Một số kiến thức về vectơ trong mặt phẳng và không gian
Trong chương trình toán phổ thông, vectơ được định nghĩa là một đoạn thẳng với điểm đầu (điểm gốc) và điểm cuối (điểm ngọn) Độ dài của đoạn thẳng này được gọi là độ dài (độ lớn, module) của vectơ, trong khi đường thẳng chứa đoạn thẳng được gọi là phương Chiều của vectơ được xác định từ điểm đầu đến điểm cuối Phép cộng hai vectơ tạo ra một vectơ mới theo quy tắc ba điểm hoặc quy tắc hình bình hành Khi nhân một số thực λ với vectơ ⃗a, ta nhận được vectơ mới cùng phương với ⃗a, có độ dài bằng |λ||⃗a| Nếu λ > 0, vectơ mới có chiều cùng chiều với ⃗a; nếu λ < 0, chiều ngược lại; và nếu λ = 0, kết quả là vectơ không.
Trong chương trình toán cao cấp, vectơ được định nghĩa là phần tử của không gian vectơ trên trường số K, với K thuộc {R, C} Không gian vectơ K là tập hợp V không rỗng, trong đó hai phép toán cơ bản là phép cộng vectơ và phép nhân một số với vectơ được xác định và tuân theo các tiên đề nhất định Cụ thể, với u, v, w thuộc V và λ, β thuộc K, các phép toán này phải thỏa mãn các quy tắc đã được thiết lập.
(3) Tồn tại vectơ không (ký hiệu là 0) sao cho u+ 0 = 0 +u = u;
(4) Với mọi vectơ u, tồn tại vectơ đối (ký hiệu là −u) sao cho u+ (−u) (−u) + u = 0;
(6) 1.u = u, ở đây 1 là số đơn vị thuộc trường K;
Trong toán học cao cấp, các không gian vectơ đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới, bao gồm không gian định chuẩn, không vectơ tô pô và không gian Banach Để ứng dụng lý thuyết vectơ một cách hiệu quả, các đặc trưng quan trọng của vectơ đã được xác định, bao gồm độ lớn (còn gọi là độ dài hoặc module) và hướng, bao gồm phương và chiều của vectơ.
Và lúc này ta có hai loại đại lượng: đại lượng vô hướng (chỉ có độ lớn) và đại lượng vectơ (có độ lớn và hướng).
• Các đại lượng vật lí như: khối lượng, thể tích, công, năng lượng, là đại lượn vô hướng.
Các đại lượng vật lý như độ dời, vận tốc, gia tốc và lực đều là các đại lượng vectơ Vectơ đơn vị được định nghĩa là các vectơ có độ lớn bằng 1.
Trong một số tài liệu, vectơ đơn vị được ký hiệu bằng một dấu mũ, ví dụ như vectơ −→ ˆ a, để chỉ rõ vectơ này có độ lớn bằng 1 và hướng theo hướng của vectơ gốc.
Trong hệ trục tọa độ Descartes Oxyz, các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz được ký hiệu lần lượt là ⃗i, ⃗j, và ⃗k Vectơ được định nghĩa là một đại lượng có độ lớn và hướng, trong khi vectơ không có độ lớn bằng không và không có hướng được ký hiệu là −→.
Vectơ đối của vectơ \(\vec{a}\), ký hiệu là \(-\vec{a}\), là vectơ có độ lớn bằng độ lớn của vectơ \(\vec{a}\) nhưng có hướng ngược lại Hai vectơ được coi là bằng nhau khi chúng có cùng độ lớn và cùng hướng.
CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.1.5 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ ⃗a,⃗b được biểu diễn lần lượt bởi −→
QR Khi đó vectơ biểu diễn bởi −→
P R được định nghĩa là tổng của hai vectơ ⃗a và ⃗b, ký hiệu là ⃗a + ⃗b, theo quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ Hiệu giữa hai vectơ ⃗a và ⃗b được ký hiệu là ⃗a − ⃗b, và theo quy tắc của đại số vô hướng, nó có thể được viết thành tổng.
⃗a+ (−⃗b) Biểu diễn ⃗a,⃗b bởi các vectơ −→
QR như trước, khi đó −→
QR ′ sẽ đại diện cho −⃗b, với QR’ = QR.
Nên⃗a−⃗b hoặc ⃗a+ (−⃗b) được biểu diễn bởi −−→
P R ′ (hình vẽ) Định nghĩa 1.1.7(Tổng của nhiều vectơ) Giả sử cónvectơ⃗a 1 , ⃗a 2 , , ⃗a n Cho⃗a 1 được biểu diễn bởi −−→
OA 1 , ⃗a 2 được đại diện bởi A 1 A 2 , , ⃗a n được biểu diễn bởi A n−1 An Vậy thì −−→
Trong toán học, phép nhân một vectơ với một số thực m khác không được định nghĩa như sau: Nếu m ∈ R và m ̸= 0, cùng với vectơ ⃗a khác 0, thì tích của m và vectơ ⃗a, ký hiệu là m−→a, sẽ tạo ra một vectơ mới có độ lớn bằng ma Vectơ này sẽ cùng phương với ⃗a và cùng chiều nếu m > 0, và ngược chiều với ⃗a nếu m < 0.
Kết quả liên quan đến phép cộng vectơ và phép nhân một số với vectơ được tóm tắt như sau: Định lý 1.1.1 nêu rõ rằng nếu các vectơ ⃗a và ⃗b được biểu diễn một cách tương ứng, thì phép cộng và phép nhân sẽ tuân theo những quy tắc nhất định, đảm bảo tính chính xác trong các phép toán vectơ.
OQ và m, n là các hằng số dương, khi đó m⃗a+n⃗b = (m+n)⃗c, với ⃗c được biểu diễn bởi vectơ −→
OR,R là một điểm trên PQ sao cho mPR = nRQ. Định nghĩa 1.1.9 (Tọa độ vectơ trong mặt phẳng) Cho vectơ ⃗r trong hệ trục tọa độ Oxy Đặt ⃗r = −→
OP Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của P lên các trục tọa Ox, Oy Đặt OA = x, OB = y Khi đó, ta có −→
Cặp(x, y)gọi là tọa độ của vectơ⃗r trong hệ tọa độOxy Ký hiệu là⃗r = (x, y). Đặt (Ox, ⃗r) = α,(⃗r, Oy) = β Ta có
Từ đây suy ra cos 2 α+ cos 2 β = 1. Định nghĩa 1.1.10 (Tọa độ vectơ trong không gian) Cho vectơ ⃗r trong hệ trục tọa độ Oxyz Đặt ⃗r = −→
OP Gọi A, B, C lần lượt là các hình chiếu vuông góc của P lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Đặt OA = x, OB y, OC = z Khi đó ta có −→
Bộ (x, y, z) gọi là tọa độ của vectơ ⃗r trong hệ tọa độ Oxyz.
Ký hiệu ⃗r = (x, y, z). Đặt (⃗r, Ox) = α,(⃗r, Oy) = β,(⃗r, Oz) = γ Khi đó ta có
Từ công thức cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, ta có thể hiểu rõ về sự tương quan giữa các góc trong không gian Định nghĩa 1.1.11 nêu rõ về cách tính tổng và hiệu của các vectơ theo tọa độ, trong đó các vectơ ⃗r 1, ⃗r 2, ⃗r 3 được biểu diễn qua các thành phần của chúng trên các trục vuông góc.
= (x 1 +x 2 +x 3 + )⃗i+ (y 1 +y 2 +y 3 + .)⃗j + (z 1 +z 2 +z 3 + .)⃗k. Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành phần của chúng Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ.
TÍCH CỦA CÁC VECTƠ Định nghĩa 1.1.12 (Tích vô hướng) Tích vô hướng của hai vectơ −→a và
→b tạo với nhau một góc θ được định nghĩa là đại lượng vô hướng a.b.cosθ và được ký hiệu là −→a −→ b
Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì:
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng: Cho các vectơ
⃗a = (x 1 , y 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 ) Khi đó tích vô hướng của⃗a và⃗b là
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian: Cho các vectơ
⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 , z 2 ) Khi đó ta có biểu thức tọa độ là
• Cho ⃗a = (x, y, z) Khi đó ta có
Từ Định nghĩa 1.1.12 ta có kết quả sau đây. Định lý 1.1.2 Cho các vectơ⃗a,⃗b Khi đó ta có
−||⃗a||||⃗b|| ≤⃗a⃗b ≤ ||⃗a||||⃗b||. Đẳng thức của bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai xảy ra khi lần lượt hai vectơ
⃗a và⃗b là cùng phương ngược chiều và cùng phương cùng chiều. Định nghĩa 1.1.13 (Tích có hướng)
Tích có hướng của hai vectơ −→a và −→b được định nghĩa là một vectơ có độ lớn bằng a.b.sinθ, tạo với nhau một góc θ Vectơ này có phương vuông góc với cả hai vectơ ⃗a và ⃗b, và chiều của nó tuân theo quy tắc cái đinh ốc Cụ thể, nếu đặt các đinh vuông góc với ⃗a và ⃗b, chiều tiến của đinh ốc khi vặn từ vectơ ⃗a đến vectơ ⃗b sẽ xác định chiều của vectơ tích có hướng Vectơ tích của hai vectơ này được ký hiệu là −→a ∧−→b hoặc [⃗a,⃗b].
•Biểu thức tọa độ của tích có hướng: Cho⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 , z 2 ). khi đó
!. Định nghĩa 1.1.14 (Tích hỗn tạp) Tích hỗn tạp của ba vectơ ⃗a,⃗b, ⃗c là biếu thức sau
• Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp: Cho ba vectơ ⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗c= (x 3 , y 3 , z 3 ) Khi đó tích hỗn tạp được xác định bởi
Hàm vectơ
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét hàm vectơ và những kết quả liên quan, được trích dẫn từ tài liệu [1] Định nghĩa 1.2.1 ([1]) cho biết rằng T là một tập hợp con của tập số thực, tức là T ⊂ R.
