SKKN Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong môn Toán THCS

SKKN Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối SKKN Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong môn Toán THCS I PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số đông học sinh.

SKKN Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có

chứa dấu giá trị tuyệt đối trong môn Toán THCS

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượngcao Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi

và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của

số đông học sinh.Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực họcnhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cácbài toán này rất phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thigiải toán trên máy tính cầm tay, các đề thi giải toán bằng tiếng Việt và đề thi giảitoán bằng tiếng Anh qua mạng internet Việc bồi dưỡng học sinh học Toán khôngđơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làmbài tập hoặc làm nhiều bài tập khó mà giáo viên phải biết phân chia theo từng kiểuloại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thời rèn luyệncho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở cáckiến thức đã học

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9, tôinhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toán có chứa dấu giátrị tuyệt đối và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinhcòn vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ,chưa xét hết các trường hợp xảy ra Lí do là học sinh chưa nắm vững quy tắc xét

dấu của nhị thức bậc nhất, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương phápgiải đối với từng dạng bài tập Do đó người giáo viên cần phân loại được các dạngbài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em có thể vận dụnglinh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất củatừng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo Từ đó rènluyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.

Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một vài kinh nghiệmbồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” vớimong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chânthành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Đề tài: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán cóchứa dấu giá trị tuyệt đối” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng dạngbài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biếtphân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả Qua đógiúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, pháttriển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em họcsinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán

và niềm đam mê bộ môn

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phươngpháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học

sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sángtạo cho học sinh Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ,

dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm Học sinh tự đọc có thể giải đượcnhiều dạng Toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú đểhọc tốt môn Toán và các môn khoa học khác

3 Đối tượng nghiên cứu

Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứadấu giá trị tuyệt đối

4 Giới hạn của đề tài

Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán có chứa dấugiá trị tuyệt đối

Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xãQuảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017

- 2018

5 Phương pháp nghiên cứu

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu trênmạng internet, các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong các đề thi học sinhgiỏi các cấp qua các năm

- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải chotừng thể loại bài tập.

- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất

b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9trường THCS

Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk qua các năm học:

2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017 - 2018

- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy

c) Phương pháp thống kê toán học:

- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài

- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn Toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó Việc học Toán không phải chỉ là học trong sáchgiáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô đưa ra mà phải nghiên cứu đào

ích Dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng toán rất quan trọng trong

chương đại số 9, đây là những bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi họcsinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận

và phát huy tối đa khả năng phán đoán Với mục đích nhằm nâng cao chất lượngdạy và học Toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp giải chotừng kiểu loại bài tập Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng chohọc sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọnphương pháp giải phù hợp Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độclập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơidậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu

Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinhgiỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiều chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Một số dạng toán có chứa dấu giátrị tuyệt đối” và tôi cũng đạt được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bàitoán, chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh Chính vì vậy, để học sinhnắm vững và giải thành thạo các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì giáo viênnên phân theo từng kiểu loại bài tập, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khácnhau, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung chotừng dạng Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Kinh

nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối”sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhậnthấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic vàchặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập

3 Nội dung và hình thức của giải pháp

a) Mục tiêu của giải pháp

Đề tài “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có

chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng

khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị chohọc sinh giỏi lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng toán cóchứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề

ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tưduy linh hoạt và sáng tạo Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán cótính tư duy

b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

b.1 Loại bài tập vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối

* Phương pháp giải

Để vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối ta xét cáctrường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ đồ thị của hàm số trong từng trườnghợp

Lưu ý: Đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối là mộtđường gấp khúc.

Khi thay x bởi –x, giá trị của

O

y

x 1

-1

Ví dụ 2 Vẽ đồ thị của hàm số

Giải

-12 -1

n m

O

y

1 -1

-1

n m

O

y

x 1

-1

Ví dụ 4 Vẽ đồ thị của hàm số

Giải

Bước 1: Lập bảng xét dấu

x 0 1

1 - x + + 0 Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến

Ví dụ 7 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 09/02/2015)

Vẽ đồ thị của hàm số

Giải

Bước 1 Lập bảng xét dấu

x 2 3

x - 2 - 0 + +

x - 3 - - 0 +Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến

b.2 Loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải tốt phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, yêu cầu học sinh cần phải nắm vững một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cụ thể như sau:

- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế

- Cách tìm nghiệm x trong phương trình: Thực hiện phép tính , chuyển vế,

Dạng 1 Phương trình dạng

Trong đó A(x) là biểu thức chứa x và k R

Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm.Nếu k < 0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đốirồi giải phương trình vừa tìm được

