(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp mã hóa lượng tử và mô phỏng trên máy tính

Luận văn gồm có phần mở đầu, kết luận và 04 chương đề cập tới các nội dung chính như sau:  Chương 1: Các khái niệm cơ bản nghiên cứu các cơ sở của lý thuyết tính toán lượng tử, các khá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM VIỆT HÙNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MÃ HÓA LƯỢNG TỬ

VÀ MÔ PHỎNG TRÊN MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI - 2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM VIỆT HÙNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MÃ HÓA LƯỢNG TỬ

VÀ MÔ PHỎNG TRÊN MÁY TÍNH

Ngành: Công nghệ thông tin

Mã số: 1.01.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Phan Trung Huy

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 4

Danh mục các từ viết tắt 5

Danh mục các hình vẽ 6

Mở đầu 7

Chương 1 Các khái niệm cơ bản 10

1.1 Ký hiệu Bra-Ket 10

1.2 Nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử 11

1.3 Qubit và thanh ghi lượng tử 13

1.3.1 Khái niệm Qubit 13

1.3.2 Khái niệm thanh ghi lượng tử 14

1.3.3 Phép biến đổi Unita và phép đo 16

1.4 Nguyên lý rối lượng tử (Nguyên lý Entanglement) 17

1.5 Nguyên lý song song lượng tử 18

1.6 Nguyên lý không thể sao chép (No-Cloning Theorem) 18

1.7 Mạch và Cổng logic lượng tử 20

1.7.1 Cổng 1 qubit 21

1.7.2 Cổng 2 qubit 23

1.7.3 Cổng 3 qubit 25

1.7.4 Cổng phổ dụng 26

Chương 2 Một số thuật toán lượng tử 28

2.1 Thuật toán lượng tử 28

2.2 Thuật toán Deutsch-Jozsa 29

2.3 Biến đổi Fourier lượng tử 34

2.3.1 Phép biến đổi Fourier rời rạc 34

2.3.2 Phép biến đổi Fourier lượng tử 35

2.3.3 Phép biến đổi nhanh Fourier lượng tử 36

2.3.4 Sự thực hiện QFFT bởi các cổng lượng tử 37

2.4 Thuật toán phân tích thừa số nguyên tố của Peter Shor 38

Chương 3 Mã hoá lượng tử 47

3.1 Giao thức phân phối khoá lượng tử BB84 48

3.1.1 Giao thức phân phối khoá lượng tử BB84 trường hợp không nhiễu 48

3.1.2 Giao thức phân phối khoá lượng tử BB84 trường hợp có nhiễu 52

3.1.3 Một số nhược điểm của giao thức phân phối khoá lượng tử BB84 54

3.1.4 Về độ an toàn của giao thức phân phối khoá BB84 55

3.2 Kết luận về mã hoá lượng tử và thám mã lượng tử 58

Chương IV Xây dựng bộ công cụ mô phỏng 59

4.1 Hướng giải quyết 59

4.2 Thư viện cốt lõi cho mô phỏng tính toán lượng tử 62

4.2.1 Một số vấn đề phải giải quyết khi lập trình mô phỏng 62

4.2.2 Xây dựng các lớp cơ bản 63

4.3 Ngôn ngữ Q – Ngôn ngữ lập trình lượng tử 74

4.3.2 Sơ lược về ngôn ngữ Q 76

KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

Tài liệu tiếng Việt 83

Tài liệu tiếng Anh 84

PHỤ LỤC A File Lex/Flex và YACC/Bison của ngôn ngữ Q 89

A1 File q.lex (File định nghĩa phân tích từ vựng) 89

A2 File q.y (File định nghĩa phân tích cú pháp) 96

PHỤ LỤC B Thuật toán Peter Shor viết bằng ngôn ngữ Q 103

B1 File shor.q 103

B2 File tinhtoansonguyen.q 104

B3 File biendoifourier.q 109

PHỤ LỤC C Một số màn hình kết quả chương trình 110

PHỤ LỤC D Thư đồng ý của tác giả Bernhard Ömer 111

Danh mục các từ viết tắt

Interface)

Fourier Transform)

Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1 Biểu diễn cổng NOT 22

Hình 1.2 Biểu diễn cổng Z 22

Hình 1.3 Biểu diễn cổng Hadamard 23

Hình 1.4 Biểu diễn cổng CNOT 24

Hình 1.5 Biểu diễn cổng Swap 24

Hình 1.6 Biểu diễn cổng dịch pha có điểu khiển 25

Hình 1.7 Biểu diễn cổng Toffoli 26

Hình 1.8 Biểu diễn cổng Toffoli 26

Hình 2.1 Sơ đồ mạch của thuật toán Deutch-Jozsa 33

Hình 2.2 Biểu diễn cổng quay một góc 37

Hình 2.3 Phép biến đổi Fourier lƣợng tử 38

Hình 3.1 Sơ đồ của giao thức BB84 49

Hình 4.1 Mô hình xử lý của trình biên dịch Q 75

Hình 4.2 Sơ đồ biểu diễn một thuật toán lƣợng tử đƣợc xử lý trong ngôn ngữ Q 76

Mở đầu

Hiện nay, sự kết hợp của vật lý lượng tử và cơ sở toán học hiện đại đã tạo nền móng cho việc xây dựng máy tính lượng tử trong tương lai Theo các dự báo thì máy tính lượng tử sẽ xuất hiện vào khoảng những năm 2010-2020 Isaac L Chuang, người đứng đầu nhóm nghiên cứu của IBM về máy tính lượng tử cũng đã khẳng

