Phát triển tư duy Toán học cho học sinh lớp 9 ở trường TH&THCS Đông Anh thông qua các bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét

Phát triển tư duy Toán học cho học sinh lớp 9 ở trường TH&THCS Đông Anh thông qua các bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu các dạng bài toán áp dụng hệ thức Vi-ét trong môn Toán 9. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. 1.4.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu: - Đọc SGK Toán 9 và tài liệu liên quan, chọn ra các bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét phù hợp với HS lớp 9, sắp xếp thành 8 dạng toán sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. Dạng 3: Lập phương trình bậc hai. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình. Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm. Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. 1.4.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Tìm hiểu thực trạng học Toán nói chung và học hệ thức Vi-ét nói riêng của học sinh khối 9 trường TH&THCS Đông Anh. - Làm phiếu điều tra đến tất cả HS khối 9 trường TH&THCS Đông Anh về mức độ yêu thích bộ môn Toán, suy nghĩ của HS làm thế nào để phát triển tư duy Toán học nói chung và học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng. 1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực hiện giảng dạy ở khối 9 trường TH&THCS Đông Anh các dạng toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét đã sắp xếp trong các tiết học Tự chọn Toán hàng tuần. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận. Theo Điều 29 của Luật giáo dục phổ thông ngày 14/6/2019, mục tiêu của giáo dục phổ thông là: Nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Giáo dục THCS nhằm củng cố và phát triển kết quả của giáo dục TH; đảm bảo cho học sinh có học vấn phổ thông nền tảng, hiểu biết cần thiết tối thiểu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học THPT hoặc chương trình giáo dục nghề nghiệp. Trong chương trình môn Toán lớp 9 hiện nay, nội dung kiến thức về “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” được dạy trong 2 tiết, cụ thể như sau: + 1 tiết lý thuyết: Học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng. + 1 tiết luyện tập: Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học. Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt, tư duy Toán chưa tốt, vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này để phát triển tư duy Toán học nói chung và học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 2.2.1. Thuận lợi: - Bản thân đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, ôn thi tuyển vào lớp 10 liên tục nhiều năm. - Nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong giảng dạy nội dung hệ thức Vi-ét. - Đa số học sinh chăm ngoan nhưng chưa có tư duy Toán tốt, kỹ năng vận dụng kiến thức được học vào làm bài tập chưa tốt. - Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức đã được học trong SGK. 2.2.2. Khó khăn: - Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét. - Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông nghiệp, do đó các em ít được chú trọng học thêm để nâng cao kiến thức. - Một bộ phận nhỏ giáo viên ngại đầu tư bổ sung kiến thức nâng cao cho học sinh, luôn luôn mang suy nghĩ “Học sinh nông thôn không chịu học”. 2.2.3. Thực trạng của giáo viên và học sinh trường TH&THCS Đông Anh. - Đa số học sinh của trường là con em nông thôn, điều kiện kinh tế còn khó khăn nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao, ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình, không có nhiều thời gian để tự học. - Sự quan tâm đến con cái của phụ huynh còn hạn chế. Ý thức học tập của một số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của học sinh còn yếu, vì thế hầu hết các em sợ học môn Toán, đặc biệt trong chương trình Toán 9 học sinh làm chưa tốt bài tập vận dụng Hệ thức Vi-ét. - Số học sinh tự học thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế, số lượng cũng như chất lượng đại trà môn Toán chưa cao. - Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ ở cuối năm, trong kỳ thi vào lớp 10 năm học 2019 - 2020 có 90% học sinh lớp 9 của nhà trường đỗ vào lớp 10 các trường công lập trong huyện, tỉnh. 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 2.3.1. Tìm hiểu thực tế chương trình đang giảng dạy và ý kiến của học sinh: - Tổng thời lượng dạy về hệ thức Vi-ét và ứng dụng: 02 tiết (01 tiết dạy lý thuyết và 01 tiết làm bài tập) - Làm phiếu thăm dò ý kiến của học sinh. Câu hỏi Nội dung câu hỏi Trả lời Có Không 1 Em có thích học Hệ thức Vi-ét không? 2 Em có muốn được tìm hiểu kỹ hơn về Hệ thức Vi-ét bằng cách tăng cường số tiết học không? 2.3.2. Dạy lí thuyết cơ bản trong SGK để học sinh nắm được định lý Vi-ét: Nội dung: * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm : . - Ta có: - Nếu đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Vậy: và . * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 = . * Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 - 4P 0 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0. 2.3.3. Soạn ra các dạng toán cần sử dụng hệ thức Vi-ét để giải: Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn . Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. Dạng 3: Lập phương trình bậc hai. Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm của phương trình. Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm. Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. 2.3.4. Thực hành dạy học trên lớp: Với mỗi dạng bài tập đã soạn, khi lên lớp tôi thực hiện tuần tự theo các bước sau: Bước 1: Hệ thống những kiến thức cơ bản cần nhớ. Bước 2: Lấy ví dụ minh họa.