Hàm (ánh xạ) −→r : t 7→ −→r (t) từ tập hợp T vào không gian các vectơ hai chiều hoặc ba chiều gọi là một hàm vectơ.
Giả sử −→r (T) là một tập hợp trong không gian vectơ ba chiều, với mỗi t ∈ T, vectơ ⃗r(t) có các thành phần x(t), y(t) và z(t) Khi đó, x = x(t), y = y(t) và z = z(t) là những hàm số thực xác định trên T, được gọi là các hàm số thành phần của hàm vectơ −→r.
Ví dụ 1.2.1 Cho hàm vectơ⃗r(t) = t⃗i+√ t+ 1⃗j+ ln(2−t)⃗k Tìm tập hợp xác định của hàm vectơ −→r
Giải Các hàm số thành phần của hàm vectơ −→r là x(t) =t, y(t) = √ t+ 1, z(t) = ln(2−t).
Tập hợp xác định của hàm vectơ −→r bao gồm tất cả các giá trị t ∈ R mà tại đó các hàm thành phần của ⃗r(t) được xác định Các biểu thức x(t), y(t), z(t) sẽ đồng thời được xác định khi các điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Tập hợp xác định của hàm vectơ −→r là khoảng [−1,2) Định nghĩa rằng nếu hàm vectơ −→r = x−→ i + yj + z−→ k được xác định trên một lân cận của điểm t0 ∈ R (trừ điểm t0) và vectơ không đổi ⃗l = l1 −→ i + l2 −→ j + l3 −→ k, thì hàm −→r có giới hạn tại điểm t0 là ⃗l, và được viết là lim t→t0 ⃗r(t) = ⃗l.
Nếu hàm vectơ −→r xác định trên khoảng (α,t 0 ) (hoặc trên khoảng (t 0 , β)) thì lim t→t − 0 ( t→t + 0)⃗r(t) =⃗l⇔
Ví dụ 1.2.2 Cho hàm vectơ ⃗r(t) = √
1−t⃗i+t 2 ⃗j + sint t ⃗k. Tìm lim t→0 ⃗r(t) và lim t→1 − ⃗r(t).
Giải Tập hợp xác định của −→r là (−∞,0)∪ (0,1]. limt→0⃗r(t) = lim t→0
Định lý 1.2.1 nêu rõ rằng nếu hai hàm vectơ ⃗u và ⃗v có giới hạn tại điểm t0 ∈ R, thì các tính chất sau đây được áp dụng: a) giới hạn tổng của hai hàm vectơ bằng tổng của giới hạn của từng hàm, b) giới hạn của một hàm vectơ nhân với hằng số c bằng hằng số nhân với giới hạn của hàm vectơ, c) giới hạn của tích của hai hàm vectơ bằng tích của giới hạn của từng hàm vectơ, d) giới hạn của phép tích chéo của hai hàm vectơ bằng tích chéo của giới hạn của từng hàm vectơ Định nghĩa 1.2.3 chỉ ra rằng một hàm vectơ ⃗r được coi là liên tục tại điểm t0 nếu giới hạn của nó khi t tiến đến t0 tồn tại.
⃗r(t) =⃗r(t 0 ). b) Hàm vectơ ⃗r xác định trên khoảng (α, t 0 ] (hoặc trên khoảng [t 0 , β)) được gọi là liên tục trái (liên tục phải) tại điểm t0 nếu lim t→t − 0
Hàm vectơ liên tục tại mỗi điểm của tập hợp mở T ⊂ R được gọi là liên tục trên T Đối với đoạn [a,b], hàm vectơ −→r được coi là liên tục nếu nó liên tục trên khoảng (a, b), đồng thời liên tục tại điểm a và liên tục trái tại điểm b.
Hàm vectơ −→r = x−→ i + yj + z−→ k được coi là liên tục khi và chỉ khi các hàm số thành phần x, y, z đều liên tục Định nghĩa đường tham số cho biết rằng nếu I là một khoảng trong R, thì I có thể là một khoảng mở, đóng, nửa mở, bị chặn hoặc không bị chặn.
→r (t) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k (1) là một hàm vectơ liên tục trên I Tập hợp các điểm
Trong không gian R³, một đường tham số được định nghĩa bởi tập hợp C = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ I} Các phương trình x = x(t), y = y(t), z = z(t) với t thuộc I được gọi là biểu diễn tham số của đường C, trong đó t là tham số Phương trình (1) được xem là phương trình vectơ của đường C và cũng là một biểu diễn tham số của C Khi I là đoạn [a, b], đường C được gọi là một cung trong không gian, với điểm (x(a), y(a), z(a)) là điểm đầu và (x(b), y(b), z(b)) là điểm cuối của cung C Nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, đường C sẽ được gọi là một cung kín.
C được vạch nên bởi điểm cuối M(x(t),y(t),z(t)) của vectơ ⃗r(t) = −−→
OM khi t biến thiên trên khoảng I.
Các phương trình x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt, với t ∈ R, mô tả một đường thẳng trong không gian ba chiều Trong đó, x₀, y₀, z₀ và l, m, n là các số thực đã cho, với điều kiện (l, m, n) ≠ (0, 0, 0) Những phương trình này biểu diễn đường thẳng đi qua điểm (x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương là (l, m, n).
Ví dụ 1.2.4 Viết một biểu diễn tham số của đường cong C, giao tuyến của mặt trụ x 2 + 4y 2 = 4 và mặt phẳng x+ y+ z = 2.
Giải. Đường cong C nằm trên mặt trụ đứng có đường chuẩn là elip x 2
4 + y 2 = 1 trong mặt phẳng Oxy Ta biết rằng elip đó có một biểu diễn tham số là x = 2 cost, y = sint, z = 0,0≤ t≤ 2π.
Đường cong giao tuyến C nằm trên mặt phẳng x + y + z = 2, với các phương trình tham số x = 2 cos t, y = sin t, và z = 2 - 2 cos t - sin t trong khoảng 0 ≤ t ≤ 2π Biểu diễn này cho thấy cách mà đường cong C tương tác với mặt phẳng Phương trình vectơ tương ứng của đường cong C cũng có thể được xác định từ các tham số trên.
Đạo hàm và tích phân hàm vectơ
Đạo hàm của hàm vectơ
Đạo hàm của hàm vectơ −→r, được xác định trên một lân cận của điểm t0 ∈ R, là một khái niệm quan trọng trong toán học Đạo hàm tại điểm t0, ký hiệu là −→r ′ (t 0) hoặc d⃗r/dt tại t=0, cho phép chúng ta hiểu sự thay đổi của hàm vectơ theo thời gian.
) được cho bởi công thức ⃗r ′ (t 0 ) limh→0
⃗r(t 0 + h)−⃗r(t 0 ) h nếu giới hạn này tồn tai. Đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm vectơ được định nghĩa tương tự.
Từ định nghĩa 1.3.1 và giới hạn của hàm vectơ, ta có thể suy ra định nghĩa 1.3.2 Cụ thể, hàm vectơ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k sẽ có đạo hàm tại điểm t₀ nếu và chỉ nếu các hàm số thành phần x, y, z của nó cũng có đạo hàm tại t₀ Nếu hàm vectơ −→r có đạo hàm tại điểm t₀ thì các điều kiện trên sẽ được thỏa mãn.
→r ′ (t 0 ) = (x ′ (t 0 ),y ′ (t 0 ),z ′ (t 0 )) = x ′ (t 0 )−→ i + y ′ (t 0 )−→ j + z ′ (t 0 )−→ k. Định nghĩa 1.3.3 Giả sử đường C với phương trình vectơ
⃗ r(t) = x(t)⃗i+y(t)⃗j +z(t)⃗k. có đạo hàm tại điểm t 0 Khi đó
Gọi M và N là các điểm cuối của hai vectơ −→r (t 0 ) và −→r (t 0 + h) :
−−→MN có cùng phương với vectơ −−→
Khi t tiến gần đến 0, đường thẳng MN quay quanh điểm M và dần tiếp cận đường thẳng MT, đi qua điểm M với vectơ chỉ phương −→r ′ (t0) Vectơ −→r ′ (t0) được xác định là vectơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M Đường thẳng MT, đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương −→r ′ (t0), được gọi là tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M.
Tiếp tuyến của đường C tại điểm M có thể được hiểu là giới hạn của cát tuyến MN khi điểm N tiến gần đến điểm M trên đường C Phương trình vectơ của tiếp tuyến tại điểm M được xác định như sau.
∥⃗r ′ (t)∥, trong đó ∥⃗r ′ (t)∥ = px ′2 (t) +y ′2 (t) +z ′2 (t) là độ dài của vectơ ⃗r ′ (t), được gọi là vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm (x(t),y(t),z(t)) của đường C.
Ví dụ 1.3.1 Viết một biểu diễn tham số của tiếp tuyến của đường xoắn ốc
Vectơ tiếp tuyến của đường xoắn ốc tại điểmM là⃗r ′ π
= −a⃗i+⃗k Tiếp tuyến của đường xoắn ốc tại điểmM là đường thẳng đi qua điểmM và có vectơ chỉ phương là −→r ′ π
Biểu diễn tham số của tiếp tuyến đó là x = −at,y = b,z = π
2 + t,t ∈ R. Định nghĩa 1.3.4 Giả sử C là một đường với phương trình vectơ
→r (t) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k,t ∈ I. trong đó I là một khoảng Ta nói rằng C thuộc lớp C 1 trên I nếu hàm vectơ
→r có đạo hàm −→r ’ liên tục trên I Ngoài ra, nếu −→r ′ (t) ̸= −→
Đường cong phẳng được gọi là một đường trơn nếu với mọi t thuộc tập I (có thể loại trừ điểm đầu hoặc điểm cuối nếu I là khoảng nửa mở hoặc khoảng đóng) Định nghĩa này được thể hiện qua phương trình vectơ của đường cong.
C là một đường thuộc lớp C 1 nhưng không phải là một đường trơn.
Tại điểm (1,0), ảnh của t = 0, đường cong không có tiếp tuyến Điểm I(1,0) gọi là điểm lùi của C. Đường C gồm mỗi phần là một trơn Người ta gọi C từng khúc.
Một cách tổng quát, ta có Định nghĩa 1.3.6 Đường C gồm một số hữu hạn đường trơn gọi là trơn từng khúc.
Các quy tắc tìm đạo hàm có thể áp dụng cho hàm vectơ tương tự như hàm số thực Định lý 1.3.1 chỉ ra rằng nếu −→u và −→v là hai hàm vectơ có đạo hàm, φ là hàm số thực có đạo hàm và c là số thực không đổi, thì có một số quy tắc quan trọng Cụ thể, đạo hàm của tổng hai hàm vectơ bằng tổng các đạo hàm của chúng, đạo hàm của một hàm vectơ nhân với hằng số bằng hằng số nhân với đạo hàm của hàm vectơ, và đạo hàm của tích giữa một hàm số thực và một hàm vectơ được tính theo quy tắc chuỗi Ngoài ra, đạo hàm của tích vô hướng và tích có hướng cũng được xác định theo quy tắc tương ứng Cuối cùng, đạo hàm của hàm vectơ phụ thuộc vào một hàm số thực cũng được tính theo quy tắc chuỗi.
Chứng minh Ta chứng minh hai công thức c) và e) Các công thức còn lại được chứng minh một cách tương tự. c) Giả sử −→u (t) = (x(t),y(t),z(t)) Khi đó φ(t)−→u (t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t))
= φ ′ (t)⃗u(t) +φ(t)⃗u ′ (t) e) Với |h|> 0 đủ nhỏ, ta có
Dễ thấy khi h → 0 thì vế phải của đẳng thức trên dần đến −→u ′ (t)∧ −→v (t) +
Do đó hàm vectơ −→u ∧ −→v có đạo hàm tại điểm t, và
[−→u (t)∧ −→v (t)] ′ = −→u ′ (t)∧ −→v (t) +−→u (t)∧ −→v ′ (t).□. Định lý 1.3.2 Giả sử hàm vectơ⃗r có đạo hàm trên khoảng I Nếu ∥⃗r(t)∥= c với mọi t ∈ I, trong đó c là một hằng số thì vectơ ⃗r ′ (t) vuông góc với vectơ
Chứng minh Vỡ ∥−→r (t)∥ 2 = −→r (t)ã −→r (t) nờn −→r (t)ã −→r (t) = c 2 với mọi t ∈ I. Lấy đạo hàm hai vế của đồng nhất thức trên, ta được
0 = [−→r (t)ã −→r (t)] ′ = −→r ′ (t)ã −→r (t) +−→r (t) ã −→r ′ (t) = 2−→r ′ (t)ã −→r (t) do đú −→r ′ (t)ã −→r (t) = 0 với mọi t ∈ I Vậy −→r ′ (t) vuụng gúc với −→r (t).□
Theo định lý, nếu đường cong C nằm trên một mặt cầu, thì tiếp tuyến của C tại mỗi điểm sẽ vuông góc với bán kính của mặt cầu đi qua điểm đó.
Tích phân của hàm vectơ
Tích phân của một hàm vectơ được xác định thông qua các hàm số thành phần của nó Cụ thể, nếu hàm vectơ −→r = x−→ i + y−→ j + z−→ k liên tục trên đoạn [a, b], thì tích phân của hàm −→r trên đoạn này được tính theo công thức đã nêu.
1 + t−→ j + e 2t −→ k dt. Giải Theo định nghĩa, ta có
2 e 2 −1 ⃗k. Định nghĩa 1.3.8 Nếu−→r là một hàm vectơ liên tục trên đoạn[a,b]và hàm vectơ −→
R là một nguyên hàm của −→r trên đoạn [a,b] (tức là −→
Kí hiệu R −→r (t)dt chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm vectơ −→r
Ví dụ 1.3.3 Tìm nguyên hàm của hàm vectơ
C là một vectơ hằng. Định lý 1.3.3 Giả sử −→u,−→v là hai vectơ liên tục trên đoạn [a; b],c là một hằng số và −→
C là một vectơ không đổi Khi đó a) Rb a[⃗u(t) +⃗v(t)]dt = R a b ⃗u(t)dt+ R a b ⃗v(t)dt b) Rb a c⃗u(t)dt = cR a b ⃗u(t)dt c) Rb a[C⃗ ã⃗u(t)]dt= C⃗ ãR a b ⃗u(t)dt d)
Chứng minh Áp dụng định nghĩa tích phân của hàm vectơ, dễ dàng chứng minh được các công thức a), b), c).
C∥∥−→u (t)∥ với mọi t ∈ [a; b] nên từ đẳng thức trên suy ra
C∥ > 0 Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho ∥−→
C∥, ta được bất đẳng thức cần chứng minh Nếu −→
0 thì hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Mặt tham số
Trước tiên, chúng ta xem xét các hàm vectơ xác định trên một tập hợp con của R² Định nghĩa một hàm vectơ trên D, một tập hợp con của R², được thực hiện thông qua ánh xạ ⃗r : (u, v) 7→ ⃗r(u, v), đưa các điểm từ D vào không gian ba chiều Nếu vectơ ⃗r(u, v) có các thành phần x(u,v), y(u,v) và z(u,v), thì x, y, z được coi là những hàm số thực xác định trên D.
Ta gọi đó là các hàm số thành phần của hàm vectơ ⃗r Khi đó, ta viết
Hàm vectơ−→r được gọi là liên tục trên D nếu các hàm số thành phần của nó liên tục trên D.
NếuD là một tập hợp mở thì các đạo hàm riêng của hàm vectơ −→r được định nghĩa như sau :
Hàm vectơ ⃗r được xem là thuộc lớp C 1 trên D khi các hàm số thành phần của nó cũng thuộc lớp C 1 trên D, nghĩa là có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D Định nghĩa 1.4.2 đề cập đến khái niệm mặt tham số, với D là một tập hợp con của R 2.
⃗ r(u, v) = x(u, v)⃗i+ y(u, v)⃗j +z(u, v)⃗k,(u, v) ∈ D (1) là một hàm vectơ liên tục trên D Tập hợp các điểm
S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D} ⊂ R 3 gọi là một mặt tham số Các phương trình x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D được gọi là một biểu diễn tham số của mặt S Các biến số u,v được gọi là các tham số.
(1) gọi là phương trình vectơ của mặt tham số S (gọi tắt là mặt S ) Người ta cũng gọi (1) là một biểu diễn tham số của mặt S.
Gọi M là ảnh của (u,v) ∈ D qua ánh xạ
OM = −→r (u,v) Có thể xem măt S được tạo nên bởi điểm cuối M của vectơ −→r(u,v) khi (u,v) chạy trên D Để cho tiện người ta cũng nói điểm
S được gọi là một mặt đơn nếu ánh xạ
Ví dụ 1.4.1 Viết một biểu diễn tham số của nửa trên của mặt nón tròn xoay có đỉnh O, trục Oz và đường sinh tạo với trục góc π
Giả sử M(x,y,z) là điểm bất kỳ trên nửa mặt nón và N là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy, với điều kiện z ≥ 0 Nếu z > 0, tam giác OMN sẽ là tam giác cân, dẫn đến ON = z Gọi φ là số đo của góc định hướng (Ox,−→).
ON),0≤ φ ≤2π Ta có x = zcosφ,y = z sinφ,z = z, 0 ≤ φ≤ 2π,z ≥ 0 (2) Đảo lại, nếu điểm M có các toạ độ x, y, z thoả mãn (3) thì x 2 +y 2 = z 2 Từ đó dễ dàng chứng minh được rằng −−→
OM tạo với trục Oz góc π
4 Do đó M nằm trên nửa măt nón tròn xoay đã cho.
Vậy các phương trình trong (2) là một biểu diễn tham số của nửa mặt nón tròn xoay đã cho.
Ví dụ 1.4.2 Xác định măt S với phương trình vectơ
Giải Biểu diễn tham số của măt S là x = 2u, y = 3 cosv, z = 3 sinv, u ∈ R,0≤ v ≤ 2π
Điểm M(x, y, z) nằm trên mặt S nếu thỏa mãn điều kiện y² + z² = 9, tương ứng với mặt trụ tròn xoay có bán kính R = 3 và tâm O trong mặt phẳng Oyz Ngược lại, nếu M(x, y, z) thuộc mặt trụ tròn xoay y² + z² = 9, thì tồn tại góc v ∈ [0; 2π] sao cho y = 3 cos(v) và z = 3 sin(v), cùng với một số thực u sao cho x = 2u Do đó, S chính là mặt trụ tròn xoay y² + z² = 9.
Trường vectơ
Trường vectơ là một dạng đặc biệt của hàm vectơ, đóng vai trò quan trọng trong vật lý và kỹ thuật Bài viết này sẽ giới thiệu về các loại trường vectơ cơ bản như trường vận tốc, trường hấp dẫn, và điện trường Từ các trường vô hướng và trường vectơ đã biết, chúng ta có thể xây dựng các trường vectơ như градиент (gradient), rôta (rotationnel), và trường vô hướng đivecgiăng (divergence), là những khái niệm quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong nghiên cứu và ứng dụng.
