tìm hiểu hệ hình thức lagrange và áp dụng giải toán cơ học

Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton mô tả chuyển động của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực, khối lượng và gia tốc.. Từ đó, phương pháp giải quyết

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới một tầm cao mới Trong những bước tiến của công nghệ, vật lý học nói chung và cơ học nói riêng càng thể hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng Việc nghiên cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và tìm phương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn

đề được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm.

Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton

mô tả chuyển động của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực, khối lượng và gia tốc Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổ điển – Cơ học Newton,

2Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

đã cho phép xây dựng một hệ thống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xác định được sự biến đổi trạng thái theo thời gian Nói cách khác, hệ hình thức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ

hệ, gọi là phương trình Lagrange Từ đó, phương pháp giải quyết một phạm vi bài toán cơ học khá rộng dựa trên nguyên lý Hamilton với phương trình chuyển động Lagrange được ghi nhận

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦUVới mục đích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu liên quan đến chuyên ngành của mình Và được sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Th.s Trần Ngọc Bích cùng các tài liệu mà

cô cung cấp mục đích là để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức Lagrange cũng như việc áp dụng vào giải các bài toán cơ học, chúng tôi chọn vấn đề “Tìm hiểu hệ hình thức Lagrange và áp dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tài này.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu thiết lập phương trình chuyển động Lagrange từ nguyên lý Hamilton và vận dụng vào việc giải một số bài tập cơ học

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

MỞ ĐẦU

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích, thông qua các khái niệm đi đến mối quan hệ giữa nguyên lý Hamiton và hàm Lagrange.

- Xây dựng phương trình Lagrange cho các cơ hệ vật

lý Đồng thời ứng dụng vào việc giải các bài toán vật lý

cụ thể.

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết: phân tích, đánh giá, tổng hợp các tài liệu tham khảo liên quan, sử dụng công cụ toán học cao cấp, áp dụng phương pháp của hệ hình thức Lagrange để gải quyết bài toán chuyển động của một số cơ hệ vật lý.

5Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính vectơ hay3N tọa độ Dexcartes

• Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá

vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do (s) của nó

Số bậc tự do của cơ hệ tự do - cơ hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm của hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện nào là 3N

2 Liên kết Phương trình liên kết

Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ vật lý trong không gian Những điều kiện này không phụ thuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động

Phương trình liên kết là phương trình biểu diễn mối quan hệ giũa các thông số trong cơ hệ Số phương trình liên kết bằng

số liên kết (k)

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

Sự có mặt của các liên kết làm cho bài toán chuyển động của

cơ hệ trở nên phức tạp hơn Vấn đề đặt ra là làm thế nào để khử được các liên kết Nếu hạn chế chỉ xét các hệ hôlônôm thì vấn đề trên được giải quyết bằng khái niệm tọa độ suy rộng Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm Mi (i = 1, …N ) chịu k liên kết hôlônôm được biểu diên bằng k phương trình: f r rα( , , , ,ur ur1 2 r r ruur r r rN 1 2× ×, r t×N, ) 0 =

( α = 1, )k

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

• Nếu k phương trình liên kết này là độc lập thì số

bậc tự do của cơ hệ là: s = 3N – k.

• Tiếp theo, giả sử ta tìm được s thông số q1, q2,…,

qs liên hệ với các bán kính vectơ bởi các phương trình sau:

• Các thông số độc lập gọi là tọa độ suy rộng của cơ

hệ chịu k liên kết Số tọa độ suy rộng bằng số bậc

• II Nguyên lý Hamilton Hàm Lagrange

• 1 Nguyên lý Hamilton

• Các nguyên lý đối xứng hình học gồm:

• - Nguyên lý về tính đồng nhất của không gian

• - Nguyên lý về tính đồng nhất của thời gian

• - Nguyên lý về tính đẳng hướng của không gian.

• - Nguyên lý tương đối

10Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

lý tác dụng dừng Hamilton hay nguyên lý biến phân

Hamilton, có nội dung như sau:

Mỗi cơ hệ hôlônôm đều có thể được đặc trưng bởi một một

phương trình này gọi là phương trình Eurle – Lagrange (phương trình Lagrange), dùng để xác định hàm y(x) sao cho

phiếm hàm I có giá trị dừng.

Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ

s phương trình Lagrange sau:

trong đó các giá trị được giả thiết bằng không

2 Hàm Lagrange

Theo nguyên lý biến phân Haminlton, hàm Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ Việc tìm dạng của nó, thông thường dùng các nguyên lý đối xứng hình học, các tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối với các cơ hệ vật lý cụ thể Trước hết ta trình bày hai tính chất của hàm Lagrange:

- Hàm Lagrange không được xác định duy nhất, mà có thể sai khác nhau một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một hàm tùy ý của q và t.

2.1 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm

không tương tác với nhau.

2.2 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm

tương tác với nhau

Trong đó: là thế năng tương tác giữa các chất điểm trong hệ.

2

1

1 2

N

i i i

=

2 1

BÀI TẬP

Bài tập 1 Xác định phương trình quỹ đạo của một vật (coi là

chất điểm) có khối lượng m bị ném xiên từ độ cao h so với mặt đất với vận tốc đầu hợp với phương ngang một góc

ngang, Oy hướng thẳng đứng lên trên Hệ có hai bậc tự do, chọn các tọa độ theo hai phương x, y làm tọa độ suy rộng Mốc thế năng tại mặt đất Khi đó hàm Lagrange:

0

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

16Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

1 2

∂ ∂ & && ∂ ∂ & &&

Giải các phương trình vi phân này, sử dụng các điều kiện đầu: Khi t=0:

17Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

Khử t trong các phương trình chuyển động, ta được phương trình quỹ đạo của chất điểm như sau:

Đây chính là phương trình quỹ đạo cần tìm của chất điểm

2

2 2 0

18Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

Bài tập 2

Một vật P có khối lượng m1 nối với một ròng rọc B có khối lượng m2 có bán kính r, được đặt lên trên một chiếc nêm có khối lượng m3 (như hình vẽ) Vật B chuyển động kéo ròng rọc lăn trên mặt phẳng nghiêng của nêm Sử dụng cơ học gải tích, hãy xác định quãng đường đi của vật P trong hai trường hợp chiếc nêm đứng yên và chiếc nêm chuyển động Biết vận tốc ban đầu bằng 0, vị trí ban đầu của vật là x0

19Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

Lời giải

a) Khi chiếc nêm đứng yên

Chiếc nêm đứng yên hệ chỉ có 1 bậc tự do, gọi x là quãng

đường đi của vật P, ở đây tọa độ suy rộng của hệ cũng chính là

q1 = x Hàm lagrange của hệ là:

L = T –U với T là động năng, U là thế năng của hệ

Ta có:

Sử dụng phương trình Lgrange và giải ta nhận được:

Với điều kiện ban đầu của bài toán nên ta

có quãng đường vật đi được trong thời gan t là:

b) Khi chiếc nêm chuyển động:

Hệ sẽ có hai bậc tự do, gọi s là quãng đường đi của chiếc nêm,

đồng thời s cũng là tọa độ suy rông thứ hai q 2 = s

Vậy ta đã tính được quãng đường đi của vật trong hai

• KẾT LUẬN

• Sau thời gian thực hiện đề tài, chúng tôi thấy rõ hiệu

quả mà nó đem lại Trước một bài toán cơ học, phương pháp giải bằng phương trình Lagrange cho chúng ta cái nhìn tổng quát, lôgic, biết phân tích hiện tượng vật lý xảy ra trong cơ hệ và dùng giải tích toán học giải quyết bài toán, từ đó xác định một cách đơn giản giá trị cần tìm Nói cách khác, chúng tôi đã tích lũy được cách tư duy theo phương pháp Lagrange khi giải toán cơ học Điều này đặc biệt cần thiết đối với sinh viên ngành sư phạm Toán – Lý như chúng tôi.

22Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

Quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã cố gắng tóm tắt đầy đủ, sâu sắc các khái niệm, kiến thức liên quan để trình bày tổng quan về hệ hình thức Lagrange, đồng thời áp dụng vào việc giải quyết một số bài

toán tiêu biểu một cách cụ thể, rõ ràng Chúng tôi nhận thấy,

phương pháp giải toán mà đề tài đề cập tỏ ra hiệu quả đối với nhiều

cơ hệ vật lý, đặc biệt là các cơ hệ phức tạp.

Chúng tôi đã nỗ lực triển khai đề tài và trình bày kết quả, nhưng thời gian có hạn nên chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót.

Trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận tình, sâu sắc của giảng viên hướng dẫn cùng những ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô giáo và các bạn sinh viên Chúng tôi rất mong tiếp tục nhận được sự góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn.

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trần Ngọc Bích, “Bài Giảng Cơ học lý thuyết”, Trường

Đại học Quảng Bình, 2010

Đào Huy Bích, Phạm Huyễn, Phạm Hữu Vĩnh, Giáo trình

cơ học lý thuyết, Tủ sách Đại học Tổng hợp, 1997.

Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc

Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật lý lý thuyết tập I, Nhà xuất bản Giáo dục 1983.

Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê

Trọng Tường, Bài tập vật lý ly thuyết tập I, Nhà xuất bản

Giáo dục 2009

Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lý thuyết tương đối, Nhà

xuất bản Đại học Sư phạm, 2005

[ ]1

25Nhóm SVTH: Tạ Minh, Thanh Đào Văn Thoại