ bài toán giúp chúng ta dễ dàng giải quyết vấn đề hơn

Như vậy, khi dạy học GV cần chú ý sử dụng các biện pháp bồi dưỡng các năng lực giải quyết vấn đề toán học trên, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục cũng như phát triển năng lực toán học cho học sinh

1.4 Dạy học về Tổ hợp – Xác suất trong chương trình môn toán lớp 11

1.4.1 Mục tiêu dạy học, chuẩn kiến thức kĩ năng của chủ đề

Mục tiêu

Về kiến thức:

- HS cần nắm được: hai quy tắc đếm cơ bản (quy tắc cộng, quy tắc

nhân) các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; công thức khai triển nhị thức tơn; các khái niệm (phép thử, không gian mẫu, các kết quả có thể của các

Niu-phép thử, biến cố, các Niu-phép toán biến cố, xác suất của biến cố, các kết quả

thuận lợi cho một biến cố,…); quy tắc cộng và nhân xác suất

- Làm quen với biến ngẫu nhiên rời rạc (khái niệm, đọc và hiểu bảng phân

bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, công thức tính đặc trưng quan trọng của nó

là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn)

- Hiểu được ý nghĩa của kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

Về kĩ năng:

HS biết: Vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản; tính hệ số của khai triển nhị thức Niu tơn; lập luận chặt chẽ khi giải một số bài toán tổ hợp; vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển; vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản; lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc; tính các xác suất liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc

từ bảng phân phối của nó; tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Về tư duy, thái độ:

- Rèn luyện tư duy lôgic, ngôn ngữ chính xác; phát triển khả năng suy đoán; rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản (phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá); hình thành những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo,…hình thành, phát triển tác phong làm việc khoa học, thói quen tự kiểm tra, rèn luyện khả năng suy luận có lý, hợp lôgíc trong những tình huống

cụ thể; rèn luyện khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề thực tiễn một cách

chính xác, khoa học

- Giáo dục cho HS tinh thần, thái độ học tập nghiêm túc, chủ động, độc lập, sáng tạo trong học tập môn Toán, rèn luyện đức tính ham hiểu biết, yêu khoa học, nghiêm túc trong lao động, năng động sáng tạo

Nội dung chi tiết của chủ đề

Chương TH – XS ở sách Đại số và giải tích lớp 11 có 5 bài:

+ Bài 1: Hai quy tắc đếm

+ Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

+ Bài 3: Nhị thức Niu – tơn

+ Bài 4: Phép thử và biến cố

+ Bài 5: Xác suất của biến cố

1.4.2 Những tư tưởng cơ bản của chủ đề

Nội dung của chủ đề:

+ Trong SGK trình bày, dẫn dắt các khái niệm về tổ hợp, xác suất một

cách sinh động, đi từ thực tiễn đến toán học một cách tự nhiên, đồng thời cung cấp nhiều ví dụ đa dạng giúp HS dễ hiểu bài hơn

+ Cách viết nhẹ nhàng, giảm tính hàn lâm, không yêu cầu các suy luận chặt chẽ về lý thuyết phức tạp

+ Phần xác suất nội dung trọng tâm là định nghĩa cổ điển của xác suất

Trong SGK đưa ra những bài toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển quy về bài toán đếm số phần tử của không gian mẫu

Phương pháp của chủ đề:

Đổi mới phương pháp dạy và học là một vấn đề rất quan trọng trong ngành giáo dục Đổi mới phương pháp sao cho phù hợp với phương châm lấy HS làm trung tâm, tăng cường tính chủ động của HS, giảm lý thuyết kinh viện, tăng thực hành, gắn với thực tiễn Dựa vào những yêu cầu trên, chủ đề “Tổ hợp – xác suất”

được dạy ở lớp 11 trong SGK đã có một số đổi mới về phương pháp

+ Tránh áp đặt kiến thức, khắc phục căn bệnh “thầy đọc trò ghi”