F (x,y) từ tập hợp D vào không gian vectơ hai chiều gọi là một trường vectơ hai chiều.
F là một trường vectơ hai chiều xác định trên D ⊂ R 2 thì với mỗi điểm M(x,y) ∈ D,−→
F (x,y) là một vectơ hai chiều Do đó ta có
F⃗(x, y) =P(x, y)⃗i+ Q(x, y)⃗j (hay F⃗(M) = P(M)⃗i+Q(M)⃗j). trong đó P và Q là hai hàm số thực xác định trên D Đẳng thức trên được viết gọn dưới dạng
→F = P−→ i + Q−→ j b) Giả sử E là một tập hợp con của không gian R 3 E ⊂ R 3 Hàm vectơ (x,y,z) 7→−→
F (x,y,z) từ tập hợp E vào không gian vectơ ba chiều gọi là một trường vectơ ba chiều.
F là một trường vectơ ba chiều xác định trên E ⊂ R 3 thì với mỗi điểm M(x, y, z) ∈ E, ⃗F(x, y, z) là một vectơ ba chiều Do đó ta có
F (M) = P(M)−→ i + Q(M)−→ j + R(M)−→ k ). trong đó P,Q và R là ba hàm số thực xác định trên E Đẳng thức trên được viết gọn dưới dạng
→F = P−→ i + Q−→ j + R−→ k. Để dễ hình dung trường vectơ ba chiều −→
F xác định trên tập hợp E ⊂ R 3 , người ta thường vẽ một số vectơ −→
F (M), có điểm đầu M(x,y,z) ∈ E. c) Nếu U là một tập hợp con của R 2 hoăc R 3 thì mỗi hàm số f : U → R xác định trên U được gọi là một trường vô hướng.
Trên mặt phẳng Oxy có lớp nước mỏng chảy xoáy quanh điểm gốc O với vận tốc góc không đổi w rađian/giây theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Cần xác định vectơ vận tốc của nước tại mỗi điểm (x,y) trên mặt phẳng.
Giải Tại mỗi điểm (x,y) của mặt phẳng Oxy, nước chuyển động với tốc độ v = Rω theo tiếp tuyến tại điểm (x,y) của đường tròn tâm O bán kính
R =px 2 + y 2 , hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Vectơ vận tốc của nước tại điểm (x,y) được cho bởi công thức
(Dễ dàng thấy rằng vectơ⃗v(x, y) xác định bởi (1) có độ dài là ωpx 2 +y 2 Rω, hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Vỡ −→v ã −→r = ω(−y−→ i + x−→ j )ã(xi + y−→ j ) = 0 nên −→v (x,y) là vectơ tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OM tại điểm M(x, y)).
Trường vectơ −→v xác định trên R 2 bởi công thức (1) là một trường vectơ hai chiều, được gọi là trường vận tốc của lớp nước chảy quanh điểm gốc.
Hãy tưởng tượng một dòng chất lỏng chảy trong một ống dẫn Tại mỗi điểm M(x,y,z) trong ống, ta có vectơ vận tốc −→v (M) = −→v (x,y,z) biểu thị tốc độ của dòng chất lỏng Trường vectơ ⃗v được xác định trên tập hợp E của các điểm trong ống dẫn, tạo thành một trường vận tốc ba chiều Mỗi mũi tên gốc từ điểm M trong E thể hiện vectơ vận tốc −→v (M) tại điểm đó.
Mũi tên tại điểm M cho thấy hướng dòng chất lỏng, trong khi độ dài của mũi tên biểu thị tốc độ v(M) = ∥−→v (M)∥ của dòng chất lỏng tại đó Hình ảnh minh họa cho thấy chất lỏng chảy nhanh hơn trong đoạn ống hẹp.
Theo định luật hấp dẫn của Newton, hai vật có khối lượng M và m sẽ hút nhau với cường độ lực hút tỉ lệ thuận với khối lượng của chúng và nghịch đảo với bình phương khoảng cách d giữa chúng Hằng số G được gọi là hằng số hấp dẫn Trong trường hợp này, trái đất có khối lượng M và tâm trái đất được chọn làm điểm gốc.
R 3 Một vật có khối lượng một đơn vị đặt tại điểm P(x,y,z) ngoài trái đất chịu một lực hút của trái đất với cường độ là MG r 2 , trong đór = ∥−→r || (⃗r = −→
OP = x⃗i+y⃗j+z⃗k là vectơ xác định vị trí của điểm
Lực hút của Trái Đất tác động lên vật đặt tại điểm P hướng về tâm Trái Đất, và vectơ đơn vị tương ứng với lực này là −r r.
Hàm vectơ F⃗ xác định bởi công thức trên là một trường vectơ ba chiều, gọi là trường hấp dẫn Có thể viết công thức trên dưới dạng
Ví dụ 1.5.4 Giả sử một điện tích Q được đặt tại điểm gốc O của R 3 Theo định luật Culông (Coulomb), lực điện −→
F (P) tác dụng lên một điện tích q đặt tại điểm P(x,y,z) khác gốc O được cho bởi công thức
Lực điện tác dụng lên điện tích một đơn vị tại điểm P(x, y, z) do điện tích Q tại điểm gốc được mô tả bằng công thức OP = x−→ i + y−→ j + z−→ k, với r = ∥−→r ∥ và ε là một hằng số tùy thuộc vào các đơn vị sử dụng.
E xác định bởi công thức trên là một trường vectơ ba chiều, được gọi là điện trường của điện tích Q.
Trường vô hướng được định nghĩa trong không gian R^3, với Ω là một tập hợp mở và f : Ω → R là hàm số thuộc lớp C 1, có nghĩa là f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω Trường vectơ ∇f được xác định trên Ω, thể hiện sự biến đổi của hàm số f trong không gian.
∂z(M)⃗k, M ∈ Ω được gọi là građian của trường vô hướng f ∇f(M) được gọi là građian của trường vô hướng f tại điểm M Trường vectơ ∇f còn được kí hiệu là grad f.
Có thể viết công thức trên dưới dạng
Trường vô hướng hai biến số được định nghĩa tương tự như trường vô hướng một biến Giả sử D là một tập hợp mở trong R² và f : D → R là một trường vô hướng thuộc lớp C¹ trên D Trường vectơ hai chiều ∇f được xác định trên D.
∂y(x,y)−→ j ,(x,y) ∈ D được gọi là građian của trường vô hướng f Công thức trên được viết gọn dưới dạng
Từ định nghĩa của građian suy ra Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 (hoặc R 2 ), f,g là hai trường vô hướng thuộc lớp C 1 trên Ω Khi đó a) ∇(f +g) = ∇f +∇g b) ∇(λf) =λ∇f c) ∇(f g) = f∇g +g∇f.
Ta chứng minh c) cho trường hợp Ω là một tập hợp mở trong R 3 Theo định nghĩa của građian, ta có
Ví dụ 1.5.5 Cho hàm số f(x, y, z) = 3x 2 +xy −2y 2 −yz +z 2 a) Tìm ∇f. b) Tìm đạo hàm của hàmf tại điểm M(1,−2,−1)theo hướng2−→ i −2−→ j −−→ k. Giải. a) ∇f(x, y, z) = (6x+y)⃗i+ (x−4y−z)⃗j+ (2z−y)⃗k với mọi (x, y, z) ∈ R 3 b) ∇f(M) = 4−→ i + 10−→ j + 0−→ k Vectơ đơn vị cùng hướng với 2−→ i −2−→ j −−→ k là −→u = 2
→k Đạo hàm của hàm số f tại điểm M theo hướng −→u là ∂f
Đạo hàm theo hướng −→u của hàm số f tại điểm M cho thấy tốc độ biến thiên của hàm số này theo hướng −→u Để xác định hướng mà giá trị của hàm số f tăng nhanh nhất, ta giả sử rằng ∇f(M) ̸= 0.
∂−→u (M) = ∇f(M)−→u ≤ ∥∇f(M)∥∥−→u∥ = ∥∇f(M)∥ vì ∥⃗u∥ = 1 Dễ thấy ta có đẳng thức với ⃗u = ∇f(M)
∥∆f(M)∥ Vậy ∇f(M) là hướng theo đó giá trị của f tăng nhanh nhất Hiển nhiên −∇f(M) là hướng theo đó giá trị của f giảm nhanh nhất.
