Hướng dẫn giải đề kiểm tra định kỳ số 3 - 2013 môn toán thầy phương

đề 01:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

1

x y







Giải:

Hệ

3

x y x y xy

1

x y

x y xy



Xét hệ :

3 (2)

x y

x y xy







Từ (1) suy ra: 6 6

x ≤ y ≤

3

x y xy

Dấu ựẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x =1; y = ⇒1 xy = ⇒ = = ∨ = = − 1 x y 1 x y 1

Thay vào phương trình (1) thấy không thỏa mãn

đáp số: Hệ ựã cho có 2 nghiệm là:

Bài 2: Cho hệ phương trình:

x xy y





Tìm m ựể hệ có nghiệm

Giải:

HƯỚNG DẪN GIẢI

đỀ KIỂM TRA đỊNH KỲ SỐ 03

Ớ Cho x = ta ựược: 0

2

2

11

y

y m





= +



3

m

m

+

= ⇔ = thì (I) có ắt nhất hai nghiệm là (0;ổ 11)

Vậy nhận m = 16

TH 2: Nếu m ≠16 thì (I) không có nghiệm (0; y) Ta tìm m sao cho (I) có nghiệm (x; y) với x ≠ 0

Chia cả hai vế của các phương trình của (I) cho x , ta ựược: 2

2

2

2

2

11

3 2

17



+

 +  +   =



(II)

đặt t y

x

= , M = m +17 ≠ 33

Hệ (II)

2

2

2

11

11

x

x



2

2

2

11

t t

x



⇔ 

(I) có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm:

2

M m m

Kết hợp với m ≠16 ta ựược:

m∈5 11 3;5 11 3 \ 16− +  { }

đáp số: Tập các giá trị m cần tìm là: 5 11 3;5 11 3 − + 

Bài 3:

a) Chứng minh rằng với mọi t ∈ −[ 1;1], ta có:

x

1+ +t 1− ≥ +t 1 1−t ≥ − 2 t

b) Giải phương trình:

1+ 2x−x + 1− 2x−x =2(x−1) (2x −4x+ 1)

Giải:

a) đpcm⇔ + + − +1 t 1 t 2 1−t2 ≥ + − +1 1 t2 2 1−t2

2

⇔ ≥ − (hiển nhiên)

đpcm ⇔ 1−t2 ≥ − ⇒ −1 t2 (1 t2)12≥ −(1 t2 1) (ựúng vì 0 1≤ − ≤ ∀ ∈ −t2 1 t [ 1;1])

b) điều kiện ựể 2x−x2 có nghĩa: 2x−x2 ≥ 0

Gọi x là một nghiệm của phương trình:

2(x−1) (2x −4x+ =1) 1+ 2x−x + 1− 2x−x

Áp dụng kết quả câu trên, ta có:

1+ 2x−x + 1− 2x−x ≥ −2 2x−x = −2 2x+x

đặt t=(x−1)2

2

( 1)(4 2 1) 0

Kết hợp với ựiều kiện 2x−x2≥ ta ựược 0 2x−x2= ⇔ = ∨ = 0 x 0 x 2

Thử lại thấy cả 2 giá trị ựó ựều là nghiệm của phương trình ựã cho

đáp số: x= ∨ = 0 x 2

Bài 4: Giải bất phương trình:

x2−3x+ +2 x2−4x+ ≥3 2 x2−5x+ (1) 4

Giải:

Ớ điều kiện:

2

2

2

x x



Vậy (1) tương ựương với:

≤ ∨ ≥







1

1

4

x

x

x

 <









⇔ =

 ≥







1

4

x

x

x

 <









⇔ =

 ≥







1

(2)

1

4

(3)

x

x

x

 <









⇔ =

 ≥







Ớ Khi x < 1

2

2

(Khi x < 1 ta có 11 -2x > 0)

4( 5 6) (11 2 )

97

24

x

⇔ ≥ không tỏa mãn x < 1

Ớ Khi x ≥ 4

11 11

2 2

x x



11

3

97 2

24

x x

x

 >



 ≥



Kết hợp với x ≥ ta ựược: 4 3 4

4

x

x x

≥



⇔ ≥

 ≥



Ớ đáp số: x= ∨ ≥ 1 x 4

Bài 5: Giải hệ:

y x

x y











 Giải:

• ðiều kiện: , 1

2

x y ≥ Từ hệ suy ra: 1 2 1 1 2 1 (1)

x+ − = y+ −

• Nếu x > y thì 1 1

x < y và 1 1

x< suy ra VT(1) < VP(1) y

• Nếu x < y tương tự cũng không thỏa mãn

• Nếu x = y Thế vào một phương trình của hệ ñược: 1 2 1 2 x 1

x

Hệ có nghiệm: (x; y) = (1; 1)

Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

ðề 02:

Bài 1: Tính tích phân:

0

sin

16 9 cos

x x

x

π

=

+

∫

Giải:

ðặt: x= − ⇒π t dx= − dt

ðổi cận: 0

0

π π

= → =





0

0

16 9 cos 16 9 cos

I

π π

1

2

π

0

sin

16 9 cos

xdx J

x

π

=

+

∫

ðặt cosx= ⇒u sinxdx= −du

1

x π u

= → =





2 2

1

arctan

1

3

J

u

u

−

−

+   

1

arctan

arctan

I π J π

=

b)

4

2

0

sin

4 sin 2 2(1 sin cos )

x dx I

=

∫

Giải:

4

x x t dt x x dx x π dx

1 sin 2+ x=t ⇒sin 2x= − t 1

ðổi cận:

2 4

x π t

= → =









Vậy

I

t

=

+

−

+

Bài 2: Tính tích phân sau:

0

sin

x

π

=∫

Giải:

Xét tích phân: 2 2

0

cos

x

π

=∫

Ta có:

0

2

0

0

cos 2

x

I J e dx e

π

π

π

π









 − =





∫

∫

0

cos 2

x

π

=∫

ðặt

2

1

2

x

u e

⇒

\ 1

0 2

π

Tính: =∫

π

0

2

2

sin xdx

e

ðặt:

2

1

2

x

u e

1

0 2

1

π

Từ (1) và (2) ta có: 1( 2 )

1 2

A= − −e π − A

1

1 4

A e π

Suy ra: 1( 2 )

1 4

I− =J e π −

Vậy cuối cùng ta có:

2

2

2

1

1

1 2

1 4

I J e

I J e

π

π π





Vậy 1( 2 )

1 8

J = e π −

b)

1

2 0

4

x

−

∫

Giải:

2

2

4

x

−

Tính:

1

1

0

I =∫x e = ∫xde = x e  −∫e dx

1

( 1) 0

Tính:

1

0 4

xdx

x

−

Vậy:

Bài 3: Tính các tích phân sau:

a)

2

0

sin 2

3 4 sin cos 2

xdx I

π

=

∫

Giải:

Ta có: sin2 x = 2sin x cos x

3 + 4sinx- cos2x=3 + 4sinx-1 + 2sin2x= 2sin2x + 4sinx + 2

Vậy

I

ðặt: sinx= ⇒t dt=cosxdx

ðổi cận:

1 2

x π t

= → =









Vậy

I

= ln 11 1 1 ln 2 1

t

t

+

b)

4

6

0

tan

cos 2

xdx

I

x

π

=∫

Giải:

Áp dụng công thức:

2

2

1 tan cos 2

1 tan

x x

x

−

= +

6

2 0

tan (1 tan )

1 tan

x

π

+

=

−

∫

cos

dx

x

ðổi cận:

1

x π t

= → =





 = → =



Suy ra:

t dt

0

t

t

+

Bài 4: Tính tích phân sau:

14 3 3 13

2 3

dx I

x x

−

=

∫ Giải:

ðặt:

3

2

ðổi cận:

= → = −









Xét:

3

3

2 3

3

6

2

( 1)( 1)

1

t

t

x x

t

−

( )

1

t

+

Vậy

I

+

t+ − t + +t − J

Tính

3

3

2

dt J

t t

=

+ +

∫

Xét:

2 2

+ + = + + + = +  +  

2

u

ðổi cận:

0

6

arctan

π

 = → =





4

t + + =t u+

4 3 3

arctan

6 3

2

2 6

4 3 3

arctan

6 3

6

(1 tan )

3

4

4 3 3 arctan

arctan

6

u

π

π

π π

+

+

+ +

∫

∫

t+ − t + +t − J

I = ln 3 1ln1 3 3 arctan4 3 3

π

Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn