BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Trước hết thầy xin nói lại rằng phương pháp xác định chiều cao trong hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy không khó khă
Trang 1BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Trước hết thầy xin nói lại rằng phương pháp xác định chiều cao trong hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy không khó khăn gì Cũng như trong hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy thì chiều cao của hình chóp lúc này chính là cạnh bên đó Vấn đề xác định chiều cao đã xong Thầy chỉ muốn lưu ý các em việc tính diện tích đáy Khi tính diện tích đáy, các em cần phát hiện một số điểm chú ý trong hình học phẳng mà quan trọng hơn cả đó là các tính chất của các loại
tứ giác đặc biệt: Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc, hình thang (thang vuông, thang cân), hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông Sau đây thầy xin nêu lên một số ví dụ minh chứng cho tầm quan trọng của đáy khi tính thể tích
1 Ví dụ 1: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA = a
SA ⊥ (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩ AC
Tính thể tích hình chóp ANIB
Giải:
- Phát hiện yếu tố: Ta thấy đáy ABI trùng với ABCD mà có
SA ⊥ (ABCD) nên để xác định chiều cao trong (SAC) chỉ
cần kẽ đường thẳng qua N song song với SA nó chính là SO
(O là tâm hình chữ nhật ABCD vì ON là đường trung bình
trong tam giác SAC)
- Ta có:
/ /
ABI
- Xét tam giác ABI Trong hình chữ nhật ABCD Dựng đt qua I
song song với AM cắt AB tại P và MO ở Q Ta thấy 2 tam giác
đồng dạng là: ∆AIB và ∆OIM nên:
Trang 22 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có tâm O Cạnh bên SA = a
vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD I là giao điểm của SC với
(AMN) Tính thể tích khối chóp MABI
Giải:
- Cách dựng giao điểm của SC với (AMN):
+ Trong (SBD) gọi MN∩SO=P
+ Trong (SAC) SC∩AP={ }I ⇒SC∩(AMN)=I
- Phát hiện yếu tố: Ta thấy (AMN) trùng với (SAB) mà
( )
BC⊥ SAB ⇒ Trong tam giác SBC dựng IH // BC (H
thuộc SB) Khi đó IH chính là chiều cao của hình chóp
I.ABM
- Tính IH: Do MN là đường trung bình của ∆SBD nên P là trung điểm của
SO Xét tam giác SAC như hình vẽ Gọi K là giao điểm của đường thẳng
AI với đường thẳng qua S song song với AC Ta thấy SKOA là hình CN
và SKCO là hbh
Khi đó:
I
=
⇒
2
2 1 1
2
SI
SI SL
SC
=
mà trong tam giác SBC lại có IH // BC nên
1
h IH
- Tính B = S.∆ABM: Do M là trung điểm của SB nên 1 1 1 2
a
3 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a Đáy ABCD là
hình bình hành có AB=b, BC=2b, ABC =600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SD Tính
thể tích khối tứ diện AMNC theo a, b
Giải:
Trang 3- Phát hiện yếu tố: Ta thấy (AMC) trùng với (ABCD) mà
SA⊥ ABCD ⇒ Trong (SAD) NH // SA (H thuộc AD)
Vậy NH là chiều cao
- Tính B = S∆AMC: Ta thấy M là trung điểm của BC nên:
2 0
sin
1 .2 sin 60 3
b
b b
4 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy
ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất
Giải:
- Phát hiện yếu tố: Vấn đề của bài này là xác định diện tích
đáy Vì chiều cao của nó đã có sẵn Để xác định diện tích
đáy cần biết được vị trí của H trên đáy ABCD
- Ta thấy:
( )
⊥
- Tính B = S∆AHB: Ta có: HAB =MBC ( Cùng phụ với ABM )
2
x
cos
AHB
a
a
+
⇒
+
+
+
Trang 4
- Vậy
- Tìm x để V Max:Áp dụng BĐT Côsi ta có
12ax 12
SABH
3
M
a
V = ⇔x=a hay M trùng D
5 Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB=4a, CD=8a,
0
60
ADC =
Cho SD = a vàSD⊥(ABCD) Mặt phẳng (α) đi qua AB và trung điểm M của SC cắt
SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
- Cách xác định giao điểm của SC với mặt phẳng (ABM):
Ta thấy
( )
/ / / / / /
⇒
Trong (SCD) dựng MN // CD ( N thuộc SD) ta thấy N chính là giao
điểm cần tìm
- Đặt:
' 1 '
1
'
2
1 2
;
2 2 4
SABN SABD
=
⇒
0
−
==================Hết================
- Giáo viên: Trịnh Hào Quang
- Nguồn : Hocmai.vn