Ví dụ 1.5.6 Nhiệt độ của tấm kim loại tại điểm (x,y) đặt trên mặt phẳng tọ độ Oxy được cho bởi công thức
T(x,y) = x 2 + y 2 a) Tìm tỉ suất biến thiên của nhiệt độ tại điểm ( 1,2 ) theo hướng tạo với trục Ox góc π
6. b) Xác định hướng theo đó tỉ suất biến thiên của nhiệt độ tại điểm(−1,√
Giải a) Vectơ đơn vị xác định hướng đã cho là −→u √3 2
3−→ j là hướng theo đó tỉ suất biến thiên của nhiệt độ tại điểm (−1,√
3) là lớn nhất Hướng này tạo với trục Ox góc α xác định bởi tanα = −√
Giả sửΩ là một tập hợp mở trong R 3 và −→
F là một trường vectơ trên Ω Nếu tồn tại một hàm số f : Ω → R thuộc lớp C 1 (tức là f có các đạo hàm riêng liên tục) trên Ω sao cho
F được gọi là một trường thế trên Ω và hàm số f được gọi là hàm số thế vị của trường vectơ −→
F trên Ω. (Từ định nghĩa suy ra rằng trường vectơ −→
Không phải mọi trường vectơ đều là trường thế Tuy nhiên, trong Vật lí, ta thường gặp những trường thế Chẳng hạn, trường hấp dẫn −→
F trong Ví dụ 1.2.3 trong 1.2 là một trường thế Hàm số f(x, y, z) = M G px 2 +y 2 +z 2 là một hàm số thế vị của trường vectơ −→
RÔTA CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ Định nghĩa 1.5.4 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 và −→
Q−→ j + R−→ k là một trường vectơ thuộc lớpC 1 trên Ω(tức là các hàm số thành phần P,Q,Rcủa −→
F thuộc lớp C 1 trên Ω ) Rôta của trường vectơ−→
F, là trường vectơ xác định trên Ω bởi rotF⃗ ∂R
⃗k. Để dễ nhớ, ta đưa vào một kí hiệu hình thức
(đọc là nabla) Ta lập một cách hình thức tích vectơ của hai "vectơ" ∇ và
Ví dụ 1.5.7 Cho trường vectơ−→
Từ định nghĩa của rôta, dễ dàng duy ra. Định lý 1.5.2 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 ,−→
G là hai trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω và λ là một số thực không đổi Khi đó a) rot(−→
Nếu hàm số f : Ω → R thuộc lớp C 2 trên Ω (tức là f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Ω thì rot(∇f) = −→
Chứng minh Vì f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Ω nên các đạo hàm riêng ∂f
∂z có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω, tức là
∂z là những hàm số thuộc lớp C 1 trên Ω Do đó
→k là một trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω Ta có rot(∇f)
Vì hàm số f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Ω nên, theo đinh lí Svác (Schwarz), từ đó suy ra rot(∇f) = −→
0 trên Ω. Định lý 1.5.3 Giả sử Ω là một tập hợp lồi mở trong R 3 và −→
F là một trường thuộc lớp C 1 trên Ω Nếu rot −→
Ví dụ 1.5.8 Cho trường vectơ
− z pa 2 −x 2 −y 2 −z 2 ⃗k với mọi (x,y,z) ∈ V, trong đó V là hình cầu mở có tâm là điểm gốc và bán kính a> 0. a) Chứng minh rằng −→
F là một trường thế trên V. b) Tìm hàm số thế vị f của trường vectơ −→
0 với mọi (x,y,z) ∈ V Vì V là một tập hợp lồi mở nên, từ đó suy ra rằng −→
F là một trường thế. b) Ta tìm hàm số f : V →R sao cho ∇f = F⃗ trên V, tức là
Khi lấy nguyên hàm (1) theo biến x, ta có được hàm f(x, y, z) = pa² - x² - y² - z² + φ(y, z) với mọi (x, y, z) thuộc miền V, trong đó φ là một hàm số liên tục bậc 1 trên hình tròn y² + z² < a² trong mặt phẳng x = 0 Tiếp theo, khi lấy đạo hàm hai vế của phương trình (4) theo biến y, ta sẽ thu được kết quả cần thiết.
∂y(y, z) = 0 Do đó φ(y, z) =ψ(z), trong đó ψ là hàm số thuộc lớp C 1 trên khoảng (−a,a) và từ (4), ta có f(x, y, z) =pa 2 −x 2 −y 2 −z 2 +ψ(z)
Lấy đạo hàm hai vế của đồng nhất thức trên theo z, ta được
Từ (3) và (6), ta suy ra ψ ′ (z) = 0, dẫn đến ψ(z) = λ, với λ là một hằng số thực Kết quả cuối cùng là f(x,y,z) = pa^2 − x^2 − y^2 − z^2 + λ, trong đó (x,y,z) thuộc V và λ là hằng số Định nghĩa 1.5.5 về ĐIVECGIĂNG CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ cho thấy Ω là một tập hợp mở trong R^3.
Q−→ j + R−→ k là một trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω Đivecgiăng của trường vectơ −→
F, là hàm số thực xác định trên Ω bởi div−→
∂z (Ta viết một cách hình thức : div−→
∂z ã(Pi + Q−→ j + R−→ k ), tức là xem div−→
F là tích vô hướng của "vectơ"∇ = −→ i ∂
Từ định nghĩa của đivecgiăng suy ra
Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 ,−→
G : Ω → R 3 là hai trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω và λ là một số thực Khi đó a) div(F⃗ +G) = div⃗ F⃗ + divG⃗, b) div(λ−→
Ví dụ 1.5.9 Cho trường vectơ
= 2xy + 2x−3z+ 2,(x, y, z) ∈ R 3 Định lý 1.5.4 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3
F = P−→ i + Q−→ j + R−→ k là một trường vectơ thuộc lớp C 2 trên Ω thì div(rot−→
Chứng minh Ta có rotF⃗ ∂R
Theo định lí Svác, từ đó suy ra div(rot−→
Từ định lí trên suy ra
Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 và −→
F là một trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω Nếu tồn tại một trường vectơ −→
G thuộc lớp C 2 trên Ω sao cho rot−→
F = 0 trên Ω. Điều ngược lại không đúng Tuy nhiên, nếu chẳng hạn Ω là một tập hợp lồi mở thì điều ngược lại cũng đúng.
Nhận xét 1.5.5 Nếu rot G⃗ = F⃗ trên Ω và f : Ω →R là một hàm số thực thuộc lớp C 2 trên Ω thì rot(G⃗ +∇f) = rotG⃗ + rot(∇f) = F ⃗ vì rot(∇f) = −→
0 Do đó, nếu với một trường vectơ−→
F cho trước, phương trình có nghiệm −→
G thì nghiệm đó không phải là duy nhất.
F⃗(x, y, z) = 2xy⃗i+ y 2 −3z ⃗j +xyz⃗k có phải là rôta của một trường vectơ trên R 3 hay không ?
F (x,y,z) = 2y + 2y + xy = 4y + xy ̸= 0. từ đó suy ra rằng −→
F không phải là rôta của bất kì một trường vectơ nào trên
Ví dụ 1.5.11 Cho trường vectơ F⃗ : R 3 → R 3 xác định bời
→F (x,y,z) = y 2 −z 2 −→ i + z 2 −x 2 −→ j + x 2 −y 2 −→ k a) Chứng minh rằng tồn tại một trường vectơG⃗ : R 3 →R 3 sao chorotG⃗ = F⃗ trên R 3 (1) b) Tìm một trường vectơ −→
F c) Từ đó tìm tất cả các trường vectơ −→
G : R 3 →R 3 thoả mãn (1) trong a). Giải. a) Ta có div−→
Vì R 3 là một tập hợp lồi mở nên tồn tại một trường vectơ G⃗ : R 3 →R 3 sao cho rotG⃗ = F⃗ trên R 3 b) Với −→
⃗k Do đó phương trình rot−→
F tương đương với hệ phương trình sau
∂y = x 2 −y 2 (4) Lấy nguyên hàm hai vế của (2) theo z, ta được
3 −y 2 z +φ(x, y) (5) trong đó φ là một hàm số thuộc lớp C 1 trên R 2
Lấy nguyên hàm hai vế của (3) theo z, ta được
3 −x 2 z +ψ(x, y) (6) trong đó ψ là một hàm số thuộc lớp C 1 trên R 2 Từ (5) và (6) suy ra
Do đó từ (4), ta có
Dễ dàng thấy rằng cặp hàm số φ(x,y) = x 3
3,(x,y) ∈ R 2 thoả mãn (7) Thay các hàm số này vào (5) và (6), ta được
R 3 từ b) suy ra nếu f : R 3 →R là một hàm số thực bất kì thuộc lớp C 2 trên R 3 thì trường vectơ
G 0 +∇f (8) thoả mãn hệ thức (1) trong a). Để kết thúc, ta chứng minh rằng mọi trường vectơ −→
C 1 trên R 3 thoả mãn (1) trong a) đều có dạng (8).
Thật vậy, ta có rotG⃗ = −→
G0 = F⃗ −F⃗ = O⃗ trên R 3 từ đó suy ra rằng−→
G 0 là một trường thế trênR 3 , tức là tồn tại một hàm số f : R 3 → R thuộc lớp C 2 trên R 3 sao cho ∇f = −→
Trong không gian R³, với hàm số f : R³ → R thuộc lớp C², ta có thể xác định tất cả các trường vectơ thỏa mãn điều kiện (1) trong định nghĩa Định nghĩa 1.5.6 về Laplacian của hàm số nêu rằng, với Ω là một tập hợp mở trong R³, nếu f : Ω → R là hàm số thuộc lớp C² trên Ω, thì div(∇f) = ∇·(∇f).
Vế phải của (1) được gọi là Laplaxian của hàm số f và được kí hiệu là ∇ 2 f. Như vậy, ta có
∂z 2 Hiển nhiên ∇ 2 f là một hàm số (trường vô hướng) xác định trên Ω Phương trình
Phương trình Laplace, được biểu diễn bằng ∂z² = 0, có nghiệm là hàm số điều hoà f Các hàm số điều hoà này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu như âm học, truyền nhiệt và từ trường.
Sơ lược về dạng vi phân
Dạng vi phân bậc 1 được định nghĩa là ánh xạ ω : U → (R n ) ∗, trong đó U là một tập hợp mở trong không gian R n và (R n ) ∗ là không gian đối ngẫu của R n Dạng vi phân này có những tính chất cơ bản quan trọng trong toán học.
