chum bai toan tiep tuyen cat tuyen on thi vao lop 10 mon toan

Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây ;  BC vuông góc OM tại H.. 3 Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn... 4 Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.. + Hoặc

CHÙM BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN

ÔN THI VÀO 10

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Cho O R và điểm M nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây ;  BC vuông góc OM tại H

1) Chứng minh OH OM R2

Vì MB là tiếp tuyến  O BM OB OBM vuông tại ,B BH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OBM: OM OH OB2 R2

2) Chứng minh MB MC , HB HC

Xét hai tam giác vuông OHB và OHC có OB OC R  , OH chung

Từ đó suy ra OMB OMC c g c    MB MC

3) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn

Do OMB OMCOCM OBM 900CM là tiếp tuyến của  O

4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó

Chỉ ra  MBO MCO 1800MBOC nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm OM

5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB MC Chứng minh BC, OM

+ Lập luận vì MB MC M nằm trên trung trực BC , OB OC  nằm trên trung trực BC OVậy OM là trung trực BCOM BC

+ Hoặc chỉ ra MB MC và MO là phân giác góc BMC ( tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao

C O B

8) Gọi giao OM với  O là I Chứng minh BI là phân giác góc MBC và I là tâm đường tròn nội tiếp MBC

9090,

Từ   1 2  là tâm đường tròn nội tiếp I BCM

Cách 2: Do MC MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại , M MO là phân giác góc BMC  1

Ta có: BOM COM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung CI BI

Mà BM CM  BCM là tam giác đều nên BMC600BOC1200BOM600

A A Chứng minh chu vi MA A1 2 không đổi và độ lớn góc A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm 1 2

A khi A di chuyển trên cung nhỏ BC

Vậy chu vi tam giác MA A và độ lớn góc 1 2 A OA1 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A

12) Cho R3cm OM, 6cm Tính số đo góc A OA1 2

1 1802

A OA  BMC Trong tam giác vuông BMO ta có:

B

A

A A A A là tứ giác nội tiếp)

Ở trên các em đã chứng minh được 1 2 1.

2

2BCA  BOC ( góc ở tâm và góc nt) Suy ra A OA1 2 BCA2

Từ đó suy ra tứ giác OCA A là tứ giác nội tiếp nên 2 3  0

.2

A OA CBA  BOC tứ giác OBA A nội tiếp nên 1 4

Đầu tiên các em tính góc BOC1200

Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác OCA A nội tiếp nên 2 3 OA C OA C2  3 OA A OA C 2  3

A

Vậy 2 1 3

12

B

A

Suy ra tứ giác AA RA nội tiếp 5 6

Vì tứ giác AA RA nội tiếp nên 5 6 A A A A RA ACY CBA6 5    6   A A5 6/ /BCA A5 6AR

C O B

A

20) Cho , ,A B Y thẳng hàng, kéo dài A A5 6BM  Chứng minh R1 BR A R là hình bình hành ( hoặc khai 1 6thác các yếu tố của hình bình hành này)

9090

TRB

TRB RYCRYC

Mặt khác TB TR TRB TBR RCY    RCY RYCRY RC

22) Chứng minh rằng tia đối của tia AR là phân giác của góc TAY

Gọi Ay là tia đối tia AR

Chỉ ra tứ giác BTAR nội tiếp nên CBTTAy

Chỉ ra tứ giác CYAR nội tiếp nên BCYYAy Mà C T B BCYAy là phân giác của góc TAY 

B

T

Y R

C

M O

C O B

A

Gọi A là giao 8 A A với 7 A A và H  là giao 5 6 A A với BC 7

Chỉ ra A A A BCA A YA5 6   6 A A5 6 là tiếp tuyến của  O 5

Từ đó chỉ ra được 2

A A A A A A Chứng minh tương tự : A A A BCT8 5    A TA5 A A8 5 là tiếp tuyến của  O 4

24) Cho góc BOC1200 Gọi giao OA và 1 OA với 2 BC là A và 3 A Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ 4

BC để diện tích tam giác OA A bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm A để diện 3 4tích OA A1 2 bé nhất hoặc độ dài A A bé nhất) 1 2

C O

A AR

26) Chứng minh ba tam giác O A O1 1 ∽AOA1 2∽O OA2 2 và O A O A1 1 2 2 O O O O2 1

Do MO O1 2 cân tại M ( vì OM vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên

A

Vì O R và điểm M cố định nên ;  O O không đổi 1 2

Dấu bằng xảy ra khi O A1 1O A2 2A A1 2/ /O O1 2  ( với A I I OM  O )

