Tài liệu BÀI GIẢNG XỬ LÝ SỐ TÍN - Chương 7 và 8 potx

7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFTBIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC... 7.1 KHÁI NiỆM DFTXω có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính: ► Tần số ω liên tục ► Độ d

7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

(BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC)

CNDT_DTTT 3

7.1 KHÁI NiỆM DFT

X(ω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:

► Tần số ω liên tục

► Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞

Biến đổi Fourier dãy x(n): j n

⇒ Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần

số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT

(Discrete Fourier Transform)

7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFT

► DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:

0

1 0

: )

( )

e n

x k

X

N

n

kn N

j π

còn lại

r N

r N

j mN

r N

j mN

2 )

0

1 0

: )

( )

W n

x k

X

N

n

kn N

► X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:

) (

) ( )

e k X k

)]

( arg[

) ( k = X k

0

1 0

: )

(

1 )

(

1 0

2

n

N n

e k

X N

n x

N k

kn N

: )

(

1 )

(

1 0

: )

( )

W k

X N

n x

N k

W n x k

X

N

k

kn N

N

n

kn N

► Cặp biến đổi Fourier rời rạc:

Ví dụ 7.1: Tìm DFT của dãy: ( ) {1 , 2 , 3 , 4}

↑

=

n x

(

n

kn

W n x k

X

j W

W j

e

4

2 4 4

2 1

π

10 )

3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

x x

W n x

X

n

2 2

) 3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

W x

W x

x W

n x

X

n

n

2 2

) 3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

DFT N

N a x n a X k a X k n

kn N

DFT

n n

n

0 1 2 3

4 3 2 1

n

x(n+3)

-3 -2 -1 0

4 3 2 1

x(n+1) 4

n

0 1 2 3

4 3 2 1

{ 3 , 4 , 1 , 2 }

) 2

( 4

↑

= +

n x

DFT N

N

n x

N

N x n x n x n n

x1( ) ⊗ 2( ) = 2( ) ⊗ 1( )

) ( )

(

~ )

Ví dụ 7.3: Tìm chập vòng 2 dãy 2 ( ) {1 , 2 , 3 , 4}

↑

=

n x

{ }2 , 3 , 4 )

(

1 n = ↑

x

3 0

: ) (

) ( )

( )

( )

0

4 2

4 1

4 2

4 1

4

=

n m

n x m

x n

x n

x n

x

m

4 } ,

max{

4 ,

ƒ Chọn độ dài N:

m -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 3 2 1

) (

4 3 2 1

m

0 1 2 3

4 3 2 1

) ( )

(

~ )

) ( )

(

~ )

2 m x m rect n

x − = −

ƒ Xác định x 2 (n-m) là dịch vòng của x 2 (-m) đi n đơn vị

n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái

x 2(1-m)4

m

0 1 2 3

4 3 2 1

► Tìm biến đổi nghịch IDFT 10 điểm của

X(k) = 1 + 2δ(k) với 0 ≤ k ≤ 9

3 0

: ) (

) ( )

0

4 2

4 1

4

=

n m

n x m

x n

) 0

( )

( )

0

0

4 2

4 1

m x

x

ƒ n=1: ( 1 ) 3 ( ) ( 1 ) 23

0

4 2

4 1

m x

m x

m x

7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

7.4.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

ƒ Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý pháttriển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trênmáy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đốilớn

W n x k

X

N

n

kn N

ƒ Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và

(N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N 2 phép nhân

và N(N-1) phép cộng

ƒ Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trênDFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform)

7.4.2 THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2

a THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN

dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi làphân chia theo thời gian

n

kn N

W n x k

1

2,4

, 0 n

) ( )

n x

0 r

) 1 2 (

1 ) 2 / (

0 r

2 ( 2 1 ) )

2 ( )

(

N

r k N

N

kr

N x r W W

r x

k X

► Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2 M, nếu không có dạng lũythừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n)

► X 0 (k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn

► X 1 (k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ

∑−

=

= ( / 2 ) 1

0 r

2 /

0 ( ) N ( 2 ) kr

N

W r x k

2 /

1 ( ) N ( 2 1 ) kr

N

W r

x k

X

Đặt:

) (

) ( )

0

1 ) 2 / (

0

) 1 2

(

) 2 ( )

N

k N

N

kr

W r x

k X

kr N

kr N

j r

k N

j r

k

2 2

2

π π

Do:

N/2 điểm

x(0) x(2) x(4) x(6)

X(0) X(1) X(2) X(3)

DFT

N/2 điểm

x(1) x(3) x(5) x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

ƒ Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;

► Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:

- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó

- Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số

► Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tụcphân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểmtheo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia chođến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.

► Ví dụ X 0 (k) được phân chia:

N

kr

W r x k

2 /

1 ) 2 / (

4 , 2 , 0 r

2 / ( ) )

(

N

kr N

N

kr

N g r W W

r g

0

2 /

1 ) 4 / (

0

l / 4

) 1 2

( )

2 (

N

kl N

k N

N

kl

N W g l W W

l g

) (

ƒ Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểm của X 0 (k)

W 1 N/2

ƒ Phân chia X 1 (k) tương tự: X1 (k) = X10 (k) + W N k / 2 X11 (k)

W 1 N/2

ƒ Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8

x(5)

x(3)

x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

ƒ Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(5)

x(3)

x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

W N (r+N/2) = - W N r

ƒ Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(0) x(4) x(2) x(6)

X(0) X(1) X(2) X(3) x(1)

x(5) x(3) x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

-1 -1

Đảo

bít

► Với N=2 M -> M lần phân chia

Ví dụ : Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/g

x(0) x(2) x(1) x(3)

X(0) X(1) X(2) X(3)

ƒ k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - W0[x(1) + x(3)] = - 2

ƒ k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2

b THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ

phân chia theo tần số

n

kn N

W n x k

1 ) 2 / (

0 n

) ( )

N

kn N

N

kn

W n x

0 n

) 2 / (

1 ) 2 / (

0 n

) 2 / (

0 n

2 /

1 ) 2 / (

0 n

) 2 / (

)

N

kN N

N

kn

W n x

= ( / 2 ) 1

0 n

) 2 / (

) 1 ( ) (

N

kn N

k

W N

n x n

x

) ( )

1 2

n x n

x r

X

) 2 / (

) ( )

( );

2 / (

) ( )

2 /

) ( )

2

(

N

rn N

W n g r

2 /

) ( )

1 2

(

N

rn N

n

N W W

n h r

X

► X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn

► X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ

ƒ Phân chia DFT N=8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm

k chẵn

k lẽ

DFT

N/2 điểm

DFT

N/2 điểm

-1 -1 -1 -1

► Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tụcphân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểmtheo chỉ số k chẵn và lẽ Tiếp tục phân chia cho đến khinào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.

dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên

số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phântheo thời gian

ƒ Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(5)

x(6)

x(7)

X(1) X(5) X(3) X(7)

-1 -1

Đảo bít

► k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10.

► k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - 2

► k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2

x(0) x(1) x(2) x(3)

X(0) X(2) X(1) X(3)

W 0

W 1

-1

-1 -1

-1

7.4.3 THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N1N2

thứ tự từng cột với số cột N 1 và số hàng N 2:

► Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N 1 N 2, nếu

độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vàimẫu 0 vào sau dãy x(n)

► Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4

► DFT N điểm dãy x(n) được phân tích:

+

=+

( 2

1 2

1 2 1

) (

) (

) (

W N

n n

x N

k k

X k

1 2

2 2 2

1 1 1

) (

N k n N

N k n N

k n

W N

n n

1 2 1

1

1 1 1

) (

) (

N

n

k n N

k n N N

n

k n

W N

n n

x k

X

) ,

( )

(

N

n

k n N

W k

n G k

1

1

1 1 1

) (

) ,

(

N

n

k n N

W N

n n

x k

n F

1 2

).

, ( )

,

N

W k

n F k

n

► Đặt:

Các bước tiến hành thuật tóan:

Ví dụ : Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy

1

1 1 1

) (

) ,

(

N

n

k n N

W N

n n

x k

n F

► Nhân các phần tử mảng F(n 2 ,k 1 ) với các hệ số của

0 2 1

2 1 1

2

2

2 2 2

) ,

( )

( )

(

N n

k n N

W k

n G k

N k

X k

X

► Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k)

ƒ Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N 1 N 2 , với N 1 =3, N 2 =4:

DFT

N 1 điểm

DFT

N 2 điểm

DFT

N 2 điểm

X(0) X(3) X(6) X(9) X(1) X(4) X(7) X(10) X(2) X(5) X(8) X(11)