SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS

SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS I PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, Toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ Toán học là một môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực Con người chúng ta trong bất kì hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán Nghiên cứu về toán cũng chính là nghiên cứu một phần của thế giới Các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ hỗ tr.

SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, Toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ Toán học là mộtmôn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực Con người chúng ta trong bất kìhoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán Nghiên cứu về toán cũng chính

là nghiên cứu một phần của thế giới Các kiến thức và phương pháp toán học là công

cụ hỗ trợ đắc lực giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trongmọi lĩnh vực Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực vàphẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mĩ của người côngdân

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới khôngngừng Để đào tạo ra những con người nghiên cứu về Toán học thì trước hết phải đàotạo ra những con người có kiến thức vững vàng về môn Toán Đây là nhiệm vụ hết sứcquan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo Do đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáophải lao động, phải có sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy họchiệu quả giúp học sinh học và giải quyết bài toán một cách tốt nhất Phân tích đa thứcthành nhân tử là một nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình toán học ởtrung học cơ sở Việc nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

không những giúp học sinh làm tốt các bài toán dạng này mà còn là công cụ cần thiếtgiúp các em vận dụng tốt vào giải các phương trình, chứng minh…….Đặc biệt giúphọc sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất Qua quá trình dạy toán ở trunghọc cơ sở, qua kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi của bảnthân tôi đã hệ thống được một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử màthiết nghĩ mỗi thầy cô giáo dạy toán đều cần trang bị cho học sinh để giúp các em giảitốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao tư duy toán học tạođiều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung Phân tích

đa thức thành nhân tử là một dạng toán gặp rất nhiều trong toán trung học cơ sở, nó đadạng nên khi giải các bài toán trên học sinh phải biết lựa chọn phương pháp phù hợpđối với từng bài để phân tích đúng và triệt để đến kết quả cuối cùng Đối với giáo viênkhi dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình Đối với học sinh sẽ khắcphục những hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự tin học tập bộ môn toán

Kĩ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bàitập là vấn đề mà giáo viên luôn phải quan tâm Thông qua bài kiểm tra 15 phút, bàikiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kì cho thấy kĩ năng giải toán và vận dụng kiến thức phântích đa thức thành nhân tử là chưa cao Đây là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáoviên dạy toán 8, kể cả toán 9 Vì vậy, với bản thân trong những năm dạy học ở toán 8

tôi xây dựng thành “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS Lương

Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk ”

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

a) Mục tiêu

- Giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hiện thành thạo các dạng toán liênquan đến phân tích đa thức thành nhân tử Góp phần nâng cao chất lượng dạy và họctoán của học sinh lớp 8 trong nhà Trường, phát triển chất lượng đại trà và mũi nhọncủa bộ môn

- Giúp học sinh có khả năng thành thạo khi phân tích đa thức thành nhân tử

- Giúp học sinh yêu thích môn toán hơn, đồng thời phát triển năng lực tự học,

tự nguyên cứu

b) Nhiệm vụ

- Tìm hiểu các sai lầm phổ biến, những khó khăn của học sinh lớp 8 khi phân

tích đa thức thành nhân tử

- Phân tích tìm ra được các sai lầm khi giải toán

- Đề xuất các biện pháp để giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp phântích đa thức thành nhân tử trong giải toán trung học cơ cở

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ đó học sinh biết

vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải toán

4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 8A1, 8A3 trường trung học cơ sở Lương Thế vinh huyện Krông Anatỉnh Đắklắk năm học 2017- 2018

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SBT, SGV toán 8, chuẩn kiến thức kĩnăng, nâng cao và pháp triển toán 8, các tài liệu có liên quan; nghiên cứu qua các quátrình giải bài tập của học sinh; nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh theo từngđợt; nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh

- Phương pháp thống kê toán học

- Phương pháp điều tra, khảo sát

- Phương pháp đàm thoại – gợi mở

- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu

Để việc dạy học đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyềnđạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làmtrung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo

và tự giác của học sinh Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồngnghiệp, tôi thấy kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về phân tích đathức thành nhân tử được thể hiện rất rõ qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần một Có những bài học sinh trình bày rất tốt,sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều,thậm chí nhiều bài không định hình được cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìmcho các em những mẹo nhớ, những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cảithiện được chất lượng bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiếnthức này

Việc dạy học phải bám sát vào chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáodục phổ thông để xác định mục tiêu của bài học, chú trọng dạy học nhằm đạt được cácyêu cầu cơ bản và tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, đảm bảo không quá tải; mức độ khaithác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh;sáng tạo về phương pháp dạy học, phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác của họcsinh tạo niềm vui, phấn khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập chohọc sinh; dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa giáo viên với học sinh, giữa học

sinh với học sinh, chú trọng đến việc động viên, khuyến khích kịp thời tiến độ của họcsinh trong quá trình học.

Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thìtrước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thànhtích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phươngpháp nâng cao để phân tích, đó là:

a) Phương pháp đặt nhân tử chung A.B + A.C = A ( B + C)

+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhĩm.

+ Nhĩm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

+ Đặt nhân tử chung cho tồn đa thức

d) Phối hợp các phương pháp cơ bản

Vận dụng và phát triển kỹ năng là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơbản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhĩm nhiều hạng tử

e) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:

Với các đa thức cĩ bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệngười ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức

Khái niệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 Như vậynếu đa thức cĩ nghiệm là a thì nĩ chứa nhân tử x- a

Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu cĩ phải là ước của

hệ số tự do

Thật vậy giả sử đa thức a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an với các hệ số a0 ; a1 ;

a2 ;a3 ;…….an nguyên, cĩ nghiệm x = a ( a là số nguyên)

Từ đĩ suy ra a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an = (x – a) (b0xn-1 + b1xn-2 +…+ bn-1)

Trong đó b0 ; b1 ; b2 ;…….bn-1 nguyên Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vếphải bằng –abn-1, Hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an

Vì vậy –abn-1= an suy ra an chia hết cho a tức a là ước của an

Chú ý khi xét nghiệm nguyên của đa thức, Cần sử dụng định lí bổ sung sau:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự

do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình thường

+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhận tử chứa biến của đathức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại

+ Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của ban giám hiệu nhà trường

+ Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp

+ Nhà trường có tương đối đầy đủ phương tiện trang thiết bị phục vụ cho dạyhọc

Tuy nhiên vẫn còn nhiều khó khăn:

+ Trình độ nhận thức của các em không đồng đều (có nhiều học sinh khá giỏi

nhưng cũng có không ít học sinh yếu kém)

+ Đa số học sinh chưa xác định được mục đích của việc học

+ Học sinh không có sự ôn luyện hè ở nhà

+ Học sinh còn chịu ảnh hưởng của bệnh thành tích ở những năm trước khôngcần học cũng vẫn lên lớp

+ Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học

+ Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tửđặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học Suy luậnkém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau.Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic Các em chưa có phương pháp học tậptốt thường học vẹt, học máy móc thiếu kiên nhẫn khi gặp bài toán khó.

+ Một số em hổng kiến thức từ dưới (lên cấp II mà bảng cửu chương chưathuộc)

+ Môn đại số 8 lượng kiến thức lớn, trình bày cần logic chặt chẽ nhưng lứa tuổicác em còn bỡ ngỡ và lập luận hay ngộ nhận, thiếu căn cứ

+ Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếukém

+ Nhiều gia đình kinh tế khó khăn, bố mẹ thường xuyên vào rẫy xa để trồng mía,trồng sắn chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập

Từ những thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao để các

em học sinh ngày thêm yêu thích môn toán hơn, hình thành cho học sinh kĩ năng giảitoán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo

Từ những nguyên nhân các yếu tố tác động tôi có thể phân tích các vấn đề vềthực trạng như sau:

+ Đối với học sinh : Có thể nói sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thìhọc sinh gặp ngay một dạng toán mới tương đối khó đó là phân tích đa thức thànhnhân tử Ta đã biết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò rất quan trọng trong việcgiải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em phần lớnchưa tốt, còn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ Hơn nữa,một số kĩ năng phục vụ cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như nhân – chiađơn thức, qui tắc dấu ngoặc, một số công thức về lũy thừa là chưa thành thạo Chính vìthế mà kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao.

Đối với giáo viên: Có thể trong tiết luyện tập, ôn tập về nội dung bài toán liênquan đến phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên chưa nắm bắt được những đặcđiểm trên của học sinh Cũng có thể hướng dẫn cho học sinh từng bài cụ thể nhưngchưa định hướng cách giải chung cho dạng toán này

3 Nội dung và hình thức của giải pháp

a Mục tiêu của giải pháp

Đề xuất các biện pháp sư phạm để giúp học sinh biết sử dụng các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán Góp phần nâng cao chấtlượng dạy học toán ở lớp 8 Tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy họcnhư: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêmđộng lực, niềm phấn khích đối với các em… để các em có thể tiếp thu kiến thức mộtcách tốt nhất

b Nội dung và cỏch thức thực hiện giải phỏp

* Biện phỏp 1: Củng cố, khắc sõu kiến thức cơ bản.

