bài tập hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.. 1 Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

1) Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h vuông góc với

đáy Gọi M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh BC và CD sao cho
MAN=450 Đặt BM=x, DN=y (0≤x y, ≤a) CMR: ( ) 2

a x+y =a −xy Tìm x,y sao cho thể tích khối chóp S.AMN có giá trị nhỏ nhất

- C/M ( ) 2

a x+y =a −xy:

DAN

α

β

=



⇒ + =



=



2

tan tan

1 tan

1 tan tan

1 1

1

a b

+

−

−

−

2

⇔ − = + ⇒ ĐPCM

- Tìm x, y sao cho V Min:

.

h

Min

V ⇔AM AN = a +x a +y Min Ta có:

2 2

os os os os

Vậy (a2+x2)(a2+y2)Min⇔cosαcosβ Max mà

c αc β= c α β+ +c α β− =  +c α β− ≤  + = +

2 2

Min

ha

π

 + =



2) Bài 2: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD), AB = a, SA = a 2

H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD

CMR: SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

AH ⊥ SB (gt) (1)

BC ⊥ AB (vì ABCD là hình vuông)

BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒BC ⊥ (SAB) BC ⊥ AH (2)

Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC ⇒AH ⊥ SC (3)

Chứng minh tương tự ta có: SC ⊥ AK (4)

Từ (3) (4) ⇒ SC ⊥ (AKH)

Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE ⊥ (AHK)

Vì OA = OC; OE // CN => OE = 1

2CN Tam giác vuông SAD có 1 1 1

AK = AS + AD ⇒ AK = . 2. 2

3

+

Dễ thấy AH = 2

3

a ∆AKH cân tại A Dễ thấy ∆SBD có SK KH

BD

SD =

mà SK = 2 2 2 2 2 2 2

3 a3

SA −AK = a − a = SD = a 3 ⇒ 2 2

3

3 3

KH

HK = 2

3BD = 23a 2

OF = 1

3SO ⇒OF SF = 12

∆SAC có : OA = OC ⇒ 1

2

SN = SF = ⇒OE =1

2SN =

1

2a

S∆AHK =1

2KH.

2 2 4

HK

AK − =

2

2 2 9

a

⇒ V = 1 AHK

3OE S∆ =

3 2 27

a

3) Bài 3: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA ⊥ (ABCD);

(SA, (ABCD) = 60o Điểm M thuộc cạnh SA,

AM = 3

3

a (BCM) ∩ SD ={ N}

Tính thể tích hình chóp S.BCMN

Ta có SAB=600

∆SAB vuông tại A có AM = 3

3

a

, AB = a ⇒ ABM = 300

Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN

ta có SH=SB sin 300 = a

BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ SM MN

SA = AD

⇒MN = . 4

3

SA = ⇒SBCMN

=

2

a

MN+BC BM =

⇒VSBCMN =1

3SH SBCMN = 10 327a 3

4) Bài 4: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) (SC, (SAB)) = α Mặt phẳng (P)

qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Kí hiệu K1 = VSMAQN V2 = V - V1 Gọi O = AC ∩ BD

∆SAC kẻ AN⊥ SC E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P)

Vì (P)⊥ SC

Mà BD ⊥ SC

BD ⊥ AC

BD ⊥ SA

⇒ BD ⊥ (SAC) BD ⊂ (SAC)

⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD

CB ⊥ AB (gt)

CB ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒CB ⊥ (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = α

V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB 1

V

SACB

Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN =

2

SA SC

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ =

2

SA SB

1 2 2 ( 2 )2

V

BC⊥ AB (gt)

BC⊥ SA (v× SA ⊥ (ABCD))

⇒BC ⊥ SB

Tam giác vuông SBC: cos α = SB

SC ⇒ SC = cos

SB

α

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα

1

os

2 2(1 tan ) (cos sin )2 1 sin 2 SA

c

SB SB

V

α

−

1 1 (1 sin2 ) 1 sin2

(1 1 sin2 ) sin2 1

====================Hết==================

Giáo viên: Trịnh Hào Quang Nguồn: Hocmai.vn