Đề học sinh giỏi khối 11 2020 2021 Nghệ An

SỞ GD ĐT NGHỆ AN THPT KIM LIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm) a Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng của phương trình b Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu Bài 2 (6,0 điểm) a Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật Chứng minh rằng b Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng , độ dà.

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

THPT KIM LIÊN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm)

a Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình:

2 cos3xsinxcosx

b Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu

Bài 2 (6,0 điểm)

a.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Chứng minh rằng 2 2 2 2

SAuuur SCuuur SBuur SDuuur .

b Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng 1 1 1

5 Tính góc giữa hai mặt phẳng A BC và 1  ABC

Bài 3 (2,0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SB, CD Chứng minh AM BP

Bài 4 (4,0 điểm)

a Tìm hệ số chứa 10

x trong khai triển 1 2 2 3

4

n

  với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức

14

n

A C   n

b Tìm giới hạn: 2 3

0

( 2021) 1 2 2021 4 1

x

lim

x



Bài 5 (4,0 điểm)

a.Cho dãy số (un) được xác định bởi 1 2   2 

1

2021

u

n n u  n n u n





Tính giới hạn lim 32

n

n

u n

b Cho , 0;

2

x y   

  thỏa cos 2xcos 2y2sinx y   Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 P sin4 x sin4 y

……… Hết ……….

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………

Đáp án:

Bài 1 a Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình:

2 cos3xsinxcosx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 cos3xsinxcosx cos3 cos

4

x x  

k

   



  



¢

Vì x0; nên nhận 7

8

x 

, 16

x  , 9 16

x 

b.Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là:   3

12 220

n  C  Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”

- Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: 2

8 28

C  cách

- Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: 2

3 3

C  cách

- Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: 1 2

8 3 24

C C  cách

- Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: 1 2

3 8 84

C C  cách

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n A  28 3 24 84 139    cách

Xác suất cần tìm là: P A  n A    139220

n



Bài 2 a.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Chứng minh rằng

SAuuur SCuuur SBuur SDuuur .

Lời giải :

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD

Ta có OAuuur  OBuuur  OCuuur  ODuuur

SAuuur  SO OAuuur uuur SOuuur OAuuur  SO OAuuur uuur (1)

2

SCuuur  SO OCuuur uuur SOuuur OCuuur  SO OCuuur uuur(2)

Từ  1 và  2 suy ra

SAuuur SCuuur  SOuuur OAuuur OCuuur  SO OA OCuuur uuur uuur

 uuur uuur uuur ( vì OA OCuuur uuur r 0)

Tương tự SBuur2SDuuur22SOuuur2OBuuur2ODuuur2

Từ đó suy ra SAuuur2SCuuur2SBuur2SDuuur2

b Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng 1 1 1 2, độ dài đường chéo các mặt bên bằng

5 Tính góc giữa hai mặt phẳng A BC và 1  ABC 

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC , do tam giác ABC đều nên AH BC khi đó ta có

BC AHA  ·     ·  ·

Xét tam giác vuông A AB có 1 2 2 2

1 1

AA  A B AB    5 4 1 Mặt khác AH là đường cao của tam giác đều ABC cạnh AB2 nên AH  3

Xét tam giác vuông AA H có 1 · 1

1

1 tan

3

AA AHA

AH

1 30

AHA

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SB, CD Chứng minh AMBP

LỜI GIẢI:

Gọi N là trung điểm của BC

Hạ SH  ADtại H Vì SAD là tam giác đều nên SH a 3

2

 Vì mặt phẳng (SAD) vuông góc mặt phẳng (ABCD) có AD là giao tuyến Suy ra SH mp ABCD   .

Ta có

AN HC, MN SC

AM ,MN (AMN) (AMN) (SHC)

HC,SC (SHC)







P

Trong hình vuông ABCD có  BCP   CDH c.g.c  nên Bµ1C¶1mà ¶ µ 0 ¶ µ 0

B  P  90  C  P  90  CH  PB

Ta có BP CH BP SHC BP AMN BP AM

BP SH

 

 

Bài 4 a Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển ( ) ( )

2

3 2

4

n

f x =æçççè x + +x ö÷÷÷ø x+ với n là số tự nhiên thỏa mãn

hệ thức 3 n 2 14

n n

Lời giải Từ phương trình A n+C n = 14n¾¾ ® =n 5.

2

2

n

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có ( ) ( )19 19 19

19 0

k k k k

-=

Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19 - k= 10 Û k= 9

Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là 10 9 5 10

1

2 2

16C = C b.Tìm giới hạn: (x2 2021) 1 2x 2021 4x 13

lim





3

x 0

3

Bài 5 a.Cho dãy số (un) được xác định bởi 1 2   2 

1

2021

u

n n u n n u n





Tính giới hạn lim 32

n n

u n

Ta có

2

1



n

u

  (v n) là cấp số nhân có công bội 1

3

q và số hạng đầu 1

1

2021

u

2

n

n



2 2

b Cho , 0;

2

x y   

  thỏa cos 2xcos 2y2sinx y   Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 P sin4x sin4 y

Lờigiải

Tacó:cos 2xcos 2y2sinx y   2 sin2xsin2 ysinx y 

2

x y  

Ápdụngbđt: 2 2  2

a b

a b





sin x sin y 2

P



 .Đẳngthứcxảyra   x y 4 Dođó:min P 2



