Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ

Các bài toán quỹ tích dự ng hình.... Các bài toán quỹ tích dự ng hình.... Các bài tậ p về tính toán.... T2: Phân tích mộ t quá trình thành nhữ ng thao tác đư ợ c thự c hiệ n theo nhữ ngt

TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C HÙNG VƯ Ơ NG KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ

-NGUYỄ N TIẾ N LÂM

KHOÁ LUẬ N TỐ T NGHIỆ P

BỒ I DƯ Ỡ NG TƯ DUY THUẬ T GIẢ I CHO HỌ C SINH THPT THÔNG QUA DẠ Y GIẢ I BÀI TOÁN HÌNH HỌ C BẰ NG PHƯ Ơ NG PHÁP

VECTƠ

PHÚ THỌ - 2012

Mụ c Lụ c

Mở đầ u

1 Lí do chọ n đề tài khóa luậ n

2 Mụ c tiêu củ a khóa luậ n

3 Nhiệ m vụ nghiên cứ u

4 Giả thuyế t khoa họ c

5 Phư ơ ng pháp nghiên cứ u

6 Đố i tư ợ ng và phạ m vi nghiên cứ u

7 Cấ u trúc củ a khóa luậ n

Chư ơ ng I: CƠ SỞ LÍ LUẬ N VÀ THỰ C TIỄ N

1.1 Quan điể m hoạ t độ ng trong phư ơ ng pháp dạ y họ c

1.2 Tư duy thuậ t giả i

1.2.1 Khái niệ m tư duy

1.2.2 Khái niệ m tư duy thuậ t giả i

1.2.3 Quy trình thuậ t giả i

1.3 Các hoạ t độ ng hình thành tư duy thuậ t giả i

1.3.1 Các hoạ t độ ng hình thành tư duy thuậ t giả i

1.3.2 Mố i quan hệ giữ a các tình huố ng diể n hình trong dạ y họ c toán

1.4 Vị trí vai trò củ a thuậ t giả i trong chư ơ ng trình Toán họ c ở phổ thông

1.4.1 Đố i vớ i bộ môn Toán họ c

1.4.2 Mộ t số vấ n đề thuậ t giả i trong các lĩnh vự c khác

1.5 Nhữ ng đị nh hư ớ ng đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c Toán nhằ m phát triể n tư duy thuậ t giả i

Kế t luậ n chư ơ ng I

Chư ơ ng II: BỒ I DƯ Ỡ NG TƯ DUY THUẬ T GIẢ I THÔNG QUA DẠ Y GIẢ I CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌ C BẰ NG PHƯ Ơ NG PHÁP VECTƠ

2.1 Vị trí vectơ trong chư ơ ng trình phổ thông

2.2 Cơ sở lý thuyế t vectơ

2.2.1 Ư u điể m, hạ n chế củ a việ c sử dụ ng công cụ vectơ trong hoạ t độ ng giả i toán

2.2.2 Không gian vectơ

2.2.3 Hệ các vectơ độ c lậ p tuyế n tính và phụ thuộ c tuyế n tính

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 7 9 12 12 13 15 15 17

18 20

21 21 22

22 26 28

2.2.4 Tích vô hư ớ ng củ a hai vectơ

2.2.5 Tích có hư ớ ng củ a hai vectơ

2.2.6 Tích hỗ n tạ p

2.3 Các dạ ng bài toán ứ ng dụ ng phư ơ ng pháp vectơ

2.3.1 Dạ ng toán chứ ng minh

2.3.2 Các bài toán quỹ tích dự ng hình

2.3.3 Các bài toán tính toán

2.3.4 Các bài toán về bấ t đẳ ng thứ c và cự c trị

2.4 Đị nh hư ớ ng về phư ơ ng pháp

2.5 Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh thông qua dạ y giả i mộ t số dạ ng bài toán

2.5.1 Hệ thố ng các bài toán

2.5.2 Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i mộ t số dạ ng bài toán

2.5.2.1 Dạ ng toán chứ ng minh

2.5.2.2 Các bài toán quỹ tích dự ng hình

2.5.2.3 Các bài tậ p về tính toán

2.5.2.4 Các bài toán về bấ t đẳ ng thứ c và cự c trị

Kế t luậ n chư ơ ng II

Chư ơ ng 3: THỬ NGHIỆ M SƯ PHẠ M

3.1 Mụ c đích thử nghiệ m

3.2 Nộ i dung thử nghiệ m

3.3 Tổ chứ c thử nghiệ m

3.3.1 Chọ n đố i tư ợ ng thử nghiệ m

3.3.2 Tiế n hành thử nghiệ m

3.3.3 Đánh giá kế t quả thử nghiệ m

3.3.4 Kế t luậ n chung về thử nghiệ m

KẾ T LUẬ N CHUNG

TÀI LIỆ U THAM KHẢ O

PHỤ LỤ C

30 32 32 32 32 33 33 33 33

34 34

37 37 50 56 65 69 70 70 70 70 70 71 74 76 78 79 80

LỜ I CẢ M Ơ N

Trong suố t thờ i gian thự c hiệ n khóa luậ n tố t nghiệ p ngoài sự nỗ lự c củ a bả n

thân, tôi còn nhậ n đư ợ c sự giúp đỡ , chỉ bả o tậ n tình củ a các thầ y giáo, cô giáo

trong Khoa Toán– Công nghệ , Trư ờ ng Đạ i họ c Hùng Vư ơ ng

Đặ c biệ t tôi xin bày tỏ lòng biế t ơ n sâu sắ c tớ i thầ y giáo ThS Hoàng Công

Kiên – Giả ng viên Trư ờ ng Đạ i họ c Hùng Vư ơ ng Thầ y đã dành nhiề u thờ i gian

quý báu tậ n tình hư ớ ng dẫ n tôi trong suố t quá trình thự c hiệ n khóa luậ n tố t nghiệ p,

đồ ng thờ i thầ y còn là ngư ờ i giúp tôi lĩnh hộ i đư ợ c nhữ ng kiế n thứ c chuyên môn và

rèn luyệ n cho tôi tác phong nghiên cứ u khoa họ c

Qua đây, tôi xin gử i lờ i cả m ơ n chân thành và sâu sắ c tớ i các thầ y giáo, cô

giáo trong Khoa Toán – Công nghệ , tớ i gia đình, bạ n bè là nhữ ng ngư ờ i luôn sát

cánh bên tôi, đã nhiệ t tình giúp đỡ , chia sẻ , độ ng viên tôi trong suố t quá trình họ c

tậ p cũng như khi tôi thự c hiệ n và hoàn chỉ nh khóa luậ n này

Mặ c dù đã rấ t cố gắ ng xong khóa luậ n không khỏ i có nhữ ng thiế u sót Vì vậ y,

tôi rấ t mong nhậ n đư ợ c sự góp ý củ a các thầ y giáo, cô giáo và các bạ n để khóa

luậ n đư ợ c hoàn thiệ n hơ n

Tôi xin chân thành cả m ơ n!

Việ t trì, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Độ c lậ p tuyế n tính

Phụ thuộ c tuyế n tính

Đố i chứ ng

Thự c nghiệ m

MỞ ĐẦ U

1 Lý do chọ n đề tài khóa luậ n

Trong giai đoạ n hiệ n nay, khi khoa họ c công nghệ có nhữ ng bư ớ c tiế n nhả y

vọ t, ngành giáo dụ c và đào tạ o phả i đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c mộ t cách mạ nh

mẽ nhằ m đào tạ o nhữ ng con ngư ờ i có đầ y đủ phẩ m chấ t như năng độ ng, sáng tạ o,

tự chủ , có tính tổ chứ c, tính kỷ luậ t và có ý thứ c suy nghĩ tìm giả i pháp tố i ư u khi

giả i quyế t công việ c

Nghị quyế t hộ i nghị lầ n thứ IV Ban chấ p hành Trung ư ơ ng Đả ng cộ ng sả n

Việ t Nam (Khóa IV, 1993) chỉ rõ: “Mụ c tiêu giáo dụ c đào tạ o phả i hư ớ ng vào việ cđào tạ o nhữ ng con ngư ờ i lao độ ng tự chủ , sáng tạ o, có năng lự c giả i quyế t nhữ ng

vấ n đề thư ờ ng gặ p, qua đó góp phầ n tích cự c thể hiệ n mụ c tiêu lớ n củ a đấ t nư ớ c làdân giàu, nư ớ c mạ nh, xã hộ i công bằ ng, dân chủ , văn minh”

Về phư ơ ng pháp giáo dụ c đào tạ o, Nghị quyế t Hộ i nghị lầ n thứ II Ban chấ phành Trung ư ơ ng Đả ng Cộ ng Sả n Việ t Nam (Khóa VIII, 1997) tiế p tụ c khẳ ng

đị nh: “Phả i đổ i mớ i phư ơ ng pháp đào tạ o, khắ c phụ c lố i truyề n đạ t mộ t chiề u, rèn

luyệ n thành nế p tư duy sáng tạ o củ a ngư ờ i họ c Từ ng bư ớ c áp dụ ng nhữ ng phư ơ ng

pháp tiên tiế n và phư ơ ng tiệ n hiệ n đạ i vào quá trình dạ y họ c, đả m bả o điề u kiệ n và

thờ i gian tự họ c, tự nghiên cứ u”

Điề u 24 Luậ t giáo dụ c (2005) quy đị nh: “Phư ơ ng pháp giáo dụ c phổ thông

phả i phát huy tính tích cự c, tự giác chủ độ ng, tư duy sáng tạ o củ a họ c sinh, , bồ i

dư ỡ ng phư ơ ng pháp tự họ c, rèn luyệ n kỹ năng vậ n dụ ng kiế n thứ c vào thự c tiễ n,tác độ ng đế n tình cả m, đem lạ i niề m vui, hứ ng thú họ c tậ p cho họ c sinh”

Muố n đạ t đư ợ c điề u đó, mộ t trong nhữ ng việ c cầ n thiế t phả i thự c hiệ n trong

quá trình dạ y họ c là bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh

Tư duy thuậ t giả i có vai trò quan trọ ng trong nhà trư ờ ng phổ thông đặ c biệ t

trong dạ y họ c toán Trong thự c tế giả ng dạ y nhữ ng bài toán, nhữ ng dạ ng toán có

thuậ t giả i, có quy tắ c giả i, có sự phân chia thành các bư ớ c để giả i thì họ c sinh dễ

tiế p thu lĩnh hộ i Thông qua các bư ớ c hoạ t độ ng, yêu cầ u bài toán đư ợ c giả m dầ n

phù hợ p vớ i khả năng củ a họ c sinh

Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i trong các hoạ t độ ng giả i toán, đặ c biệ t là trong

quá trình dạ y toán sẽ thúc đẩ y sự phát triể n các thao tác trí tuệ khác cho họ c sinhnhư : Phân tích, tổ ng hợ p, so sánh, khái quát hoá, tư ơ ng tự hoá Hơ n nữ a còn hình

thành cho họ c sinh nhữ ng phẩ m chấ t trí tuệ như : Tính cẩ n thậ n chi tiế t, tính linh

hoạ t, tính độ c lậ p, sáng tạ o, Qua đó từ ng bư ớ c giúp họ c sinh thích nghi đư ợ c yêu

cầ u củ a xã hộ i, củ a đấ t nư ớ c đang trên con đư ờ ng công nghiệ p hoá, hiệ n đạ i hoá