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Môn Toán ở bậc THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó pháttriển kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc

TH, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cầnthiết để tiếp tục lên bậc học cao hơn, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao độngsản xuất đòi hỏi những kiến thức nhất định về Toán học Tuy nhiên, hiện naytình trạng học sinh học yếu môn Toán ở cấp THCS là một thực tế đáng lo ngại

và là nỗi băn khoăn trăn trở của nhiều giáo viên dạy Toán, tình trạng này còn có

xu hướng nhiều hơn đối với học sinh trên địa bàn vùng nông thôn

Là giáo viên, ai cũng mong muốn học sinh học giỏi, nhưng làm như thếnào, dạy như thế nào để học sinh lĩnh hội được nhiều nhất tri thức và vận dụngđược tri thức đó vào quá trình học tập thì không phải người giáo viên nào cũnglàm được Muốn cho học sinh học Toán nói riêng và tất cả các môn học khác nóichung tiếp thu tốt kiến thức thì người giáo viên phải khéo léo dạy cho học sinhcách tư duy vấn đề Khả năng tư duy không chỉ là cái đích cần đạt mà còn làphương tiện giúp học sinh học tốt môn Toán Tuy nhiên, trong sách vở lại không

có bài học nào dạy học sinh “tư duy vấn đề” cả, do đó người thầy phải biết xâuchuỗi kiến thức, biết hệ thống hóa kiến thức, biết suy luận một cách chặt chẽ vàhợp lý để hình thành cho học sinh cách tư duy, suy luận khi gặp một bài toán,một vấn đề trong học tập

Nhận thức được vai trò của tư duy đối với hiệu quả học tập môn Toán củahọc sinh, trong quá trình dạy học môn Toán tôi luôn để ý đến phát triển khả năng

tư duy cho các em và so sánh các cách làm khác nhau của giáo viên tác độngnhư thế nào đến khả năng ấy Khi học sinh có tư duy Toán học chặt chẽ cũng làmôi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em trong các môn họckhác, lĩnh vực khác

Trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9 thường xuất hiện các bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét, trong khi đó nội dung

và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, bài tập chưa đa dang

Đa số học sinh lúng túng không giải được dạng toán này do trong chương trìnhhọc chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nênkhông ứng dụng được hệ thức Vi-ét để giải

Làm thế nào để nâng cao chất lượng môn Toán cho các em học sinh, giúpcác em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán liên quan, làm thế nào đểgiúp các em phát triển tư duy Toán học, tự tin hơn trong các kỳ thi Đó là lý do

tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy Toán học cho học sinh lớp 9 ở trường TH&THCS Đông Anh thông qua các bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét”.

- Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiếm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉbài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét mà cả các dạng toán khác.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu các dạng bài toán áp dụng hệ thức Vi-ét trong môn Toán 9

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

- Đọc SGK Toán 9 và tài liệu liên quan, chọn ra các bài toán có ứng dụng hệthức Vi-ét phù hợp với HS lớp 9, sắp xếp thành 8 dạng toán sau:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Dạng 3: Lập phương trình bậc hai.

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

1.4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Tìm hiểu thực trạng học Toán nói chung và học hệ thức Vi-ét nói riêng của họcsinh khối 9 trường TH&THCS Đông Anh

- Làm phiếu điều tra đến tất cả HS khối 9 trường TH&THCS Đông Anh về mức

độ yêu thích bộ môn Toán, suy nghĩ của HS làm thế nào để phát triển tư duyToán học nói chung và học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Thực hiện giảng dạy ở khối 9 trường TH&THCS Đông Anh các dạng toán cóứng dụng hệ thức Vi-ét đã sắp xếp trong các tiết học Tự chọn Toán hàng tuần

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận.

Theo Điều 29 của Luật giáo dục phổ thông ngày 14/6/2019, mục tiêu củagiáo dục phổ thông là: Nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trítuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năngđộng và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa vàtrách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáodục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ

+ 1 tiết luyện tập: Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không cónhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm

và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt, tư duy Toán chưa tốt, vì vậy mỗi giáoviên trực tiếp giảng dạy cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêmkiến thức phần này để phát triển tư duy Toán học nói chung và học tốt hệ thứcVi-ét nói riêng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông nghiệp,

do đó các em ít được chú trọng học thêm để nâng cao kiến thức

- Một bộ phận nhỏ giáo viên ngại đầu tư bổ sung kiến thức nâng cao cho họcsinh, luôn luôn mang suy nghĩ “Học sinh nông thôn không chịu học”

2.2.3 Thực trạng của giáo viên và học sinh trường TH&THCS Đông Anh.

- Đa số học sinh của trường là con em nông thôn, điều kiện kinh tế còn khó khăn

nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao,ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình, không

có nhiều thời gian để tự học

- Sự quan tâm đến con cái của phụ huynh còn hạn chế Ý thức học tập của một

số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tậpcủa học sinh còn yếu, vì thế hầu hết các em sợ học môn Toán, đặc biệt trongchương trình Toán 9 học sinh làm chưa tốt bài tập vận dụng Hệ thức Vi-ét

- Số học sinh tự học thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thứcchưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế, số lượng cũng nhưchất lượng đại trà môn Toán chưa cao

- Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhờ vậy học sinh

đã có nhiều tiến bộ ở cuối năm, trong kỳ thi vào lớp 10 năm học 2019 - 2020 có90% học sinh lớp 9 của nhà trường đỗ vào lớp 10 các trường công lập tronghuyện, tỉnh

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Tìm hiểu thực tế chương trình đang giảng dạy và ý kiến của học sinh:

- Tổng thời lượng dạy về hệ thức Vi-ét và ứng dụng: 02 tiết (01 tiết dạy lý thuyết

và 01 tiết làm bài tập)

- Làm phiếu thăm dò ý kiến của học sinh

1 Em có thích học Hệ thức Vi-ét không?

2

Em có muốn được tìm hiểu kỹ hơn về Hệ

thức Vi-ét bằng cách tăng cường số tiết

1 2

2 2 2



* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 - 4P  0 thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0

2.3.3 Soạn ra các dạng toán cần sử dụng hệ thức Vi-ét để giải:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Dạng 3: Lập phương trình bậc hai.

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm của phương trình

Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

2.3.4 Thực hành dạy học trên lớp:

Với mỗi dạng bài tập đã soạn, khi lên lớp tôi thực hiện tuần tự theo cácbước sau:

Bước 1: Hệ thống những kiến thức cơ bản cần nhớ.

Bước 2: Lấy ví dụ minh họa.

Bước 3: Bài tập áp dụng có hướng dẫn hoặc đáp án để học sinh tự giải.

Bước 4: Bài tập nâng cao có hướng dẫn và đáp án để học sinh tự giải.

Cụ thể dạy từng dạng như sau:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

1 Kiến thức cần nhớ:

a Chỉ thực hiện nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai trong trường hợp

nó có nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên còn một nghiệm hữu tỉ

b Để thực hiện nhẩm nghiệm (nếu có thể) của phương trình x2 + bx + c = 0, talàm như sau:

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét cho các nghiệm x1 và x2:

Bước 2: Thực hiện phép phân tích c thành tích của hai thừa số, c = m.n.

Với mỗi cặp thừa số phân tích được, ta tính ngay m + n, khi đó:

+ Nếu m + n = -b, chuyển sang bước 3

+ Nếu m + n -b, thực hiện lại bước 2

Bước 3: Kết luận phương trình có hai nghiệm là x1 = m và x2 = n

c Chú ý:

+ Chú ý 1: Thuật toán trên có tính “Dừng” và được hiểu là:

- Nếu tìm được một cặp (m; n) thỏa mãn điều kiện m + n = -b thì dừng lại phépthử và đưa ra kết luận

- Nếu các cặp (m; n) đều không thỏa mãn thì dừng và trong trường hợp này đượchiểu là không nhẩm được nghiệm

+ Chú ý 2 Hai trường hợp đặc biệt của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Nếu a+ b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 =

c

a

- Nếu a- b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 =

c a

mà 2 + 5 = 7 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = 5

b Viết lại phương trình dưới dạng: x2 - 8x + 12 = 0

Theo Vi-ét ta có

1 2

1 2

8 12 2.6

c a



=

4 3



d Phương trình có hệ số a = 5; b = 4; c = -9

Ta thấy a + b + c = 5 + 4 + (-9) = 0

Nên phương trình có nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c

9 5



4 Nâng cao: Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình.

4.1 Ví dụ: Phương trình x2 - 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p vànghiệm kia

p

 