định ―Máy tính lượng tử sẽ bắt đầu khi định luật Moore kết thúc – vào khoảng năm

2020, khi mạch được dự báo là đạt đến kích cỡ của nguyên tử và phân tử‖ (nguyên

văn ―Quantum computing begins where Moore's Law ends about the year 2020,

when circuit features are predicted to be the size of atoms and molecules‖ -

Ở Việt Nam hiện nay, các nhà toán học cũng bước đầu có những nghiên cứu

về tính toán lượng tử và mô phỏng tính toán lượng tử trên máy tính thông thường

Ví dụ như nhóm Quantum của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội [5] Tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề để mở, và việc này cần có sự đầu tư thích đáng, tìm tòi, thực nghiệm trên cơ sở những thành tựu về lý thuyết và kinh nghiệm sẵn có trên thế giới, đồng thời áp dụng vào thực tế

Mục đích, đối tượng và nội dung của luận văn

Trong khuôn khổ luận văn này, trên những cơ sở những thành tựu đã có trên thế giới và trong nước tôi sẽ trình bày tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về tính toán lượng tử, đồng thời xây dựng một bộ công cụ mô phỏng tính toán lượng tử và các thuật toán lượng tử Luận văn gồm có phần mở đầu, kết luận và 04 chương đề cập tới các nội dung chính như sau:

 Chương 1: Các khái niệm cơ bản nghiên cứu các cơ sở của lý thuyết

tính toán lượng tử, các khái niệm cơ bản như qubit, thanh ghi lượng tử, cổng và mạch lượng tử cũng như các nguyên lý cơ bản của tính toán lượng tử như nguyên lý song song lượng tử, nguyên lý không thể sao chép…

 Chương 2: Một số thuật toán lượng tử nghiên cứu một số thuật toán

lượng tử quan trọng như thuật toán Deutsch-Jozsa (thuật toán lượng tử đầu tiên), biến đổi Fourier lượng tử và quan trọng nhất là thuật toán Peter Shor về tìm chu kỳ của hàm số từ đó dẫn đến bài toán phân tích số ra thừa số nguyên tố Thuật toán Peter Shor cho thấy sức mạnh của tính toán lượng tử so với tính toán hiện nay trên máy tính cổ điển

 Chương 3: Mã hoá lượng tử Do có khả năng tính toán bùng nổ theo

cấp luỹ thừa của tính toán lượng tử dẫn đến việc phải nghiên cứu các phương pháp mã hoá mới sử dụng tính toán lượng tử để chống lại khả năng thám mã sử dụng tính toán lượng tử Mục đích của chương này là

đề cập đến một ví dụ về mã hoá lượng tử và thám mã lượng tử đối với một hệ mã lượng tử đơn giản là phân phối khoá lượng tử BB84

 Chương 4: Xây dựng bộ công cụ mô phỏng Trên cơ sở các nghiên cứu

lý thuyết về tính toán lượng tử và các thuật toán lượng tử ở trên, phần này trình bày chi tiết về phương pháp xây dựng mô hình mô phỏng tính toán lượng tử trên máy tính cổ điển và xây dựng một trình biên dịch Q

dựa trên nền tảng mã nguồn mở có hỗ trợ cú pháp tiếng Việt nhằm mô phỏng các chương trình lượng tử

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Bảo mật đã, đang và sẽ tiếp tục là một vấn đề sôi động trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học cũng như ứng dụng trong thực tế Không chỉ lĩnh vực quan sự mới cần đến bảo mật mà các ứng dụng dân sự cũng cần phải có sự đảm bảo về bảo mật

và an toàn dữ liệu Đặc biệt khi các ứng dụng thương mại điện tử càng ngày càng phát triển như hiện nay thì bảo mật là vấn đề sống còn đối với các ứng dụng đó Các

hệ mã hoá công khai (như RSA) hay bí mật (như AES) và các giao thức chia sẽ bí mật đã là một phần không thể thiếu của các ứng dụng ngày nay

Nhưng khi máy tính lượng tử xuất hiện thì các hệ mã hoá được coi là an toàn

và sử dụng rộng rãi hiện nay như RSA sẽ không còn đảm bảo an toàn Do đó việc nghiên cứu tính toán lượng tử và các hệ mã dựa trên tính toán lượng tử là một vấn

đề cấp thiết nhằm đáp ứng nhu cầu của tương lai gần, khi mà máy tính lượng tử được thương mại hoá Điều này không chỉ đảm bảo cho các ứng dụng dân sự mà còn đảm bảo an toàn cho các ứng dụng quân sự, nơi an toàn dữ liệu được đặt lên hàng đầu

Do đó, việc nghiên cứu tính toán lượng tử rất có ý nghĩa thực tế, là tiền đề xây dựng và ứng dụng tính toán lượng tử, không chỉ trong lĩnh vực bảo mật mà còn

có thể mở rộng ra các lĩnh vực khác Đặc biệt trong bối cảnh ―đi tắt đón đầu‖ của

Việt Nam, việc nghiên cứu tính toán lượng tử góp phần giúp CNTT nước nhà tiếp cận với nền công nghệ cao của thế giới

