(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng tâm tỉ cự của hệ điểm giải một số bài tập cực trị hình học

Lý do chọn đề tài Cực trị hình học là một phần kiến thức không mới trong chương trình Toán phổ thông, nhưng là phần kiến thức rất mới lạ đối với học sinh lớp 10-học sinh nămđầu tiên của

1.Mở đầu 3

1.1 Lý do chọn đề tài … 3

1.2 Nhiệm vụ của đề tài ……… ……… … 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… …… … 4

1.4 Phạm vi nghiên cứu 4

2.Nội dung …… 4

2.1 Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học……… 4

2.2 Áp dụng trong thực tế dạy học……… ………… ……7

2.3 Hiệu quả của đề tài……… 20

3 Kêt luận 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 21

Tài liệu tham khảo 22

Danh mục SKKN 23

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CỰC TRỊ HÌNH HỌC.

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Cực trị hình học là một phần kiến thức không mới trong chương trình Toán

phổ thông, nhưng là phần kiến thức rất mới lạ đối với học sinh lớp 10-học sinh nămđầu tiên của cấp THPT , đặc biệt là kiến thức về cực trị liên quan đến độ dài vectơ,cực trị liên quan đến độ dài bình phương vô hướng của vectơ…

Ở cấp THCS, HS đã được làm quen với bài toán cực trị hình học Song đâycũng là nội dung không dễ để HS có thể chiếm lĩnh và vận dụng, một phần do nănglực tư duy của HS, một phần do thiết kế chương trình và cách dạy học chưa gâyđược hứng thú cho HS Bên cạnh đó sự thiếu tự tin về phần Hình học so với Đại sốcũng làm ảnh hưởng lớn đến kết quả học tập của các em Chính những điều nàykhiến việc học của HS ngày càng khó khăn, dẫn đến kết quả học tập không cao, ứngdụng giải quyết các vấn đề thực tiễn không tốt Tại trường THPT Đào Duy Từ, việchiểu và vận dụng các nội dụng về bài toán cực trị hình học liên quan đến độ dàivectơ,liên quan đến độ dài bình phương vô hướng của vectơ… còn hạn chế Vớitiết dạy theo phương pháp truyền thống, các em được tiếp cận kiến thức khá thụđộng, kiến thức tiếp nhận được là riêng lẻ, rời rạc, việc vận dụng vào thực tế là mộtđiều quá xa lạ

Từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng tâm tỉ cự của hệ điểm giải một số bài tập cực trị hình học ”.

1.2 Nhiệm vụ của đề tài

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toánkhông chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biếtsử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháptọa độ, … thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc; sau này – khi họclớp 12, HS có thể mở rộng và dễ dàng làm tốt được dạng bài toán này trong không

gian Oxyz.

Với đề tài này, tôi cố gắng xây dựng cơ sở kiến thức vững chắc, hệ thống bàitập và ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề một cách thuận lợi nhất, quy lạ vềquen để bài toán cực trị hình học không còn là bài toán khó giải.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Từ kiến thức cơ bản và các ví dụ dễ hiểu, sau đó phát triển dần thành các bàitoán phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào một số bàitoán cực trị hình học cụ thể trong chương trình hình học lớp 10

Với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em

niềm đam mê, yêu thích môn toán, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên

cứu Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng tâm tỉ

cự của hệ điểm giải một số dạng bài tập cực trị hình học ”.

2 NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận, cơ sở khoa học

2.1.1 Nhắc lại khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm.

1 , 2 , , n

điểm G sao cho k GA1               1               k GA2 2                k GA              n n O

Trong trường hợp các hệ sốk i bằng nhau i 1,nthì G được gọi là trọng tâm của

hệ điểm A ii 1,n

2.1.1.2 Một số kết quả cần lưu ý.

Kết quả 1: ( Bài toán tâm tỉ cự của hai điểm)

Vế trái của (1) là một vec tơ hoàn toàn xác định nên từ (1) ta suy ra tồn tại duy nhất

điểm M thỏa mãn (1), tức là thỏa mãn yêu cầu bài toán.

khái niệm khác nữa

  

là một công thức rất quenthuộc mà ta đã biết

Kết quả 2: (Bài toán về tâm tỉ cự của ba điểm).