Nếu ω là một dạng vi phân bậc 1 trên U thì với mỗi M ∈ U, ω(M) là một dạng tuyến tính trên R n
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R n Nếu ω 1 và ω 2 là hai dạng vi phân bậc 1 trên U, thì ánh xạ ω 1 + ω 2 : U → (R n ) ∗ được xác định bởi (ω 1 + ω 2)(M) = ω 1(M) + ω 2(M) cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U Ngoài ra, nếu ω là một dạng vi phân bậc 1 trên U và f là một hàm số thực xác định trên U, thì ánh xạ fω cũng được xác định.
(f ω)(M) =f(M)ω(M), M ∈ U cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U. Đặc biệt, nếu λ là một số thực thì ánh xa λω xác định bởi (λω)(M) λω(M),M ∈ U cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Ví dụ 1.6.1 Ta đã biết, hàm u(z) = z n , n ∈ N ∗ là hàm chỉnh hình trên C. Vậy hàm f(z) =nlog|z| là điều hòa dưới trên C.
Nếu U là một tập hợp mở trong không gian R n và f : U → R là hàm khả vi trên U, thì vi phân df : U → (R n ) ∗, với M 7→ df(M), được xem là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Dạng tổng quát của một dạng vi phân bậc I
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R n, và ω : U → (R n ) ∗ là một dạng vi phân bậc 1 trên U Với mỗi điểm M thuộc U, ω(M) sẽ là một dạng tuyến tính trên R n Do đó, ω(M) có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng: ω(M) = P1(M)e ∗ 1 + P2(M)e ∗ 2 + + Pn(M)e ∗ n.
Cơ sở đối ngẫu {e ∗ 1 , , e ∗ n } của cơ sở tự nhiên {e 1 , , e n } trong không gian R n có thể được biểu diễn qua công thức ω(M) = P1(M)dx1(M) + P2(M)dx2(M) + + Pn(M)dxn(M) Trong đó, các hàm số thực P1(M), P2(M), , Pn(M) được xác định một cách duy nhất trên miền U, đảm bảo rằng công thức (1) được thỏa mãn cho mọi điểm M thuộc U.
Theo định nghĩa 1.5.1, dạng vi phân bậc 1 có thể được biểu diễn dưới dạng ω = P1 dx1 + P2 dx2 + + Pn dxn Định nghĩa 1.6.2 chỉ ra rằng nếu U là một tập hợp mở trong không gian Rn và ω : U → (Rn)* là một dạng vi phân bậc 1 trên U, thì hàm số f : U → R thuộc lớp C1 trên U, với điều kiện df = ω trên U, được gọi là nguyên hàm của ω trên U Do đó, ω cần phải liên tục trên U.
Dạng vi phân bậc một ω : U → (R n ) ∗ có nguyên hàm trên U gọi là một dạng vi phân đúng trên U.
Nếu f là một nguyên hàm của ω trên U và λ là một số thực thì d(f +λ) = df = ω tức là f +λ cũng là một nguyên hàm của ω trên U.
Nếu U là một tập hợp mở liên thông trong R^n và f là một nguyên hàm của ω trên U, thì {f + λ : λ ∈ R} là tập hợp tất cả các nguyên hàm của ω trên U Cụ thể, nếu g : U → R là một nguyên hàm bất kỳ của ω trên U, thì g có thể được biểu diễn dưới dạng f + λ với λ là một hằng số thực.
U Khi đó d(g −f) =dg −df = ω −ω = 0 trên U suy ra g - f là không đổi trên U.
Nếu n = 1 và U là một khoảng mở của R, thì một dạng vi phân bậc 1 liên tục ω trên U có thể được biểu diễn dưới dạng ω = gdx, với g là hàm số thực liên tục Hàm số f : U → R là nguyên hàm của g trên U nếu và chỉ nếu f thuộc lớp C1 trên U và df = f′dx = gdx, tức là f′ = g trên U Đối với trường hợp n ≥ 2, nếu U là một tập hợp mở trong không gian Rn và ω = P1dx1 + + Pndxn là một dạng vi phân bậc 1 trên U, thì ω được gọi là dạng vi phân đóng nếu nó thuộc lớp C1 trên U.
Trong không gian R^n, cho một tập hợp mở U và một số nguyên dương p, ánh xạ ω từ U vào tập hợp các dạng p-tuyến tính thay phiên được gọi là dạng vi phân bậc p trên U Đặc biệt, khi p = 1, định nghĩa này tương ứng với dạng vi phân bậc 1 đã biết.
Nếu p > n, thì tất cả các dạng vi phân bậc p trên miền U đều là dạng không Một hàm số xác định trên U được gọi là dạng vi phân bậc 0 trên U Định nghĩa 1.6.5 nêu rõ về dạng tổng quát của dạng vi phân bậc p.
U là một tập hợp mở trong không gian R^n và w là một dạng vi phân bậc p trên U Với mỗi điểm M thuộc U, ω(M) trở thành một dạng p-tuyến tính thay phiên trên R^n Do đó, ω(M) có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ω(M) = X.
({e ∗ 1 , , e ∗ n } là cơ sở đối ngẫu của cơ sở tự nhiên {e 1 , , e n } của không gian R n ) hay ω(M) = X
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm số thực P i 1 i 2 i p (M) xác định trên tập hợp U, với điều kiện rằng P i 1 i 2 i p (M)dx i 1 (M)∧dx i 2 (M)∧ ∧dx i (1) được thỏa mãn cho mọi M thuộc U Điều này chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của các hàm số này trong không gian xác định.
Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vectơ
Chương này cung cấp các định nghĩa, định lý và ứng dụng liên quan đến tích phân đường và tích phân mặt của hàm vectơ, cũng như tích phân của dạng vi phân trong vật lý và kỹ thuật Đồng thời, chương cũng giới thiệu một số ứng dụng trong hình học vi phân, với nội dung được tham khảo từ các tài liệu chuyên ngành.
Tích phân đường của hàm vectơ và ứng dụng
Tích phân một lớp đã quen thuộc với chúng ta, là tích phân của một hàm số trên một đoạn Trong lĩnh vực Vật lý và kỹ thuật, có những bài toán liên quan đến các hàm số và hàm vectơ xác định trên một cung phẳng hoặc trong không gian, yêu cầu tìm giới hạn của các tổng tương tự như tổng tích phân trong tích phân một lớp Điều này dẫn đến sự xuất hiện của các loại tích phân mới, gọi là tích phân đường của một hàm số và của một trường vectơ dọc theo một cung.
Giả sử C là một cung phẳng trơn với biểu diễn tham số x = x(t), y = y(t), t ∈ [a;b] Hàm số f : C → R, với (x,y) 7→ f(x,y), là một hàm số thực liên tục trên C Tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C được ký hiệu là R.
Cfds được cho bởi công thức Z
Người ta còn viết công thức trên dưới dạng
Lấy f(x,y) = 1 với mọi (x,y) ∈ C, ta được
∥−→r ′ (t)∥dt = l trong đó l là độ dài của cung C. Ý nghĩa hình học của tích phân đường
Nếu C là một cung phẳng trơn nằm trong mặt phẳng Oxy và f : C → R là một hàm số liên tục không âm trên C thì R
CFDs là phần diện tích của mặt trụ được giới hạn bởi đường chuẩn C và đường sinh song song với trục Oz Phần này nằm bên dưới đường cong C và bên trên đường cong Γ, với các điểm được xác định bởi {(x,y,f(x,y)) : (x,y) ∈ C}.
Cx 2 (1 + y)ds trong đó C là đường tròn x 2 + y 2 a 2 , a > 0.
Giải Biểu diễn tham số của đường tròn là x = acost, y = asint, t ∈ [0,2π].
= px ′2 (t) +y ′2 (t) = p(−asint) 2 + (acost) 2 = a Do đó Z
Ví dụ 2.1.2 Tính I = R C xyds, trong đó C là cung với biểu diễn tham số x = 3t, y = t 4 , t ∈ [0,1].
24. Định nghĩa 2.1.2 Nếu C 1 ,C 2 , ,C n là một họ hữu hạn cung phẳng trơn, trong đó điểm cuối của cung C i là điểm đầu của cung C i+1 thì tập hợp
C = C 1 ∪C 2 ∪ .∪C n được gọi là một cung trơn từng khúc.
Nếu C là một cung trơn từng khúc vừa nêu và f : C →R là một hàm số liên tục trên C thì ta định nghĩa
Cyds, trong đó C gồm hai cung : cung C 1 của parabol y 2 = x từ điểm (0,0) đến điểm (4,2) và đoạn thẳng C 2 nối điểm (4,2) với điểm (2,0).
Giải Dễ thấy C là một cung trơn từng khúc Biểu diễn tham số của cung
Theo định nghĩa 2.1.2, ta có
Tích phân đường đối với hai biến số thành phần x và y
Giả sử C là một cung phẳng trơn với biểu diễn tham số x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] và f : C → R là một hàm số liên tục trên C Ta giữ nguyên các kí hiệu trong 2.1.1 Trong tổng σ n
X i=1 f (x (τ i ),y (τ i )) ∆s i thay ∆s i bởi ∆x i = x i −x i−1 = x (t i )−x (t i−1 ), ta được tổng σ x n
Theo định lí về số gia hữu hạn, với mỗi i, tồn tại một điểm τi ∈ (t i−1 , ti) sao cho ∆x i = x (t i )−x (t i−1 ) = x ′ (τ i ) ∆t i Do đó σx n
X i=1 f (x (τi),y (τi)) x ′ (τi) ∆ti. dễ dàng chứng minh được rằng d(π)→0lim σ x Z b a f(x(t),y(t))x ′ (t)dt
Giới hạn trên được gọi là tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C đối với biến số x và kí hiệu là
Tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C đối với biến số y được định nghĩa và kí hiệu một cách tương tự :
Trong nhiều trường hợp hai tích phân nêu trên đồng thời xuất hiện Giả sử
C là một cung trơn và P : C → R, Q : C → R là hai hàm số liên tục trên
C Khi đó, người ta thường viết
P(x, y)dx+Q(x, y)dy thay cho tổng R
CP(x, y)dx+R C Q(x, y)dy.Từ (1) và (2) suy ra Z
Cydx − xdy, trong đó C là đoạn thẳng AB từ điểm A(0,1) đến điểm B(1,0).