Chương 1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Ký hiệu Bra-Ket

Trong luận văn này, tôi sẽ sử dụng ký hiệu Bra-ket, được đưa ra bởi Paul Dirac (do vậy còn được gọi là ký hiệu Dirac) (tham khảo chi tiết tại [20, 23] hoặc tại địa chỉ http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_notation) Ký hiệu Bra-ket là ký hiệu chuẩn được sử dụng rộng rãi trong vật lý lượng tử, dùng để mô tả trạng thái lượng

tử trong lý thuyết cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hệ vật lý được mô tả bởi một

vector trong không gian Hilbert phức  (sẽ nói rõ hơn ở phần sau), mỗi vector đó được gọi là ket và ký hiệu là  (đọc là psi ket)

Ứng với mỗi ket  có một bra và ký hiệu là  (đọc là psi bra) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert phức  tới không gian số phức  được định nghĩa bởi  | ( , ) với mọi ket  Trong đó ( , ) là tích vô hướng trong không gian Hilbert  Trong ngôn ngữ ma trận, bra là ma trận chuyển

vị liên hợp với ket và ngược lại

Ký hiệu  | được gọi là tích bra-ket (hay bracket)

Tính chất của bra-ket:

- Tính tuyến tính của bra và ket: với c 1 và c 2 là các số phức, ta có

o  c11 c2 2 c1  | 1 c2  | 2

o c1 1 c2  2  c1  1| c2  2|

- Cho ket 1 và 2 bất kỳ, c 1 và c 2 là các số phức, từ tính chất của tích vô hướng ta có c11 c2 2 là vector đối ngẫu với

c  c  trong đó c1* và c2* là các số phức liên hợp với c 1 và c 2

- Cho bra  và ket  bất kỳ, từ tính chất của tích vô hướng trong không gian Hilbert ta có  |   | *

1.2 Nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử

Trong cơ học cổ điển (hay cơ học Newton), trạng thái của một hệ n phần tử tại thời điểm t0 được xác định bởi vị trí {x1(t0), x2(t0), …, xn(t0)} và vận tốc của hệ là đạo hàm bậc nhất của các phần tử {x1’(t0), x2’(t0), …, xn’(t0)} Nếu trạng thái khởi đầu được xác định, nhờ các định luật về cơ học cổ điển của Newton, chúng ta có thể

hoàn toàn xác định (ít nhất là về mặt nguyên lý) trạng thái của hệ tại bất cứ thời

điểm t nào

Tuy nhiên, cơ học lượng tử hoàn toàn dựa trên một nền tảng toán học hoàn toàn khác so với cơ học cổ điển Dưới đây, tôi sẽ đề cập đến một số tiên đề cơ sở của cơ học lượng tử

Tiên đề 1 Trạng thái của một hệ vật lý S được mô tả bằng một vector đơn vị

|, được gọi là vector trạng thái hoặc hàm sóng, nằm trong một không gian Hilbert S gắn liền với hệ vật lý

Sự tiến triển theo thời gian của vector trạng thái | của hệ tuân theo phương trình Schrödinger

trong đó H là toán tử tự liên hợp của hệ thống (còn gọi là toán tử Hamiltonian) và ħ là hằng số Planck-Dirac (hay còn gọi là hằng số Planck đơn

giản), ħ=h/2π, với h là hằng số Planck Giá trị của h ≈ 6.626x10 -34 J.s (J là Joule

và s là giây) được xác định bằng thực nghiệm

Như ta thấy ở trên, phương trình Schrödinger là phương trình vi phân tuyến

tính bậc nhất Do đó ta có thể áp dụng nguyên lý siêu trạng thái (Superposition

principle): Nếu |1(t) và |2(t) là nghiệm của phương trình Schrödinger, khi đó siêu trạng thái |(t) = α|1(t) + β|2(t) (với α β là số phức) cũng là nghiệm của phương trình Do vậy toán tử phát triển theo thời gian của hệ sẽ là:

|(t) = U (t, t0) |(t0)

và U là toán tử tuyến tính

Theo [3, 11]U sẽ là toán tử Unita Chính vì vậy trong mô hình toán học cho

cơ học lượng tử, chúng ta sẽ sử dụng các phép biến đổi Unita

Tiên đề 2 Trạng thái của một hệ vật lý S được mô tả bằng một vector đơn vị

|, được gọi là vector trạng thái hoặc hàm sóng, nằm trong một không gian Hilbert HS gắn liền với hệ vật lý

Nguyên lý bất định Heisenberg Cho A và B là hai toán tử Hermiltian gắn

liền với các quan sát, A B là hai toán tử không giao hoán và | là hàm sóng gắn liền với trạng thái lượng tử Khi đó bất đẳng thức sau luôn thoả mãn:

Nguyên lý Heisenberg cho ta biết rằng khi đo một trạng thái lượng tử theo

hai đại lượng (như vị trí và vận tốc của hạt cơ bản), ta không thể đo chính xác được

đồng thời cả hai giá trị đó Nguyên lý Heisenberg được ứng dụng trong các hệ phân phối khoá lượng tử như BB84 mà chúng ta sẽ xem xét ở phần sau