Để phõn tớch đa thức thành nhõn tử học sinh phải nắm vững cỏc kiến thức liờnquan đó học Vỡ vậy giỏo viờn phải củng cố, khắc sõu cho học sinh của mình các đơn

vị kiến thức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đathức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức,chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thànhthạo các hằng đẳng thức đáng nhớ

Đặc biệt giỏo viờn phải cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đathức thành nhân tử

Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tíchcủa nhiều đơn thức và đa thức khác

Khi giải một số bài toỏn đơn giản người ta cú thể sử dụng một trong cỏc phương phỏpgiải thụng thường như:

+ Đặt nhõn tử chung

Vớ dụ1: x2 – 2x= x( x–2)

+ Dựng hằng đẳng thức

Vớ dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2

+ Nhúm nhiều hạng tử (thường thỡ ta cú nhiều cỏch nhúm hạng tử khỏc nhau)

Vớ dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y)

= (1– 3y)(x+ 1+3y)

Tuy nhiên khi thực hành giải toán đòi hỏi chúng ta không những thành thạo cácphương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể trên để cóthể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

A = 3x25y 3xy 5x 

= ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y) (Nhóm các hạng tử)

= 3x( x–y) –5( x–y) (Đặt nhân tử chung)

= ( x–y) ( 3x –5) (Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:

B = x - 2y + x2 - 4xy + 4y2

= (x - 2y) + (x2 - 4xy + 4y2) (Nhóm các hạng tử)

= (x - 2y) + (x - 2y)2 (Dùng hằng đẳng thức)

= (x- 2y) (1 + x - 2y) (Đặt nhân tử chung)

Vậy muốn các em phối hợp tốt các phương pháp trên giáo viên cần nhắc các emlưu ý một số bước sau:

+ Ta đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể để từ đó làm đơn giản đa thức.+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào hay không ?

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải biết cáchnhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằngđẳng thức

Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:

+Dùng hằng đẳng thức: M= x2 ( x - 1)2 - (3 y)2 xem xét hai hạng tử trong ngoặc

có dạng hằng đẳng thức nào.Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:

+ Phương pháp xét giá trị riêng.

Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:

1 Phương pháp tách hạng tử

Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với cáchạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung với cáchạng tử còn lại để từ đó ta phân tích được bài toán

Ngoài cách tách hạng tử tự do ta còn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách táchtam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx +c thành nhân tử chung, talàm như sau:

Bước 1: Tìm tích ac

Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Ví dụ 7:Phân tích đa thức thành nhân tử:

N = 3x2 + 4x – 7

a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương

Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

P = x4 + 324 = x4 + 182 = x4 + 182 + 36x2 - 36x2 ( thêm bớt 36x2)

= (x2 + 18)2- (6x)2 ( nhóm hạng tử) = (x2 + 6x + 18)(x2 - 6x + 18) ( dùng hằng đẳng thức)

b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) Q = a5 + a + 1

b) P= x7 + x2 + 1

Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:

… Đều chứa nhân tử x2 + x + 1

Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên cầnthông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình

3 Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)

Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12

b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128

Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:

a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12

Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị Vậy ta có thểđặt ẩn phụ để đưa bài toán đơn giản hơn.

Đặt t = x2 + x+1 khi đó A = t(t + 1) -12 = t2 + t - 12

Sau đó có thể phân tích t2 + t - 12 = t2 + 4t - 3t - 12 ( tách t = 4t - 3t)

=( t2 + 4t) - (3t + 12) ( nhóm hạng tử) = t( t + 4) - 3( t + 4) = (t + 4)( t - 3) ( đặt nhân tử chung)Hay A = (x2 + x+5)( x2 + x - 2)

Ta x2 + x+5= (x+ \f(1,2 )2 + \f(19,4  0 nên không phân tích được nữa

Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biết, ta đã đứa đa thức bậc bốn đối

với x thành đa thức bậc hai đối với biến y

4 Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:

Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1)

Phương pháp:Nếu đa thức (1) có nghiệm thì theo định lí Bơ Zu có m là nghiệmcủa (1)thì đa thức chứa nhân tử (x – m) khi đó dùng phép chia đa thức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếpđược dựa vào các phương pháp nêu trên.

Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức

Chú ý: khi xét nghiệm nguyên của đa thức, cần sử dụng định lí bổ sung sau:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự

do, q là ước dương của hệ số cao nhất

là số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

+ Cũng có thể tìm nghiệm bằng máy tính casio rồi từ đó phân tích đa thức thànhnhân tử

Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử