SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh

Mot so bai toan dien hinh ve phep chi het trong phan mon so hoc 6 SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh Phần thứ nhất MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí do lý luận Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người Với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa h.

SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng

học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

Lí do lý luận: Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tựnhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người Với một xã hội màkhoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vaitrò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng Để thực hiện được nhiệm

vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thìphương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việcdạy học kiến thức, kĩ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người, song hành việcphát triển trí tuệ của học sinh và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế.Như vậy, người giáo viên sẽ đóng một vị trí quan trọng trong việc hướng dẫn, tổchức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức của nhân loại Khi đóthông qua hoạt động dạy và học nói chung, qua việc học toán nói riêng, đặc biệt làqua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ và táihiện kiến thức Nghĩa là học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp và vậndụng các kiến thức đã học một cách phù hợp trong việc giải quyết các bài toán Qua

đó rèn trí thông minh, sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệtoàn diện cho học sinh

Lí do thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và mônToán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩnriêng biệt Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sựđam mê khám phá, tìm hiểu Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ mônthường yêu cầu tất cả người học phải nắm được Những kiến thức mở rộng, nângcao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có

tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục Đối với họcsinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán Phầnlớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳng thức.Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập bấtđẳng thức chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyết trừutượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán Trong đó điều

cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tậpquen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bàitập liên quan hoặc cùng dạng Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt độngsáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên và các trường học.Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi trong đội tuyển

là khâu hết sức quan trọng và việc chọn lựa các chuyên đề bồi là việc làm quan

trọng nhất Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số

kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp

8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh” trong chương trình Toán lớp 8, 9 nói riêng

và vận dụng trong Toán học nói chung với mong muốn được tích lũy thêm kiếnthức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhận được thậtnhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường đểSKKN này được trọn vẹn hơn nữa Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ là quá

cũ, quá quen thuộc, song tôi luôn hy vọng rằng nó sẽ góp được một điều nhỏ bé nào

đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này Đây là mongmuốn và cũng là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này

II Mục đích nguyên cứu.

Trước khi thực hiện SKKN này tôi nhận thấy ở trường nhiều em học sinh giỏi

dự thi kì thi cấp tỉnh đều đạt kết quả rất thấp mọi kì vọng các thầy cô về học sinh

dự thi không như mong đợi dẫn đến các em khóa sau ngại thi bộ môn toán vì thành

mà mình không làm được cảm thấy ngại với thầy cô vì thầy cô bỏ tâm huyết côngsức bồi dưỡng cả năm trời không thu lại thành quả Xuất phát từ nguyên nhân đótôi thống kê lại nguyên nhân vì sau các em thất bại hình thành cho mình một conđường mới trong công tác bồi giỏi Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ôntập hết không có thời gian xuất phát từ đó tôi nhận ra rằng các cấu trúc đề thi hiệnnay không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung ở một số chủ đề chính mà cácSKKN trước đó mang tính chuyên sâu về nội dung từng chủ đề việc người học tiếpthu được là vấn đề rất khó khăn do đó tôi sắp xếp lại cấu trúc các bài vừa sức họcsinh không quá khó theo từng dạng đặc biệt dạng gần gủi với các em nên việc tiếpthu không quá khó theo các mảng theo chuyên đề dẫn đến các em hào hứng học tậphơn với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán của Trường THCS Lương Thế Vinhphải đạt giải cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh mà bài toán về bấtđẳng thức luôn có đó chính là mục đích nguyên cứu đề tài này.

Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

Kiến thức về bất đẳng thức được giới thiệu trong chương III đại số 8 Đây là

cơ sở lý luận để nhận biết được bất đẳng thức Nó còn được vận dụng để giải quyếtmột lượng không nhỏ các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Giả sử A và B là haibiểu thức bằng số hoặc bằng chữ Khi đó

có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo trong giải toán.

Kiến thức về bất đẳng thức không chỉ được ứng dụng trong thi học sinh giỏi cáccấp, kì thi đại học mà ngay những bài toán trong các đề kiểm tra một tiết, học kì

bất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chươngtrình THCS.

Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập

cơ bản liên quan đến bất đẳng thức Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ Mỗidạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức

áp dụng Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải nhữngsai sót trong trình bày, trong diễn đạt … là điều không thể tránh khỏi Tôi rất mongnhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc

để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa

II Thực trạng vấn đề.

Sau hơn mười năm công tác, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức vàhọc hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiềuthuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công Trongnhững năm gần đây tôi đã được phân công dạy lớp 8,9 Từ năm học 2015 – 2016,tôi bắt đầu có ý tưởng tích lũy một số kiến thức về bất đẳng thức và áp dụng vàodạy các năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019 Qua thời

gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng

bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi

với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 8, 9 để tích lũy thêm cho SKKNnày Qua đó, tôi thấy:

Trước khi tiến hành nguyên cứu đề tài tôi tiến hành khảo sát đội ngủ học sinhgiỏi dự thi cấp huyện khảo sát về các bài toán về bất đẳng thức thì 100% học sinhkhông làm được, lấy ý kiến thì các em còn mơ hồ về bất đẳng thức trong khi đó hầuhết các đề thi cấp huyện đều có một bài bất đẳng thức, đặc biệt đề thi cấp tỉnh luôn

có một bài toán bất đẳng thức chính vì lý do đó mà cá nhân tôi mạnh dạn thực hiện

đề tài nguyên cứu này nhằm giúp các em đạt giải cao trong các kì thi huyện tỉnh vàgần như chiếm trọn vẹn điểm về mảng bất đẳng thức.

SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một khoảng thờigian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với cácđồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thứcnho nhỏ đảm bảo cho SKKN hôm nay Với lượng kiến thức này tuy chưa đầy đủsong có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra Đồng thời thu hút thêm sựđóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận

lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến Trước hết, chú trọng rèn luyệnnhiều ở phương pháp dạy học Theo thời gian, việc tiếp tục nghiên cứu nội dungnày có phần khó khăn vì công tác bồi mỗi năm một khối lớp khác nhau Do đó việcthử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi nhưmong muốn Mặt khác, các em học sinh tính tự giác trong học tập đối tự rèn chưacao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì giáoviên sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các emmới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em

có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn

SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi trong nhiều tiếttheo chuyên đề của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) tại trường đãđạt kết quả tốt Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năngtrình bày bài làm được cải thiện rõ rệt Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợiđáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức nàycủa bản thân tôi trong thời gian vừa qua

Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức Vì thế, năng lực tư duylogic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán

vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em

là một điều khó Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng vàtrọn vẹn yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biếtcách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dùđược giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu

Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sửdụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn Nội dung này

là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trựctiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG

Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suynghĩ, trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thậtthận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kếtquả cao về nội dung của SKKN đề ra

Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên

những khó khăn, hạn chế nêu trên Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong họctập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sútnhiều Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao.Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập saithì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều Một điều nữa làviệc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinhchưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà, Trong mảng kiến thức về bất đẳng thức,các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu trên Vìvậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến ngại làmbài tập Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùnghiệu quả là luyện giải bài tập

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh và chia sẻmột số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi toántrên địa bàn Krông Ana Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức vềbất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện nhưsau:

III.1 Trước hết, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản của bất đẳng thức trong sách giáo khoa

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x1= =x2 = xn

Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức nền tốt Giáo dục được ý thức hamhọc và nghiêm túc trong học tập, nghiêm khắc với bản thân cho học sinh ngay từđầu vì thói quen xấu rất khó bỏ và nề nếp chặt chẽ mau vững bền

III.2 Đưa ra dạng bài tập cơ bản thường hay gặp.

Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiếtdạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi

mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng Ngoài ra, có thể

tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua tronghọc tập Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc họcbài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy và để tiếnhành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển

III.3 Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng khi làm bài trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.

Bài 1 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng:

Bài giải: Ta luôn có :

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài 2 Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:

Nhìn thấy bài tập trên là học sinh nghỉ ngay đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu đểchứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dàithậm chí không giải được Bài tập toán muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng tuykhông có quy tắc tổng quát hoặc phương pháp làm bài riêng, song sau khi giải hoặchướng dẫn xong giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó đểkhi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.

Giáo viên nên tránh nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay bàikhó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một khó cảm thấy nản chí không đam mê,không nhận ra và ghi nhớ đợt từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không địnhhình được phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang.Giáo viên không nên coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng,cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung coi những bài

đó mới là tối ưu, kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được phương pháp tưduy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại sự việc có mộtnguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là giải quyết được hầuhết các sự việc

Mục đích hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng của bộ môn cho học sinh

là học ngay tại lớp, thường xuyên ôn lại kiến thức và rèn luyện làm bài tập nhiều,hiệu quả để khắc sâu kiến thức giúp các em tốn ít thời gian nhất mà nhớ lâu, vậndụng tốt

III.4 Lựa chọn một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương thường hay ra trong đề thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây

Phân tích: Các bất đẳng thức dưới đây khá quen thuộc, ta có thể giải bằng

cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh

( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)

Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y Vậy(x12 +y12) (x4 +y4) (≥ x10 +y10) (x6 +y6)

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rẳng:

Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn

có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.

Bài 5 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a 2 + b 2 + c 2 < 2 ab bc ca( + + )

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

( ) (2 ) ( )

a ≥ a − b c − = a b c a b c − + + − > 0

Chứng minh tương tự ta được b2≥ b2− − (c a)2> 0; c2≥ c2− (a b) − 2> 0

Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc ≥(a b c b c a c a b + − ) ( + − ) ( + − )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Nhận xét: Bất đẳng thức abc≥ (a b c b c a c a b+ − ) ( + − ) ( + − ) không chỉ đúngvới a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thựcdương bất kì Bất đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur

Bài 6 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

Thứ hai ta để ý đến biến đổi a 1 a b c

+ + + =

+ + Do đó ta cộng vào hai vế củabất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về

Lời giải

Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c = =

Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c = =

Bài 7 Cho biểu thức P a = + − −2 b2 ab 3 a b ( − + ) 2013 Với giá trị nào của a và bthì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

(Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2012-2013)

Bài 8 Tìm x (x > 0) để biểu thức ( )2

x

x 2012

y= + đạt giá trị lớn nhất.

( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2011-2012)

= hay x2 = 20122, x = 2012 (Không lấy giá trị âm)

Vậy với x = 2012 thì y đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là

(Đề thi học sinh giỏi huyện Krông Ana năm học 2016-2017)

Dấu bằng xảy ra khi x= = =y z 1.

III.5 Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc về các bài toán bất đẳng thức.

Bài 1 Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a 1

a

= +

Giải

Sai lầm thường gặp của học sinh: S a 1

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

a để sao cho khi áp dụng

BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:

1 ;1 (1)

1

; (2) 1

a

a

a a

a

α

α

αα

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)

1 12

a a

α = ⇒α = 4

Sai lầm thường gặp của học sinh: S a b c 1 1 1 6 6a b c 1 1 1 . 6

= = = + + = > trái với gải thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

1 2

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC ,chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nócòn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số.

Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích và tìm tòi lời giải: Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối

xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b =

c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể) Vậy ta

cho trước a = b = c = d dự đoán 4 12 40

Min S = + = Từ đó suy ra các đánh giácủa BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dựđoán: a = b = c = d > 0

Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có:

III.6 Hướng dẫn phương pháp giải toán thích hợp trong từng trường hợp

cụ thể giúp học sinh có kỹ năng nhận dạng, có tư duy linh hoạt và sáng tạo Bài 1 Chứng minh rằng: (a2+b2) (b2+c2) (c2+a2) ≥8a b c2 2 2 ∀a b c, ,

Phân tích và tìm tòi lời giải: Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả

được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm

Cần chú ý rằng: x2 + y2 ≥ 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay2 2dương

Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên

mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐTCôsi

Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN 8 = 2.2.2 gợi ýđến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số

Sai lầm thường gặp của học sinh:

2 2

0 0 0

Bài 2 Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ∀ a, b ≥ 0

Phân tích và tìm tòi lời giải: 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho

ba số, 2 cặp Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽkhử được căn thức cho các biến đó

Giải

Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 3 1 3 .3 a b 3a b ab=9ab

Bài 3 Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2∀ a, b ≥ 0

Phân tích và tìm tòi lời giải: 9ab2 = 9.a.b.b ⇒ gợi ý đến việc tách hạng tử7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2 Khi đã có địnhhướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn

n n

n n

Dấu “ = ” (3) xảy ra ⇔ 3abc=1 ⇔ abc = 1

Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 3

Cho x1, x2, x3, , xn ≥ 0 CMR:

Mục đích phải luôn tạo được tình huống có vấn đề là các bài toán lạ mà quen,

từ đó nâng dần mức độ, buộc các em phải tự tìm cách tháo gỡ có như vậy mới pháttriển được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh

Rèn cho học sinh kỹ năng phân tích bài toán, nắm được những điều kiện củabài toán để nhìn thấy dạng bài tập quen thuộc hay lạ, thấy vấn đề tổng quát từ vấn

đề cụ thể

III.7 Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán bất đẳng thức, thông qua các bài toán có tính tư duy, thông qua các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán các năm gần đây

Bài 1 a) Cho các số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 3 + + = Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức:

Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 = = = và giá trị nhỏ nhất của

P là 4 Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t 3 ≥ Vậy bài toán được chứng minh xong.

Bài 4 a) Cho k là số nguyên dương bất kì Chứng minh bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi k nguyên dương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Mục đích để các em thấy rằng các đề thì về bất đẳng thức không khó các em

không nản lòng và thấy thích thú vì các dạng toán này còn liên quan đến dãy số

Các em cảm thấy thú vị từ đó tạo động lực niêm đam mê bất đẳng thức cho các em

Trên đây giải pháp tôi chọn thông qua việc áp dụng dụng một số bất đẳng thức

cơ bản để giải bài tập, học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyệncho học sinh khả năng tư duy toán học một cách logic, có căn cứ, đồng thời gâyhứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toánnói riêng và các môn học khác nói chung Đồng thời giúp các em biết cách xử lý

một cách linh hoạt, tối ưu các tình huống trong đời sống hàng ngày khi vận dụngkiến thức đã học vào thực tế Việc chọn bất đẳng thức vì tất cả các đề thi học sinhgiỏi đều có bất đẳng thức nên việc chọn chủ đề này trong công tác bồi giỏi là việclàm tất yếu.

IV Tính mới của giải pháp.

Việc chọn bất đẳng thức vì tất cả các đề thi học sinh giỏi đều có bất đẳng thứcnên việc chọn chủ đề này trong công tác bồi giỏi là việc làm tất yếu, học sinh nắmvững có được điểm chắc chắn trong phần này làm các em tự tin hơn trong qua trìnhlàm bài

Các giải pháp trên có sự tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫnnhau Giải pháp (1) là tiền đề cơ bản cho quá trình dạy - học Giải pháp (2) tạo sựbền vững cho kết quả của sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp (3) là nhân tố tác động

có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu quả cho người học khi người học

có ý thức tự giác và cố gắng Giải pháp (4) các dạng toán hay gặp trong kì thi gầnnhất đó chính giải pháp tối ưu cho kì thi học sinh giỏi những năm gần đây giúp hocsinh có điểm cao trong các kì thi học sinh giỏi các cấp Giải pháp (5) giúp học sinhnhận thấy sai lầm mắc phải hình thành kinh nghiệm cho bản thân Giải pháp (6) chohọc sinh cách nhìn sáng tạo nhận dạng nhanh cho cách giải cần thiết Giải pháp (7)tạo động lực hứng thú tìm tòi sáng tạo trong cách giải bất đẳng thức Nhìn chungcác giải pháp này đan xen, tương tác với nhau, tạo nên những nghệ thuật dạy họcriêng, đem lại hiệu quả riêng cho mỗi giáo viên

Các giải pháp nêu trên được thực hiện trực tiếp trong quá trình dạy – học củagiáo viên – học sinh Trên cơ sở tích lũy của giáo viên và sự chuẩn bị chu đáo chonội dung các bài dạy thì hiệu quả đề ra sẽ khả quan hơn Bên cạnh đó, có bài kiểmtra đánh giá học sinh sau mổi chuyên đề làm cơ sở loại những học sinh không theokịp ra khỏi đội tuyển

Khi tổ chức ôn tập cần nắm vững phương châm: dạy chắc cơ bản rồi mớinâng cao; thông qua những bài luyện cụ thể để dạy phương pháp tư duy; dạy kiểudạng bài có quy luật trước, loại bài có tính đơn lẻ, đặc biệt sau Bởi lẽ để giải đượccác bài toán dành cho học sinh giỏi, học sinh cần phải hiểu kiến thức một cách cơbản, hệ thống, vững chắc, sâu sắc và có khả năng vận dụng linh hoạt

Đối với học sinh giỏi một số bước có thể làm nhanh, hoặc cho tự làm nhưngphải kiểm tra biết chắc chắn là chắc cơ bản rồi mới nâng cao, nếu bỏ qua bước nàytrình độ của học sinh sẽ không ổn định và không vững chắc Mỗi dạng cần thôngqua một hoặc hai bài điển hình, cần phải coi trọng loại bài có nguyên tắc là chính,phải rút ra phương pháp rồi cho thêm một số bài cho học sinh tự vận dụng chothành thạo phương pháp Hầu hết các bài đều có thể quy về một dạng nào đó cùngnhiều bài khác có quy tắc giải chung, mỗi dạng bài toán có một loại nguyên tắc, cứxác định đúng loại bài, sử dụng đúng nguyên tắc là giải quyết được Nhưng cá biệt

có một ít bài không theo những nguyên tắc chung, thuộc những tình huống cá biệt,

có thể sử dụng những cách riêng, thường không rõ quy luật, nhưng giải quyếtnhanh

V Hiệu quả SKKN.

SKKN này được áp dụng thực tiển tại trường THCS Lương Thế Vinh Huyện Krông Ana các năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018 –2019

-Đối tượng là đội tuyển học sinh lớp 8, 9 ở bậc trung học cơ sở TrườngTHCS Lương Thế Vinh - Huyện Krông Ana các năm học 2015 – 2016; 2016 –2017; 2017 – 2018; 2018 – 2019

Qua quá trình tích lũy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân tôithấy trước hết tôi đã tích lũy cho mình được vốn kiến thức nho nhỏ về bất đẳngthức để có thể vận dụng vào các vấn đề liên quan Đối với học sinh, sau mỗi năm

bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 tôi nhận thấy các em có sự tiến bộ rõ rệttrong lập luận, trong trình bày lời giải bài toán về bất dẳng thức Đa số các em đãbiết tích lũy kiến thức cơ bản, nhiều em trong số đó đạt kết quả cao trong học tập,đạt giải cao trong thi học sinh giỏi các môn về Toán học, mà đặc biệt các bài toán

về bất đẳng thức các em đã có sự thích thú và say sưa nghiên cứu

Cụ thể trong những năm qua, kết quả của chủ đề các bài toán về bất đẳng thức

mà tôi bổ trợ cho học sinh đã đạt kết quả như sau:

Năm học2018– 2019 Các em trong đội

tuyển tôi bồi dưỡng

Kết quả 1 em đạtgiải giải khuyếnkhích, 1 công nhậncấp huyện mônToán 8;

1 em đạt ba, 2 emđạt giải khuyếnkhích cấp huyện 1

em đạt giải nhì, 1

em đạt giải ba, 1 emđạt giải khuyếnkhích cấp cấp tỉnhmôn giải toán bằng

Các em trong độituyển tôi bồi dưỡngrèn được cách trìnhbày bài toán, bìnhtĩnh suy nghĩ tìmhướng giải cẩn thận

Kết quả 1 em đạtgiải nhất và giảikhuyến khích cấphuyện môn Toán 8

Các em trong độituyển tôi bồidưỡng hứng thú

và phản xạ đạt yêucầu với nhữngdạng bài tập nêutrên

Kết quả 1 em đạtgiải ba cấp huyệngiải khuyến khíchcấp tỉnh môn Toán9

Phần thứ ba: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

1 Kết luận.

Nội dung kiến thức về bất đẳng thức là một phần kiến thức rất quan trọngtrong lớp 8, 9 nói riêng và bậc trung học cơ sở nói chung Nhưng nhiều khi các emnắm được lý thuyết nhưng lại chưa biết áp dụng vào bài tập cụ thể như thế nào, các

em chưa biết tư duy để đi từ kiến thức tổng quát vào bài tập cụ thể, các em chưathành thạo trong suy luận và trình bày lời giải Do vậy, mỗi giáo viên chúng tatrong quá trình giảng dạy, cần thường xuyên tích lũy kiến thức cũng như cảm nhậnmức độ nắm kiến thức của học sinh và kết quả giảng dạy của mình để kịp thờihướng dẫn, điều chỉnh để các em hiểu và áp dụng được tính chất đã học vào làmbài tập cụ thể một cách phù hợp

Mảng kiến thức về bất đẳng thức nói riêng đối với chương trình toán THCS thìchỉ được học ở lớp 8, 9 với nội dung mỗi bài học tương đối đơn giản Song làm thếnào để phát huy tính tư duy tích cực, sự sáng tạo cho học sinh là một vấn đề khôngđơn giản! Để đạt được điều này đòi hỏi người giáo viên không những nắm vữngcác kiến thức cơ bản, mở rộng, bài tập nâng cao một cách chính xác và bền vững

mà còn đòi hỏi họ phải nắm được các kỹ năng kỹ xảo, kỹ năng truyền thụ của các

viên, khích lệ, tạo sự chú ý của học sinh với nội dung bài dạy, phát huy tính tự lập,tích cực và sáng tạo của học sinh.

* Với Cụm chuyên môn

Chúng ta cần có những buổi chuyên đề bàn sâu về một nội dung, một trọngđiểm hay một vấn đề cụ thể của Toán học để thu hút đông đảo sự tham gia của toàn

bộ giáo viên trong trường, trong cụm hoặc trong huyện (tùy vào phạm vị tổ chức).Trên đây là nội dung sáng kiến “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thứctrong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh”.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôihoàn thành SKKN này Do năng lực và kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN nàykhông thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thànhcủa quý thầy cô, đồng nghiệp và quý bạn đọc để SKKN này được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Buôn Trấp, ngày 06 tháng 4 năm 2019

Người viết

Đoàn Công Nam

MỤC LỤC

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề. 5-25

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Các chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi bất đẳng thức – Tác giả Võ Quốc Bá Cẩn

- Sách giáo khoa toán 8; Sách giáo viên toán 8,9; Sách bài tập toán 8 (tập 2)

- Sách Nâng cao và phát triển toán 8,9 – Tác giả Vũ Hữu Bình

- Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trên Tạp chí Toán tuổi thơ 2

- Bộ đề HSG huyện những năm qua

- Nguồn tài liệu trên mạng