1.3 Qubit và thanh ghi lượng tử

1.3.1 Khái niệm Qubit

Trước hết ta xét cách quan niệm mới về bit - đơn vị thông tin cơ bản trong

mô hình mới này: đó là qubit

Như ta đã biết: 1 bit cổ điển có thể biểu diễn một trong hai trạng thái: 0 hoặc

1 (ở tại một thời điểm xác định) Do đó, n bit có thể biểu diễn 2 n trạng thái khác

nhau Nhưng theo cách quan niệm cổ điển, nếu một thanh ghi được tạo nên từ n bit

cổ điển, tại một thời điểm, nó chỉ có thể biểu đúng một giá trị nguyên trong khoảng

từ 02n 1

Theo quan niệm mới về mô hình tính toán lượng tử dựa trên nền tảng vật lý lượng tử, chúng ta thấy rằng tại một thời điểm một thanh ghi lượng tử có thể chứa được tổ hợp nhiều giá trị

Xét theo mô hình vật lý, qubit là một vi hạt có hai trạng thái, nó có thể là: spin hạt nhân trong phân tử, ion bị bẫy (trapped ions), … Chúng ta quan tâm đến hai trạng thái đặc biệt được ký hiệu là 0 & 1 , được coi là hai trạng thái cơ sở tính toán

Theo mô hình toán học, xét không gian Hilbert 2 (  là trường số phức)

Nó có cơ sở trực giao là (1, 0) và (0, 1), ta ký hiệu tương ứng là 0 & 1 Qubit cơ

sở bao gồm hai dạng 0 hoặc 1 Khi đó, một 1-qubit tổng quát biểu diễn một vector đơn vị trong không gian 2

 , trong đó trạng thái 0 ứng với vector (1, 0), còn trạng thái 1 sẽ ứng với vector (0, 1) đồng thời thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

về xác suất Như vậy, dạng tổng quát của một 1-qubit là:

Đối với qubit có trạng thái tổng quát là  0   1 , chúng ta có thể tiến

hành đo (sẽ nói rõ hơn ở phần sau) trạng thái của qubit Khi đó, theo các nguyên lý

của cơ học lượng tử thì xác suất để nhận được trạng thái 0 là α2, xác suất để nhận được trạng thái 1 là β2, do đó α, β phải thoả mãn điều kiện xác suất α2 + β2 = 1

Như vậy sử dụng 0 & 1 ta có thể biểu diễn trạng thái của một qubit, cũng giống như 0 & 1 biểu diễn trạng thái của bit cổ điển

Để đi đến khái niệm thanh ghi lượng tử (quantum register), người ta mở rộng không gian trạng thái bằng cách sử dụng tích tensor [6,23] của các không gian 2

1.3.2 Khái niệm thanh ghi lượng tử

Định nghĩa: Một thanh ghi lượng tử (quantum register) biểu diễn một vector

trong không gian Hilbert  = ( 2) n

n i

i i

X có toạ độ trong không gian Hilbert  là (c 0, c1, c2, …, cn)

Trạng thái lượng tử được biểu diễn một thanh ghi được gọi là một siêu trạng

thái (Superposition) Ta cũng thấy rằng một quantum register có thể lưu trữ đồng

thời 2n thông tin khác nhau: 02n 1

Tồn tại siêu trạng thái của thanh ghi có thể mô tả bởi:

biến đổi Unita, các phép đo chỉ làm thay đổi trạng thái của hệ thống con mà không làm ảnh hưởng đến các hệ thống còn lại Ví dụ, khi tiến hành đo qubit thứ nhất được giá trị 0 hay 1 thì qubit thứ hai luôn đo được kết quả 0 Có thể so sánh với trạng thái rối lượng tử ở mục sau

1.3.3 Phép biến đổi Unita và phép đo

Đối với tính toán lượng tử, có 2 loại phép biến đổi cơ bản là phép biến đổi Unita và phép biến đổi không Unita Đối với lớp phép biến đổi không Unita chỉ có phép đo

Các phép biến đổi Unita là các phép biến đổi không mất năng lượng Do vậy các phép biến đổi Unita là các phép biến đổi khả nghịch Về mặt toán học có thể coi

là các ánh xạ trong các không gian Hilbert đẳng cấu

U:'

trong đó  và ’ là hai không gian Hilbert có cùng số chiều (ở đây chúng ta chỉ xét đến không gian Hilbert hữu hạn chiều, với các không gian Hilbert vô hạn chiều, sẽ có cách tiếp cận khác không được đề cập đến trong luận văn này)

Còn phép đo là phép biến đổi mất năng lượng, do đó phép đo là phép biến đổi bất khả nghịch Về mặt toán học có thể coi là phép đo là phép ánh xạ về không gian Hilbert có số chiều ít hơn

U:'

trong đó  và ’ là hai không gian Hilbert, ’ có số chiều nhỏ hơn  Đối với hệ lượng tử, khi áp dụng phép đo thì ta sẽ không thể tiên đoán độ xác định của kết quả (nguyên lý bất định Heisenberg) Kết quả thu được phụ thuộc vào xác suất của các trạng thái được biểu diễn bởi hệ lượng tử Đồng thời theo các nguyên lý của cơ học lượng tử, ngay sau khi đo lập tức hệ lượng tử sẽ sụp đổ về giá trị đo được

Ví dụ: Trong trường hợp tổng quát, một n-qubit X đang ở trạng thái lượng tử:

2 1 0

n i

i i

q sẽ sụp đổ về trạng thái 0

1.4 Nguyên lý rối lượng tử (Nguyên lý Entanglement)

Nguyên lý rối lƣợng tử là một trong những nguyên lý quan trọng của tính toán lƣợng tử Nguyên lý rối lƣợng tử cho phép việc tính toán diễn ra một cách đồng thời trên các thành phần của qubit đầu vào khi nó ở trạng thái rối lƣợng tử