+ GV cần dành nhiều thời gian cho HS làm bài tập ở nhà Tuy nhiên không nhất thiết yêu cầu HS làm hết bài tập trong SGK, đối với HS khá GV có thể hướng dẫn các em làm bài tập trong SBT

+ GV cần kiểm tra kiến thức cần nhớ, kĩ năng vận dụng kiến thức đó vào giải các bài toán của HS không chỉ trong những tiết luyện tập mà cả trong phần kiểm tra bài cũ GV để HS thực hành và hoạt động nhiều, cố gắng chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, không làm thay HS, tôn trọng và khuyến khích các cách giải khác đúng của HS

1.4.3 Vai trò của chủ đề tổ hợp xác suất đối với việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh

Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu các bài toán mang cấu trúc rời rạc

trong đó có bài toán đếm Kĩ năng và kiến thức của tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều

khoa học từ Kinh tế tới Sinh vật, Tin học, Hóa học và Quản trị kinh doanh

Lý thuyết xác suất là vừa ngành Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng tính toán xác suất của một biến cố ngẫu nhiên vừa là một công cụ cực kì quan trọng không thể thiếu của các nhà khoa học, kĩ sư, các nhà kinh tế

Chủ đề tổ hợp xác suất ở chương trình toán phổ thông được giới thiệu thành một chương trong sách Đại số và giải tích lớp 11 Các kiến thức về “Tổ hợp – xác suất” một mặt cung cấp cho HS những hiểu biết cơ bản về toán học ứng dụng, một mặt tạo cho HS thói quen vận dụng toán học, ý thức sử dụng các phương pháp của toán học tới các vấn đề của thực tiễn Nội dung của nó gồm có 5 bài Bên cạnh đó SGK cũng giới thiệu cho HS các bài đọc thêm như định nghĩa thống kê của xác suất và một phần tiểu sử của nhà toán học Pascal

Chủ đề Tổ hợp - Xác suất có vai trò quan trọng trong phát triển năng lực GQVĐ toán học như sau:

Đối với năng lực nhận, biết phát hiện vấn đề toán học: bản thân hs hiểu được

chủ đề tổ hợp xác suất ở chương trình toán 11 chiếm một vị trí khá quan trọng vì: Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số phần

tử của một tập hợp hoặc phải tính toán xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên là bao nhiêu Các kiến thức về tổ hợp xác suất trong chương này sẽ bước đầu giúp chúng ta giải được một số bài toán đơn giản thuộc loại đó Tổ hợp xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Tổ hợp xác suất được đưa vào chương trình toán học phổ thông từ khi cải cách giáo dục Dựa vào công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhị thức New – tơn người ta trình bày tri thức về xác suất theo quan điểm thống

kê Việc học toán xác suất liên hệ chặt chẽ với các kiến thức ở phần tổ hợp đã học trước đó Học yếu tổ hợp thì cũng dẫn đến học yếu xác suất Ngoài ra nó cũng thường có mặt trong các đề thi THPT quốc gia Trong chủ đề gồm các thành phần: năng lực nhận dạng các bài toán đếm, các bài toán xác suất các bài toán về nhị thức Niutơn và phát biểu các bài toán thành ngon ngữ của mình Như vậy, chủ đề Tổ hợp xác suất có vai trò quan trọng đới với việc phát triển năng lực hiểu vấn đề

Đối với năng lực tìm ra giải pháp: Trong chủ đề tổ hợp xác suất các vấn đề

đưa ra có thể được giải quyết bằng các kiến thức đã có như các quy tắc đếm, chứng minh nhị thức Niutơn, HS có khả năng sử dụng các thông tin và kiến thức đã biết

để rút ra những kết luận và đưa ra những quyết định đi đến giải pháp tìm được lời giải hoặc đưa ra biện pháp GQVĐ Nhiều nội dung chủ đề có thể dùng khả năng phân tích mối liên hệ giữa các đối tượng, có định hướng kết nối các kiến thức, kĩ năng đã có với cái cần tìm Do đó ta cũng nhận thấy, chủ đề Tổ hợp xác suất có nhiều tiềm năng cho GV sử dụng các biện pháp để bồi dưỡng và phát triển năng lực tìm ra giải pháp cho học sinh