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1. x2 =

4.2 Vận dụng:

a Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia

b Phương trình x2 - 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệmcủa phương trình

c Tìm q và hai nghiệm của phương trình: x2 – qx +50 = 0, biết phương trình cóhai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia



= -50, suy ra: x2 = 1

50 50

10 5

+ Với x2 = 5 thì x1 = 10 suy ra: S = q = 15

+ Với x2 = -5 thì x1 = -10 suy ra: S = q = -15

Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

- Nếu phương trình x2 - Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì ta

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x - 4 = 0

Giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = - 4, do đó có 2 cặp số (a; b) thỏamãn đề bài:

Nếu a = 1 thì b = - 4Nếu a = - 4 thì b = 1

3 Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:

b Theo đề bài ta đã biết tích ab = 36,vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét cần biết tổngcủa a và b.

Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36

Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng:

1 2

a Biến đổi phương trình thứ nhất thành (x + y)2 = 4

22

x, y là nghiệm của các phương trình bậc hai

Kết quả: Hệ phương trình có 4 cặp nghiệm (x; y):

(1 5;1 5);(1 5;1 5);( 1  5; 1  5);( 1  5; 1  5)

b Biến đổi phương trình thứ hai ta được (16 - 2xy)(64 - 12xy) = 280

3(xy)2 - 40xy + 93 = 0

3313

xy xy

x, y là nghiệm của các phương trình bậc hai

Kết quả: Hệ phương trình có hai cặp nghiệm (x; y) là (1; 3) và (3; 1)

2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

Cho x1 = 3; x2 = 2 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0  x2 - 5x + 6 = 0

Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

Cho phương trình x2 - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khônggiải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

Biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S

và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

3 Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, không giải phương trình, hãy tính:

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệthức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2.Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúngkhông phụ thuộc vào m

m

m m

m

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m

3 Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình: x2 - (m + 2)x + (2m - 1) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độclập đối với m

2 Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãytìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2

không phụ thuộc giá trị của m

Hướng dẫn:

1 Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệmphân biệt x1 và x2.

- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được: 2 x1x2 x x1 2  5 0 độc lập đốivới m

2 Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệmphân biệt x1 và x2

- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được: 2x x1 2  x1x2 17 0 không phụthuộc giá trị của m

Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện.

1 Kiến thức cần nhớ:

Yêu cầu thường là: “Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình thỏamãn điều kiện K” hoặc “Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình thỏamãn hệ thức cho trước”

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2(thường là a ≠ 0 và  ≥ 0).

Bước 2: Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình

m

m m

x  và tích nghiệm x x x1 2, do đó cần phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu

thức có chứa tổng nghiệm x1x2và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương

tự cách làm đã trình bày ở các bài đã làm

Hướng dẫn:

1 ĐKXĐ:

160;

15

m

S x x

m m

m m

 



 

Đối chiếu với điều kiện thì m = 2 thỏa mãn đề bài

Đối chiếu với điều kiện thì m = 3 thỏa mãn đề bài.

Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

1 Kiến thức cần nhớ: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điềukiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

     

2 2

2 Cho phương trình x2 - 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0 Xác định m để phương trình:

a Có hai nghiệm trái dấu

b Có hai nghiệm cùng dấu

3 Cho phương trình (m - 1)x2 + 2mx + m + 1 = 0 Xác định m để phương trình:

a Có hai nghiệm âm phân biệt

b Có hai nghiệm đối nhau

+ Nếu m > 0, phương trình có hai nghiệm dương

+ Nếu m < 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trịtuyệt đối nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm

b Điều kiện

10

0

01

- Phương pháp đổi biến …

Trong giới hạn của đề tài này, tôi chỉ giới thiệu cho học sinh sử dụng hằngđẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu để tìmGTLN, GTNN, cụ thể như sau:

* Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = g(x)2n + a (với n N*và

a là hằng số) Khi đó ta có y  a, suy ra giá trị nhỏ nhất của y = a (GTNN của y

= a hay min y = a) g(x) = 0.

* Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = - [h(x)]2n + b

(với n N*và b là hằng số) Khi đó ta có y  b, suy ra giá trị lớn nhất của y = b

(GTLN của y = b hay max y = b) h(x) = 0.