Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi H là trung điểm của AB, trên đường thẳng vuông góc với mpABCD tại H ta lấy một điểm S sao cho tam giác SAB đều; M là trung điểm của
Trang 1SỞ GD – ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V – NĂM 2013 Môn: Toán; Khối: A, A1
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y= − +x3 3x2−2 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Giả sử đường thẳng d y m x: = ( + +1) 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(−1; 2), ,
B C Gọi k , 1 k lần lượt là hệ số góc của 2 tiếp tuyến với đồ thị (C) tại ,2 B C Tìm m để
3
k −k =
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2
sin
3cot 1
x x
x
+
=
−
2 Giải hệ phương trình:
2
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:
3
2
6
1 3sin 2 8sin
dx I
π
π
=
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi H là trung điểm của AB, trên đường
thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại H ta lấy một điểm S sao cho tam giác SAB đều; M là trung điểm của SD Tính thể tích khối tứ diện MACD và tính khoảng cách từ điểm B đến mp(MAC)
Câu V: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , , x y z thoả mãn xy+3yz+3zx=45
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 ( 3 3) 2
27
M = x +y +z
Câu VI: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 3 1;
2 2
( )
J 1; 2− là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 20 Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm A có hoành độ âm và có tung độ dương
Câu VII: (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):( ) (2 ) (2 )2
x− + +y + −z =
và mặt phẳng (P) : 2x−2y z− + =9 0 Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong mp(P) đi qua điểm A(0; 4; 1) đồng thời cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho MN 16=
Câu VIII: (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn (z−4) (z− = −2) 3 4z Tính ( )10
1
A= +z
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……… SBD:………
Trang 2Sở GD – ĐT ĐăkLăk
Trường THPT Phan Chu Trinh
Năm học: 2012 - 2013
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V – KHỐI A, A1
MÔN: TOÁN ; NĂM HỌC 2012 – 2013
(Đáp án – Thang điểm này gồm 4 trang)
Câu Đáp án Điểm Câu I: ( 2,0 điểm) 1 Khảo sát hàm số: 3 3 2 2 y= − +x x − có đồ thị (C3) i) Tập xác định: D = R ii) Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: 2 ' 3 6 y = − x + x; ' 0y = ⇔ x=0 hoặc x=2 • Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;0)và(2;+∞) • Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2 +) Cực trị: • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = −2 • Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ; yCĐ = 2 +) Giới hạn: limx→+∞y= −∞; lim x y →−∞ = +∞ +) Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞
y’ − 0 + 0 −
y +∞ 2
−2 −∞
iii) Đồ thị: 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét pt: 3 2 ( ) 3 2 1 2 x x m x − + − = + + ⇔( ) ( 2 ) 1 4 4 0 x+ x − x+ +m = ⇔x= −1 hoặc x2−4x+ + =4 m 0 (*) Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác −1, tức là: ' 0
9 m ∆ > ≠ − ⇔ 0 9 m m < ≠ − Khi đó đồ thị (C) cắt d tại 3 điểm A(−1; 2); B x y ; ( 1; 1) C x y( 2; 2) (với x x là 2 nghiệm của pt (*) và 1, 2 y1 =m x( 1+ +1) 2 ; y2 =m x( 2+ +1) 2) Theo định lý Viet: x1+ =x2 4; x x1 2 = +4 m Mặt khác: 2
'( ) 3 6 f x = − x + x Hệ số góc tiếp tuyến tại B, C: k1 = f x'( )1 = −3x12+6x1 ; k2 = f x'( )2 = −3x22+6x2 Tính: k1+ =k2 6m ; 2 1 2 9 36 k k = m + m Khi đó: k1−k23 =1728 ⇔( ( ) )3 2 1 2 1728 k −k = ⇔( ( ) )3 2 1 2 4 1 2 1728 k +k − k k = ⇔ ( )3
144m 1728
− = ⇔ m= −1 (thoả điều kiện)
0,25
0,25
0,25
0,25
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0;−2)
Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (1± 3;0) ; (1;0)
Ngoài ra đồ thị hàm số còn đi qua điểm (−1;2); (3;−2)
x y
Trang 3Câu Đáp án Điểm Câu II:
( 2,0 điểm) Điều kiện : 1
cot
3
x k x
π
≠
Biến đổi pt về:
3cosx−sinx=cos x−sin x+2
x− x+ = x− x+ ⇔
⇔ sinx−cosx= −1 hoặc sinx+cosx=2(vô nghiệm)
⇔ x k= 2 π hoặc 3
2
x= π + 2k π
, k Z∈
Đối chiếu với điều kiện ban đầu họ nghiệm x k= 2 π (loại) Vậy phương trình có một họ nghiệm: 3
2
x= π + 2k π
, k Z∈
0,25
0,25
0,25
0,25
Điều kiện: x≥0 Biến đổi phương trình (2): y3+3(x+3) y−4(x+3) x+ =3 0 ⇔
3
Thay y= x+3 vào pt (1) ta được: 4(x+ +3) x+ − =3 12 6 x
3 1 2 3
+ − = −
Pt: x+ −3 3 x+ =1 0 ⇔ x=1 ( 1
16
x= loại) Pt: x+ +3 3 x− = ⇔3 0 3 ( )
19 3 33 32
19 3 33 32
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x y : ; ) (x y; ) ( )= 1; 2 hoặc ( ) 3 ( ) 3 ( )
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu III:
( 1,0 điểm) Ta có : 3
2
6
1 3sin 2 8sin
dx I
π
π
=
6
1 cosx 3sinx dx
π
π
=
+
∫
3
2 2
6
1 cos x 1 3tanx dx
π
π
=
+
∫
Đặt t= +1 3tanx ⇒ 2
3 cos
x
6
x=π
thì t= +1 3 ;
3
x=π
thì t= +1 3 3,
Vậy:
3 2 3
1 3 1
1 3
dt I
t
+ +
1 3 3
1 3
+ +
0,25
0,25
0,5
Câu IV:
( 1,0 điểm) Trong tam giác SHD, kẻ MN // SH cắt DH tại N, suy ra: MN ⊥ (ACD)
2
a
a
MN = SH = ;
2
1 DA.DC
ACD
a
Thể tích khối tứ diện MACD:
3 D
a
Xét tam giác BCH vuông tại B nên:
CH =CB +BH =a + =
0,25
0,25
Trang 4Câu Đáp án Điểm
Tam giác SHC vuông tại H nên:
2
SC =SH +HC = + = a
SD =SC = a
Tam giác SCD có CM là trung tuyến nên:
CM = CS +CD − SD
1( 2 2) 1 2 2
Tam giác SAD có AM là trung tuyến nên:
AM = AD +AS − SD
.2
a
2
a
AM =
Tam giác MAC có
2
a
AM = ; AC a= 2; CM =a nên áp dụng định lý cosin
tính được: cos 3
4
A= ⇒sin· 7
4
MAC= ; 1 . .sin· 2 7
AMC
a
S = AM AC MAC=
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (MAC) là:
7
MACD MAC
S
Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (MAC) bằng 21
7
a
0,25
0,25
Câu V:
( 1,0 điểm) Ta có:
27 9
x + +x ≥ x và y3+y3+27 9≥ y2
suy ra : 3 3 9( 2 2)
27 2
x +y ≥ x +y − ⇔ 2 ( 3 3) (1 2 2)
2
27 x +y ≥3 x +y −
Do đó: 1( 2 2) 2
2 3
M ≥ x +y + −z Mặt khác: 1( 2 2) 2
9 x +y ≥9xy;
2 2
z
x + ≥ xz;
2 2
z
y + ≥ yz
3 x +y + ≥z 9 xy+ yz+ zx = , từ đó ta được M ≥8
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x= =y 3 và z=2
0,5
0,25
0,25
Câu VI:
( 1,0 điểm) Ta có: IJ 1 32 2;
= ÷
uur
Đường thẳng AB đi qua J
và nhận IJuur làm véc tơ pháp tuyến có pt:
x+ y− = ; 10
2
IJ =
IJ là đường trung bình trong ∆ABD nên AD=2IJ = 10
Theo giả thiết: S ABCD =20 ⇔AB AD =20
⇔AB=2 10 , suy ra: JA JB= = 10 Toạ độ hai điểm ,A B là nghiệm của hệ phương trình:
( ) (2 )2
x y
4 3
x y
= −
=
2 1
x y
=
=
Do đó A(−4;3); B( )2;1 ; tính được C(1; 2− ) và D(−5;0)
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5Câu Đáp án Điểm Câu VII:
(1,0 điểm) Tâm I(3; 2;1− ), bán kính R=10
Gọi H là hình chiếu của tâm I lên mp(P), khi đó: ( ;( )) 26 4 1 92 2
2 ( 2) ( 1)
IH d I P + − +
6 10 R= < =
Do đó (S) cắt (P) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính r= R2−IH2 =8
Vì MN =16 2= r nên đường thẳng (∆) đi qua điểm H
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nr=(2; 2; 1− − ) Phương trình đường thẳng IH:
3 2
2 2 1
z t
= +
= − −
= −
, suy ra: H(3 2 ; 2 2 ;1+ t − − t −t)
Vì H ∈ (P) nên: 2 3 2( + t) (− − −2 2 2t) (− − + =1 t) 9 0 ⇔ t = −2
Với t= −2, ta được H(−1; 2;3); tính uuurHA=(1; 2; 2− )
Phương trình đường thẳng (∆): 4 2
1 2
x t
=
= +
= −
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu VIII:
(1,0 điểm) Ta có: (z−4) (z− = −2) 3 4z ⇔ z2−2z 5 0+ = ⇔ z= −1 2i hoặc z= +1 2i
Với z= −1 2i, ta có: ( )10
2 2
A= − i 10 ( )2 5
2 1 i
= − = −2 i15
Với z= +1 2i, ta có: ( )10
2 2
A= + i 10 ( )2 5
2 1 i
0,5 0,25 0,25