Tuy nhiên ở trư ờ ng phổ thông hiệ n nay, vấ n đề bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy

thuậ t giả i chư a đư ợ c quan tâm đúng mứ c Do đó, giáo viên chư a khai thác tố t các

tình huố ng và các nộ i dung dạ y họ c nhằ m bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c

sinh Khi giả i toán, họ c sinh thư ờ ng bộ c lộ nhữ ng sai sót về tri thứ c toán họ c như

về phư ơ ng pháp suy luậ n, chứ ng minh trong hoạ t độ ng toán họ c, thuậ t giả i hay quy

trình tìm ra thuậ t giả i

Qua thự c tế dạ y và họ c giả i toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ trong chư ơ ng

trình hình họ c lớ p 10 và lớ p 12 - THPT cho thấ y họ c sinh có nhữ ng khó khăn trong

khi vậ n dụ ng, nhiề u khi dạ y bài toán nế u giả i bằ ng nhữ ng phư ơ ng pháp hình họ cthông thư ờ ng thì khá phứ c tạ p Mộ t phầ n vì lí do là các em chư a nắ m rõ kiế n thứ c

cơ bả n, mộ t phầ n vì họ c sinh chư a biế t cách tư duy tìm ra thuậ t giả i hay quy trình

thuậ t giả i để giả i các bài toán, cụ thể là thuậ t giả i các bài toán bằ ng phư ơ ng pháp

vectơ

Vì vậ y, trong nhà trư ờ ng, việ c bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy thuậ t giả i cho

họ c sinh là việ c làm cầ n thiế t

Vớ i nhữ ng lí do trên nên chúng tôi lự a chọ n đề tài nghiên cứ u: “Bồ i dư ỡ ng

tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh THPT thông qua dạ y giả i bài toán hình họ c bằ ng phư ơ ng pháp vectơ ”.

2 Mụ c tiêu củ a khoá luậ n

Xây dự ng quy trình tự a thuậ t giả i theo các dạ ng bài toán để góp phầ n giả i

quyế t khó khăn và bỡ ngỡ củ a họ c sinh trong quá trình giả i các bài toán hình họ c

bằ ng phư ơ ng pháp vectơ nhằ m bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh

3 Nhiệ m vụ nghiên cứ u

- Nghiên cứ u cơ sở lí luậ n và tư duy thuậ t giả i, quy trình tự a thuậ t giả i

- Lự a chọ n và hệ thố ng các dạ ng bài toán hình họ c giả i bằ ng phư ơ ng pháp

phát triể n và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh

- Tiế n hành thử nghiệ m sư phạ m để kiể m nghiệ m tính khả thi và hiệ u quả

củ a khóa luậ n

4 Giả thuyế t khoa họ c

Nế u xây dự ng mộ t quy trình tự a thuậ t giả i trong quá trình dạ y giả i bài toán

hình họ c bằ ng phư ơ ng pháp vectơ thì có thể nâng cao khả năng giả i toán cho họ c

sinh giúp các em vậ n dụ ng tố t trong việ c giả i toán và mở rộ ng bài toán theo nhữ ng

hư ớ ng giả i khác nhau và góp phầ n phát triể n, bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ csinh Qua đó nâng cao hiệ u quả dạ y họ c toán ở trư ờ ng phổ thông

5 Phư ơ ng pháp nghiên cứ u

- Phư ơ ng pháp nghiên cứ u lí luậ n: Nghiên cứ u lí thuyế t dạ y họ c môn toán,

sách giáo khoa hình họ c lớ p 10, lớ p 12, sách giáo viên, các đề tài khoa họ c đã đư ợ c

công bố liên quan đế n tư duy thuậ t giả i và nộ i dung phư ơ ng pháp vectơ trong hình họ c

- Phư ơ ng pháp phân tích tổ ng hợ p: Từ việ c nghiên cứ u tài liệ u, giáo trình

tổ ng hợ p và hệ thố ng hóa các kiế n thứ c mộ t cách đầ y đủ và khoa họ c

-Phư ơ ng pháp điề u tra quan sát: Dự giờ , trao đổ i vớ i mộ t số giáo viên THPT

-Phư ơ ng pháp thố ng kê: Thu thậ p các số liệ u, xử lý và đánh giá số liệ u

- Phư ơ ng pháp thử nghiệ m sư phạ m: Soạ n thả o mộ t số giáo án mẫ u theophư ơ ng pháp giả i bằ ng thuậ t giả i, chuyể n cho các giáo viên trự c tiế p giả ng dạ y

môn toánở trư ờ ng THPT nghiên cứ u và so sánh vớ i cách giả ng dạ y thông thư ờ ng,

cho ý kiế n nhậ n xét để đư a ra kế t luậ n sư phạ m

6 Đố i tư ợ ng, phạ m vi nghiên cứ u

- Đố i tư ợ ng nghiên cứ u: Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh THPT

- Phạ m vi nghiên cứ u: Dạ y giả i bài toán hình họ c bằ ng phư ơ ng pháp vectơ

7 Cấ u trúc củ a khóa luậ n

Ngoài phầ n mở đầ u, kế t luậ n và phụ lụ c khóa luậ n bao gồ m 3 chư ơ ng:

Chư ơ ng 1 Cơ sở lý luậ n và thự c tiễ n

Chư ơ ng 2 Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i bài toán hình họ c

bằ ng phư ơ ng pháp vectơ

Chư ơ ng 3 Thử nghiệ m sư phạ m

CHƯ Ơ NG I

CƠ SỞ LÝ LUẬ N VÀ THỰ C TIỄ N

1.1 Quan điể m hoạ t độ ng trong phư ơ ng pháp dạ y họ c

Chúng ta biế t rằ ng quá trình dạ y họ c là mộ t quá trình điề u khiể n hoạ t độ nggiao lư u củ a họ c sinh nhằ m thự c hiệ n nhữ ng mụ c đích dạ y họ c Còn họ c tậ p là mộ t

quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chứ c năng: đư a thông tin vào, ghi

nhớ thông tin, biế n đổ i thông tin, đư a thông tin ra và điề u phố i Họ c sinh thự c hiệ n

các chứ c năng này bằ ng nhữ ng hoạ t độ ng củ a mình Thông qua hoạ t độ ng thúc đẩ y

sự phát triể n về trí tuệ ở họ c sinh làm cho họ c sinh họ c tậ p mộ t cách tự giác, tích

cự c

Xuấ t phát từ mộ t nộ i dung dạ y họ c ta cầ n phát hiệ n nhữ ng hoạ t độ ng liên hệ

vớ i nó rồ i căn cứ vào mụ c đích dạ y họ c mà lự a chọ n để tậ p luyệ n cho họ c sinh mộ t

số nhữ ng hoạ t độ ng đã phát hiệ n Việ c phân tích mộ t hoạ t độ ng thành nhữ ng hoạ t

độ ng thành phầ n giúp ta tổ chứ c cho họ c sinh tiế n hành nhữ ng hoạ t độ ng vớ i độ

phứ c hợ p vừ a sứ c

Việ c tiế n hành hoạ t độ ng nhiề u khi đòi hỏ i nhữ ng tri thứ c nhấ t đị nh, đặ c biệ t

là tri thứ c phư ơ ng pháp Nhữ ng tri thứ c này lạ i là kế t quả củ a mộ t quá trình hoạ t

độ ng khác Trong hoạ t độ ng, kế t quả rèn luyệ n đư ợ c ở mộ t mứ c độ nào đó có thể

lạ i là tiề n đề để tậ p luyệ n và đạ t kế t quả cao hơ n Do đó cầ n phân bậ c nhữ ng hoạ t

độ ng theo nhữ ng mứ c độ khác nhau làm cơ sở cho việ c chỉ đạ o quá trình dạ y họ c.Trên cơ sở việ c phân tích trên về phư ơ ng pháp dạ y họ c theo quan điể m hoạ t độ ng

Đề tài đư ợ c nghiên cứ u trong khuôn khổ củ a lý luậ n dạ y họ c, lấ y quan điể m hoạ t

độ ng làm nề n tả ng tâm lý họ c và nhữ ng quan điể m về nhu cầ u, đị nh hư ớ ng trong

đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c Nộ i dung củ a quan điể m này đư ợ c thể hiệ n mộ t

cách tóm tắ t qua nhữ ng tư tư ở ng chủ đạ o sau (theo PGS - Tiế n sĩ Vư ơ ng Dư ơ ng

Minh):

* Cho họ c sinh thự c hiệ n và tậ p luyệ n nhữ ng hoạ t độ ng và hoạ t độ ng tư ơ ng

thích vớ i nộ i dung và mụ c đích dạ y họ c

* Hư ớ ng đích và gợ i độ ng cơ cho các hoạ t độ ng

* Truyề n thụ tri thứ c, đặ c biệ t là nhữ ng tri thứ c phư ơ ng pháp, như phư ơ ng

tiệ n và kế t quả củ a hoạ t độ ng

* Phân bậ c hoạ t độ ng làm căn cứ cho việ c điề u khiể n quá trình dạ y họ c

1.2 Tư duy thuậ t giả i

1.2.1 Khái niệ m về tư duy

Từ điể n Tiế ng Việ t đị nh nghĩa: “Tư duy là giai đoạ n cao củ a quá trình nhậ n

thứ c, đi sâu vào bả n chấ t và phát hiệ n ra tính quy luậ t củ a sự vậ t bằ ng nhữ ng hình

thứ c như biể u tư ợ ng, khái niệ m, phán đoán và suy lý”

Tư duy là mộ t quá trình tâm lý phả n ánh nhữ ng thuộ c tính bả n chấ t, nhữ ng

mố i quan hệ và liên hệ bên trong có tính quy luậ t củ a sự vậ t, hiệ n tư ợ ng trong hiệ n

thự c khách quan

* Đặ c điể m củ a tư duy:

+ Thứ nhấ t là tính “có vấ n đề ”, muố n kích thích đư ợ c tư duy cầ n có hai điề u

kiệ n: Trư ớ c hế t là phả i gặ p tình huố ng có vấ n đề , tứ c là ở hoàn cả nh chứ a đự ng

mụ c đích mớ i, cách thứ c mớ i mà nhữ ng hiể u biế t cũ không đủ khả năng giả i quyế t

Sau nữ a vấ n đề đó phả i đư ợ c cá nhân nhậ n thứ c đầ y đủ và đư ợ c chuyể n thành

nhiệ m vụ củ a cá nhân

+ Thứ hai là tính gián tiế p: Tư duy phát hiệ n đư ợ c bả n chấ t nhờ các phư ơ ng

tiệ n, công cụ , kế t quả nhậ n thứ c, kinh nghiệ m củ a chủ thể đư ợ c biể u thị qua ngôn

ngữ

+ Ngoài ra ngôn ngữ còn mang tính khái quát (phả n ánh nhữ ng thuộ c tính

chung, nhữ ng mố i quan hệ có tính quy luậ t củ a hàng loạ t sự vậ t, hiệ n tư ợ ng), tính

trừ u tư ợ ng (thoát ly nộ i dung có tính chấ t đặ c thù củ a sự vậ t và hiệ n tư ợ ng) Tư

duy có quan hệ mậ t thiế t vớ i nhậ n thứ c cả m tính mà nả y sinh tình huố ng có vấ n đề