Nếu kết quả là1 thì trạng thái qubit còn lại là 1

Suy ra: giữa hai hệ thống con có mối quan hệ nào đó Người ta gọi những

trạng thái như vậy là rối lượng tử hay vướng lượng tử (Quantum Entanglement)

Trạng thái này của hệ 2-qubit không thể phân tích thành tích tensor của hai hệ thống con 1-qubit

1.5 Nguyên lý song song lượng tử

Thanh ghi lượng tử cùng một lúc có thể lưu trữ nhiều trạng thái đơn lẻ khác nhau nhưng có một đặc điểm đáng chú ý là: bất kỳ một phép tác động nào lên một thanh ghi lượng tử thì nó sẽ tác động lên đồng thời toàn bộ các trạng thái mà thanh ghi đó lưu trữ (ta không thể tách rời các trạng thái để thao tác trên chúng một cách riêng lẻ)

đây ta có thể thấy sức mạnh của tính toán lượng tử vì nếu trong tính toán cổ điển để

thực hiện được phép biến đổi trên, chúng ta cần nhân ma trận ma trận C = (c 0, c1, c2,

…, cn ) với ma trận U cỡ 2 n x 2n còn trong tính toán lượng tử, chúng ta chỉ cần một

phép biến đổi Unita (có thể biểu diễn bằng một cổng lượng tử, xem 1.7) Tức là độ

phức tạp có thể giảm theo cấp luỹ thừa

1.6 Nguyên lý không thể sao chép (No-Cloning Theorem)

Trong tính toán cổ điển, có một tính chất của bit cổ điển là chúng ta có thể dễ dàng tạo một bản sao chứa cùng thông tin Tuy nhiên, đối với tính toán lượng tử, trạng thái của qubit tổng quát nói chung không thể sao chép

Định lý: Không thể tạo ra một máy thực hiện các phép biến đổi Unita có khả

năng sao chép hoàn hảo trạng thái của một qubit bất kỳ

Chứng minh:

Thực vậy, giả sử ta có đƣợc một máy sao chép hoàn hảo Khi đó xét hệ bao gồm hai qubit (qubit đƣợc sao chép, qubit sao chép) và máy sao chép trạng thái

Qubit đƣợc sao chép ở trạng thái tổng quát:

Khi đó máy sao chép sẽ tác động phép biến đổi Unita U lên hệ:

 i  f  0 1 0 1 f

trong đó trạng thái cuối cùng của máy sao chép A f sẽ phụ thuộc vào trạng thái của qubit thứ nhất 

Chúng ta sẽ chứng minh phép biến đổi Unita trên không thể tồn tại

Thực vậy, nếu trạng thái của qubit thứ nhất là 0 , phép biến đổi Unita U sẽ

Ta thấy trạng thái (1.6.4) này khác hoàn toàn so với trạng thái (1.6.1) chúng

ta mong muốn, suy ra điều cần phải chứng minh

Ở đây, định lý này muốn khẳng định không tồn tại một máy sao chép trạng thái bất kỳ, tuy nhiên với một số trạng thái lượng tử đặc biệt như 0 hay 1 thì ta

có thể tạo được máy sao chép

1.7 Mạch và Cổng logic lượng tử

Trong mô hình máy tính cổ điển, các nhà khoa học đã mô hình hoá toán học bằng các mô hình như cổng và mạch logic cổ điển, máy tính Turing Tương tự vậy, trong tính toán lượng tử, các nhà khoa học cũng được xây dựng các mô hình như

mô hình cổng và mạch logic lượng tử, máy tính Turing lượng tử Yao đã chỉ ra rằng với mỗi máy Turing lượng tử, tồn tại mô hình mạch logic lượng tử mô phỏng máy Turing lượng tử đó với thời gian đa thức [14] Do đó chúng ta chỉ cần nghiên cứu một mô hình cổng và mạch logic lượng tử, do mô hình này đơn giản và gần gũi với cách thiết kế máy tính lượng tử Từ đó dẫn đến kết quả tương tự trong mô hình máy Turing lượng tử

Một cách tương tự như máy tính cổ điển, được xây dựng dựa trên các cổng logic cơ bản như AND, OR, NOT, … trong mô hình tính toán lượng tử, chúng ta cũng xây dựng các cổng lượng tử

Do yêu cầu của cơ học lượng tử là các phép biến đổi hệ lượng tử bắt buộc là Unita [3,11] do đó trong mô hình toán học của tính toán lượng tử, chúng ta sử dụng các toán tử Unita

Định nghĩa: Một cổng logic lượng tử qubit được sử dụng để biến đổi

n-qubit được biểu về mặt toán học bởi một phép biến đổi Unita tác động lên

vector siêu trạng thái của n-qubit đó Ma trận biến đổi Unita tác động lên n-qubit là ma trận 2 n x2 n

Định nghĩa: Mạch lôgic lượng tử là một tập các cổng lôgic lượng tử liên

kết theo một đồ thị có hướng không chu trình, trong đó đầu ra của cổng này có thể là đầu vào của cổng kia

Dưới đây là một số cổng logic lượng tử cơ bản

0 12( ,0,0,0)

1 0

Biểu diễn trong mạch:

Hình 1.1 Biểu diễn cổng NOT

1 11

Biểu diễn trong mạch:

Hình 1.3 Biểu diễn cổng Hadamard

1.7.2 Cổng 2 qubit

i/ Controlled NOT (CNOT)

Cổng CNOT này thực hiện tương tự phép toán XOR trong tính toán cổ điển Thực hiện:

 

a b

b giữ nguyên nếu a = 0

b đảo bit nếu a = 1

Hình 1.4 Biểu diễn cổng CNOT

ii/ Cổng hoán vị hai bit (Cổng Swap)

Ứng dụng cổng CNOT: hoán vị hai bit

Hình 1.5 Biểu diễn cổng Swap

iii/ Cổng dịch pha có điều khiển (Controlled phase shift gate)

Cổng dịch pha có điều khiển là cổng không có cổng tương tự trong tính toán

Biểu diễn trong mạch:

Bit điều khiển Bit đích

Hình 1.6 Biểu diễn cổng dịch pha có điểu khiển

Hình 1.7 Biểu diễn cổng Toffoli Cổng Toffoli áp dụng cổng Not lên qubit cuối cùng nên ta có thể biểu diễn dưới dạng mạch như sau:

Hình 1.8 Biểu diễn cổng Toffoli Chúng ta có thể sử dụng cổng Toffoli và cổng CNOT để biểu diễn mạch cộng nhị phân có nhớ như sau:

Hình 1.9 Biểu diễn cổng cộng nhị phân có nhớ

1.7.4 Cổng phổ dụng

Trên thực tế, chúng ta muốn xây dựng và sử dụng chỉ một số cổng cơ bản tác

động lên một số lượng nhỏ qubit (độc lập với số lượng n qubit cần xử lý, n có thể

rất lớn) nhưng phải đảm bảo yêu cầu có thể tính được một hàm bất kỳ Các cổng đó

được gọi là cổng phổ dụng Trong tính toán cổ điển, ta đã biết được cổng NOT và

AND là cổng phổ dụng Tương tự, trong tính toán lượng tử, chúng ta sẽ định nghĩa

về cổng phổ dụng

Định nghĩa: Một tập cổng lượng tử G được gọi là phổ dụng nếu   > 0

và mọi ma trận Unita U tác động trên số bít bất kì, U có thể được xấp xỉ với độ chính xác  > 0 bằng một dãy cổng của G Nói cách khác nhóm con tạo nên bởi G là trù mật trong nhóm nhóm các toán tử Unita,  n

Tức là    U,  0, U' được tạo nên bằng tích các cổng của G sao cho

'

U U   

Deutsch là người đầu tiên chỉ ra một cổng lượng tử phổ dụng 3 qubit

Đó là cổng Toffoli dạng tổng quát [34 trang 24,25] Sau đó, Di Vincenzo chỉ

ra những cổng 2 qubit là phổ dụng Cho đến nay, có rất nhiều tập cổng phổ dụng đã được đưa ra Một ví dụ về tập cổng phổ dụng là tập cổng CNOT, Hadamard, các cổng dịch pha [32] Chi tiết về tập cổng phổ dụng có thể xem tại [20,23,31,32]

Chương 2 Một số thuật toán lượng tử

2.1 Thuật toán lượng tử

Giải thuật lượng tử về mặt toán học không có sự khác biệt so với khái niệm giải thuật cổ điển Ta có thể xây dựng khái niệm thuật toán lượng tử trên cơ sở mô hình máy Turing lượng tử, tuy nhiên về bản chất, để ngắn gọn, ta có thể chia làm hai dạng của thuật toán lượng tử:

- Thuật toán lượng tử dạng đơn giản: bao gồm một dãy các thao tác Unita, thường kết thúc bằng một phép đo Có thể ví dụ như thuật toán lượng tử Deutsch-Jozsa Trong thuật toán lượng tử dạng đơn giản chỉ

có một phép đo, thông thường là khi kết thúc thuật toán

- Thuật toán lượng tử dạng phức tạp: bao gồm một dãy các thuật toán lượng tử dạng đơn giản đi liền nhau Thuật toán lượng tử dạng phức tạp có thể có nhiều phép đo, đầu vào của bước tiếp theo là kết quả đo của bước trước Có thể ví dụ như thuật toán lượng tử Peter Shor

Điểm khác biệt của thuật toán lượng tử là đã sử dụng những ưu điểm, đặc điểm riêng biệt của máy tính lượng tử Nhờ sự áp dụng đó mà giải thuật lượng tử thật sự đã làm được những việt tưởng như không thể đối với những giải thuật cổ điển Ưu điểm chủ yếu được sử dụng ở đây là tính chất song song của tính toán lượng tử: việc cổng lượng tử tác động lên một siêu trạng thái n-qubit có nghĩa là nó

đã tác động đồng thời lên 2 n trạng thái riêng rẽ Do vậy khi thiết kế các thuật toán lượng tử chúng ta cần tuân thủ nguyên lý song song lượng tử

Công cụ toán học được sử dụng nhiều nhất trong những giải thuật lượng tử hiện nay là phép biển đổi Fourier rời rạc Phép biến đổi Fourier (FT) thực sự đã đưa lại nhiều lợi ích trong lĩnh vực của tính toán lượng tử Để hiểu rõ vai trò của FT trong những giải thuật lượng tử, chúng ta cần xem xét sơ đồ tổng quát của một giải thuật lượng tử dạng đơn giản

