Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm

Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc OflatA 632 2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc 32 3 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm 47 Hệ sai phân liên kết 57

VIỆN TOÁN HỌC

BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH

HÓA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG ÔTÔNÔM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2022

VIỆN TOÁN HỌC

BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH

HÓA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG ÔTÔNÔM

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

MÃ SỐ: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

HÀ NỘI - 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sựhướng dẫn cán bộ hướng dẫn khoa học Các kết quả viết chung đã nhận

được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả, sốliệu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trên bất kỳcông trình nào khác Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ

NCS

ở viện Toán học Việt Nam Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Trungtâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu Toán học, Viện Toán học đã hỗ trợkinh phí cho tác giả thông qua đề tài nghiên cứu sinh của trung tâm Tác

giả xin chân thành cảm ơn!

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Xây dựng

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứusinh

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh, chị em trong trong phòngPhương trình vi phân và phòng Xác suất thống kê, Viện Toán học và các

bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trongquá trình học tập và nghiên cứu

Luận án này là món quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đìnhthân yêu của mình với lòng biết ơn, yêu thương và trân trọng

Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 18

Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 20

2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với

2 1 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23

Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Oflat(A) 63

2 2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc 32

3 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm 47

Hệ sai phân liên kết 57

3 3 1 Khái niệm hệ sai phân liên kết và một số tính

khía cạnh quan trọng của lý thuyết định tính hệ động lực không

ôtônôm

là lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến vàtuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc và lý thuyết rẽ nhánh (xem[21])

Năm 1978, R Sacker và G Sell đã phát triển lý thuyết phổ nhị phân

mũ cho phương trình vi phân không ôtônôm hay được gọi là phổ

mũ của phương trình tuyến tính tương ứng là âm (xem [7]) Điều kiệntách phổ phù hợp của hệ tuyến tính cũng kéo theo sự tồn tại các đa tạp

đã mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình

vi phân không ôtônôm với điều kiện đủ là 0 không thuộc phổ nhị phân

mũ của hệ tuyến tính Sử dụng cấu trúc của phổ nhị phân mũ và xâydựng các điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý về

dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm trong [37] Gần

đây dựa trên sự hiểu biết về sự thay đổi của cấu trúc phổ nhị phân mũvào tham số, các tác giả P¨otzsche và Rasmussen trong [30, 32] xây dựng

và phân tích nhiều hiện tượng rẽ nhánh khác nhau cho phương trình viphân không ôtônôm Cuối cùng, các phương pháp số để tính toán số mũ

nhị phân cũng được phát triển (xem [14, 24]) và các tài liệu tham khảoliên quan

Do sự quan trọng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết định tính

phương trình vi phân không ôtônôm nên chúng tôi chọn và nghiên cứumột số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ Cụ thể, trước hết chúng

tôi nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyếntính không ôtônôm Ở đây hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm được

cho bởi hai dạng sau:

Dạng vi phân:

x˙ (t) = A(t)x(t) +

với A(t), B(t) là các hàm ma trận liên tục từng khúc và u(t) là hàm

điều khiển Trong trường hợp hàm điều khiển được xây dựng có dạngu(t) = F (t)x(t) , trong đó F (t) là hàm ma trận liên tục từng khúc, chúng

ta thu được phương trình vi phân tuyến tính có dạng

x˙ (t) = (A(t) + B(t)F (t))x(t)

Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính không ôtônôm liệu

ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phùhợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này?

Dạng sai phân:

xn+1 = Anxn + Bnun, n ∈ Z,với (An) là dãy ma trận bị chặn và khả nghịch bị chặn, (Bn) là dãy matrận bị chặn và (un) là dãy điều khiển Trong trường hợp dãy điều khiểnđược xây dựng có dạng un = Unxn, chúng ta thu được phương trình saiphân tuyến tính

xn+1 = (An + BnUn) xn

Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là:

Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính không ôtônômliệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tínhphù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này?