Ngư ợ c lạ i tư duy và nhữ ng kế t quả củ a nó chi phố i khả năng phả n ánh củ a cả m

giác, tri giác, làm cho khả năng cả m giác củ a con ngư ờ i tinh vi, nhạ y bén hơ n, làm

cho tri giác củ a con ngư ờ i mang tính lự a chọ n, tính ý nghĩa

* Con ngư ờ i chủ yế u dùng ngôn ngữ để nhậ n thứ c vấ n đề , để tiế n hành các

thao tác trí tuệ và để biể u đạ t kế t quả củ a tư duy, vì vậ y ngôn ngữ đư ợ c xem như làphư ơ ng tiệ n củ a tư duy

* Sả n phẩ m củ a tư duy là nhữ ng khái niệ m, phán đoán, suy luậ n đư ợ c biể u

đạ t bằ ng từ ngữ , câu,…, ký hiệ u, công thứ c

* Các giai đoạ n củ a tư duy: Tư duy là hoạ t độ ng trí tuệ vớ i mộ t quá trình bao

+ Xác minh giả thiế t trong thự c tiễ n Nế u giả thiế t đúng thì qua bư ớ c sau,

nế u sai thì phủ đị nh nó và hình thành giả thiế t mớ i

+ Quyế t đị nh đánh giá kế t quả , đư a ra sử dụ ng

K.K Platonov đư a ra sơ đồ sau:

* Các thao tác tư duy: Có nhiề u thao tác tư duy; phân tích, tổ ng hợ p, sosánh, khái quát hóa, đặ c biệ t hóa, tư ơ ng tự hóa,….Theo G.Polya: “Khái quát hóa là

chuyể n từ việ c nghiên cứ u mộ t tậ p hợ p đố i tư ợ ng đã cho đế n việ c nghiên cứ u mộ t

tậ p lớ n hơ n, bao gồ m cả tậ p hợ p ban đầ u” Như vậ y có thể hiể u khái quát hóa là

thao tác tư duy nhằ m phát hiệ n nhữ ng quy luậ t phổ biế n củ a mộ t lớ p các đố i tư ợ ng

hoặ c hiệ n tư ợ ng từ mộ t hoặ c mộ t số các trư ờ ng hợ p riêng lẻ

Cũng theo G.Polya: “Đặ c biệ t hóa là chuyể n từ việ c nghiên cứ u mộ t tậ p hợ p

đã cho sang việ c nghiên cứ u mộ t tậ p hợ p nhỏ hơ n chứ a trong tậ p hợ p đó” Đặ c biệ t

hóa có thể hiể u là quá trình minh họ a hoặ c giả i thích nhữ ng khái niệ m, đị nh lý khái

quát bằ ng nhữ ng trư ờ ng hợ p riêng lẻ , cụ thể

G.Polya cho rằ ng: “Hai hệ là tư ơ ng tự nế u chúng phù hợ p vớ i nhau trong các

mố i quan hệ xác đị nh rõ ràng giữ a nhữ ng bộ phậ n tư ơ ng ứ ng” Cầ n chú ý rằ ng,

cùng hai yế u tố hoặ c hai đố i tư ợ ng có thể xác lậ p đư ợ c nhữ ng sự tư ơ ng tự khác

nhau tùy thuộ c vào vấ n đề chúng ta cầ n nghiên cứ u

1.2.2 Khái niệ m tư duy thuậ t giả i

Hàng ngày con ngư ờ i tiế p xúc vớ i rấ t nhiề u bài toán từ đơ n giả n đế n phứ c

tạ p Đố i vớ i mộ t số bài toán, tồ n tạ i nhữ ng quy tắ c xác đị nh mô tả quá trình giả i

Từ đó, ngư ờ i ta đi đế n khái niệ m trự c giác về thuậ t giả i và khái niệ m này đã đư ợ c

dùng từ lâu, kéo dài suố t mấ y nghìn năm trong Toán họ c

Thuậ t giả i theo nghĩa trự c giác đư ợ c hiể u như mộ t dãy hữ u hạ n nhữ ng chỉ

dẫ n thự c hiệ n đư ợ c mộ t cách đơ n trị , kế t thúc sau mộ t số hữ u hạ n bư ớ c và đem lạ i

kế t quả là biế n đổ i thông tin vào (INPUT) củ a mộ t lớ p bài toán thành thông tin ra

(OUTPUT) mô tả lờ i giả i củ a lớ p bài toán đó

Đây chư a là mộ t đị nh nghĩa chính xác mà chỉ là mộ t cách phát biể u, giúp ta

hình dung khái niệ m thuậ t giả i mộ t cách trự c giác

* Tính chấ t củ a thuậ t giả i

- Tính đơ n trị : Tính đơ n trị đòi hỏ i các thao tác trong thuậ t giả i phả i đơ n trị ,

nghĩa là nhữ ng lầ n thự c hiệ n cùng mộ t thao tác trên cùng mộ t đố i tư ợ ng phả i cho

cùng mộ t kế t quả Nói mộ t cách tổ ng quát, thuậ t giả i cho phép thự c hiệ n đúng cácthao tác, theo đúng trình tự thì đư ợ c kế t quả hoàn toàn xác đị nh duy nhấ t Tính chấ t

này cho phép tự độ ng hóa thuậ t giả i khi lậ p trình cho thiế t bị giả i quyế t bài toán

Ví dụ : Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c hai 2

- Tính dừ ng: Tính dừ ng đòi hỏ i thuậ t giả i phả i có hữ u hạ n bư ớ c thự c hiệ n để

đư ợ c kế t quả như mong muố n (khi mô tả thuậ t giả i, có thể có các bư ớ c vẫ n chư axác đị nh, như ng khi thự c hiệ n không đư ợ c lặ p lạ i mãi)

Ví dụ : Thuậ t toán Euclide tìm ư ớ c số chung lớ n nhấ t củ a hai số A và B.

Quy trình giả i:

+ Bư ớ c 1: Phân tích hai số A, B thành tích các thừ a số nguyên tố

+ Bư ớ c 2: Tìm thừ a số nhỏ nhấ t củ a số thứ nhấ t

+ Bư ớ c 3: Kiể m tra trong số thứ hai có thừ a số nào bằ ng thừ a số nhỏ nhấ t

củ a số thứ nhấ t không Nế u có thì sang bư ớ c 4, nế u không thì sang bư ớ c 5

+ Bư ớ c 4: £Viế t riêng thừ a số đó

£ Xóa thừ a số đó trong cả hai số + Bư ớ c 5: Xóa thừ a số nhỏ nhấ t khỏ i số thứ nhấ t

+ Bư ớ c 6: Kiể m tra trong số thứ nhấ t có còn lạ i thừ a số nào chư a xóa không

Nế u có thì trở lạ i Bư ớ c 2 Bư ớ c 3 Bư ớ c 4 Bư ớ c 5 Bư ớ c 6 Nế u

không thì sang bư ớ c 7

+ Bư ớ c 7: Nhân tấ t cả các thừ a số đã viế t riêng Tích đó là ư ớ c chung lớ n

nhấ t củ a hai số A và B.

- Tính đúng đắ n: Thuậ t giả i phả i đúng đắ n không đư ợ c phép cho kế t quả saihay không đầ y đủ , tứ c là phả i giả i quyế t đư ợ c đúng đắ n vấ n đề đã đặ t ra, là đư ợ cđúng công việ c mà ta mong muố n.

Ví dụ : Tính diệ n tích tam giác ABC theo 3 cạ nh củ a nó.

+ Bư ớ c 1: Đư a vào 3 số thự c dư ơ ng a, b, c ứ ng vớ i 3 cạ nh củ a tam giác.

+ Bư ớ c 2: Tính giá trị củ a biể u thứ c

2

a b c

+ Bư ớ c 4: Diệ n tích tam giác có 3 cạ nh a, b, c là S.

+ Bư ớ c 5: Kế t thúc

Quy tắ c nêu ở trên đã vi phạ m tính đúng đắ n vì 3 số thự c dư ơ ng bấ t kỳ

không phả i bao giờ cũng biể u thị số đo 3 cạ nh củ a tam giác Theo cách này thì vớ i

mọ i a, b, c là nhữ ng số thự c dư ơ ng thì ta luôn tính đư ợ c diệ n tích tam giác

Đây là thuậ t giả i tính giá trị biể u thứ c S, chứ không phả i là thuậ t giả i tính

diệ n tích củ a tam giác theo 3 cạ nh như ta mong muố n Để nó trở thành thuậ t giả i

như đã đị nh ta phả i bổ sung thêm thao tác kiể m tra điề u kiệ n a, b, c biể u thị số đo 3

cạ nh củ a tam giác

- Tính phổ dụ ng: Thuậ t giả i phả i áp dụ ng đư ợ c cho mộ t lớ p các bài toán chứ

không phả i cho mộ t bài riêng lẻ Nói cách khác, tấ t cả các bài toán cùng loạ i, cùng

kiể u phả i đư ợ c giả i bở i thuậ t giả i

Ví dụ : Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c nhấ t ax b 0, phư ơ ng trình bậ c hai

2

- Tính hiệ u quả : Thuậ t giả i cho kế t quả tố i ư u, cụ thể là:

£ Thự c hiệ n nhanh, tố n ít thờ i gian

£ Tố n ít thiế t bị trung gian

£ Đáp ứ ng nhu cầ u thự c tiễ n

b Tư duy thuậ t giả i

Tư duy toán họ c là hình thứ c biể u lộ củ a tư duy biệ n chứ ng trong quá trình conngư ờ i nhậ n thứ c khoa họ c toán họ c hay thông qua hình thứ c áp dụ ng toán họ c vào

các khoa họ c khác Như vậ y, tư duy toán họ c là tư duy biệ n chứ ng

Tư duy thuậ t giả i là mộ t loạ i hình thứ c tư duy toán họ c Nó là phư ơ ng thứ c

tư duy biể u thị khả năng tiế n hành các hoạ t độ ng sau:

T1: Thự c hiệ n nhữ ng thao tác theo mộ t trình tự xác đị nh phù hợ p vớ i mộ t

thuậ t giả i

T2: Phân tích mộ t quá trình thành nhữ ng thao tác đư ợ c thự c hiệ n theo nhữ ng

trình tự xác đị nh

T3: Khái quát hóa mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t số đố i tư ợ ng riêng lẻ thành

mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t lớ p đố i tư ợ ng

T4: Mô tả chính xác quá trình tiế n hành mộ t hoạ t độ ng

T5: Phát hiệ n thuậ t giả i tố i ư u để giả i quyế t bài toán

Trong đó, (T1) thể hiệ n năng lự c thự c hiệ n thuậ t giả i, (T2- T5 ) thể hiệ n năng

lự c xây dự ng thuậ t giả i

Giáo viên trong quá trình dạ y họ c cầ n phả i có ý thứ c thông qua việ c dạ y họ c

các quy tắ c mà rèn luyệ n cho họ c sinh mộ t loạ i hình tư duy quan trọ ng đó là thuậ t

giả i

1.2.3 Quy trình thuậ t giả i (quy tắ c tự a thuậ t giả i)

Trong quá trình dạ y họ c, ta cũng thư ờ ng gặ p mộ t số quy tắ c tuy chư a mang

đủ các đặ c điể m đặ c trư ng cho thuậ t giả i như ng có mộ t số trong các đặ c điể m khác

và đã tỏ ra có hiệ u lự c trong việ c chỉ dẫ n hành độ ng và giả i toán Đó là nhữ ng quy

tắ c tự a thuậ t giả i đư ợ c hiể u như mộ t dãy hữ u hạ n nhữ ng chỉ dẫ n thự c hiệ n đư ợ c

theo mộ t trình tự xác đị nh nhằ m biế n đổ i thông tin vào củ a mộ t lớ p bài toán thành

thông tin ra mô tả lờ i giả i củ a lớ p bài toán đó

Ví dụ : Theo quy trình 4 bư ớ c củ a G.Polya để tìm ra lờ i giả i củ a mộ t bài toán

+ Bư ớ c 1: Tìm hiể u đề toán

+ Bư ớ c 2: Xây dự ng chư ơ ng trình giả i

+ Bư ớ c 3: Thự c hiệ n chư ơ ng trình giả i

+ Bư ớ c 4: Kiể m tra và nghiên cứ u lờ i giả i

Mỗ i quy trình có thể chia thành các bư ớ c, mỗ i bư ớ c là mộ t hoạ t độ ng nhằ m

mộ t mụ c đích nhấ t đị nh Mộ t hoạ t độ ng có nhiề u thao tác như hoạ t độ ng tìm hiể u

nộ i dung đề toán có thao tác sau: Vẽ hình, chọ n kí hiệ u, phân tích giả thiế t, kế t luậ nbài toán,…

Quy trình 4 bư ớ c củ a G.Polya đư ợ c mỗ i ngư ờ i vậ n dụ ng theo mộ t cách khácnhau và đạ t đư ợ c mứ c độ thành công khác nhau, nên đây chư a phả i là mộ t thuậ t giả i

Quy tắ c tự a thuậ t giả i phân biệ t vớ i thuậ t giả i như sau:

+ Mỗ i chỉ dẫ n trong quy tắ c có thể chư a mô tả hành độ ng mộ t cách xác đị nh

+ Kế t quả thự c hiệ n mỗ i chỉ dẫ n có thể không đơ n trị

+ Quy tắ c không bả o đả m chắ c chắ n rằ ng sau mộ t số hữ u hạ n bư ớ c thì đem

lạ i kế t quả là lờ i giả i củ a lớ p bài toán

Mặ c dầ u có mộ t số hạ n chế nói trên so vớ i thuậ t giả i, quy tắ c tự a thuậ t giả i

cũng vẫ n là nhữ ng tri thứ c phư ơ ng pháp có ích cho quá trình hoạ t độ ng và giả i toán

Sau đây ta đư a ra mộ t ví dụ minh họ a về quy tắ c tự a thậ t giả i để thấ y đư ợ c

sự phân biệ t giữ a quy tắ c tự a thuậ t giả i vớ i thuậ t giả i

là giả i đư ợ c mộ t loạ i công việ c nào đó theo đúng yêu cầ u đã đị nh

Ví dụ : Giả i phư ơ ng trình bậ c hai 2

+ Bư ớ c 4: Phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biệ t là

Quy trình trênđể giả i cho tấ t cả các phư ơ ng trình bậ c hai, gồ m các đặ c điể m sau:

+ Là mộ t dãy hữ u hạ n các bư ớ c sắ p xế p theo trình tự nhấ t đị nh

+ Mỗ i bư ớ c là mộ t hoạ t độ ng nhằ m mộ t mụ c đích cụ thể , có bư ớ c là mộ tthao tác sơ cấ p, có bư ớ c chỉ là gợ i ý đị nh hư ớ ng suy nghĩ hoặ c là hư ớ ng dẫ n thaotác đư ợ c lự a chọ n trong mộ t số hữ u hạ n trư ờ ng hợ p

+ Sau khi thự c hiệ n xong tấ t cả các bư ớ c thì đi đế n kế t quả Quy trình thuậ t

giả i đư ợ c thể hiệ n dư ớ i nhiề u hình thứ c như : Ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ phỏ ng

0

Bắ t đầ u

Kế t thúc

* Kế t thúc

1.3 Các hoạ t độ ng hình thành và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i

1.3.1 Các hoạ t độ ng hình thành và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i

Tư duy thuậ t giả i là mộ t loạ i hình thứ c tư duy toán họ c Nó là phư ơ ng thứ c

tư duy biể u thị khả năng tiế n hành các hoạ t độ ng sau:

a Thự c hiệ n nhữ ng thao tác theo mộ t trình tự xác đị nh phù hợ p vớ i mộ t

thuậ t giả i cho trư ớ c, hay chính là thự c hiệ n thuậ t giả i theo quy tắ c tự a thuậ t giả i đã

biế t

b Phân tích mộ t quá trình thành nhữ ng thao tác đư ợ c thự c hiệ n theo nhữ ng

trình tự xác đị nh

c Khái quát hóa mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t số đố i tư ợ ng riêng lẻ thành

mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t lớ p đố i tư ợ ng

d Mô tả chính xác quá trình tiế n hành mộ t hoạ t độ ng

e Phát hiệ n thuậ t giả i tố i ư u để giả i quyế t bài toán

Thành phầ n đầ u thể hiệ n khả năng thự c hiệ n thuậ t giả i có sẵ n

Bố n thành phầ n sau thể hiệ n khả năng xây dự ng thuậ t giả i mớ i Các thành

phầ n này có thể đư ợ c phát biể u vắ n tắ t như sau:

a Thự c hiệ n thuậ t giả i đã biế t

b Phân tách hoạ t độ ng

c.Tư ờ ng minh hóa thuậ t giả i

d Khái quát hóa hoạ t độ ng

e Chọ n con đư ờ ng tố i ư u

Trong đó, (a) thể hiệ n năng lự c thự c hiệ n thuậ t giả i, (b - e) thể hiệ n năng lự c

xây dự ng thuậ t giả i

1.3.2 Mố i quan hệ giữ a các tình huố ng điể n hình trong dạ y họ c toán vớ i việ c và

bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy thuậ t giả i

Rèn luyệ n tri thứ c, rèn luyệ n kỹ năng, phát triể n tư duy cho họ c sinh đó là

nhữ ng nhiệ m vụ chủ yế u trong dạ y họ c Toán Nế u chia tri thứ c thành hai dạ ng:

+ Tri thứ c thự c vậ t (trong Toán họ c thư ờ ng là nhữ ng khái niệ m, đị nh lí…)

+ Tri thứ c phư ơ ng pháp: Nhữ ng phư ơ ng pháp có tính thuậ t toán (thuậ t giả i),

Thì trong dạ y họ c Toán cầ n coi trọ ng đúng mứ c cả hai dạ ng tri thứ c đó, tạ o

cơ sở cho việ c giáo dụ c toàn diệ n Tuy nhiên cầ n hiể u rằ ng tri thứ c phư ơ ng pháp

ả nh hư ở ng trự c tiế p đế n rèn luyệ n kỹ năng, tri thứ c phư ơ ng pháp (nổ i bậ t là

phư ơ ng pháp có tính thuậ t giả i) đóng vai trò đặ c biệ t quan trọ ng vì chúng là cơ sở

đị nh hư ớ ng trự c tiế p cho mọ i hoạ t độ ng

Trong dạ y họ c môn Toán có các tình huố ng điể n hình sau:

+ Dạ y họ c khái niệ m

+ Dạ y họ c đị nh lí

+ Dạ y họ c giả i bài tậ p

hoàn toàn độ c lậ p vớ i nhau, mà chúng có liên quan mậ t thiế t vớ i nhau, hỗ trợ nhau

trong quá trình dạ y họ c

* Phát triể n tư duy thuậ t giả i trong khi dạ y họ c khái niệ m: Để nhậ n dạ ng và thể

hiệ n khái niệ m ta có thể hư ớ ng dẫ n họ c sinh vậ n dụ ng tư duy thuậ t giả i

-Trong trư ờ ng hợ p các dấ u hiệ u đặ c trư ng củ a khái niệ m có cấ u trúc hộ i củ a

nhiề u thuộ c tính, các phả n ví dụ thư ờ ng đư ợ c xây dự ng khi có mộ t thành phầ n

trong cấ u trúc hộ i không đư ợ c thỏ a mãn và do đó đố i tư ợ ng đang xét không thuộ c

vào khái niệ m

Ví dụ : Dạ y khái niệ m cấ p số cộ ng (Đạ i số và giả i tích 11)

“Mộ t cấ p số cộ ng là mộ t dãy số , trong đó mỗ i số hạ ng đứ ng sau bằ ng số

hạ ng đứ ng trư ớ c nó cộ ng vớ i mộ t số d không đổ i” (d là công sai củ a cấ p số cộ ng).

+ Ta có thể hư ớ ng dẫ n họ c sinh như sau:

+Để xây dự ng mộ t cấ p số cộ ng ta làm các bư ớ c:

£ Bư ớ c 1: Chọ n mộ t số làm số hạ ng đầ u tiên u 1

£ Bư ớ c 2: Chọ n mộ t số (khác không) làm công sai

£ Bư ớ c 3: Viế t dãy số : u u1, 1 d u, 1 2 ,d u1 3 , d

Dãy số đó là mộ t cấ p số cộ ng

* Phát triể n tư duy thuậ t giả i trong dạ y họ c các đị nh lí

Theo GS.TSKH Nguyễ n Bá Kim “Dạ y họ c các đị nh lí toán họ c nhằ m đạ t

đư ợ c các yêu cầ u sau đây:

- Họ c sinh nắ m đư ợ c hệ thố ng đị nh lí và nhữ ng mố i liên hệ giữ a chúng, từ

đó có khả năng vậ n dụ ng chúng vào hoạ t độ ng giả i toán, cũng như giả i quyế t

* Phát triể n tư duy thuậ t giả i trong dạ y họ c giả i các bài toán.

Giả i toán là mộ t hoạ t độ ng chủ yế u củ a hoạ t độ ng toán họ c, thông qua dạ y

họ c giả i các bài toán sẽ giúp họ c sinh nắ m vữ ng tri thứ c, rèn luyệ n kỹ năng kỹ xả o,

phát triể n năng lự c tư duy, năng lự c ứ ng dụ ng toán họ c vào thự c tiễ n Không có

mộ t thuậ t giả i tổ ng quát nào để giả i mọ i bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua

dạ y họ c giả i các bài toán cụ thể mà dầ n dầ n truyề n cho họ c sinh nhữ ng kinh

nghiệ m để tiế n tớ i nghệ thuậ t trong việ c suy nghĩ, tìm tòi lờ i giả i các bài toán

Ví dụ : Hư ớ ng dẫ n giả i bài toán sau:

Cho hình chóp S.ABC, các c ạ nh bên đề u bằ ng a và cùng tạ o vớ i đáy mộ t góc , đáy ABC là tam giác vuông tạ i A và có cạ nh AB bằ ng a Tính thể tích V củ a

hình chópđó

+ Phân tích: Sau khi đã xác đị nh chân đư ờ ng cao H củ a hình chóp là trung điể m củ a cạ nh BC, hư ớ ng dẫ n họ c sinh phân tích:

£ Muố n tính V ta phả i tính diệ n tích đáy S ABC và SH

£ Muố n tính SH ta phả i giả i tam giác SHB.

£Muố n tính S ABC ta phả i tính AC.

£ Muố n tính AC ta phả i tính BC.