Vế trái của (1) là một vec tơ hoàn toàn xác định nên từ (1) ta suy ra tồn tại duy nhất

điểm M thỏa mãn (1), tức là thỏa mãn yêu cầu bài toán.

hay M là trung điểm của AB.

có thể là trọng tâm của tam giác ABC , là một trong ba điểm A, B, C hoặc là trung điểm của một trong ba đoạn thẳng AB, BC, CA….

2.2 Áp dụng trong thực tế dạy học: Các dạng bài tập thường gặp

2.2.1 Bài toán: : Bài toán cực trị hình học.

2.2.1.1 Dạng 1: Cực trị liên quan đến độ dài vectơ.

Nhận xét: Xuất phát từ bài toán.

Cho n điểm A A1 , 2 , ,A n và n số thực k k1 , 2 , ,k n thỏa mãn điều kiện

Khi đó I là tâm tỉ cự của A, B, C gắn với bộ

số (1; 1; 2) nên điểm I xác định duy nhất.

Ví dụ 1.2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A1;3, B 3;1, C5; 6  .Tìm tọa độ điểm F trên Oy sao cho                              3                2

Ví dụ 1.3: (BT 26- Trang 104-Sách BT Hình học NC) Trong mặt phẳng Oxy, chotam giác ABC có A  1;0, B2;3 , C3; 6   và đường thẳng  :x 2y 3  0 Tìm

I 

   

 .Suy ra:              MA              MB              MC

Khi đó M  d nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình 6 3 5 0

MỞ RỘNG: Với việc nắm vững phần kiến thức này, khi lên lớp 12, các em học

sinh có thể mở rộng và dễ dàng giải được các bài toán cực trị hình học trong không gian Oxyz như bài tập sau:

Ví dụ 1.3: ( Tư liệu nhóm Strong Team Toán) Trong không gian Oxyz, cho bađiểm A0; 2; 1   , B 2; 4;3  , C1;3; 1   và mặt phẳng  P x y:   2z 3 0  Điểm

nên d nhỏ nhất khi và chỉ khi MO nhỏ nhất  MO P nên M là hình chiếu

Giao điểm của  và  P chính là hình chiếu vuông góc M của O0;0;0 lên mặtphẳng  P

2 1

1

0 2

2 1

1 2

1

t

a x

Gọi I x y ;  là điểm thỏa mãn 2            IA IB                                0

MA MB MI IA MI IB MI

 

MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MI

I lên trục Ox hay M 4;0

BÀI TẬP MỞ RỘNG

2.2.1.2 Dạng 2: Cực trị liên quan đến độ dài bình phương vô hướng của vectơ.

Nhận xét: Xuất phát từ bài toán :

Cho đa giác A A1 2 A n A A1, 2, ,A n và n số thực k k1 , 2 , ,k n thỏa mãn điều kiện

Chú ý: Bài toán cho đa giác A A1 2 A n A A1, 2, ,A n và n số thực k k1 , 2 , ,k n thỏa mãn

2.2.1.1.a Ví dụ

Ví dụ 2.1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  :x y   2 0 và các điểm A2;1

nhất

Giải

Gọi I x y ;  là điểm thỏa mãn                                                            0

x y

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức               2                              6                0

nên điểm I xác định duy nhất.

Với mọi điểm M, ta có :

MA  MB  MC =MIIA2 2MIIB2 6MIIC2

MỞ RỘNG: Với việc nắm vững phần kiến thức này, khi lên lớp 12, các em học

sinh có thể mở rộng và dễ dàng giải được các bài toán cực trị hình học trong không gian Oxyz như bài tập sau:

Ví dụ 2.3: (Câu 41-Đề minh họa BGD năm 2019) Trong không gian Oxyz, chohai điểm A2; 2;4 ,   B 3;3; 1   và mặt phẳng  P : 2x y  2z 8 0  Xét M là điểm

Ví dụ 2.4:(Câu 39-Đề lần 1 thi thử TN THPT Sở GD Thanh Hóa, tháng 2/2022)

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A2;3;5 , B 1;3; 2 , C 2;1;3 , D5;7; 4 Điểm

2.2.1.2.b Một số bài tập.