Đối với năng lực đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp và năng lực sử dụng kiến thức kĩ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề: Cũng nhhư các chủ đề

khác, chủ đề Tổ hợp xác suất có nhiều nội dung để Hs có khả năng sắp xếp các thông tin và các kiến thức đã biết để triển khai giải pháp để giải quyết các bài toán

đếm, bài toán tổ hợp, điển hình là bài toán chứng minh, những nội dung này yêu cầu học sinh cần có năng lực này gồm hai thành phần là năng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và điều chỉnh Như vậy, chủ đề có vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực thực hiện giải pháp cho học sinh

Đối với Đối với năng lực đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn

đề tương tự: Trong chủ đề có những nội dung mà từ những nội dung có sẵn ta có thể

đặc biệt hóa và khái quát hóa để có khả năng của cá nhân xem xét, kiểm nghiệm để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có được từ GQVĐ Qua đó, năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng lực đề xuất giải pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng giải pháp vào tình huống mới, năng lực phát triển giải pháp được bồi dưỡng, rèn luyện và phát triển

1.5 Một số thực trạng việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất

Tìm hiểu thực trạng dạy và học tổ hợp xác suất cũng như việc tổ chức dạy học nhằm phát triển năng lực GQVĐ cho HS ở trường THPT hiện nay luận văn đã tiến hành khảo sát các GV dạy toán và HS các lớp 11A7,11A8,11A9 của trường THPT Việt Trì Hình thức khảo sát chủ yếu là lập phiếu khảo sát dành cho GV và HS, ngoài ra còn có trực tiếp trao đổi, phỏng vấn với GV Mục đích là tìm hiểu về phương pháp và cách thức tổ chức hoạt động nhằm phát triển năng lực GQVĐ toán học trong dạy học chủ đề tổ hợp xác suất cho HS

1.5.1 Thực trạng nhận thức về tầm quan trọng việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh của giáo viên Toán THPT

Chúng tôi đã tiến hành điều tra nhận thức về vai trò, tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho HS của giáo viên Toán THPT qua các phiếu điều tra, phỏng vấn, trao đổi trực tiếp với giáo viên, dự giờ và thu được kết quả như sau:

- 100 % (8/8) giáo viên quan tâm bồi dưỡng năng lực GQVĐ Toán học và sáng tạo

- 100% giáo viên đều nhận thức được rằng dạy học dạy học phát triển năng lực GQVĐ toán học là quan trọng

GV có lưu tâm đến việc tổ chức dạy học theo phương pháp nhằm phát triển năng lực toán học GQVĐ cho HS việc tổ chức này còn diễn ra chưa nhiều Đối với những HS thuộc diện khá giỏi thì các em có hứng thú khi học tập theo phương pháp này tuy nhiên vẫn còn một phần HS còn có thái độ học tập không đúng đắn, các em không chịu suy nghĩ thì lại không thích học theo phương pháp này Do đó mà sự tham gia của HS cũng chưa đạt đến mức độ tuyệt đối HS còn gặp một số khó khăn khi học chương tổ hợp xác suất do kiến thức của nó khá trừu tượng và khó hiểu HS còn gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải cho bài toán vì các bài tập ở nội dung này thường không có thuật giải chung (Kết quả cụ thể xem phần phụ lục)

Qua kết quả khảo sát, trao đổi cùng với giáo viên và học sinh ở trường THPT Việt trì, chúng tôi rút ra được nhận xét rằng giáo viên nhận thấy tầm quan trọng của việc tổ chức các hoạt động nhằm giúp học sinh phát triển năng lực toán học GQVĐ, việc tổ chức các hoạt động này cũng mang lại những hiệu quả đáng kể Một bộ phận

HS cũng yêu thích phương pháp học tập này Dạy và học theo phương pháp này giúp HS phát triển được tư duy và tạo điều kiện để học sinh học tập tốt Tuy nhiên, hình thức tổ chức hoạt động giúp học sinh phát hiện và GQVĐ còn chưa phù hợp,

sự tham gia của các em chưa nhiều, một số cách tổ chức còn mang tính hình thức

1.5.2 Thực trạng vấn đề bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất

Qua kết quả điều tra, chúng tôi tổng kết và thu được kết quả như sau:

- 100 % (8/8) giáo viên quan tâm đến các hoạt động GQVĐ toán học trong quá trình DH TH - XS:

- 100% giáo viên đều nhận thức được rằng dạy học phát triển năng lực GQVĐ toán học là quan trọng

- 100 % giáo viên được khảo sát cho rằng: cần phát triển năng lực GQVĐ cho học sinh thông qua chủ đề TH -XS Tuy nhiên, số liệu điều tra thực tế cho thấy việc thực hiện cho học sinh các hoạt động nhằm phát hiện và GQVĐ toán học qua chủ

đề TH - XS còn chưa thường xuyên GV đánh giá chưa cao tầm quan trọng của việc

tổ chức dạy học chủ đề TH – XS theo định hướng nhằm phát triển năng lực GQVĐ cho HS GV xem HS là trung tâm của quá trình dạy học Các hình thức mà GV thường tổ chức cho HS phát hiện vấn đề đó là học lí thuyết và làm bài tập thường là các bài tập sách giáo khoa hoặc bài tập mẫu, đôi khi vẫn những bài tập đó nhưng chỉ thay đổi số liệu mà không thay đổi những dữ kiện khác của bài toán hoặc giáo viên chỉ chú trọng đến kết quả hoàn thành bài tập mà không trú trọng tới năng lực giải quyết vấn đề GV cũng cố gắng thay đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực

để phù hợp với hoạt động học tập của HS nhưng còn áp dụng theo ý chủ quan là nhiều và còn khiên cưỡng nên kết quả đạt được chưa cao GV đã dạy đúng theo chuẩn kiến thức kỹ năng, chưa nghĩ đến góc độ phát triển năng lực và hiệu quả của việc dạy học theo định hướng này là chưa cao do một số nguyên nhân như: tỉ lệ HS tham gia còn chưa cao, việc tổ chức học tập theo phương pháp này mất nhiều thời gian hơn do đó mà một số GV cũng còn ngần ngại khi tổ chức dạy học theo phương pháp này (Kết quả cụ thể xem phần phụ lục)

Hiện nay, việc sử dụng phương pháp dạy học GQVĐ trong dạy học chủ đề Tổ hợp – xác suất trong các trường trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ còn hạn chế Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến tình trạng trên là do mạch suy luận của chủ

đề không hoàn toàn giống suy luận toán học dẫn đến việc tiếp cận kiến thức của học sinh còn hạn chế Mặt khác, việc giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận kiến thức theo phương pháp dạy học GQVĐ còn gặp khó khăn và giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu định hướng cụ thể hóa việc dạy học chủ đề theo phương pháp dạy học GQVĐ Việc khảo sát chính là cơ sở để chúng tôi đề ra một số biện pháp tích cực nhằm khắc phục những hạn chế này!

TIỂU KẾT CHƯƠNG I

Chương 1 nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của việc phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS thông qua chủ đề xác suất thống kê, với các kết quả đạt được như sau:

Năng lực GQVĐ toán học là một năng lực quan trọng cần hình thành và

phát triển cho HS trong dạy và học toán ở giai đoạn hiện nay Tổ hợp – xác suất là

một chủ đề giàu tiềm năng cung cấp cho học sinh những hiểu biết về mối liên hệ giữa toán học và các lĩnh vực khoa học khác nhau của đời sống giúp học sinh phát triển năng lực GQVĐ

Khảo sát thực trạng dạy và học toán ở trường phổ thông cho thấy GV đã có nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh mà ở đó chủ đề Tổ hợp – xác suất có vai trò quan trọng

trong việc phát triển năng lực GQVĐ toán học Tuy nhiên GV còn gặp nhiều hạn chế và khó khăn trong quá trình triển khai PPDH còn chưa đa dạng, tập trung

nhiều vào thuyết trình, vấn đáp, các bài tập được cho theo mẫu có sẵn và việc rèn

kĩ năng và năng lực GQVĐ của HS cũng chưa được chú ý đúng mức Giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu định hướng cụ thể hóa việc dạy học chủ đề theo phương pháp dạy học GQVĐ Một bộ phận không nhỏ HS chưa quan tâm đến phát triển năng lực GQVĐ toán học thông qua chủ đề xác suất thống kê vì đây cũng là một chủ đề khó

Những vấn đề lý luận và thực tiễn đã được nghiên cứu và phân tích trên là cơ

sở quan trọng giúp chúng tôi đưa ra những định hướng cũng như các biện pháp phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS

Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN

HỌC CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC TỔ HỢP - XÁC SUẤT

năng lực trí tuệ ,các phảm chất tư duy,các kĩ năng hành động và cả niềm say mê đối với môn học

Các biện pháp phát triển năng lực GQVĐ vấn đề toán học thông qua chủ

đề tổ hợp xác suất phải được dựa trên cơ sở nội dung tổ hợp xác suất trong Chương trình, SGK, chuẩn kiến thức kỹ năng hiện hành Cụ thể là: Phải xác định được các nội dung giải tích có cơ hội để hình thành và phát triển năng lực GQVĐ và phải chứa đựng tình huống bộc lộ những chướng ngại, khó khăn đòi hỏi

phải tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải quyết

đó, cần phải đảm bảo sự kết hợp thực hiện qua quá trình học tập, trải nghiệm trong môn Toán góp phần phát triển năng lực Toán học cho Hs

2.1.3 Đảm bảo sự phù hợp với lí luận dạy học theo phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của người học, phù hợp với lí luận về thành phần năng lực giải quyết vấn đề toán học

Các biện pháp phải phù hợp với yêu cầu đổi mới căn bản toàn diện nền giáo dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay Nghĩa là: các biện pháp thể hiện rõ ý tưởng trang bị dạy học theo phát hiện và GQVĐ để góp phần hình thành và phát triển năng lực GQVĐ cho HS; Phù hợp với quan điểm chuyển từ trang bị kiến thức kĩ năng sang phát triển toàn diện phẩm chất năng lực sáng tạo của người học

Các biện pháp phải tác động vào từng thành tố của năng lực GQVĐ và phải trang bị được cho HS Các biện pháp phải dựa trên những khó khăn, chướng ngại của HS trong quá trình học tổ hợp xác suất

2.1.4 Đảm bảo quan điểm dạy học lấy người học làm trung tâm

Đảm bảo quan điểm dạy học “lấy người học làm trung tâm”, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh Cần tổ chức quá trình dạy học theo hướng phát hiện và GQVĐ, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện,

suy luận giải quyết vấn đề

2.1.5 Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy học hiện nay

Các biện pháp đề suất phải mang tính khả thi, phải áp dụng vào hoạt động thực tiễn và điều kiện dạy học hiện nay Quá trình thực hiện dạy học chủ đề “Tổ hợp – xác suất” theo PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề phải tạo ra hiệu quả dạy học một cách toàn diện Nó vừa giúp HS nắm vững tri thức, rèn luyện được những

kĩ năng học tập và hình thành cho HS những năng lực phẩm chất cần thiết để học tập môn Toán tốt hơn

Tính khả thi của biện pháp phải được phát huy hiệu quả khi áp dụng vào tình hình thực tế, phù hợp với sự phát triển kinh tế xã hội Các biện pháp được áp dụng rộng rãi, được điều chỉnh bổ sung, cải tiến để ngày càng hoàn thiện, đáp ứng phạm

vi rộng lớn hơn

2.2 Các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh thông qua khai thác các bài toán thuộc chủ đề Tổ hợp - xác suất ở lớp 11 THPT

2.2.1 Thiết lập các hoạt động tích cực hóa hoạt động của học sinh đảm bảo cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Tổ hợp - xác suất trong chương trình môn Toán lớp 11 Trung học phổ thông

2.2.1.1 Mục đích của biện pháp

Biện pháp này nhằm mục đích giúp HS lĩnh hội một cách hiệu quả các khái niệm, định lí , tính chất tổ hợp xác suất Trong hoạt động nhận thức toán học, thông qua thiết lập các hoạt động tích cực hóa, HS sử dụng để hiểu và ghi nhớ các khái

niệm, các định lý, các tính chất, các quy tắc và làm rõ tính hệ thống của các tri thức

đó Vì thế biện pháp này, không chỉ hình thành cho HS một nền tảng kiến thức tốt chuẩn bị cho quá trình GQVĐ mà còn trang bị cho học sinh niềm say mê trong học Toán Những kiến thức mà HS lĩnh hội được là nền tảng cơ sở, hỗ trợ quá trình tìm hiểu thông tin, thu thập thông tin để GQVĐ Góp phần bồi dưỡng cho HS khả năng tìm hiểu thông tin Toán học, thu thập thông tin Toán học và lưu trữ các thông tin Toán học Từ đó, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, công thức; Năng lực tính toán, năng lực suy luận và chứng minh

2.2.1.2 Cơ sở của biện pháp

Người có năng lực GQVĐ là người có thể giải quyết thành công các vấn đề Polya cho rằng để một người GQVĐ thành công điều quan trọng là người đó phải

có cơ sở tri thức toán học đầy đủ để GQVĐ

Do đó để góp phần giúp cho HS phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ người GV cần giúp cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản về tổ hợp xác suất Biện pháp này được xây dựng dựa trên cơ sở việc nắm vững các kiến thức về tổ hợp xác suất là yêu cầu cần phải có để giúp HS giải các bài toán

2.2.1.3 Tổ chức thực hiện biện pháp

Với mỗi bài học:

Bước 1: GV phải lựa chọn khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp cần dạy; Bước 2: GV xây dựng các hoạt động cần cho bài học;

Bước 3: GV tổ chức hướng dẫn, tổ chức các hoạt động và tập luyện cho HS

lĩnh hội kiến thức;

Bước 4: GV hướng dẫn HS hiểu, vận dụng các khái niệm, định lí, quy tắc,

phương pháp một cách thành thạo

a) Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh thực hiện hoạt động một cách tích cực trong học khái niệm

Các hoạt động (HĐ) trong dạy học khái niệm hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp được xây dựng như sau:

* Định nghĩa hoán vị

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)

Mỗi kết quả của sự sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó

HĐ1: Gợi động cơ hình thành khái niệm

- Ví dụ: Tổ trưởng tổ 1 lớp 11A7 phân công 6 thành viên của tổ trực vệ sinh tuần Giả sử mỗi hs trực 1 ngày Hãy nêu 2 cách sắp xếp phân công trực vệ sinh

- Từ ví dụ mỗi kết quả của việc phân công trực vệ sinh theo thứ tự tên của 6 hs được

gọi là 1 hoán vị tên của 6 HS

HĐ2: Hình thành khái niệm

- Thông qua HĐ1 giáo viên yêu cầu một học sinh phát biểu định nghĩa hoán

vị Sau đó giáo viên chính xác hóa: Hoán vị là sắp xếp các phần tử của 1 tập hợp

HĐ3: Nhận dạng và thể hiện khái niệm hoán vị thông qua các HĐ củng cố

- Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3

- Từ ví dụ và bài toán trên hãy nêu sự giống và khác nhau của 2 hoán vị bất kì?

HS đưa ra nhận xét

GV chốt kiến thức:

Nhận xét: hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp

Giải thích các HĐ trên