£ Muố n tính BC ta phả i tính HB.

£ Muố n tính HB ta phả i giả i tam giác SHB.

+ Từ sự phân tích trên ta có thuậ t giả i tính thể tích V.

£ Bư ớ c 1: Giả i tam giác SHB để tính SH và HB.

Trong chư ơ ng trình Toán họ c nói chung, chư ơ ng trình toán họ c ở bậ c THPT

nói riêng thuậ t giả i có vai trò rấ t quan trọ ng Không chỉ các nhà nghiên cứ u, các

giáo viên giả ng dạ y mà các em họ c sinh đề u quan tâm và tìm hiể u về vấ n đề này

Thuậ t giả i gúp các em phát triể n năng lự c trí tuệ , kỹ năng, kỹ xả o Giúp các em có

mộ t cái nhìn khái quát hơ n về cách giả i bài toán Thuậ t giả i gúp các em đị nh

hư ớ ng đư ợ c quy trình giả i bài tậ p và qua đó tạ o niề m tin cho các em về việ c tìm ra

kế t quả củ a bài toán Quy trình thuậ t giả i hay tự a tuậ t giả i sẽ giúp các em tư duy

ngắ n gọ n, logic, chính xác trong khi giả i toán

Đố i vớ i bộ môn toán thuậ t giả i đư ợ c sử dụ ng rấ t nhiề u như môn đạ i số , môn

hình họ c, môn giả i tích, , nhấ t là trong môn hình họ c thuậ t giả i đư ợ c áp dụ ng để

xây dự ng quy trình giả i mộ t lớ p các bài toán vớ i mộ t phư ơ ng pháp xác đị nh Tùy

vào từ ng dạ ng bài tậ p mà ta dự a vào các kiế n thứ c có liên quan để xây dự ng thuậ t

giả i phù hợ p thuậ n tiệ n cho ngư ờ i tham gia giả i bài toán và ngư ờ i đọ c

Ví dụ : Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c nhấ t ax b 0; vớ i ,a b ¼ :

- Bư ớ c 1: Chuyể n b sang vế phả i và đổ i dấ u: ax b

Thuậ t giả i trên giúp các em rèn luyệ n cách giả i phư ơ ng trình vớ i quy trình

chặ t chẽ , tránh sai lầ m về các trư ờ ng hợ p vô nghiệ m, vô số nghiệ m, có nghiệ m

Ví dụ : Quy trình xác đị nh giao tuyế n qua hai điể m chung củ a hai mặ t phẳ ng:

- Bư ớ c 1: Tìm điể m chung sẵ n có củ a hai mặ t phẳ ng đã cho

Điể m chung sẵ n có củ a hai mặ t phẳ ng đã cho thư ờ ng đư ợ c biể u hiệ n bở i cáctrư ờ ng hợ p sau:

+Là điể m đã cho củ a hai mặ t phẳ ng

+ Là điể m củ a mặ t phẳ ng này lạ i thuộ c mộ t đư ờ ng thẳ ng củ a mặ t

phẳ ng kia

+ Là điể m củ a mặ t phẳ ng này, thuộ c mặ t phẳ ng kia

- Bư ớ c 2: Tìm hai đư ờ ng thẳ ng củ a hai mặ t phẳ ng đã cho, cùng thuộ c mặ t

phẳ ng thứ ba

- Bư ớ c 3: Xác đị nh giao điể m củ a hai đư ờ ng thẳ ng đã tìm đư ợ c ở bư ớ c 2 để

đư ợ c mộ t điể m chung

- Bư ớ c 4: Xác đị nh đư ờ ng thẳ ng qua hai điể m chung tìm đư ợ c để tìm giao

tuyế n củ a hai mặ t phẳ ng đã cho

Ta có quy trình cách vẽ đồ thị (C’) như sau:

- Bư ớ c 1: Giữ nguyên phầ n đồ thị củ a (C) thuộ c nử a mặ t phẳ ng phía trên

giớ i hạ n bở i Ox

- Bư ớ c 2: Lấ y đố i xứ ng qua Ox phầ n đồ thị củ a (C) thuộ c nử a mặ t phẳ ng phía

dư ớ i giớ i hạ n bở i Ox

- Bư ớ c 3: Kế t luậ n: Đồ thị (C’) bao gồ m phầ n đồ thị củ a (C) đư ợ c giữ

nguyên và phầ n đồ thị củ a (C) đã đư ợ c lấ y đố i xứ ng qua Ox

Qua nhữ ng ví dụ trên cho ta thấ y vị trí, vai trò to lớ n củ a bộ môn Toán trong

việ c phát triể n tư duy thuậ t giả i củ a họ c sinh Nế u biế t khai thác mộ t cách đúng

đắ n thì sẽ góp phầ n nâng cao chấ t lư ợ ng dạ y họ c Toán trong nhà trư ờ ng phổ thông

1.4.2 Mộ t số vấ n đề thuậ t giả i trong các lĩnh vự c khác

* Trong cuộ c số ng hằ ng ngày nhiề u hoạ t độ ng mang tính chấ t thuậ t giả i như

- Xây dự ng mộ t ngôi nhà

- Điề u khiể n xe máy, ôtô

- Cách lắ p ráp mộ t chiế c laptop,…

Vậ y, phát triể n tư duy thuậ t giả i trong nhà trư ờ ng phổ thông là rấ t cầ n thiế t, vì:

- Tư duy thuậ t giả i giúp họ c sinh hình dung đư ợ c việ c tự độ ng hóa trong

nhữ ng lĩnh vự c hoạ t độ ng khác nhau củ a con ngư ờ i, góp phầ n khắ c phụ c sự ngăn

cách giữ a nhà trư ờ ng và xã hộ i tự độ ng hóa Nó giúp họ c sinh thấ y đư ợ c nề n tả ng

củ a việ c tự độ ng hóa, cụ thể là nhậ n thứ c rõ đặ c tính hình thứ c, thuầ n túy máy móc

củ a quá trình thự c hiệ n thuậ t giả i, đó là cơ sở cho việ c chuyể n giao mộ t số chứ cnăng củ a con ngư ờ i cho máy thự c hiệ n

- Tư duy thuậ t giả i giúp họ c sinh làm quen vớ i cách làm việ c trong khi giả i

bài toán bằ ng máy tính điệ n tử Thậ t vậ y, thiế t kế thuậ t giả i là mộ t khâu rấ t cơ bả n

củ a việ c lậ p trình tư duy thuậ t giả i tạ o điề u kiệ n cho họ c sinh thự c hiệ n tố t khâu đó

- Tư duy thuậ t giả i giúp họ c sinh họ c tậ p tố t nhữ ng môn họ c ở nhà trư ờ ng

phổ thông, rõ nét nhấ t là môn Toán Nó tạ o điề u kiệ n thuậ n lợ i cho họ c sinh lĩnh

hộ i kiế n thứ c và rèn luyệ n kỹ năng, kỹ xả o khi họ c các phép tính trên nhữ ng tậ p

hợ p số , giả i phư ơ ng trình bậ c nhấ t, bậ c hai v.v…

- Tiế n hành các hoạ t độ ng tư duy thuậ t giả i có thể dẫ n đế n hình thành tri

thứ c phư ơ ng pháp để giả i quyế t mộ t số vấ n đề , góp phầ n hình thành năng lự c giả i

quyế t vấ n đề ở họ c sinh trong họ c tậ p cũng như ngoài cuộ c số ng

- Tư duy thuậ t giả i cũng góp phầ n phát triể n nhữ ng năng lự c trí tuệ chungnhư phân tích, tổ ng hợ p, khái quát hóa, và hình thành nhữ ng phẩ m chấ t củ a ngư ờ ilao độ ng mớ i như : tính ngăn nắ p, kỉ luậ t, tính phê phán và thói quen tự kiể m tra…

Như vậ y việ c phát triể n tư duy thuậ t giả i trong môn Toán nhằ m góp phầ n

nâng cao chấ t lư ợ ng dạ y họ c môn Toán mộ t cách toàn diệ n

1.5 Nhữ ng đị nh hư ớ ng đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c Toán nhằ m bồ i dư ỡ ng

và phát triể n tư duy thuậ t giả i

* Đị nh hư ớ ng 1: Thông qua dạ y họ c các quy tắ c, phư ơ ng pháp toán họ c để hình

thành khái niệ m thuậ t giả i và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh và đư ợ c thể

hiệ n qua các cấ p họ c và các môn họ c

* Đị nh hư ớ ng 2: Phân tích các hoạ t độ ng tư ơ ng thích trên mộ t nộ i dung toán họ c

để có thể mô tả , sắ p xế p các hoạ t độ ng theo mộ t trình tự xác đị nh thuậ t giả i hay tự a

thuậ t giả i

Theo GS.TSKH Nguyễ n Bá Kim, tư duy thuậ t giả i liên hệ chặ t chẽ vớ i khái

niệ m thuậ t giả i, nó đư ợ c thể hiệ n ở nhữ ng khả năng và đó cũng là các hoạ t độ ng

hình thành tư duy thuậ t giả i (5 hoạ t độ ng)

£ Bư ớ c 1: Tìm tọ a độ vectơ chỉ phư ơ ng củ a đư ờ ng thẳ ng d và tọ a độ vectơ

pháp tuyế n củ a P Ta có u‒ a b c; ; , n‒ A B C; ;

£ Bư ớ c 2: Tính k u n‒ ‒

£ Bư ớ c 3: Nế u k 0 thì d c ắ t P

Nế u k 0 thì chuyể n sang bư ớ c 4

£ Bư ớ c 4: Thay tọ a độ điể m M0 x y z vào P :0; 0; 0

£ Bư ớ c 3: Nế u phư ơ ng trình trên vô nghiệ m thì d không cắ t P

Nế u phư ơ ng trình trên vô số nghiệ m thì d ( )P

Nế u phư ơ ng trình trên có mộ t nghiệ m t n

Trong trư ờ ng hợ p chỉ cầ n xét vị trí tư ơ ng đố i củ a đư ờ ng thẳ ng (d) và mặ t

sinh khả năng khái quát hóa mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t số đố i tư ợ ng riêng lẻ

thành mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t lớ p đố i tư ợ ng và phát hiệ n thuậ t giả i tố i ư u để

giả i quyế t bài toán

* Đị nh hư ớ ng 3: Tậ p luyệ n cho họ c sinh rèn luyệ n nhữ ng thao tác theo mộ t trình tựxác đị nh phù hợ p vớ i thuậ t giả i cho trư ớ c Có thể phát biể u mộ t số quy tắ c toán

họ c thành nhữ ng thuậ t giả i dư ớ i dạ ng ngôn ngữ tự nhiên, sơ đồ khố i, ngôn ngữ

phỏ ng trình,…

KẾ T LUẬ N CHƯ Ơ NG I

Thuậ t giả i là mộ t trong nhữ ng vấ n đề quan trọ ng nhấ t củ a Toán họ c Tư duy

thuậ t giả i đư ợ c thể hiệ n qua các cấ p họ c, các môn họ c củ a bộ môn Toán Thuậ t

giả i liên hệ chặ t chẽ vớ i các tình huố ng dạ y họ c điể n hình như : Dạ y họ c khái niệ m,

dạ y họ c đị nh lí, dạ y họ c giả i bài tậ p, chúng hỗ trợ nhau trong quá trình dạ y họ c Tư

duy thuậ t giả i có vị trí và vai trò quan trọ ng rấ t lớ n trong nhà trư ờ ng phổ thông và

trong cuộ c số ng hằ ng ngày, đặ c biệ t là trong Toán họ c

Việ c bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i các bàitoán là phư ơ ng pháp hiệ u quả hơ n cả nhằ m vào việ c nâng cao chấ t lư ợ ng đào tạ o

củ a nhà trư ờ ng phổ thông

CHƯ Ơ NG II

BỒ I DƯ Ỡ NG TƯ DUY THUẬ T GIẢ I THÔNG QUA DẠ Y GIẢ I CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌ C BẰ NG PHƯ Ơ NG PHÁP VECTƠ

