- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y=m phải cắt đồ thị hàm số y= f x tại 3 điểm phân biệt.. - Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điể
Trang 1TRƯỜNG ĐH KHTN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHTN
ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 1 NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề
Câu 1 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 1
Câu 3 (TH): Phương trình z =4 16 có bao nhiêu nghiệm phức?
8
y=x −mx −m x+ Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực
tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
Trang 2Câu 14 (VD): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 Cạnh bên SA vuông
góc với đáy Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 0
45 Gọi E là trung điểm của BC Tính khoảng cách .giữa hai đường thẳng DE và SC
Trang 3Câu 20 (TH): Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự lớp gồm 3 học sinh Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ
Câu 26 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số 8 3
2 ln3
y= x + x−mx đồng biến trên ( )0;1 ?
phẳng ( )P :x−2y+3z=0,( )Q :x−2y+3z+ = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng 4 0
và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( )P và ( )Q
Trang 4Câu 28 (TH): Tìm nguyên hàm (2x−1 ln) xdx
2
ln2
x
2
ln2
x
2
ln2
Câu 36 (TH): Phương trình 2x =3x2 có bao nhiêu nghiệm thực?
Câu 37 (VD): Cho hàm số y=x3−3x2+ Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm 2( )
Trang 6Câu 46 (VD): Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng (A BC ) bằng a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C
a
3
3 22
41-A 42-B 43-D 44-D 45-A 46-D 47-D 48-A 49-D 50-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C
Phương pháp giải:
Cho đường thẳng d đi qua điểm 1 M và có VTCP 1 u đường thẳng 1; d đi qua điểm 2 M và có VTCP 2 u 2
Khi đó ta có khoảng cách giữa d d được tính bởi công thức: 1, 2 ( ) 1 2 1 2
Trang 7- Xét phương trình hoành độ tìm 2 đường giới hạn x=a x, =b
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ),y=g x( ), đường thẳng x=a x, =b là
( ) ( )
b
a
S= f x −g x dx
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
24
z z
- Giải phương trình y =0 xác định các giá trị cực trị theo m
- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình y CT 0
Giải chi tiết:
Trang 8m m
11
m m
m m
m m
Hàm số y=x n với n xác định khi và chỉ khi x 0
Giải chi tiết:
Trang 9- Giải bất phương trình logarit: loga f x( )loga g x( ) f x( )g x khi( ) 0 a 1
Giải chi tiết:
x
x x
Trang 10- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y=2m−1 phải cắt đồ thị hàm số 4 2
Giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình 4 2
x − x − = m− là số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2
y= x − x − và đường thẳng y=2m−1
Từ đó ta suy ra BBT của đồ thị hàm số 4 2
y= x − x −
- Từ đồ thị y=x4−2x2− lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox qua trục Ox 3
- Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox
Trang 11- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y=m phải cắt đồ thị hàm
số y= f x( ) tại 3 điểm phân biệt
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m= f x( )
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y=m phải cắt đồ thị hàm
số y= f x( ) tại 3 điểm phân biệt
- Lập BBT hàm số y= f x( ) và tìm m thỏa mãn
Giải chi tiết:
Trang 12Dựa vào BBT ta thấy để đường thẳng y=m phải cắt đồ thị hàm số y= f x( ) tại 3 điểm phân biệt thì
m
n
Từ giả thiết tính loga b
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay loga b vừa tính được để tính giá
trị biểu thức
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab.3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3.a23)=logabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37
log ab a b =log ab ab a
3 2 3
1 3
1 2
1log
Trang 133 2 3
1 3
1 2
1log
Lập BBT của hàm số trên (0; + và tìm GTNN của hàm số )
Giải chi tiết:
- Xác định mặt phẳng ( )P chứa DE và song song với SC , khi đó d DE SC( ; )=d SC P( ;( ) )
- Đổi sang d A P( ;( ) ) Dựng khoảng cách
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách
Giải chi tiết:
Trang 14Trong (ABCD gọi I) =ACDE, trong (SAC kẻ ) IG/ /SC G( SA), khi đó ta có DE(GDE)/ /SC ( ; ) ( ;( ) ) ( ;( ) )
vuông cân tại A
Vì ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên AC=a 2 2=2a=SA
Trang 152 2 2 2
4 2 10
- Dựa vào BBT tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
Giải chi tiết:
ax b+
Trang 16B x Cx x
a b c
Trang 17- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số a b c, , tương ứng
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd a b c d( ; ; ; 0;1; 2;3; 4;5 , a b c d)