29) Cho  O và M cố định, điểm A di chuyển trên cung nhỏ BC Chứng minh chu vi tam giác MA A 1 2không phụ thuộc vào vị trí điểm A

Chỉ ra chu vi MA A1 2 là: MA1A A1 AA2A M2 MA1A1B  CA2A M2 MB M C2MBkhông đổi

Vậy chu vi tam giác MA A không phụ thuộc vào vị trí điểm A 1 2

30) Cho  O và M cố định Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác MA A lớn nhất 1 2

A

Như trên ta đã chứng minh: Chu vi MA A1 2 không đổi và bằng 2MB

Đặt MB a  nửa chu vi MA A1 2 là p a không đổi

MA A

p

Dấu bằng xảy ra khi MA1MA2 là giao điểm của OM với A  O

31) Kéo dài AH O  Chứng minh tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp và góc  Z BMZ AMC ( hoặc chứng minh BMACMZ hoặc OM là phân giác góc AMZ )

Từ đó suy ra HAM∽HOZ c g c     AZO AMO tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp

+ Ta có: AMO A OZ (góc nt chắn cung OA ) mà OAZ A OZ ( OAZ cân tại O)

Và OAZ OMZ  (góc nt chắn cung OZ ) nên AMO OMZ mà BMO CMO nên BMACMZ suy ra

T 1

Chỉ ra tứ giác OT BT OT T C nội tiếp nên 1 2; 1 3  

OB OC OBT OCT OT T OT T  OT T cân tại O

33) Chứng minh rằng nếu T là trung điểm HB thì 1 T là trung điểm CM , hoặc 3 HT BT là hình bình hành 3 2( hoặc cho T là trung điểm HB , chứng minh 1 BT là trung tuyến BMC3  , hoặc MG2GH ….)

Chỉ ra OT T2 3 cân nên T là trung điểm 1 T T , mà 3 2 T là trung điểm 1 HBHT BT3 2 là hình bình hành, do

đó HT3/ /BT Dựa vào MBC2  có HT3/ /BM mà H là trung điểm BC T là trung điểm CM 334) Chứng minh OH OT 2OB OT 1

T 3

T 2

C O

37) Cho R3cm OM, 5cm Tính độ dài các cạnh của tam giác MBC

38) Kẻ CPBM tại P , CP OM  Chứng minh Q là trực tâm Q MBC và BQMC Tính BQ

Xét MBC có MH CP là đường cao nên Q là trực tâm , MBC và BQMC

Do QB KC ( cùng vuông góc / / CM) nên HBQ KCB  ( so le trong )

Suy ra KCB BCQ BC là phân giác của góc KCP

41) Tứ giác OBQC là hình gì ? Vì sao?

Suy ra F BC CBM2  BC là phân giác góc MBF2

46) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc OB cắt MC tại Y Chứng minh 1 OY M1 cân

Chỉ ra OY1/ /MB OBY OM 1 OMB slt OMY1 OY M1 cân tại Y 1

47) Gọi B là điểm chính giữa cung 3 I I Từ H kẻ 1 HH3 B I3 1 tại H , kẻ 3 HH4B I3 tại H Chứng 4minh 5 điểm O H H B H cùng thuộc một đường tròn , , 4, 3, 3

Chỉ ra 5 điểm O H H B H cùng nằm trên đường tròn đường kính , , , , HB

C

O

I B

48) Gọi H là điểm đối xứng với H qua 5 H H Chứng minh 3 4 H H B H là hình thang cân 4 5 3 3

Vì H H4 5HH4B H3 3B H H 3 5 3 H H H4 3 5 ( góc nt chắn hai cung bằng nhau)

4545

Tứ giác OHH H nội tiếp nên 4 3 

Do OBQC là hình thoi nên BQ OB R  mà B cố định nên QB R; 

52) Gọi C là trung điểm 1 CM,

  1 1

C

Xét MK H1 và MOK có: góc KMO chung và MK1 MH

OKK H là tứ giác nội tiếp

54) Chứng minh C K là tiếp tuyến của 1 1  O

Chỉ ra CMK1 vuông tại K1K C1 1C C C M1  1  C K C1 1 cân tại C 1

Từ đó suy ra C K là tiếp tuyến của 1 1  O

55) Gọi K là trung điểm 2 KK Chứng minh 1 B K là tiếp tuyến của 2  O

C O

C

C O

B

C O

C O

C O B

Từ đó suy ra CH J C là tứ giác nội tiếp 1 1

C O B

B

BKK

BKKK

HCHK

Cách khác: Các em có thể thấy, HB là phân giác trong 1 KHK và 1 HM HBHM là phân giác ngoài