2.1 Vị trí vectơ trong chư ơ ng trình phổ thông

Phư ơ ng pháp vectơ là mộ t trong nhữ ng phư ơ ng pháp cơ bả n củ a Toán họ c.Phư ơ ng pháp này không nhữ ng cung cấ p cho họ c sinh công cụ mớ i nhấ t để nghiên

cứ u hình họ c mà còn mang tính chấ t hiệ n đạ i hơ n, có nhiề u ư u điể m so vớ i phư ơ ng

pháp truyề n thố ng Vì vậ y chư ơ ng trình cả i cách giáo dụ c đã đư a phư ơ ng phápvectơ vào dạ y trong chư ơ ng trình hình họ c ở phổ thông

* Phư ơ ng pháp vectơ giữ vai trò quan trọ ng trong chư ơ ng trình phổ thông

- Phư ơ ng pháp vectơ giúp họ c sinh tiế p cậ n nhữ ng kiế n thứ c Toán họ c phổ

thông mộ t cách gọ n gàng, mạ ch lạ c như nhữ ng bài toán hình họ c không gian

- Phư ơ ng pháp vectơ là mộ t phư ơ ng pháp giả i toán có hiệ u quả mộ t cách

nhanh chóng, tổ ng quát mà đôi khi không cầ n phả i vẽ hình Mặ t khác chúng có tác

dụ ng tích cự c phát triể n tư duy trừ u tư ợ ng, năng lự c phân tích tổ ng hợ p,…

- Phư ơ ng pháp vectơ trang bị nhữ ng công cụ giả i toán để xây dự ng lý thuyế t

hình họ c chặ t chẽ cho tinh thầ n toán họ c hiệ n đạ i, đồ ng thờ i trình bày đư ợ c cách

đạ i số hóa hình họ c và hình họ c hóa đạ i số

- Phư ơ ng pháp vectơ giúp hình thành năng lự c giả i toán cho họ c sinh, tạ o

khả năng cho họ c sinh làm quen vớ i nhữ ng phép toán trên các đố i tư ợ ng không

phả i là các số như ng lạ i có nhữ ng tính chấ t tư ơ ng tự Từ đó sẽ dẫ n đế n sự hiể u biế t

về tính thố ng nhấ t củ a toán họ c, về cú pháp toán đạ i số , các cấ u trúc đạ i số

- Phư ơ ng pháp vectơ tạ o điề u kiệ n thự c hiệ n mố i quan hệ giữ a môn toán và

mộ t số môn họ c khác trong chư ơ ng trình phổ thông

* Nộ i dung chư ơ ng trình vectơ phổ thông

- Chư ơ ng trình vectơ trong phẳ ng bao gồ m nhữ ng nộ i dung sau:

+ Đạ i cư ơ ng về vectơ : Khái niệ m vectơ , vectơ bằ ng nhau, vectơ không.+ Các phép toán trên vectơ : Phép cộ ng, trừ hai vectơ , tích vectơ vớ i mộ t số

thự c, tích vô hư ớ ng củ a hai vectơ

Trong đó các phép toán trên đư ợ c trình bày theo thứ tự như sau:

£ Đị nh nghĩa phép toán

£ Các tính chấ t

£ Các bài toán ứ ng dụ ng

Ứ ng dụ ng củ a vectơ trong mặ t phẳ ng là để làm công cụ nghiên cứ u các hệ

thứ c lư ợ ng trong tam giác, trong đư ờ ng tròn và các phép biế n hình

- Chư ơ ng trình vectơ trong không gian Nộ i dung về cơ bả n các vấ n đề vectơtrong không gian đư ợ c trình bày tư ơ ng tự như trong mặ t phẳ ng.

Quy tắ c hình hộ p

Phân tích mộ t vectơ theo 3 vectơTrong chư ơ ng trình vectơ ở phổ thông chúng ta cầ n lư u ý nhữ ng điể m sau:

+Ở đầ u chư ơ ng trình hình họ c thì vectơ là mộ t khái niệ m mớ i

+ Sử dụ ng phư ơ ng pháp vectơ thư ờ ng phả i thoát ly khỏ i hình ả nh trự c quan,

hình vẽ nên khó tư ở ng tư ợ ng

+ Việ c chuyể n đổ i ngôn ngữ các bài toán từ ngôn ngữ hình họ c thôngthư ờ ng sang ngôn ngữ vectơ và ngư ợ c lạ i

+ Việ c lự a chọ n công cụ giả i toán

2.2 Cơ sở lý thuyế t vectơ

2.2.1 Ư u điể m, hạ n chế củ a việ c sử dụ ng công cụ vectơ trong hoạ t độ ng giả i toán

a Ư u điể m.

Việ c sử dụ ng công cụ vectơ để giả i toán cung cấ p cho họ c sinh phư ơ ng pháp

tính chấ t hình họ c, nế u phát biể u dư ớ i dạ ng ngôn ngữ thông thư ờ ng thì chỉ có mộ t

vài cách phát biể u Như ng bằ ng phư ơ ng pháp vectơ thì có thể phát biể u dư ớ i nhiề u

dạ ng, do đó họ c sinh có nhiề u hư ớ ng suy nghĩ và giả i quyế t Chẳ ng hạ n “H là trự c

tâm củ a tam giác ABC” nế u phát biể u dư ớ i dạ ng ngôn ngữ vectơ thì nó tư ơ ng

đư ơ ng vớ i mộ t trong ba cách phát biể u sau:

+ HA HB···‒ ···‒ ···‒ ···‒HB HC HC HA···‒ ···‒

+ OH···‒ OA OB···‒ ···‒ OC···‒ (O tâm đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tam giác ABC)

+ HA···‒ tanA HB···‒ tanB ···‒HC tanC 0‒

Hơ n nữ a từ ngôn ngữ vectơ ta có thể xây dự ng phư ơ ng pháp tọ a độ mộ t cách

chặ t chẽ và là công cụ đắ c lự c để giả i quyế t nhiề u bài toán thậ m chí cả nhữ ng bàitoán đạ i số , lư ợ ng giác Điề u này giúp cho họ c sinh hiể u biế t về tính thố ng nhấ t

củ a bài toán

Lờ i giả i: Trên vòng tròn lư ợ ng giác ta thấ y:

- Góc giữ a hai vectơ OA···‒ và OM····‒ là a N M

B

- Góc giữ a hai vectơ ON···‒ và OM····‒ là a b

- Góc giữ a hai vectơ OA···‒ và ON···‒ là b

- Tọ a độ củ a vectơ OM····‒ là cosb và sinb

- Tọ a độ củ a vectơ ON···‒ là cosa và sina

BC GA···‒ AC GB···‒ AB GC···‒ ‒ (trong đó G là trọ ng tâm củ a tam giác ABC)

Lờ i giả i: Ta đã biế t nế u G là trọ ng tâm tam giác thì: GA GB···‒ ···‒ GC···‒ 0‒

GC···‒ GA GB···‒ ···‒

Theo điề u kiệ n bài toán ta có: BC GA.···‒ AC GB.···‒ AB GA GB···‒ ···‒ 0‒

00

Mặ t khác việ c dùng phư ơ ng pháp vectơ để giả i toán đã chỉ ra cho họ c sinh

khả năng áp dụ ng phư ơ ng pháp vớ i cả mộ t lớ p đố i tư ợ ng rộ ng rãi Phư ơ ng pháp

vectơ chặ t chẽ , không dùng các thủ thuậ t đặ c biệ t, khi giả i toán nhiề u khi không

phả i dùng đế n hình vẽ nên có thể tránh đư ợ c nhữ ng sai lầ m do trự c giác

Về mặ t tư duy, giả i toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ có tác dụ ng tích cự c phát

triể n tư duy trừ u tư ợ ng, năng lự c phân tích, tổ ng hợ p, tư duy thuậ t toán Việ c giả i

toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ phả i sử dụ ng các phép toán trên nhữ ng đố i tư ợ ng

không phả i là số như ng lạ i có các tính chấ t tư ơ ng tự giúp họ c sinh thấ y đư ợ c mố i

liên hệ sâu sắ c giữ a các tậ p hợ p gồ m các phầ n tử khác nhau Từ đó họ c sinh sẽ

phát triể n các phẩ m chấ t trí tuệ như năng lự c khái quát hóa, đặ c biệ t hóa, tư ơ ng tự

hóa, tìm đư ợ c cái chung nhấ t, cái quy luậ t giữ a nhữ ng cái khác nhau, giữ a nhữ ng

cái hỗ n độ n

Về mặ t kỹ năng, qua việ c giả i toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ , họ c sinh rèn

ngữ vectơ và ngư ợ c lạ i, phát biể u mộ t vấ n đề dư ớ i nhiề u ngôn ngữ khác nhau, rèn

luyệ n khả năng chính xác trong khi giả i toán, gọ n gàng và sáng sủ a

Mặ t khác qua giả i toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ họ c sinh còn đư ợ c rèn

luyệ n kĩ năng áp dụ ng kiế n thứ c đã họ c vào thự c tế , kéo gầ n lí thuyế t và thự c tiễ n,

thu hẹ p khoả ng cách giữ a các môn họ c trong nhà trư ờ ng Điề u này cũng cho thấ y

đư ợ c cơ sở thự c tiễ n củ a toán họ c, hiể u đư ợ c quá trình phát sinh, phát triể n củ a

toán họ c Kỹ năng giả i bài tậ p toán, đặ c biệ t giả i toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ bao

gồ m mộ t hệ thố ng các thao tác trí tuệ và thự c hành để vậ n dụ ng tri thứ c (kiế n thứ c,phư ơ ng pháp) vào việ c giả i các bài tậ p khác nhau đạ t đư ợ c mộ t số yêu cầ u củ a chủ

đề bài tậ p về vectơ ở chư ơ ng trình phổ thông

b Hạ n chế

Phư ơ ng pháp vectơ có nhiề u thuậ n lợ i trong việ c giả i các bài tậ p hình họ c

Tuy vậ y khi sử dụ ng phư ơ ng pháp này họ c sinh vẫ n gặ p phả i mộ t số khó khăn, và

không tránh khỏ i nhữ ng sai lầ m trong khi giả i toán hình họ c

- Khó khăn thứ nhấ t mà họ c sinh gặ p phả i đó là lầ n đầ u tiên quen vớ i khái

niệ m mớ i là vectơ , các phép toán trên vectơ Các phép toán trên vectơ lạ i có nhiề u

tính chấ t tư ơ ng tự như phép toán trên các số Vì vậ y họ c sinh chư a hiể u rõ bả n chấ t

củ a các khái niệ m và các phép toán nên dễ ngộ nhậ n, mắ c sai lầ m trong khi sử

dụ ng phư ơ ng pháp vectơ

góc giữ a hai đư ờ ng thẳ ng AB, AC.