B1: Xác định trạng thái khởi đầu: S0

B2: Xác định một phép biến đổi Unita U thích hợp sao cho:U S0 S f là một siêu trạng thái lượng tử thoả mãn điều kiện nào đó (tuỳ thuộc vào từng vấn đề

cụ thể)

B3: Thực hiện ―đo‖ Sf để thu được kết quả mong muốn

Việc xác định S0 và U là phụ thuộc vào từng bài toán, từng vấn đề cụ thể Toán tử Unita U chính là chìa khoá của mỗi giải thuật

Trong sơ đồ tổng quát này, vai trò của FT sẽ nằm ở B1 và trong phép biến đổi U nhằm thu được Sf thoả mãn điều kiện nào đó Đối với một thanh ghi trạng thái khởi đầu thường là 0

n

 Để tạo ra S0, chúng ta thường dùng FT Phép biến đổi Unita về cơ bản là một phép toán khả đảo, nhưng để đạt được Sf , chúng ta cần áp dụng FT một cách thích hợp Bản chất của FT ở đây là phép chiếu một vector lên một không gian nhiều chiều để thu được Sf mà ở đó hệ số của các toạ độ của Sf

trong không gian đó có một mối tương quan nhất định nào đó Nhờ mối tương quan

đó, sau phép đo Sf ta sẽ thu được những thông tin cần thiết để đưa ra kết luận về lời giải của vấn đề

Để làm sáng tỏ ý trên, chúng ta sẽ cùng đi vào giải thuật lượng tử được coi là đơn giản nhất

2.2 Thuật toán Deutsch-Jozsa

a Bài toán:

Cho N  2 (n n ) và hàm số f : 1, ,  N     0;1

Như vậy f là hàm lôgic và giả sử rằng chỉ có 2 trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp ―hằng số‖: tức là: f i    0   i 1, N

+ Trường hợp ―cân bằng‖: tức là: trong tập f (1), , ( ) f N  có một nửa là giá trị 1; nửa còn lại là 0

Câu hỏi đặt ra là phân biệt f trong hai trường hợp trên?

b Hướng giải quyết cổ điển:

Với giải thuật thuần tuý, chúng ta cần xác định giá trị của f x( ) tại ít nhất

2

k

N Vậy xác suất để xảy ra lỗi là:

C C

Như vậy, giải thuật xác suất có thể giải quyết bài toán tương đối tốt

c Hướng giải quyết dùng lý thuyết tính toán lượng tử:

Dùng giải thuật lượng tử, chúng ta có thể giải quyết bài toán trên chỉ với một vài lệnh (cho mọi giá trị của N)

Giải thuật của Deutch và Jozsa cần dùng 2 thanh ghi lượng tử Thanh ghi thứ

nhất gồm n-qubit lưu trữ các số từ 0   N  1  (có thể coi giả thuyết là

f N   ) Thanh ghi thứ hai chỉ gồm 1-qubit lưu giá trị của hàm f

gồm hai giá trị  0,1 Trạng thái ban đầu của thanh ghi thứ nhất n-qubit là 0

n



, trạng thái ban đầu của thanh ghi thứ hai 1-qubit là 1

B1: Trạng thái khởi đầu 1 1 1 1

N

Để tạo đƣợc S0 ta tác động phép biến đổi Fourier (FT) (sẽ nói ở mục 2.3) vào

trạng thái nguyên thuỷ 0

0 1 0

0

1 ( )0

i N i

i N

(Do tính chất của tích Tensor: a       b   a  b)

Sau đó áp dụng FT vào thanh ghi thứ nhất

B3: Đo thanh ghi thứ nhất: nếu kết quả là 0

n

 thì f là ―hằng số‖; ngược lại

f sẽ là ―cân bằng‖

Hình 2.1 Sơ đồ mạch của thuật toán Deutch-Jozsa

Ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp ngược lại f luôn là ―cân bằng‖: tức là sẽ

( ) 1

0

1 ( 1)

N

f i i

+ Qua giải thuật trên, chúng ta có thể thấy được vai trò của FT trong tính toán lượng tử Nhờ tác động của FT, các siêu trạng thái lượng tử được biến đổi qua các trạng thái khác nhau Dựa vào tính chất của FT, ở đây là tính khả đảo, ta sẽ rút

ra được tính chất của hàm f x( )

+ Giải thuật trên đòi hỏi 4 phép biến đổi và 1 phép đo Nó chưa nói lên được sức mạnh của tính toán lượng tử so với tính toán thông thường Tuy nhiên, về mặt lịch sử, giải thuật của Deutch và Jozsa là giải thuật lượng tử đầu tiên Nó đã được khẳng định khả năng ứng dụng thực tế của tính toán lượng tử, mở đường cho sự phát triển sau này

2.3 Biến đổi Fourier lượng tử

Trong các công cụ toán học được áp dụng vào lý thuyết tính toán lượng tử, phép biến đổi Fourier đóng một vai trò quan trọng Khả năng áp dụng phép biến đổi Fourier trên những nhóm có số phần tử cỡ luỹ thừa là một đặc điểm vô cùng thuận lợi và thích hợp trong lý thuyết tính toán lượng tử

2.3.1 Phép biến đổi Fourier rời rạc

Kí hiệu Q là nhóm cộng các số nguyên modulo Q (với Q*)

1ˆ( ) Q iab Q ( )