- Tính số phần tử của không gian mẫu là n là số cách chọn 3 học sinh bất kì ( )
- Gọi A là biến cố: “Ban sự lớp gồm 3 bạn có cả nam và nữ” Xét 2 TH để tính số phần tử của biến cố A
là n A ( )
+ TH1: Chọn 1 nam và 2 nữ
+ TH2: Chọn 2 nam và 1 nữ
Trang 18- Tính xác suất của biến cố A: P A( ) n A( ) ( )
- Giải bất phương trình mũ: a f x( ) a g x( ) f x( )g x khi( ) 0 a 1
- Giải bất phương trình đại số tìm x, sau đó kết hợp điều kiện đề bài
Giải chi tiết:
x x
Trang 19Giải chi tiết:
Gọi d là công sai của CSC trên Theo bài ra ta có:
điểm bất kì thuộc d và u là 1 vtcp của đường thẳng d d
Giải chi tiết:
Trang 20Dựa vào BBT Kết hợp điều kiện m 6 m + m 1; 2;3; 4;5; 6
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 27: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm I theo biến t
- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( )P và ( )Q nên R=d I P( ;( ) )=d I Q( ;( ) ) Giải phương
Trang 21- Mặt cầu tâm I x y z( 0; 0; 0), bán kính R có phương trình là ( ) (2 ) (2 )2 2
x−x + y−y + −z z =R
Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là I(1+ − +t; 1 t t; 2 )
Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( )P và ( )Q nên R=d I P( ;( ) )=d I Q( ;( ) )
Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: udv=uv−vdu
Giải chi tiết:
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b
- Biến đổi 2 2 ( )2
2
P=a +b = a+b − ab, đặt ẩn phụ t=2ab, lập BBT tìm miền giá trị của t
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P
Giải chi tiết:
Trang 221 2
b b t
b
−
=+
4 4 4
1 2
b b b
=+
1 50
Trang 233
4
m m
m m
404
m
m m
Từ đó ta suy ra được m , kết hợp điều kiện 8 m + m 1; 2;3; 4;5;6;7;8
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 32: Đáp án D
Phương pháp giải:
Trang 24- Đặt z= +a bi a b( ; ) = − z a bi
- Thay vào giả thiết 3z i z+ ( + = , đưa phương trình về dạng 8) 0 A Bi+ = = = 0 A B 0
Giải chi tiết:
- Gọi I là điểm thỏa mãn IA+2IB−IC=0 Phân tích MA2+2MB2−MC2 theo MI
- Chứng minh đó MA2+2MB2−MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất
- Với I cố định, tìm vị trí của M( )P để IMmin
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và ( )P để tìm tọa độ điểm M
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn IA+2IB−IC=0 Khi đó ta có:
IM ⊥ P IM và n = P (1; 2; 2− cùng phương, với ) n là 1 vtpt của P ( )P
Tìm tọa độ điểm I ta gọi I x y z Ta có: ( ; ; )
IA+ IB IC− =
(x 1; ;y z 2) (2 x 1;y 1;z 3) (x 3;y 2;z) 0
Trang 25Sử dụng phương pháp logarit hai vế
Giải chi tiết:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta có:
Trang 26Phương pháp giải:
- Gọi M x y( 0; 0) thuộc đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M
- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y= f x( ) tại M x y( 0; 0) là y= f( )(x0 x−x0)+ f x( )0
- Cho A( )1;0 , giải phương trình tìm số nghiệm d x Số nghiệm 0 x chính là số tiếp tuyến với đồ thị 0
hàm số đi qua điểm A( )1; 0 cần tìm
Giải chi tiết:
Câu 38: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc
- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2
Giải chi tiết:
Vì SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD )
(SC ABCD; ) (SC AC; ) SCA
Vì ABCD là hình vuông cạnh a 3 nên AC=a 3 2=a 6
Xét tam giác vuông SAC ta có: tan 1
3
SA SCA
Trang 27Câu 39: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
- Giải phương trình y =0 tìm hoành độ điểm uốn, từ đó suy ra tọa độ điểm uốn
Giải chi tiết:
y=x − x+ =y x − y= x
Cho y = 0 6x= = =0 x 0 y 2
⇒ Hàm số đã cho có điểm uốn là ( )0; 2
Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Vậy hàm số đã cho có tâm đối xứng là ( )0; 2
Trang 28+ Với m = ta có 0 5
12
y = x không thỏa mãn y 0 x + Với m = ta có 1 y =9x8 (thỏa mãn) 0 x
Trang 29- Tìm f x theo x và tính ( ) 2 ( )
1 2
, với
1
x t
- Xét phương trình hoành độ giao điểm
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng ( ) (2 )2
Trang 30Giải chi tiết:
Vì chóp S ABC có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác ABC nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp ABC
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp ABC SH ⊥(ABC)
Xét ABC có AB2+BC2 =CA2 =25a2 nên ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo)
Trang 31ABC ABC
a a S
Giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của BC ta có BC AM BC (A BC)
Trang 32Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 1
Giải chi tiết:
Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:
u q
z = a +b , biến đổi rút ra mối quan hệ giữa a b, và kết luận
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có
z− + i = + − z i
Trang 33Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của SB
Vì SAB= SCB=900 nên IS =IA=IB=IC, do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABC , bán kính