Giải Biểu diễn tham số của đoạn thẳng C là x = t, y = 1−t, t ∈ [0,1] Áp dụng công thức (3), ta được
Cydx−xdy, trong đó C là nửa đường tròn tâm O, bán kính a nằm bên trên trục Ox từ điểm A(a,0) đến điểm B(−a,0).
Giải Biểu diễn tham số của nửa đường tròn C là x = acost, y = asint, t ∈ [0, π].
Khi t lấy các giá trị tăng từ 0 đến π thì điểm M(x, y) = M( acost, asint) chay trên nửa đường tròn C từ điểm A(a,0) đến điểm B(−a,0) Áp dụng công thức (3), ta được
[asint(−asint)−acost(acost)]dt
Tích phân đường của một hàm số trong không gian được định nghĩa tương tự như tích phân đường trong mặt phẳng Định nghĩa này giúp hiểu rõ cách tính toán tích phân đường dọc theo một cung trong không gian ba chiều.
Giả sử C là một cung trơn được biểu diễn bằng tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t) với t ∈ [a, b] Hàm số f : C → R, (x,y,z) 7→ f(x,y,z) là một hàm liên tục trên cung C Từ đó, tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C được ký hiệu là
C fds được cho bởi công thức
C f(x,y,z)ds Z b a f(x(t),y(t),z(t))∥−→r ′ (t)∥dt (1) trong đó ∥−→r ′ (t)∥ = px ′2 (t) + y ′2 (t) + z ′2 (t) Người ta cũng viết công thức
C f(⃗r(t))∥⃗r ′ (t)∥dt. Định nghĩa 2.1.4 Lấy f(x,y,z) = 1 với mọi (x,y,z) ∈ C, ta được R
Cds = R a b ||⃗r ′ (t)∥dt= l, trong đó l là độ dài của cung C Định nghĩa 2.1.5 cho biết rằng các tích phân đường của hàm số dọc theo cung C đối với các biến số thành phần x, y, z được định nghĩa tương tự như trong trường hợp C là một cung phẳng Nếu C là một cung trơn với biểu diễn tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a,b] và f : C → R là một hàm số liên tục trên C, thì các tích phân đường có thể được tính toán theo cách tương tự.
Tương tự như trong trường hợp cung phẳng, nếu cả ba tích phân đường
R(x, y, z)dz đều tồn tại thì ta dùng kí hiệu
P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz để chỉ tổng
Rdz Nếu P,Q,R là ba hàm số liên tục trên cung trơn C với biểu diễn tham số x= x(t), y = y(t), z = z(t), t∈ [a, b] thì
C x 2 +y 2 + z 2 ds, trong đó C là cung của đường xoắn ốc x = cost, y = sint, z = 2t, t∈ [0,2π].
Giải Phương trình vectơ của cung C là
5. Áp dụng công thức (1), ta được
Czdx+xdy +ydz, trong đó C gồm cung C 1 với biểu diễn tham số x = t,y = t 2 ,z = t 3 , 0≤ t ≤ 1 và đoạn thẳng C2 từ điểm (1,1,1) đến điểm (0,1,0).
C là một cung trơn từng khúc bao gồm hai cung trơn C1 và C2, trong đó điểm kết thúc của C1 là điểm bắt đầu của C2 Tích phân đường của một hàm số theo một cung trơn từng khúc trong không gian được tính tương tự như trong trường hợp của cung phẳng trơn từng khúc Áp dụng công thức (2), ta có thể tính toán một cách chính xác.
60. Biểu diễn tham số của đoạn thẳng C 2 là x = 1−t,y = 1,z = 1−t,t ∈ [0,1] Áp dụng công thức (2), ta được
60. Định nghĩa 2.1.6 (Tích phân đường của một trường vectơ)
Giả sử C là một cung trơn với phương trình vectơ
F⃗ : (x, y, z) 7→ P(x, y, z)⃗i+Q(x, y, z)⃗j +R(x, y, z)⃗k là một trường vectơ liên tục trên C Tích phân đường của trường vectơ −→
F dọc theo cung C, kí hiệu là R
→F ã −→r , được cho bởi cụng thức Z
Trong trường hợp C là một cung phẳng trơn với phương trình vectơ −→r (t) x(t)−→ i + y(t)−→ j ,t ∈ [a,b] và −→
F = P−→ i + Q−→ j là một trường vectơ liên tục trên C, ta có
Ví dụ 2.1.8 Tính tích phân đường của trường vectơ
F⃗(x, y, z) =−zy⃗i+zx⃗j +xy⃗k dọc theo cung C của đường xoắn ốc
F⃗ ãd⃗r Z 2π 0 tsin 2 t+tcos 2 t+ sintcost dt
CF⃗ ãd⃗r, trong đú F⃗(x, y) = 2xy⃗i+ x 2 +y 2 ⃗j và C là cung của parabol y 2 = x từ điểm (0,0) đến điểm (1,−1).
Cung C của parabol nằm dưới trục hoành với phương trình y = −√x Bằng cách đặt x = t² và y = −t, với t thuộc đoạn [0,1], ta có phương trình vectơ của cung C là −→r(t) = t²−→i − t−→j, với t thuộc [0,1] Cung C bắt đầu từ điểm (0,0) và kết thúc tại điểm (1,−1).
Tính chất của tích phân đường a) Nếu C là một cung định hướng trơn từng khúc, −→
G là hai trường vectơ liên tục trên C và λ là một hằng số thì
C(λ ⃗F)ãd⃗r = λR C F⃗ ãd⃗r b) Nếu đổi hướng của cung thì tích phân đường của một trường vectơ đổi dấu Nói một cách khác, nếu −→
F là một trường vectơ liên tục trên một cung trơn từng khúc định hướng C thì
Để chứng minh định nghĩa tích phân đường của một trường vectơ, ta chỉ cần xem xét trường hợp C là một cung trơn Giả sử phương trình vectơ của cung C được xác định, từ đó có thể suy ra các tính chất và định nghĩa liên quan đến tích phân đường trong không gian vectơ.
Khi đó, phương trình vectơ của cung −C là
R ′ (u)du (1) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được
F⃗(⃗r(a+bưu))⃗r ′ (a+bưu)du Đổi biến số t = a+bưu, ta có dt = ưdu và
Quan hệ giữa tích phân đường của một trường vectơ và tích phân của một hàm số
Giả sử C là một cung trơn với phương trình vectơ
F = P−→ i + Q˜j + R−→ k là một trường vectơ liên tục trên C.
T (t) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của cung C tại điểm
Theo định nghĩa tích phân đường của một hàm số, vế phải của (3) là
C(F⃗ ãT⃗)ds, trong đú (F⃗ ãT⃗)(M) =F⃗(⃗r(t))ãT⃗(t)
Vậy tích phân đường của một trường vectơ −→
F dọc theo cung C bằng tích phõn đường của hàm số F⃗ ã T⃗ dọc theo cung C, trong đú −→
T là hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị trên C. b) Ta giữ nguyên các giả thiết và kí hiệu trong a) Khi đó
= R a b P(−→r (t))x ′ (t) + Q(−→r (t))y ′ (t) + R −→r(t)z ′ (t) dt (4) vế phải của (4) bằng R
CPdx + Qdy + Rdz Do đó Z
Vế phải của công thức là tích phân của các hàm số P, Q, R theo các biến x, y, z Nếu P, R, Q là những hàm số liên tục trên cung trơn C, thì điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng các định lý tích phân trong toán học.
F = P−→ i + Q−→ j + R−→ k Định lý cơ bản của tích phân đường (Định lý 2.1.1) khẳng định rằng, với C là một cung trơn từng khúc được mô tả bằng phương trình vectơ −→r (t) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k trong khoảng t ∈ [a,b], và hàm số f : Ω → R thuộc lớp C 1 trên một tập mở Ω trong R 3 chứa C, tức là f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω, thì tích phân đường có thể được tính toán theo các điều kiện đã nêu.
Chứng minh Chỉ cần chứng minh cho trường hợp C là một cung trơn Theo định nghĩa của tích phân đường, ta có
Do đó, từ (2) suy ra
Nếu C là một cung phẳng trơn từng khúc thì
Định lý 2.1.2 khẳng định rằng, nếu D là một miền đóng bị chặn trong mặt phẳng với biên là đường cong kín đơn trơn từng khúc C theo hướng dương, và P cùng Q là hai hàm số thuộc lớp C1 trên một tập hợp mở U trong mặt phẳng chứa D, thì ta có thể áp dụng công thức ∇f ãd⃗r = f(⃗r(b))−f(⃗r(a)) = f(x(b), y(b))−f(x(a), y(a)).
∂y(x,y) dxdyCông thức trên được gọi là công thức Grin.
C−x 2 ydx+x 3 dy, trong đó C là đường tròn x 2 +y 2 = 4 định hướng dương.
Giải C là biên của hình tròn D = (x,y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4 Áp dụng công thức Grin, ta có
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = r sinφ, ta được
Tính tích phân I = ∫C (R C y 3 dx − x 3 dy), trong đó C là biên của nửa hình vành khăn D nằm phía trên trục hoành giữa hai đường tròn x² + y² = 1 và x² + y² = 4 Đường cong C được định hướng dương, với trục Oy chia D thành hai miền đơn giản.
Giải Áp dụng công thức Grin, ta được
D x 2 +y 2 dxdy Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = rsinφ, ta được
Định lý Grin (Định lý 2.1.3) khẳng định rằng, cho miền đóng D bị chặn trong mặt phẳng với biên ∂D là một tập hợp hữu hạn các đường cong kín đơn, trơn từng khúc không giao nhau và được định hướng dương Nếu P và Q là hai hàm số thuộc lớp C1 trên một tập hợp mở bao gồm D, thì các điều kiện liên quan đến P và Q sẽ được xác lập trong bối cảnh này.
Chứng minh Áp dụng công thức Grin trong định lý 2.1.2, ta được
Cộng hai đẳng thức trên, ta được
Vì các tích phân đường dọc theo hai đoạn thẳng KL và MN được lấy theo hai hướng đối nhau nên chúng triệt tiêu lẫn nhau và ta có
Cho D là một miền đóng bị chặn với biên là đường cong kín C đơn, trơn từng khúc và định hướng dương trong mặt phẳng Oxy Cần chứng minh rằng nếu đường cong C không đi qua điểm gốc O, thì có những tính chất đặc biệt liên quan đến miền D.
−ydx + xdy x 2 + y 2 ( 0 nếu điểm O nằm 2π nếu O ∈ D
(x 2 + y 2 ) 2 = 0. với mọi(x,y) ̸= (0,0) Nếu điểm O(0,0) nằm ngoài D thì áp dụng công thức Grin, ta được
−y x 2 +y 2 dxdy = 0. Nếu điểm gốc O là một điểm trong của D thì với ε > 0 đủ nhỏ, đường tròn
Cε tâm O, bán kính ε nằm trong D và không có điểm chung với C.
Tích phân mặt của hàm vectơ và ứng dụng
Khi giải quyết bài toán vật lý, như xác định khối lượng của một mặt S dựa vào mật độ khối lượng diện tích, hoặc tìm thông lượng của dòng chất lỏng qua mặt S với thông tin về trường vận tốc, ta cần áp dụng định nghĩa về tích phân mặt của một hàm số.
Giả sử S là một mặt đơn trơn với phương trình vectơ
→r(u, v) =x(u, v)⃗i+y(u, v)⃗j +z(u, v)⃗k,(u, v) ∈ D trong đó D là một miền đóng đo được trong R 2 và f : S → R,(x,y,z) 7→ f(x,y,z) là một hàm số liên tục trên S Tích phân mặt của hàm số f trên mặt S được kí hiệu là
S f dS và được cho bởi công thức
Nhận xét 2.2.1 Trong công thức (1) của 2.2.1, nếu f(x,y,z) = 1 với mọi
Trường hơp đặc biêtGiả sửS là đồ thị của hàm sốz = g(x, y)thuộc lớp
C 1 trên một miền đóng đo được D trongR 2 và f : S →R,(x,y,z) 7→f(x,y,z) là một hàm số liên tục trênS Ta biết rằng khi đó S là một mặt đơn trơn với phương trình vectơ
S(1 +z)dS, trong đó S là nửa của mặt cầu có tâm là điểm gốc O, bán kính a nằm bên trên mặt phẳng Oxy.
Giải Phương trình vectơ của nửa mặt cầu đã cho là
→r (θ, φ) =asinθcosφ−→ i +asinθsinφ−→ j +acosθ−→ k ,(θ, φ) ∈ D = h0, π
∂φ = a 2 sin 2 θcosφ⃗i+ a 2 sin 2 θsinφ⃗j+a 2 sinθcosθ⃗k
= a 2 sinθ Áp dụng công thức (1) trong định nghĩa của tích phân mặt, ta có
Ví dụ 2.2.2 Cho mặt S với phương trình z 2 = x 2 + y 2 ,0 ≤ z ≤ 1 và hàm số f : S →R xác định bởi f(x,y,z) = 2x 2 y 2 z
Giải Ta viết một phương trình vectơ của mặt S : Ta có
2. Áp dụng công thức (1) trong định nghĩa, ta có
0 dS, trong đó S là phần của mặt nón tròn xoay z px 2 + y 2 nằm giữa hai mặt trụ x 2 + y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4
Giải Gọi D là hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn x 2 + y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4 trong mặt phẳng Oxy Áp dụng công thức (2) , ta có
Thay z x ′ = x px 2 +y 2 và z y ′ = y px 2 + y 2 vào đẳng thức trên, ta được
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = rsinφ, ta có
S(x + y + z)dS, trong đó S là phần của mặt phẳng x + y = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất và giới hạn bởi mặt phẳng z = 1.
Giải Hình chiếu của mặt S trên mặt phẳng Ozx là hình vuông
Mặt S là đồ thị của hàm số y = g(z,x) = 1−x,(z,x) ∈ D. Áp dụng công thức (2), ta được
2 2 ỨNG DỤNG VẬT LÍ CỦA TÍCH PHÂN MẶT
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá khối lượng, mômen quán tính và khối tâm của một mặt Định nghĩa khối lượng của một mặt được đưa ra như sau: giả sử S là một mặt đơn trơn với diện tích |S| và ρ(M) là mật độ khối lượng diện tích của S tại một điểm cụ thể.
M Nếu hàm số ρ : S→ R liên tục thì số thực m Z Z
D ρ(M)dS được gọi là khối lượng của mặt S Nếu phương trình vectơ của mặt S là
(u,v) ∈ D, trong đó D là một miền đóng đo được trong R 2 thì khối lượng của mặt S là m Z Z
Chú ý Một bản phẳng (trong R 2 ) có thể xem là một mặt trongR 3 chứa trong R 2 × {0}.
Ví dụ 2.2.5 Tìm khối lượng của mặt S, phần của mặt nón z = px 2 + y 2 , 1≤ z ≤2 biết rằng mật độ khối lượng diện tích của mặt S tại điểm (x,y,z) là ρ(x, y, z) = x 2
Mặt S được định nghĩa là đồ thị của hàm số z = px² + y², với (x,y) thuộc miền D, nơi D là hình vành khăn trong mặt phẳng Oxy, được giới hạn bởi hai đường tròn x² + y² = 1 và x² + y² = 4 Khối lượng của mặt S được ký hiệu là m.
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = rsinφ, ta được m = √
Mômen quán tính của một mặt đơn trơn S với diện tích |S| và mật độ khối lượng diện tích ρ(M) tại điểm M được xác định thông qua hàm số liên tục ρ : S → R Khi E là một điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng, mômen quán tính của mặt S sẽ phản ánh cách mà khối lượng phân bố xung quanh E ảnh hưởng đến khả năng quay của mặt này.
S đối với E được kí hiệu là I E và được cho bởi công thức
S ρ(M)(d(M,E)) 2 dS trong đó d(M,E) là khoảng cách từ điểm M dến E.
Như vậy a) Mômen quán tính của mặt S đối với gốc toạ độ O là
S x 2 +y 2 +z 2 ρ(x, y, z)dS. b) Mômen quán tính của mặt S đối với trục Ox là
S y 2 +z 2 ρ(x, y, z)dS c) Mômen quán tính của mặt S đối với mặt phẳng Oxy là
Để tìm mômen quán tính của chỏm cầu đồng chất được xác định bởi phương trình S x² + y² + z² = R² với z ≥ a (0 < a < R), chúng ta cần xem xét hai trường hợp: a) tính toán mômen quán tính đối với gốc tọa độ O và b) tính toán mômen quán tính đối với trục Oz, trong đó mật độ khối lượng diện tích của mặt S được cho là ρ, với ρ là một hằng số.
Giải Chỏm cầu S là đồ thị của hàm số z = pR 2 −x 2 −y 2 , (x, y) ∈ D trong đó D là hình tròn x 2 + y 2 ≤ R 2 −a 2 trong mặt phẳng Oxy. a) Mômen quán tính của chỏm cầu đối với điểm O là
Ta có z x ′ = −x pR 2 −x 2 −y 2 , z y ′ = −y pR 2 −x 2 −y 2 và x 2 +y 2 +z 2 = R 2
D dxdy pR 2 −x 2 −y 2 Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = rcosφ,y = rsinφ, ta được
0 = 2πρR 3 (R−a) = 2πρR 3 h trong đó h = R−a là chiều cao của chỏm cầu. b) Mômen quán tính của chỏm cầu đối với trục Oz là
D x 2 + y 2 R pR 2 −x 2 −y 2 dxdy Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = rcosφ,y = r sinφ, ta được
0 r 2 dpR 2 −r 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được
Khối tâm của một mặt được định nghĩa như sau: cho mặt đơn trơn S có diện tích |S| và hàm mật độ khối lượng diện tích ρ : S → R liên tục trên S Điểm G (xG,yG,zG) có tọa độ xG = 1 m.
S zρ(x, y, z)dS trong đóm = RR S ρ(M)dS là khối lượng của mặt S, được gọi là khối tâm của mặt S.
Có thể viết gọn ba đẳng thức trên trong một đẳng thức vectơ
−−→OMp(M)dS Nếu mặt S là đồng chất thì x G = 1
Ví dụ 2.2.7 Xác định khối tâm của chỏm cầu đồng chất S x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,z ≥ a,0 < a< R
Để xác định tọa độ khối tâm G của chỏm cầu, chúng ta cần xem xét mặt S, được mô tả bởi hàm số z = pR² - x² - y², trong đó (x,y) thuộc miền D, với D là hình tròn x² + y² ≤ R² - a² trong mặt phẳng Oxy Từ đó, có thể dễ dàng nhận thấy rằng tọa độ x của khối tâm G là x_G = 1.
Ta biết rằng |S| = 2πR(R−a) Do đó z G = R