K K K

K

B

B KMKMK

66) Chứng minh HB là phân giác góc KHK 1

Chỉ ra tứ giác OKK H là tứ giác nội tiếp nên 1  

1 1

9090

C O

B

Chỉ ra

2

2 1 1

5

5 5 5

5

180180

70) Giả sử KK13K M1 và P là trung điểm KM Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 1tiếp OHP1

Từ đó các em chứng minh MHP1∽MPO c g c1     MP H 1 MOP1

Suy ra MK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OHP1

71) Gọi trung điểm BK là Q , 1 2 1 2

B

9090

75) Từ M kẻ cát tuyến MDD ( tia MD nằm giữa tia MB và MO), gọi D là trung điểm DD , 1

B D'

Từ đó suy ra MDH∽MODc g cMHD MD O  ( hai góc tương ứng)

82) Giả sử độ dài dây cung DD không đổi Chứng minh BC luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi

Do DD nên khoảng cách từ O đến DD là OD không đổi 1

B D'

Suy ra BC luôn đi qua điểm cố định là D 2

83) Chứng minh D D là tiếp tuyến của 2  O ( hoặc chứng minh ODD D 2)

OD D OD D  D D là tiếp tuyến của  O

84) Nếu đề bài đổi thành tiếp tuyến tại D và D cắt nhau tại D , chứng minh 2 B C D thẳng hàng , , 2

Cách khác: Các em có thể chỉ ra hai tứ giác OD D D 2 và OD DH nội tiếp nên 5 điểm O D D H D, , , , 2

OHD ODD  HD OH mà BCOHB C D thẳng , , 2hàng

85) Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt  O tại D Chứng minh 5 D H D thẳng hàng 5, ,

Vì BH là phân giác góc D HD ( đã chứng minh ở các câu khác)

B D'

Vì D D 5/ /BCOH là trung trực D D 5OHD OHD5OHD 5DHM

CD D KOG từ đó cứng minh OKG1∽D DC1 ( hoặc các tỉ số từ tam giác đồng dạng)

Chỉ ra CD D MOC1  KOG1 và G KO D DC1 1 ( góc nt chắn cung D C )

B D'

B D'

B D'

Vì CD BM nội tiếp nên 1 D CB D MB D DC slt1  1  1 4 CDC D4 1 là tứ giác nội tiếp

Vì CDC D nội tiếp nên 4 1 DD C1 4 DCC4 mà DCC4DD B DD B DD C   1 4D B D C / / 1 4

Mà D là trung điểm 1 D D C4 là trung điểm DC 5

89) Gọi MD BC D 3 Chứng minh MD và 1 D D là phân giác trong và ngoài của góc 1 2 CD B1 và

+ Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp nên 1 MD B MOB1   ( góc nt cùng chắn cung BM )

+ Chỉ ra tứ giác OD MC nội tiếp nên 1 MD C MOC1  ( góc nt cùng chắn cung MC)

Mà MOC MOBMD B MD C 1  1 MD1 là phân giác góc CD B1

Hoặc các em chỉ ra : 5 điểm M C O D B cùng thuộc một đường tròn, , , , 1,

mà MB MC MD B MD C 1  1 ( góc nt chắn hai cung bằng nhau)

B D'

C O

B D'

91) D C1  O C2 Chứng minh C B D D2 / / 

Chỉ ra tứ giác BMCD nội tiếp, suy ra 1 CD M1 CBM ( góc nt cùng chắn cung CM)

Mà CC B CBM2  ( góc nt cùng chắn cung BC)

Suy ra CD M1 CC B2 , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên C B D D2 / / 

92) Kéo dài BD1 O C3 Chứng minh CC3/ /D D

Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp, suy ra 1 MD B MOB1  ( góc nt cùng chắn cung BM )

2

CC B COB MOB ( tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm)

Suy ra CC B MD B2 1 , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên CC2/ /D D

B D'

B D'

B D'

B D'

Gọi O là trung điểm 1 OM O1 cố định và 1 1 1

3

OMO

M

C

O2G

B D'

E F

M O

B D'

Chỉ ra tứ giác D BMC nội tiếp nên góc 1 D BC D MC1 1 ( góc nt chắn cung D C ) 1

Mà D MC1 D DE1 ( đồng vị) nên D BC1 D DE1  D BE D DE1  1 Từ đó suy ra BDED là tứ giác nội 1tiếp

+ Vì BDED là tứ giác nội tiếp nên 1 ED D EBD1  ( góc nt chắn cung ED )

ED D CD D slt  CBD sd CDED D EBD

Từ đó suy ra ED BD là tứ giác nội tiếp 1

+ Vì ED BD là tứ giác nội tiếp nên 1 EDB DD B1 (góc nt chắn cung BD )

Mà tứ giác OMBD là tứ giác nội tiếp nên 1 DD B BOM1  ( góc nt chắn cung BM )

Suy ra F EB F OB1 1 OEF B là tứ giác nội tiếp 1

99) Phân giác góc DBD cắt MD tại H Chứng minh rằng : 1

M

C

F1E F

M

C

O O

B D'

B D'

Do đó BH M1 cân tại M MB MH 1 mà MB MC nên BM MH1CM

100) Chứng minh tứ giác D OHD nội tiếp

Vì MD O ∽MHDMD O MHD   OD D OHD DHM OHD       1800

Xét tứ giác D OHD có  DHM OHD 1800 mà đây là hai góc đối nhau nên D OHD là tứ giác nội tiếp

101) Đề bài có thể thay đổi thành: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp HD D  hoặc D OD luôn đi qua một điểm cố định, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp HD D  luôn chạy trên một đường thẳng cố định…

+ Các em sẽ thấy, tứ giác OHDD là tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác HD D luôn đi qua điểm cố định O và đường tròn ngoại tiếp tam giác OD D luôn đi qua điểm cố định H

D

C O

B D'

+ Vì OHDD là tứ giác nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp HD D  luôn nằm trên đường trung trực đoạn OH

102) Chứng minh DI là phân giác góc HDM ( với IMO O )

103) Chứng minh MOD 2MDI

Vì tứ giác HODD là tứ giác nội tiếp nên HOD HDM

Mà DI là phân giác góc HDM HOD2.MDI

104) Kéo dài OM cắt  O tại điểm thứ hai là I Chứng minh 1 MD MD  MI MI 1

Vì IDD I là tứ giác nội tiếp nên 1 D I I1 IDM

Từ đó suy ra MID∽MD I g g1  MD MD MI MI 1

I D

C O

B D'

I D

C O

B D'

D

M

C O

B D'

105) Tiếp tuyến tại I cắt nửa đường tròn đường kính MI tại 1 X1, COX I1 1X2 Chứng minh

MX MI MI ( hệ thức lượng) suy ra MX1BM MC MX C1 cân

Do đó M nằm trên đường trung trực CX 1

nằm trên đường trung trực CX 1

Vậy MX là trung trực 2 CX nên 1 MX2CX1

106) Từ M kẻ cát tuyến MPP song song BD , cát tuyến này cắt 1 4 CB CD tại , P P Chứng minh tứ 2, 3giác MCP B là tứ giác nội tiếp và 3 P là trung điểm 3 P P ( hoặc 4 1 OP3P P1 4)

2MBC MD C   sd BCMPC

Từ đó suy ra MCP B là tứ giác nội tiếp 3

+ Do M C O B cùng thuộc đường tròn đường kính , , , OM  5 điểm M C O B P cùng thuộc đường , , , , 3

OM OP M  OP PP  P là trung điểm 3 P P 4 1107) Chứng minh P P P M2 3 2 P P P P2 1 2 4

B D'

B D'

B D'

112) Cho ,B C và  O cố định Tìm vị trí cát tuyến MDD để diện tích P BC3 lớn nhất

B D'

B D'

Ta có: BPC CD B P BD3    3 2.CD B ( tính chất góc trong – góc ngoài tam giác)

Mà B C O cố định nên góc , ,  CD B không đổi, suy ra BPC3 2.CD B không đổi

Dấu bằng xảy ra khi CD là đường kính của  O

113) Tiếp tuyến của đường tròn  O tại I cắt đường tròn đường kính MI tại 1 M , 1 M I1 1OC M 2 Chứng minh tứ giác MCM M là tứ giác nội tiếp, 2 1 MM1MC; CM1MM2

+ Gọi MM2CM1 Ta có: V 2 2

Từ đẳng thức MV MM 2MD MD D DVM 2 nội tiếp nên V E2

Từ đẳng thức MV MM 2MI MI 1IVM I2 1 là tứ giác nội tiếp nên V E1

Suy ra    E1 , E cắt nhau tại hai điểm 2 M V2, E E1 2 là trung trực VM 2

Vì E E1 2/ /CM và 1 E E đi qua trung điểm 1 2 VM nên 2 E E đi qua trung điểm 1 2 M M 1 2Vậy E E E thẳng hàng 1, 2, 3