* Phương pháp giải

Trường hợp k > 0:

Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = k và A(x) = -k rồi kết luận

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x

Cũng đặt câu hỏi gợi mở như ở dạng 1, học sinh thấy được rằng đẳng thứckhông xảy ra Nếu B(x) < 0 Do đó để đẳng thức luôn xảy ra cần phải đặt điều kiện:B(x)  0

* Phương pháp giải

Cách 1: Đặt điều kiện: B(x)  0 Từ đó suy ra điều kiện của x

Ta có |A(x)| = B(x)

Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x), sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứadấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

|A(x) | = B(x)

+ Xét A(x) 0 Từ đó suy ra điều kiện của x

Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) 0)

+ Xét A(x) < 0 Từ đó suy ra điều kiện của x

Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)

+ Nếu 9 - 7x = 5x - 3 12x = 12 x = 1 (thoả mãn điều kiện)

+ Nếu 9 - 7x = -(5x - 3) 2x = 6 x = 3 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Cách 2:

Với 9 - 7x  0 hay x ≤ thì ta có phương trình: 9 – 7x = 5x – 3

x = 1 (thoả mãn điều kiện)

Với 9 - 7x < 0 hay x > thì ta có phương trình: -9 + 7x = 5x – 3

x = 3 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

+ Nếu x – 5 = -3 – x 2x = 2 x = 1 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Cách 2: | x – 5| - x = 3

Với x - 50 hay x 5 thì ta có phương trình: x – 5 – x = 3 0x = 8 (loại)Với x – 5 < 0 hay x < 5 thì ta có phương trình: –x + 5 – x = 3 -2x = -2

x = 1 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Lưu ý: Qua hai dạng trên, cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt rõ sự giốngnhau (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau là dạng 1 là trường hợpđặc biệt của dạng 2 Thông qua đó nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phươngpháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng = B.Nếu B 0 đó là dạng đặc biệt (dạng 1), còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu B

là biểu thức có chứa x thì đó là dạng 2 và giải bằng cách 1 hoặc ta đi xét cáctrường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối

Ví dụ 3 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 10/02/2012)

1 Giải các phương trình sau: a)

b)

2 Dùng đồ thị để kiểm tra lại các kết luận trong câu 1

Giải

a)

Với x 0 thì ta có phương trình: x = 2x - 1 x = 1 (thoả mãn điều kiện)

Với x < 0 thì ta có phương trình: -x = 2x - 1 (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

b)

Nếu x < 0 thì -x = -x - 5 0x = -5 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2 Vẽ đồ thị của hai hàm số và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ.Giao điểm của hai đồ thị trên là điểm (1; 1) Do đó nghiệm của phương trình

là x = 1

Vẽ tiếp đồ thị của hàm số y = -x – 5 ta thấy đồ thị của hai hàm số và y

1 O

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x

Với dạng này yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trịtuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng củahai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0) Vậy ở bài này tổng trênbằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0) Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) =

0 và B(x) = 0

* Phương pháp giải

= 0

Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0

Sau đó ta tìm x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi kết luận nghiệm

* Các ví dụ minh họa

Giải

= 0 (Điều này không đồng thời xãy ra)Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình

Giải

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

b)

Giải

a)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

b)

(Điều này không đồng thời xảy ra)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Lưu ý: Ở dạng này cần lưu ý học sinh khi kết luận nghiệm của phương trình thì nghiệm đó phải thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình và

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x; k R; k 0

Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm.Nếu k < 0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đốirồi giải phương trình vừa tìm được

= 0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ 2 x <9) Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:

Với x < 2 thì ta có phương trình:

(loại)Với thì ta có phương trình: x – 2 + 9 – x = 1

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

x - 3 - - 0 +Với x < -2 thì ta có phương trình: 3 - x – x –2 = 7 -2x + 1 = 7

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Ví dụ 3 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 25/02/2010)

Với thì ta có phương trình: x - 5 + x + 3 = 3x - 1 x = - 1 (loại)Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x

Ở dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy đẳng thức luôn xảy ra vì cảhai vế đều không âm, từ đó áp dụng tính chất: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đốibằng nhau” để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) = -B(x)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

b.3 Loại bài tập giải phương trình vô tỉ đưa được về phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

* Phương pháp giải

Khi gặp phương trình vô tỉ mà biểu thức lấy căn có thể viết được dưới dạng

dấu căn đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Ví dụ 2 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 20/02/2014)

Giải phương trình:

Giải

Điều kiện: x -2