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A0;2, B1; 3   ,C3;0 Tìm

   (  là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất ) hay M là hình chiếu

x y

1 2;

Bài tập 3:( BÀI TẬP PHÁT TRIỂN ĐỀ MH BGD NĂM 2019- Strong team

toán) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;0; 1 ,   B3; 3;0 ,   C1;4; 1   và mặtphẳng  P : 3x y  3z 11 0  Xét điểm M a b c ; ;  di động trên  P thỏa mãn

6MI2IA22IB23IC2

2 88 6

3

 MI 

chiếu của I trên  P

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với  P  u d 3;1; 3  

5 3 3

2 3 3

Nhận xét: cách làm hoàn toàn tương tự khi thay mặt phẳng bởi mặt cầu

Ví dụ 2.5: ( Tư liệu nhóm Strong Team Toán) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1 , 3;0; 1 , 0;21; 19) B( - ) C( - ) và mặt cầu ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

Gọi M a b c( ; ; ) ( ) Î S Þ (a- 1 ) + - (b 1 ) + - (c 1 ) = 1 và I là điểm thỏa mãn

T = MA + MB +MC = MIuuur uur+IA + MIuuur uur+IB + MIuuur uur+IC

= 6MI2 + 2MIuuur uur(3IA+ 2IB ICuur uur+ )+ 3IA2 + 2IB2 +IC2 = 6MI2 + 3IA2 + 2IB2 +IC2

đổi)

bài toán hỏi biểu thức T đạt giá trị lớn nhất.

5 5

5

a b c+ + =

2.3 Hiệu quả của đề tài

Những điều tôi đã thực hiện như nêu ở trên đã có một số tác dụng đối với họcsinh,cụ thể là : Các em tỏ ra rất say mê, hứng thú với dạng toán này, đó có thể coi làmột thành công của người giáo viên Kết thúc đề tài này tôi đã khảo sát lại cho các

em học sinh lớp 10A11 Kết quả như sau:

Không nhận biết được

Nhận biết,nhưng khôngbiết vận dụng

Nhận biết vàbiết vận dụng,chưa giải đượchoàn chỉnh

Nhận biết và biếtvận dụng , giảiđược bài hoànchỉnh

Như vậy là các em đã có sự tiến bộ Nghĩa là phương pháp mà tôi nêu ra trong

đề tài đã giúp các em phân loại được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm vàtrình bày bài, giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi

Một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiếnthức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề

mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinhnhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinhđồng thời rèn luyện cho HSnhiều kỹ năng cần thiết Kiến thức được dạy học đa dạng về phân môn, giúp các embiết cách nhìn vấn đề ở nhiều góc độ, đặt các vấn đề của cuộc sống trong một mốiquan hệ qua lại và gắn kết chặt chẽ

3.2 Kiến nghị.

Nội dung của đề tài đã được tôi cùng đồng nghiệp thực nghiệm tại đơn vị vàhiệu quả đã được tập thể đánh giá tốt, những HS được học theo phương pháp này cókết quả học tập tốt hơn, phát triển nhiều kỹ năng và kiến thức

Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp

lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Do đó đây chỉ là một chuyên

đề rất nhỏ để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh

Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên

đề này được đầy đ hoàn thi n h n./.ủ hoàn thiện hơn./ ện hơn./ ơn./

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

[4] Các dạng Toán phát triển đề thi minh họa 2018-2022

[5] Tuyển tập các đề thi thử TN THPT Quốc Gia của các trường trên cả nước nămhọc 2018-2019; 2019- 2020; 2020- 2021

[6] Tuyển tập sản phẩm của nhóm Strong Team Toán từ 2019 đến nay

[7] Tuyển tập sản phẩm của nhóm Bắc Trung Nam từ 2019 đến nay

DANH M C CÁC ỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GD TỈNH ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GD TỈNH TÀI SKKN Ã Đ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GD TỈNHC H I ỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GD TỈNH ĐỒNG SKKN NGÀNH GD TỈNHNG SKKN NGÀNH GD T NHỈNH

Tên đề tài

Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ

“Một số bài toán viết phương trình

đường thẳng trong không gian” 2013 C

QĐ số 743/QĐ-SGD&ĐT,ngày 04/11/2013 của GiámĐốc Sở GD&ĐT ThanhHóa

“Phân loại và một số phương pháp

giải bài toán về quan hệ vuông góc

trong không gian”

QĐ số 972/QĐ-SGD&ĐT,ngày 24/11/2016 của GiámĐốc Sở GD&ĐT ThanhHóa

“Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải

một số bài tập góc giữa đường

thẳng và mặt phẳng”

QĐ số 1362/QĐ-SGD&ĐT,ngày 05/11/20 của GiámĐốc Sở GD&ĐT ThanhHóa