Song song với bài toán gán phổ nhị phân mũ chúng tôi nghiên cứu về

ứng dụng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết tuyến tính hóa Nhắc lạirằng, một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết tuyến tính hóa

là Định lý Hartman Grobman và được mở rộng cho phương trình vi phân

không ôtônôm (xem [26]) Nội dung chính của định lý này nói rằng tạixung quanh điểm cân bằng hyperbolic thì dòng sinh bởi phương trình vi

phân không ôtônôm sẽ tương đương động lực với một phương trình tuyến

tính Cụ thể, xét phương trình vi phân không ôtônôm

x˙ (t) = A(t)x(t) + f (t,

thỏa mãn f (t, 0) = 0 và

||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||,với mọi t, x, x1, x2 Giả sử phương trình tuyến tính

phương trình tuyến tính

x˙ (t) = A(t)x(t) Câu hỏi được đặt ra là:

Câu hỏi 2: Tính trơn của phép biến đổi H là như thế nào?

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các chủ điểm sautrong lý thuyết của phương trình vi phân không ôtônôm:

(i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụthuộc thời gian

(ii) Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân

không ôtônôm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Với các mục tiêu đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi

nghiên

cứu các nội dung sau:

Nội dung 1 Điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệđiều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian

Nội dung 2 Xây dựng điều kiện đủ về tách phổ cho tuyến tính hóatrơn của phương trình vi phân không ôtônôm

4 Phương pháp nghiên cứu

Xuất phát từ mục tiêu của đề tài nghiên cứu, các phương pháp nghiên

cứu được sử dụng như sau:

· Để trả lời cho Câu hỏi 1a và Câu hỏi 1b trước hết chúng tôi sẽ

phân tích những cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ phương trình tuyến

tính phụ thuộc vào thời gian Sau đó chúng tôi sẽ đi tìm ra nhữngdạng chuẩn tắc của hệ dưới một phép biến đổi tương đương Cuốicùng chúng tôi đi tính phổ của các hệ ở dạng chuẩn tắc đó để tìmđiều kiện sao cho hệ điều khiển tuyến tính của chúng ta là gán được

5 Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

· Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục làgán được phổ nhị phân mũ

· Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán

được phổ nhị phân mũ

· Đưa ra một phiên bản của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơncho phương trình vi phân không ôtônôm

Các kết quả chính của luận án được công bố trong 04 bài

báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín và đã được báo cáo tại:

1 Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hànlâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

2 Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018), Nha Trang

3 Hội thảo Tối ưu và tính toán Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020), Hòa

Lạc, Hà Nội

4 Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh các năm

2017, 2018, 2019, 2020, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công

Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, baogồm định nghĩa và một số kết quả về cấu trúc phổ nhị phân mũ, hệ điều

khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian dưới dạng vi phân và sai phân, tính

điều khiển được đều

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về bài toán gán

phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển phụ thuộc thời gian Trong chươngnày chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ

điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian

Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng Định lý Sternberg về tuyến tínhhóa trơn cho phương trình phân không ôtônôm

Tập hợp các số thực Tập hợp các số thực không âm Tập hợp các số thực không dương Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong

Rd×d đo được và bị chặn trên J, với J = R, R+

Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn

và khả nghịch bị chặn Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong

Rd×m bị chặn và liên tục từng khúc trên J {f : Rd → Rd là các hàm C k khả vi}

{f ∈ C k(Rd) : f −1 tồn tại và f −1 ∈ C k(Rd)}

{f ∈ Diff k(Rd) : f (0) = 0}

Phổ nhị phân mũ của hệ x˙ = A(t)x trên J

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và cấu trúc phổ nhịphân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính (Mục 1 1) và cho phươngtrình sai phân tuyến tính (Mục 1 2) Mục 1 3 được dành để giới thiệu hệđiều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian và các đặc trưng cho

tính điều khiển được đều của hệ

1 1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến

M := ess sup ||A(t)|| < ∞

t∈J

Ta kí hiệu ΦA( , ) : J × J → Rd×d là toán tử tiến hóa của (1 1), tức là

ΦA( , s)ξ là nghiệm của bài toán (1 1) với điều kiện ban đầu x(s) = ξ

ΣJED(A) = {γ ∈ R : x = (A(t) − γI ) x không có nhị phân mũ trên J}

Σ+ED(A) := ΣED + (A), Σ−ED(A) := ΣED − (A) và Σ±EDED(A) := ΣED + (A) ∪ ΣED − (A)

Trước khi trình bày khái niệm về phổ nhị phân mũ, chúng tôi giới thiệu

về khái niệm nhị phân mũ (xem [13])

Định nghĩa 1 1 (Nhị phân mũ) Hệ (1 1) được gọi là có nhị phân mũtrên J nếu tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và một họ các phép chiếubất biến P : J → Rd×d, t → P (t) tức là

P (t)ΦA(t, s) = ΦA(t, s)P (s) với t, s ∈ J,thỏa mãn

và

||Φ(t, s)P (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s, s, t ∈ J, (1 2)

||Φ(t, s) (I − P (s)) || ≤ Keα(t−s)với t ≤ s, s, t ∈ J (1 3)Dựa trên khái niệm nhị phân mũ, ta có khái niệm phổ nhị phân mũnhư sau (xem [36])

Định nghĩa 1 2 (Phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ của (1 1) trên J

là tập

và tập dải thức ρ(A) = J\ΣΣJED(A) là phần bù của phổ ΣJED(A)

Chú ý 1 3 Để thuận tiện trong trình bày, ta sử dụng thêm các kí hiệusau:

R R R R

Sau đây chúng ta tính toán phổ nhị phân mũ cụ thể cho phương trìnhtuyến tính không ôtônôm một chiều

Hệ quả 1 4 (Phổ nhị phân của phương trình tuyến tính phụ thuộc thờigian một chiều) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ở dạng

(⇒) Giả sử hệ (1 4) có nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P : J → R

và các hằng số K > 1, α > 0 Do tính bất biến của P nên ta có P (s) ≡ 1hoặc P (s) ≡ 0 Ta xét sau đây hai trường hợp:

dụng (1 3) ta cũng nhận được (1 5)

(⇐) Giả sử điều kiện (1 5) thỏa mãn Ta cố định δ > 0 sao cho α − δ > 0,

theo định nghĩa của giới hạn dưới tồn tại ∆ > 0 sao cho

m(τ )dτ ≥ Ke (t−s)(a−δ),

s

với mọi t, s ∈ J, t ≥ s Điều đó có nghĩa là (1 4) có nhị phân mũ với

phép chiếu P (s) ≡ 0 Bằng cách chứng minh tương tự với (1 6) ta suy ra

được (1 4) có nhị phân mũ với phép chiếu P (s) ≡ 1

Phổ nhị phân mũ của (1 4) là tập ΣJED(m) = [a, b] được suy ra trựctiếp từ chứng minh trên và định nghĩa của phổ nhị phân mũ (Định nghĩa

1 2)

Sau đây chúng tôi giới thiệu định lý về cấu trúc của phổ nhị phân mũcho hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm và phân hoạchtương ứng

Định lý 1 5 (Định lý phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ ΣJED(A) của

hệ (1 1) là hợp của tối đa d đoạn đóng rời nhau, tức là

ΣJED(A) = [a1, b1] ∪ [a2, b2] ∪ ∪ [aℓ, bℓ],trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 ≤ < aℓ ≤ bℓ với ℓ ≤ d Hơn nữa, trong

trường hợp J = R ta có phân hoạch Rd thành tổng trực tiếp của các không

1 (t−s)(a i −ϵ))

gian véc tơ con

Rd = W1(s) ⊕ W2(s) ⊕ ⊕ Wℓ(s)sao cho với mọi ε > 0 tồn tại hằng số K > 1 thỏa mãn với mọi ξ ∈ Wi(s)

và t ≥ s, t, s ∈ J ta luôn có

K e ≤ ||ΦA(t, s)ξ|| ≤ Ke(t−s)(bi+ϵ))Chứng minh (Xem trong [36, Theorem 3])

Trong phần còn lại của mục này, ta sẽ nhắc lại hai kết quả quan trọng

có liên quan đến phổ nhị phân mũ của (1 1) Kết quả đầu tiên là về chéo

hóa hệ thành các khối mà mỗi khối sẽ tương ứng với một đoạn phổ Đểphát biểu kết quả này, ta cần khái niệm tương đương giữa hai hệ nhưsau:

Định nghĩa 1 6 (Tương đương tiệm cận1) Hai hệ

Định lý 1 7 (Chéo hóa) Xét hệ (1 1), ta kí hiệu phổ nhị phân mũ của

hệ (1 1) là tập

ΣJED(A) = [a1, b1] ∪ [a2, b2] ∪ ∪ [aℓ, bℓ],

1 Khái niệm tương đương tiệm cận này được gọi là tương đương động lực (xem [38])

Phần cuối của mục này được dành để trình bầy một số kết quả về phổ

nhị phân mũ của hệ chéo khối, hệ tam giác trên

Định lý 1 8 (Phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính có cấu trúc dạng khốitam giác trên) Xét hệ phương trình vi phân có dạng tam giác trên ở dạng

khối

x˙ = W (t)x,

với W (t) =  X (t)

0

Z (t)

Y (t)

 ,



trong đó X : R → Rk×k, Y : R → R(d−k)×(d−k), Z : R → Rk×(d−k) đo được

và bị chặn Khi đó,

Σ±EDED(X ) ∪ Σ±EDED(Y ) ⊂ ΣED(W ) ⊂ ΣED(X ) ∪ ΣED(Y )

Chứng minh (Xem trong [8, Section 4])

Từ định lý trên, ta thu được hệ quả sau về phổ nhị phân mũ cho hệphương trình vi phân tuyến tính dạng tam giác trên

Hệ quả 1 9 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

trong đó U ∈ L∞(J, Rd×d) và U (t) = (uij (t))d≤i,j ≤d là ma trận tam giáctrên với mọi t ∈ J Ta kí hiệu ΣJED(U ) là phổ nhị phân mũ của hệ (1 7)

và ΣJED(uii) là phổ nhị phân mũ của hệ

x˙ i = uii(t)xi với i = 1, 2, d i) Nếu J = R+ hoặc J = R− thì

ii) (Xem [15, Proposition 5])

1 2 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến

tính

Trong mục này chúng tôi giới thiệu khái niệm phổ nhị phân mũ chophương trình sai phân tuyến tuyến không ôtônôm Trước hết ta đưa ramột số kí hiệu sau:

T = Z (thời gian hai phía) hoặc T = Z≥0 (thời gian một phía)

L∞(Z, Rd×s) là tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn

LLya(Z, Rd×d) là tập hợp các dãy ma trận trong Rd×d bị chặn và khảnghịch bị chặn

 A −1 A−1,

 A

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không ôtônôm có dạng

xn+1 = Anxn với n ∈ T, (1 8)trong đó T = Z hoặc T = Z≥0 và A = (An)n∈T ∈ LLya(T, Rd×d) Toán

tử tiến hóa của (1 8) được cho bởi ΦA(·, ·) : T × T → Rd×d, (m, n) →

ΦA(m, n), trong đó



ΦA(m, n) :=

m+1 n

nếu m > n,nếu m = n,nếu m < n

Khi đó ΦA(m, n)ξ là nghiệm của (1 8) với điều kiện ban đầu xn = ξ, trong

đó m, n ∈ T và ξ ∈ Rd Tương tự như Mục 1 1 chúng ta cũng có kháiniệm nhị phân mũ cho hệ sai phân tuyến tính (1 8)

Định nghĩa 1 10 (Nhị phân mũ) Hệ (1 8) được gọi là có nhị phân mũtrên T nếu tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và một họ các phép chiếubất biến (Pn)n∈T trong Rd×d tức là

T là tập

ΣTED(A) = {γ ∈ R : xn+1 = e−γ Anxnkhông có nhị phân mũ trên T}

Σ+ED(A) := ΣED ≥0(A), Σ−ED(A) := ΣED ≤0(A),

và Σ±EDED(A) := ΣED ≥0(A) ∪ ΣED ≤0(A)

Chú ý 1 12 Để thuận tiện trong trình bày, ta sử dụng các kí hiệu sau:

ΣTED(A) = [a1, b1] ∪ [a2, b2] ∪ ∪ [aℓ, bℓ],trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 ≤ < aℓ ≤ bℓ với ℓ ≤ d

Ln+1Nn = MnLn với mọi n ∈ T Phép biến đổi L được gọi là phép biến đổi Lyapunov

Định lý 1 15 Phổ nhị phân mũ là bất biến qua phép biến đổi Lyapunov,tức là nếu hai hệ sai phân là tương đương tiệm cận thì phổ nhị phân mũ

của hai hệ là trùng nhau

Chứng minh (Xem trong [29, Corollary 3 25])

1 3

1 3 1

Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian

Hệ điều khiển tuyến tính liên tục

Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục

x˙ = A(t)x + B(t)u, t ∈ J, (1 11)trong đó A ∈ KCd,d(J), B ∈ KCd,m(J) và u ∈ KCm,1(J) là điều khiển Vớimỗi (t0, x0) ∈ J × Rd ta kí hiệu nghiệm của hệ (1 11) với điều kiện banđầu x(t0) = x0 là x( , t0, x0, u) Sau đây chúng tôi giới thiệu khái niệmđiều khiển được đều của (1 11) (xem [20])

Định nghĩa 1 16 (Điều khiển được đều) Hệ (1 11) được gọi là điềukhiển được đều trên J nếu tồn tại hằng số K, α > 0 sao cho với mọi(t0, ξ) ∈ J × Rd tồn tại một điều khiển u ∈ KCm,1(J) sao cho

x(t0 + K, t0, 0, u) = ξ,và

||u(t)|| ≤ α||ξ||, t ∈ [t0, t0 + K ]

Ta có đặc trưng sau về tính điều khiển được đều

Định lý 1 17 (Đặc trưng Kalman) Hệ (1 11) là điều khiển được đềutrên J khi và chỉ khi tồn tại các hằng số dương ρ và ϑ sao cho ma trậnđiều khiển

t 0 +ϑ

W (t0, t0 + ϑ)

ΦA(t0, s)B(s)B T(s)ΦTA(t0, s)ds,

của (1 11) trên [t0, t0 + ϑ] thỏa mãn bất đẳng thức

ξ T W (t0, t0 + ϑ)ξ ≥ ρ||ξ||2, (1 12)với mọi t0 ∈ J và ξ ∈ Rd

Chứng minh Trong trường hợp J = R+ (xem chứng minh trong [20]) Trong trường hợp J = R (xem chứng minh trong [25])

Sau đây chúng tôi xét hệ điều khiển một chiều và chỉ ra điều kiện cần

và đủ để hệ này là điều khiển được đều

Hệ quả 1 18 (Điều khiển được đều cho phương trình tuyến tính mộtchiều) Xét hệ điều khiển tuyến tính một chiều

x˙ (t) = a(t)x + b(t)u(t), (1 13)trong đó a, b ∈ KC 1,1(R+) Hệ (1 13) là điều khiển được đều khi và chỉkhi tồn tại ρ > 0 và ϑ > 0 sao cho

1 3 2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc

Xét hệ điều khiển tuyến tính rời rạc

xn+1 = Anxn + Bnun, (1 16)trong đó A = (An)n∈Z ∈ LLya(Z, Rd×d), B = (Bn)n∈Z ∈ L∞(Z, Rd×s) và

u = (un)n∈Z ∈ LLya(Z, Rs×d) Đặt x( , k0, ξ, u) là nghiệm của hệ (1 16) vớiđiều kiện ban đầu x (k0) = ξ với ξ ∈ Rd Nghiệm của (1 16) được cho bởicông thức

n−1

x(n, k0, ξ, u) = ΦA(n, k0)ξ + ΦA(n, j + 1)Bj uj ,

j =k 0trong đó ΦA(n, k0) là toán tử tiến hóa của hệ

Định nghĩa 1 19 (Điều khiển được đều) Hệ (1 16) được gọi là điều

khiển được đều nếu tồn tại hằng số dương α và một số tự nhiên K saocho với mọi ξ ∈ Rd và k0 ∈ Z sẽ tồn tại một điều khiển un, n = k0, k0 +

1, , k0 + K − 1 sao cho

x(k0 + K, k0, 0, u) = ξ,và

∥un∥ ≤ α∥ξ∥ với mọi n = k0, k0 + 1, , k0 + K − 1

Hệ (1 16) là điều khiển được đều nếu tồn tại một hằng số α > 0 và một

số tự nhiên K sao cho

W (k0, k0 + K ) ≥ αI,với mọi k0 ∈ Z

Chương 2

Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều

khiển tuyến tính với hệ số phụ

thuộc thời gian

Vấn đề gán phổ cho hệ điều khiển tuyến tính là một trong những hướng

nghiên cứu truyền thống và quan trọng của lý thuyết điều khiển và đã

có nhiều kết quả thu được cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số không

phụ thuộc thời gian Cụ thể, đối với hệ điều khiển

x˙ (t) = Ax(t) +

trong đó A ∈ Rd×d, B ∈ Rd×m và u ∈ KCm,1(R) là điều khiển Trong

trường hợp hệ trên có phản hồi tuyến tính

u(t) = F x(t),với F ∈ Rm×d, ta nhận được hệ

x˙ (t) = (A + BF ) x(t) (2 2)Bài toán gán phổ cho hệ (2 1) được phát biểu như sau: Nếu cho trướccặp ma trận (A, B) và đa thức

Q(λ) = λ) = λ) = λn + an−1λ) = λn−1 + + a0

Hãy tìm một ma trận F ∈ Rm×1 sao cho Q(λ) = λ) là đa thức đặc trưng của

ma trận A + BF

Điều kiện cần và đủ để bài toán trên giải được là cặp ma trận (A, B) làđiều khiển được (xem [43]), hiện nay cũng có nhiều phương pháp số để

đi tìm nghiệm của bài toán (xem [23])

Tuy nhiên, vấn đề gán phổ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụthuộc thời gian là một vấn đề thách thức Gần đây, các kết quả về gánphổ Lyapunov cho hệ điều khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian đượcphát triển bởi A Babiarz, I Banshchikova, A Czornik, E Makarov, M Niezabitowski và S Popova (xem [5], [27], [44]),

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về bàitoán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụthuộc thời gian Kết quả thu được trong chương này được công bố ở các

· Đặt bài toán và phát biểu kết quả chính (Mục 2 1 1)

· Một số kết quả chuẩn bị (Mục 2 1 2)

· Chứng minh kết quả (Mục 2 1 3)

2 1 1 Đặt bài toán và kết quả

Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục

x˙ = A(t)x + B(t)u, t ∈ J, (2 3)trong đó J = R≥0 (thời gian một phía) hoặc J = R (thời gian hai phía),

A ∈ KCd,d(J), B ∈ KCd,m(J) và u ∈ KCm,1(J) là điều khiển Với mỗi

(t0, x0) ∈ J × Rd ta kí hiệu nghiệm của hệ (2 3) với điều kiện ban đầux(t0) = x0 là x( , t0, x0, u) Trong trường hợp hệ (2 3) có phản hồi tuyếntính F ∈ KCm,d(J) ta thu được hệ sau

khiển tuyến tính liên tục

Định nghĩa 2 1 (Gán phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ ΣJED(A+BF )của (2 4) được gọi là gán được trên J nếu với bất kì số tự nhiên 1 ≤ ℓ ≤ d

và các đoạn đóng rời nhau [α1, β1], , [αℓ, βℓ] cho trước, tồn tại một phản

hồi F ∈ KCm,d(J) sao cho

ℓ

ΣJED(A + BF ) = [αi, βi]

i=1

Câu hỏi nghiên cứu được đặt ra là:

Câu hỏi: Hệ (2 3) cần thỏa mãn điều kiện gì để tồn tại một phản hồituyến tính sao cho hệ tương ứng (2 4) có phổ nhị phân mũ trùng với tập

phổ nhị phân mũ cho trước?

Câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu trên được phát biểu trong kết quảsau:

Định lý 2 2 (Đặc trưng của tính gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiểntuyến tính liên tục) Giả sử hệ (2 3) xác định trên J, trong đó J có thể là

R+ hoặc R Giả thiết B : J → Rd×m là bị chặn và liên tục đều từng khúc Khi đó hệ (2 3) là gán được phổ nhị phân mũ trên J khi và chỉ khi (2 3)

là điều khiển được đều trên J

Chú ý 2 3 Ta nói B ∈ KCd,m(J) được gọi là liên tục đều từng khúc nếu

B thỏa mãn các điều kiện sau:

· Tồn tại ∆0 > 0 sao cho độ dài của mỗi khoảng liên tục Ij (j ∈ J ⊂ N)của B thỏa mãn |Ij | ≥ ∆0

· Với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho ∥B(t) − B(s)∥ ≤ ε với

mỗi j ∈ J và với mọi t, s ∈ Ij thỏa mãn |t − s| ≤ δ

2 1 2 Một số kết quả chuẩn bị

Trong mục này chúng tôi xây dựng các quả chuẩn bị và một số kết quả

về phổ nhị phân mũ của một số hệ có cấu trúc đặc biệt Kết quả đầu tiên

là về đặc trưng tính điều khiển được đều và tính ổn định hóa được: Hệđiều khiển tuyến tính điều khiển được đều khi và chỉ khi hệ đó ổn địnhhóa được (xem [19],[42]) Để phát biểu kết quả này ta nhắc lại khái niệm

hệ điều khiển ổn định hóa được

Định nghĩa 2 4 (Hệ điều khiển ổn định hóa được) Hệ (1 11) được gọi là

ổn định hóa được nếu với mọi α ∈ R+ tồn tại một phản hồi F ∈ KCm,d(J)

và C ∈ R+ sao cho

||ΦA+BF (t2, t1)|| ≤ Ce−α(t 2 −t 1 ),với mọi t2, t1 ∈ J, t2 ≥ t1

(2 5)

ΣRED(uii) ⊂ ΣED + (uii) ∪ ΣED − (uii),

Định lý 2 5 (Mối quan hệ giữa điều khiển được đều và ổn định hóa

được) Hệ (1 11) là điều khiển được đều trên J (J ở đây có thể là R+

hoặc R) khi và chỉ khi hệ này là ổn định hóa được trên J

Chứng minh Trong trường hợp J = R+ (xem chứng minh trên [19]) Trong trường hợp J = R (xem chứng minh trên [42])

Tiếp theo chúng tôi chỉ ra rằng với một hệ tam giác trên có các hệ sốthỏa mãn tính đối xứng thì phổ nhị phân mũ của hệ này sẽ được biểudiễn dưới dạng hợp tất cả phổ nhị phân mũ của các phương trình mộtchiều với hệ số là các phần tử trên đường chéo chính Lưu ý rằng đối với

một hệ tam giác trên bất kì thì điều này không đúng (xem Hệ quả 1 9) Mệnh đề 2 6 (Phổ nhị phân mũ của hệ vi phân tuyến tính có dạng tamgiác trên) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính trên R

với mọi i = 1, 2, , d Với mỗi i = 1, 2, , d cố định và γ ̸∈ ΣEDR + (uii), theo

định nghĩa của nhị phân mũ (xem Định nghĩa 1 1) thì một trong các điều

sau sẽ xảy ra:

(A1) Tồn tại K ≥ 1 và α > 0 sao cho

Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ ΣRED(uii)

(A2) Tồn tại K ≥ 1 và β > 0 sao cho

Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ ΣRED(uii) Do đó, ΣRED(uii) ⊂ ΣED + (uii) và mệnh đề

khiển được đều đối với cặp (A, B¯ ) Áp dụng định lý trong trường hợp

hồi tuyến tính phù hợp

Định lý 2 7 Nếu hệ (2 3) là điều khiển được đều trên J (J là R+ hoặc R),

B là liên tục đều từng khúc bất kì, khi đó với các hàm liên tục từng khúc

pi : J → R, i = 1, 2, , d, sẽ tồn tại một phản hồi tuyến tính F ∈ KCm,d(J)sao cho hệ tương ứng

x˙ = (A(t) + B(t)F (t)) x,t ∈ J

là tương đương tiệm cận với hệ vi phân tuyến tính dạng tam giác trên

có các phần tử trên đường chéo chính là các hàm liên tục đều từng khúc

Định lý 1 17, tính điều khiển được đều với cặp (A, B) sẽ suy ra tính điều

¯

J = R và hàm p¯i : R → R trong đó p¯i(t) = 0 với t ∈ R− và p¯i(t) = p(t)với t ∈ R+ ta có một phản hồi tuyến tính F¯ : R → Rd×m sao cho hệ

Chứng minh Định lý 2 2 Ta xét hai trường hợp: J = R+ và J = R

Trường hợp 1 : J = R+ Giả sử phổ nhị phân mũ của hệ (2 3) là gán đượctrên R+ Ta cố định α ∈ R+, khi đó tồn tại một phản hồi F bị chặn saocho

imPγ 1(t) = imPγ 2(t) với γ1, γ2 ∈ (−α′, ∞) (2 9)

Từ A(t) + B(t)F (t) bị chặn trên R+, tồn tại các hằng số K, β > 0 sao

cho

∥XA+BF (t, s)∥ ≤ Keβ (t−s) với t ≥ s ≥ 0

Từ α ∈ R+ là tùy ý, do đó hệ (2 3) là ổn định hóa được và theo Định lý

2 5 thì hệ (2 3) là điều khiển được đều

Ngược lại, giả sử rằng hệ (2 3) là điều khiển được đều Ta cố định ℓ,

1 ≤ ℓ ≤ n và lấy các đoạn rời nhau [α1, β1], , [αℓ, βℓ] tùy ý Xét cáchàm liên tục từng khúc uii : R+ → R, i = 1, , l sao cho

các phần tử nằm trên đường chéo chính có các phần tử là (u11, , unn)

Do đó tính gán được của phổ nhị phân mũ trên R+ được suy ra trực tiếp

từ Hệ quả 1 9 (i)

Trường hợp 2 : J = R Tính gán phổ nhị phân mũ trên R được suy ra trựctiếp từ điều khiển được đều bằng cách chứng minh tương tự như đối với

trường hợp J = R+ Ta mở rộng hàm uii : R+ → R thành u¯ii : R → R vớiu¯ii(−t) = u¯ii(t) = uii(t) với mọi t ∈ R+ và sử dụng Mệnh đề 2 6

Định lý đã được chứng minh

 A β ϑ− kϑ

thỏa mãn ΣED + (a + bf ) = [α, β]

Chứng minh Ta có f ∈ KC 1,1(R+) Tiếp theo ta đi tính ΣED + (a + bf ) Để

Ở phần cuối mục này, chúng tôi xét hệ điều khiển tuyến tính một chiều

điều khiển được đều và xây dựng phản hồi tuyến tính hiển để gán đượcphổ nhị phân mũ

Hệ quả 2 8 Xét hệ điều khiển tuyến tính