Có họ c sinh giả i bài toán này như sau:

các kiế n thứ c về vectơ , độ dài củ a vectơ và tích vô hư ớ ng củ a hai vectơ Đặ c biệ t

có sự nhầ m lẫ n về cách xác đị nh góc giữ a hai vectơ và góc giữ a hai đư ờ ng thẳ ng

Vậ y lờ i giả i đúng phả i như sau:

···‒ ···‒

2

- Khó khăn thứ hai khi sử dụ ng phư ơ ng pháp vectơ là do thoát ly khỏ i hình

ả nh trự c quan, hình vẽ nên khó tư ở ng tư ợ ng, hiể u bài toán mộ t cách hình thứ c,

không hiể u hế t ý nghĩa hình họ c củ a bài toán Vì họ c sinh có thói quen giả i bài

toán hình họ c là phả i vẽ hình nên khi sử dụ ng phư ơ ng pháp vectơ để giả i mộ t số

bài tậ p không sử dụ ng hình vẽ họ c sinh sẽ gặ p nhiề u khó khăn và lúng túng khi

giả i toán

giác ABC Điể m D chia đoạ n thẳ ng BC theo tỉ số nào ?

Có họ c sinh giả i bài toán này như sau:

Ở lờ i giả i trên họ c sinh đã xác đị nh sai chiề u củ a vectơ Hai vectơ DB DC···‒ ···‒,

ngư ợ c hư ớ ng nhau, do đó nế u điể m D chia đoạ n BC theo tỉ số k thì k 0 Vậ y lờ i

dạ ng vectơ để có thể vậ n dụ ng tố t phư ơ ng pháp vectơ trong giả i toán

Hiệ n nay, nhiề u môn toán ở các trư ờ ng Cao đẳ ng, Đạ i họ c đư ợ c xây dự ngtrên cơ sở lý thuyế t vectơ như Hình họ c giả i tích, Đạ i số tuyế n tính, Hình họ c xạ

ả nh,… Vì vậ y khi họ c sinh nắ m vữ ng khái niệ m vectơ ở trư ờ ng phổ thông sẽ tạ ođiề u kiệ n thuậ n lợ i để họ c sinh tiế p thu mộ t cách thụ độ ng chư ơ ng trình toán ở bậ c

Cao đẳ ng và Đạ i họ c Hơ n nữ a, khi nắ m vữ ng lý thuyế t về vectơ sẽ góp phầ n

nâng cao trình độ về tư duy và các thao tác trí tuệ

2.2.2 Không gian vectơ

a Đị nh nghĩa không gian vectơ

Giả sử V là mộ t tậ p hợ p mà các phầ n tử đư ợ c kí hiệ u bở i ·‒ ·‒ ‒, , , , K là

mộ t trư ờ ng số Trên V có mộ t phép toán gọ i là phép cộ ng hai phầ n tử củ a V , và

phép toán thứ hai gọ i là phép nhân mộ t phầ n tử củ a V vớ i mộ t số thuộ c trư ờ ng K

Tậ p hợ p V cùng vớ i hai phép toán này đư ợ c gọ i là mộ t không gian vectơ trên trư ờ ng K (hay mộ t K - không gian vectơ ) nế u các điề u kiệ n sau đư ợ c thỏ a

+ Vectơ là mộ t đoạ n thẳ ng đã đị nh hư ớ ng, nghĩa là đã chỉ rõ điể m mút nào

là điể m đầ u và điể m mút nào là điể m cuố i

+ Vectơ 0‒ là vectơ có điể m đầ u và điể m cuố i trùng nhau

+ Độ dài củ a đoạ n thẳ ng AB gọ i là độ dài củ a vectơ ···‒AB (hay là mođul củ avectơ ···‒AB) Viế t là AB···‒

+ Hai vectơ gọ i là bằ ng nhau nế u chúng cùng hư ớ ng và cùng độ dài

c Phép cộ ng và trừ vectơ

- Phép cộ ng

+ Đị nh nghĩa: Tổ ng củ a hai vectơ a‒ và b‒ là mộ t vectơ đư ợ c xác đị nh như

sau: Từ mộ t điể m O tùy ý trong mặ t phẳ ng dự ng vectơ OA···‒ a‒ Rồ i từ điể m A

dự ng vectơ ···‒AB b‒ Vectơ c‒ OB···‒ gọ i là vectơ tổ ng củ a hai vectơ a‒ và b‒ Kí hiệ u

c‒ a‒ b‒

+ Tính chấ t:

£ Tính chấ t giao hoán: a‒ b‒ b‒ a‒

£ Tính chấ t kế t hợ p: a‒ b‒ c‒ a‒ b‒ c‒

(hiệ u hai véctơ chung gố c)

* Quy tắ c hình bình hành: Vớ i hình bình hành ABCD ta luôn có

* Quy tắ c trung điể m: Điể m M tùy ý, I là trung điể m củ a AB thì ta luôn có:

12

+ Đị nh nghĩa : Tích củ a mộ t véc tơ a‒ vớ i mộ t số thự c k là mộ t vectơ kí hiệ u

là k a‒ đư ợ c xác đị nh như sau :

£ Vectơ k a‒ cùng hư ớ ng vớ i vectơ a‒ nế u k 0 và ngư ợ c hư ớ ng vớ i

2.2.3 Hệ các vectơ độ c lậ p tuyế n tính và phụ thuộ c tuyế n tính

a Hệ vectơ phụ thuộ c tuyế n tính

Hệ n vectơ a a·‒ ··‒1, 2, ,a··‒n đư ợ c gọ i là phụ thuộ c tuyế n tính (PTTT) nế u tìm

đư ợ c các số k k1, 2, ,k không đồ ng thờ i bằ ng 0 sao cho: n k a1·‒1 k a2··‒2 k a n··‒n 0‒(k a1·‒1 k a2··‒2 k a n··‒n đư ợ c gọ i là mộ t tổ hợ p tuyế n tính củ a các vectơ

Hệ n vectơ a a·‒ ··‒1, 2, ,a··‒n đư ợ c gọ i là độ c lậ p tuyế n tính (ĐLTT) nế u đó là

mộ t hệ không PTTT tứ c là không tìm đư ợ c các số k k1, 2, ,k không đồ ng thờ i n

bằ ng 0 sao cho k a1·‒1 k a2··‒2 k a n··‒n 0‒

Nói khác đi, hệ n vectơ a a·‒ ··‒1, 2, ,a··‒n là ĐLTT khi và chỉ khi: nế u

1 1 2 2 n n 0

k a·‒ k a··‒ k a··‒ ‒ thì k1 k2 k n 0

Chẳ ng hạ n theo đị nh nghĩa, hệ ba vectơ a b c‒, ‒, ‒ đư ợ c gọ i là PTTT nế u tìm

đư ợ c ba số thự c , ,k l m không đồ ng thờ i bằ ng không sao cho k a‒ lb‒ mc‒ 0‒

Hệ ba vectơ a b c‒, ‒, ‒ là ĐLTT khi và chỉ khi nế u có k a‒ lb‒ mc‒ 0‒ thì suy

ra k l m 0

c Điề u kiệ n để hai vectơ PTTT hay ĐLTT

+ Đị nh lí: Hai vectơ a b‒ ‒, PTTT khi và chỉ khi chúng cùng phư ơ ng (hay còn nói là

nên hai vectơ a b‒ ‒, cộ ng tuyế n

+ Hệ quả : Hai vectơ a b‒ ‒, ĐTTT khi và chỉ khi chúng không cộ ng tuyế n

d Điề u kiệ n để ba vectơ PTTT hay ĐLTT

Ba vectơ trong không gian đư ợ c gọ i là đồ ng phẳ ng nế u chúng nằ m trên

chứ a chúng cùng song song vớ i mộ t mặ t phẳ ng hay nế u chúng lầ n lư ợ t bằ ng ba

vectơ nào đó cùng nằ m trong mộ t mặ t phẳ ng

+ Đị nh lí: Ba vectơ PTTT khi và chỉ khi chúng đồ ng phẳ ng

- Nế u a b‒, ‒ PTTT thì hiể n nhiên ba vectơ a b c‒, ‒, ‒ cũng PTTT vì: Khi đó ta

có hai số k và l không đồ ng thờ i bằ ng 0 sao cho k a‒ lb‒ 0‒, hay k a‒ lb‒ 0c‒ 0‒

- Nế u a b‒, ‒ ĐLTT thì ta biế t rằ ng vectơ c‒ có thể biể u thị qua nó tứ c là có

các số k l sao cho, c‒ k a‒ lb‒ k a‒ lb‒ c‒ 0‒

Vậ y ,a b c‒ ‒, ‒ PTTT

e Phân tích mộ t vectơ theo hai hoặ c ba vectơ

+ Đị nh lí: Cho hai vectơ ĐLTT a‒ và b‒ Nế u c‒ là vectơ sao cho a b c‒; ‒; ‒ PTTT thì

c‒ có thể viế t mộ t cách duy nhấ t dư ớ i dạ ng: c‒ k a‒ lb‒

Vì a b c‒; ‒; ‒ PTTT nên có ba số p q r, , không đồ ng thờ i bằ ng 0 sao cho

0

pa‒ qb‒ rc‒ ‒ Ta thấ y r 0, vì nế u r 0 thì pa‒ qb‒ 0‒ trong đó p và q không đồ ng thờ i bằ ng 0, suy ra a‒ và b‒ PTTT, trái giả thiế t Vì vậ y ta có:

Như vậ y cách viế t c‒ k a‒ lb‒ là duy nhấ t Khi đó ta nói rằ ng vectơ c‒ đư ợ c

phân tích mộ t cách duy nhấ t theo hai vectơ ĐLTT a‒ và b‒

+ Đị nh lí: Nế u ba vectơ a b c‒; ‒; ‒ ĐLTT thì mọ i vectơ d·‒ đề u viế t đư ợ c mộ t cách

duy nhấ t dư ớ i dạ ng: d·‒ k a‒ lb‒ mc‒ và nói rằ ng vectơ d·‒ đư ợ c phân tích mộ t

cách duy nhấ t theo ba vectơ a b c‒; ‒; ‒

2.2.4 Tích vô hư ớ ng củ a hai vectơ

a Góc giữ a hai vectơ

Cho hai vectơ a‒ và b‒ đề u khác vectơ 0‒ Từ điể m O ta vẽ OA···‒ a OB‒ ···‒, b‒.Khi đó góc AOB là góc hợ p bở i hai vectơ a‒ và b‒, và kí hiệ u là a b‒ ‒; Nế u mộ t

trong hai vectơ a

a b‒ ‒ thì ta nói hai vectơ a‒ và b‒ vuông góc, và kí hiệ u là a‒ b‒

b Đị nh nghĩa tích vô hư ớ ng củ a hai vectơ

Cho hai vectơ bấ t kì a b‒ ‒, Số thự c a b cos a b‒ ‒ ‒ ‒; đư ợ c gọ i là tích vô hư ớ ng

củ a hai vectơ a‒ và b‒ Kí hiệ u a b‒ ‒ a b cos a b‒ ‒ ‒ ‒;

Đặ c biệ t: Tích vô hư ớ ng a a‒ ‒ đư ợ c gọ i là bình phư ơ ng vô hư ớ ng củ a vectơ

a

‒

và kí hiệ u là a‒2 Từ đó ta có a‒2 a‒ 2, tứ c là: Bình phư ơ ng vô hư ớ ng củ a mộ t

vectơ bằ ng bình phư ơ ng độ dài củ a nó

+ Điề u kiệ n để hai vectơ vuông góc

Từ đị nh nghĩa tích vô hư ớ ng ta có

a b‒ ‒ a b cos a b‒ ‒ ‒ ‒

Điề u đó xả y ra khi hai vectơ a‒ và b‒ đề u khác 0‒ và cos a b‒ ‒; 0 hay a‒ b‒

Vậ y hai vectơ vuông góc vớ i nhau khi và chỉ khi tích vô hư ớ ng củ a chúng bằ ng 0

d Biể u thứ c tọ a độ củ a tích vô hư ớ ng

Cho hai vectơ a‒ x y; và b‒ x y; khi đó

Ở trên ta đã xét tích vô hư ớ ng củ a hai vectơ trong mặ t phẳ ng Các tính chấ t

củ a tích vô hư ớ ng hai vectơ trong không gian cũng tư ơ ng tự như trong mặ t phẳ ng

2.2.5 Tích có hư ớ ng củ a hai vectơ

Khác vớ i tích vô hư ớ ng, tích có hư ớ ng không phả i là mộ t số mà là mộ t

vectơ , bở i vậ y tích có hư ớ ng còn đư ợ c gọ i là tích vectơ

a Đị nh nghĩa

Tích có hư ớ ng (hay tích vectơ ) củ a hai vectơ u a b c‒ ; ; và v a b c‒ ; ; là

mộ t vectơ , kí hiệ u là u v‒ ‒, (hoặ c u‒ v‒), đư ợ c xác đị nh bằ ng tọ a độ sau:

* u‒, v‒ và w·‒ đồ ng phẳ ng u v‒ ‒, w·‒ 0

2.2.6 Tích hỗ n tạ p

+ Đị nh nghĩa: Cho 3 vectơ a b c‒ ‒ ‒, , Ta biế t rằ ng a‒ b‒ là mộ t vectơ , bở i vậ y

ta có thể xét tích vô hư ớ ng củ a a‒ b‒ vớ i vectơ c‒ Kế t quả đư ợ c mộ t số , số này

c Chứ ng minh 2 đư ờ ng thẳ ng song song

d Chứ ng minh các đư ờ ng thẳ ng vuông góc

e Chứ ng minh các đư ờ ng thẳ ng đồ ng quy

2.3.2 Các bài toán quỹ tích, dự ng hình

a Các bài toán quỹ tích (tìm tậ p hợ p điể m)

* Hệ thố ng các bài toán ứ ng dụ ng phư ơ ng pháp vectơ đư ợ c chọ n theo các cấ p độ

khác nhau từ dễ đế n khó phù hợ p vớ i mọ i đố i tư ợ ng họ c sinh và đư ợ c chia thành 3

cấ p độ sau:

- Nhữ ng bài toán cơ sở

- Nhữ ng bài toán rèn luyệ n kỹ năng và củ ng cố kiế n thứ c

- Nhữ ng bài toán khó nhằ m phát triể n và nâng cao trình độ cho họ c sinh

* Hệ thố ng bài toán là nhữ ng bài tậ p điể n hình cho các biể u thứ c cơ bả n trongchư ơ ng trình vectơ

2.4 Đị nh hư ớ ng về phư ơ ng pháp

Việ c bồ i dư ỡ ng, phát triể n tư duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i các bài toán

bằ ng phư ơ ng pháp vectơ đư ợ c thự c hiệ n qua các chuyên đề ôn tậ p cho họ c sinh

Nhằ m vào việ c luyệ n tậ p thông qua các hoạ t độ ng phát triể n tư duy thuậ t giả i vớ icác bư ớ c sau:

- Xác đị nh các hoạ t độ ng tư duy thuậ t giả i củ a tình huố ng điể n hình

- Gợ i độ ng cơ và hư ớ ng đích

- Xác đị nh tri thứ c phư ơ ng pháp

- Phân bậ c hoạ t độ ng dự a vào nộ i dung tình huố ng:

+ Bậ c thấ p: Tính đúng giá trị bằ ng mộ t số bư ớ c đơ n giả n

+ Bậ c cao: Biế t diễ n đạ t chính xác quy trình các bư ớ c và tiế n hành quy

+ Các bài toán chứ ng minh các đẳ ng thứ c vectơ

Bài 1: Cho tam giác ABC Ch ứ ng minh rằ ng G là trọ ng tâm tam giác ABC khi và

Bài 3: Trong không gian cho n điể m: A A1, 2, , A Chứ ng minh rằ ng: Tồ n tạ i duy n

nhấ t điể m G sao cho:

1

0

n i i

GA···‒ ‒

Điể m G đư ợ c gọ i là trọ ng tâm củ a hệ điể m: A A1, 2, , A Vớ i điể m M bấ t kì n

trong không gian Chứ ng minh rằ ng:

1

n i i

Bài 4: Cho tứ giác ABCD, vớ i M và N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a AB và CD Gọ i G

là trung điể m củ a MN.

a Chứ ng minh rằ ng: G là trọ ng tâm củ a tứ giác ABCD.

4

GG····‒ MG····‒

Bài 5: Cho 4 điể m A, B, C, D bấ t kì trong không gian Chứ ng minh rằ ng:

0

BC AD CD AB DB AC

···‒ ···‒ ···‒ ···‒ ···‒ ···‒

+ Các bài toán chứ ng minh 3 điể m thẳ ng hàng.

Bài 6: Cho hai điể m phân biệ t A, B và điể m O tùy ý.

a Chứ ng minh rằ ng: Điề u kiệ n cầ n và đủ để mộ t điể m M nằ m trên dư ờ ng

thẳ ng AB là: MO····‒ mOA···‒ nOB···‒, trong đó: m n 1

b Vớ i điề u kiệ n nào củ a m và n thì điể m M thuộ c đoạ n AB ? M là trung điể m đoạ n AB ?

Bài 7: Cho tam giác ABC và các điể m M, N, P thỏ a mãn điề u kiệ n:

+ Chứ ng minh hai đư ờ ng thẳ ng song song.

Bài 10: Cho ngũ giác lồ i ABCDE, cạ nh BC song song vớ i đư ờ ng chéo AD,

/ /

CD BE , DE/ /AC , AE/ /BD Chứ ng minh rằ ng: AB/ /CE

Bài 11: Cho hình hộ p chữ nhậ t ABCD A B C D Giả sử E là tâm củ a mặ t ABB A ;1 1

N, I lầ n lư ợ t là trung điể m củ a CC CD Chứ ng minh rằ ng:, EN / /AI

Bài 12: Cho hình hộ p ABCD A B C D Điể m M, N thỏ a mãn:

,

CM····‒ CA···‒ C N····‒ C D····‒ Chứ ng minh rằ ng; MN / /BD

+ Các bài toán chứ ng minh vuông góc.

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông t ạ i A, đư ờ ng cao AH, I và J lầ n lư ợ t là trung

Bài 14: Cho hình vuông ABCD Các điể m M, N thuộ c BA, BC sao cho BM BN

Bài 15: Cho tam giác ABC cân t ạ i A và nộ i tiế p đư ờ ng tròn (O) Gọ i D là trung

Bài 16: Cho hình lậ p phư ơ ng ABCD.A’B’C’D’ Gọ i M, N lầ n lư ợ t là trung điể m

+ Các bài toán chứ ng minh các đư ờ ng thẳ ng đồ ng quy.

Bài 17 Cho tam giác ABC và điể m M tùy ý trong tam giác ABC Gọ i A’, B’, C’ lầ n

lư ợ t là các điể m đố i xứ ng vớ i M qua các trung điể m củ a BC, CA, AB Chứ ng minh

rằ ng: AA’, BB’, CC’ đồ ng quy tạ i O.

Bài 18: Chứ ng minh rằ ng ba trung tuyế n củ a mộ t tam giác đồ ng quy

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD , các điể m A’, B’, C’, D’ là các điể m thuộ c cạ nh

AB, BC, CD, DA sao cho AA BB CC DD

các đư ờ ng chéo củ a tứ giác A’B’C’D’ trùng vớ i giao điể m các đư ờ ng chéo hình

bình hành ABCD.

* Dạ ng 2: Các bài toán quỹ tích, dự ng hình.

+ Các bài toán quỹ tích.

Bài 20: Cho đoạ n thẳ ng AB Tìm tậ p hợ p điể m M trong mặ t phẳ ng thỏ a mãn:

Bài 22: Cho tứ diệ n S.ABCD có góc tam diệ n dỉ nh S là tam diệ n vuông Tìm Tậ p

d cắ t nhau tạ i O’ Đư ờ ng thẳ ng a cắ t , ', , 'd d lầ n lư ợ t tạ i A, A’, B, B’.

Hãy dự ng đư ờ ng thẳ ng a sao cho: AA BB 0

Bài 25: Cho tứ diệ n S.ABC cạ nh a Kẻ trung tuyế n CN củ a tam giác CSB Dự ng

Bài 26: Cho hình hộ p ABCD.A’B’C’D’, M là trung điể m củ a DC; N là trung điể m

củ a DD’ Qua M hãy dự ng đư ờ ng thẳ ng cắ t BN ở I và AB’ ở J.

Bài 27: Cho hình lậ p phư ơ ng ABCD.A’B’C’D’ có cạ nh là a M và N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a CD và CC’ Dự ng đư ờ ng vuông góc chung củ a AN và D’M.

* Dạ ng 3: Các bài toán tính toán.

+ Các bài toán tính góc.

Bài 28: Cho ABC cân tạ i A Tính góc giữ a 2 trung tuyế n BE, CF.

Bài 29: Cho ABC , hai trung tuyế n BB’, CC’ vuông góc vớ i nhau Tính góc tạ o

bở i các cạ nh bên củ a tam giác

Bài 30: Cho tứ diệ n ABCD; gọ i M, N, P lầ n lư ợ t là trung điể m các cạ nh AB, CB,

AD G là trọ ng tâm củ a ABC Tính góc giữ a 2 đư ờ ng thẳ ng MG và NP.

Bài 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giac đề u, cạ nh là 4 2 Cho

SC ABC và E, F lầ n lư ợ t là trung điể m AB và CB, biế t SC 2 Tính góc tạ o

bở i hai đư ờ ng thẳ ng SF và CE.

+ Các bài toán tính độ dài đoạ n thẳ ng.

Bài 32: Cho ABC vuông, cạ nh huyề n BC, BC a 3, M là trung điể m củ a BC.

Bài 34: Cho tứ diệ n đề u ABCD; I, J là trung điể m củ a AB, CD, các cạ nh tứ diệ n

bằ ng a Tính độ dài đoạ n IJ.

+ Các bài toán tính diệ n tích.

Bài 35: Chứ ng minh rằ ng: Diệ n tích ABC có thể tính theo công thứ c:

Bài 36: Tính diệ n tích ABC theo: AB c BC; a CA; b

Bài 37: Cho hình thang ABCD ; các đư ờ ng AC, BD cắ t nhau tạ i M Gọ i S 1 , S 2 , S 3 , S 4