Cho trước một hàm: f : Q  

Để tính được ˆf , thực chất ta cần xác định các hệ số 1 2 iab Q/

e Q

( 1)ˆ( 1)

Q

f f

Như vậy khối lượng tính toán sẽ là (Q2) Tuy nhiên trong trường hợp đặc

biệt, Q=2 n , cũng là những trường mà ta chỉ cần quan tâm trong tính toán lượng tử,

chúng ta có giải thuật biến đổi Fourier nhanh Giải thuật này cần khối lượng tính

toán là (Q.log(Q)) Rõ ràng khi Q lớn thì giải thuật này rút ngắn được rất nhiều

thời gian tính Xét về sự phân lớp giải thuật, phép biến đổi Fourier bình thường

cũng như phép biến đổi Fourier nhanh đều thuộc lớp P, là những giải thuật hiệu

quả

2.3.2 Phép biến đổi Fourier lượng tử

Trong lý thuyết về tính toán lượng tử, một hàm số f : Q   có thể được

biểu diễn bởi duy nhất một siêu trạng thái:

1 0

(Ở đây ta chỉ xét những hàm f thoả mãn

1 2 0

Nhận xét: Trong máy tính lượng tử, một hàm f trên tập Q phần tử như trên

có thể biểu diễn rất gọn trong thanh ghi lượng tử duy nhất với log(Q) qubit

Bây giờ ta hãy xét đánh việc áp dụng phép biến đổi Fourier lượng tử trên một siêu trạng thái tổng quát Để làm được điều này, ta chỉ cần xét trên những trạng thái

cơ bản là đủ vì các trạng thái cơ bản lập nên một cơ sở trong không gian các siêu trạng thái:

Xét trạng thái cơ bản a ; phép biến đổi lượng tử được ký hiệu là QFT:

1

:

Q iab Q

Q a b

2.3.3 Phép biến đổi nhanh Fourier lượng tử

Do Q=2 n nên 0 a 2n1 Do đó a có thể được biểu diễn dưới dạng nhị phân: a a1, , ,2 a n(2); tức là:

a=a1.2 m-1 + a2.2 m-2 + + am-1.2 + am với a i 0;1 với mọi i = 0,1, ,n

Khi đó ta sẽ có công thức sau:

 2 0,   2 0, 1   2 0, 1 ,

2.3.4 Sự thực hiện QFFT bởi các cổng lượng tử

Để thực hiện QFFT chúng ta chỉ cần hai loại cổng: thứ nhất là cổng

Hadamard trên một qubit (xem 1.7.1) Cổng thứ hai là cổng dịch chuyển pha có điều

khiển tác động trên hai qubit:

Hình 2.2 Biểu diễn cổng quay một góc

Tính chất của hai cổng trên:

+ Cổng R k: cổng R k chỉ tác động vào dây thứ hai khi trạng thái dây thứ nhất là 1

lượng tử là thực hiện được phép biến đổi Fourier lượng tử đối với m qubit Đây là

độ phức tạp đa thức nên rất hiệu quả trong cài đặt

2.4 Thuật toán phân tích thừa số nguyên tố của Peter Shor

Hiện nay, thuật toán tốt nhất được công bố về bài toán phân tích số ra thừa số nguyên tố là thuật toán sàng trường số tổng quát (GNFS - General number field sieve) có độ phức tạp tính toán là

(log ) (log )

vào n có log(n) bit thì đây là độ phức tạp hàm mũ Người ta tin rằng bài toán phân

tích số ra thừa số nguyên tố không có thuật toán thời gian đa thức trên máy tính cổ

điển (nhưng chưa có chứng minh) Trong khi đó, thuật toán phân tích của Peter

Shor có độ phức tạp tính toán là O(log ) (log log )(log log log )n 2 n n  trên máy tính

lượng tử và thời gian xử lý đa thức (cỡ O(log n)) trên máy tính cổ điển [38] Đây là

độ phức tạp đa thức Điều này nói lên được tính ưu việt của tính toán lượng tử so với tính toán cổ điển

Bài toán phân tích một số ra thừa số nguyên tố có thể quy dẫn từ bài toán tìm chu kỳ của hàm ( ) mod x

f x  a N trong đó N là số cần phân tích và a<N được chọn

ngẫu nhiên Phép quy dẫn này có thể thực hiện hiệu quả trên máy tính cổ điển

Thuật toán của Peter Shor thực chất là tìm chu kỳ r của hàm f x( ), tức là tìm

n

n x

Hai thanh ghi đó tạo thành trạng thái 2 1

0

1

( )2

n

n x

x f x







Vấn đề tìm bậc của số tự nhiên x theo module n, với x, n là những số cho

trước chính là chìa khoá để phá hệ mã RSA Ta phát biểu lại bài toán như sau:

Bài toán: cho N là số tự nhiên lẻ không là số nguyên tố cũng như không là

luỹ thừa của một số nguyên tố, Y là số tự nhiên bất kì nằm trong khoảng [1; N – 1] Hãy tìm số nguyên dương r nhỏ nhất sao cho: Y r  1 (mod )n

Giải thuật:

Giải thuật của Peter Shor dùng 2 thanh ghi lượng tử: thanh ghi thứ nhất lưu

một số nằm giữa 0 và (Q – 1), trong đó Q là một luỹ thừa của 2, Q = 2 m và thoả

2.

N  Q N (việc chọn Q như vậy là đảm bảo tính duy nhất vì khi biểu diễn