CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1... Phân tích hướng dẫn giải 1.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toá
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Các tính chất tích phân:
f x x= f x x+ f x x
( )d ( ) (d 0)
k f x x=kf x x k
f x x= − f x x
b
b a a
f x x=F x =F b −F a
( ( ) ( ) )d ( )d ( )d
f x +g x x= f x x+ g x x
f x x= f t t= f z z
b
b a a
f x x= f x = f b − f a
2 Công thức đổi biến số: f u x( ( ) ).u x dx( ) = f u du u( ) , =u x( )
( )
( )
( )
u b b
f u x u x dx = f u du u=u x
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
Giả sử cần tính b ( )
a
g x dx
Nếu ta viết được g x( ) dưới dạng f u x u x( ( ) ) ( ) thì
( )
( )
u b
b
g x dx= f u du
( )
( )
u b
u a
f u du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới này đơn giản hơn
Giả sử cần tính f x dx( )
Đặt x=x t( ) thỏa mãn =x a( ), =x b( ) thì
f x dx f x t x t dt g t dt
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số
2 2
( )
f x
=
2
0
(2sin 1) cos d
+
A 23
23
17
17
3
Trang 2Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán
f x x= f x x+ f x x c a b
B3: Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân ( )
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải Chọn B
Xét
2
0
(2sin 1) cos d
t= x+ t=
Đổi cận:
3 2
= =
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3
2 2
e
2
0 ( )
0
x
khi x f
x
x
khi x x
=
+ +
1
e
f x x
−
= +
b là phân số tối
giản) Giá trị a b c+ + bằng
Lời giải
Chọn C
4
Vậy a b c+ + = 9
( 2) 1
3 ( )
3 1
4
khi x
f x
kh
=
+
−
4
2
e
e
(ln ) d
f
x
A 40 ln 2
3 − B 95 ln 2
6 + C 189 ln 2
4 + D 189 ln 2
4 −
Lời giải Chọn D
Xét
4
2
(ln ) d
e e
f
x
=
Đặt t ln x dt 1dx
x
Đổi cận:
2
4
2 2
1
2
4
189
4
x
Trang 3Câu 3 Cho hàm số ) 1
1
1 1
(
x
khi x
f x
khi
x
x
=
+
Tích phân
2 3 1
1
n
x
−
=
−
n là phân số tối giản),
khi đó m−2n bằng:
Lời giải Chọn A
1
7
−
−
=
3
t = − − t t=
= − =
25
12
0
f x x =
0
f x x =
1
−
A I = 3 B I = 5 C. I = 6 D. I =4
Lời giải Chọn B
Đặt u=2x+1 d 1d
2
= Khi x = − thì 1 u = − Khi 1 x = thì 1 u = 3
1
1
d 2
−
1
1
Xét 1 ( )
0
f x x =
Đặt x= −u dx= −du Khi x = thì 0 u = Khi 0 x = thì 1 u = − 1
0
4=f x dx= 1 ( )
0
d
−
1
d
−
Ta có 3 ( )
0
f x x =
0
f u u
1
2
−
4 6 5 2
= + =
Câu 4 Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( )= + − − trên tập và thỏa mãn 1 x 1 x
( )1 3
F = Tính tổng F( )0 +F( )2 +F( )− 3
Lời giải:
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Trang 4Ta có: 2 ( ) ( ) ( ) ( )
1
f x x=F −F =F −
f x x= x=
0
f x x=F −F = −F
0
f x x= x x=x =
1
−
1
3
−
−
Vậy F( )0 +F( )2 +F( )− = + + =3 2 5 7 14
5
1
x
x
− +
A S =9 B S =11 C S = −3 D S =5
Lời giải:
Chọn D
2
x
Do đó
3
a b
=
= −
S= + =a b 5
f x + x+ = x+ , với mọi
x Tích phân 5 ( )
1
d
xf x x
A 31
4
33
49
4
Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có ( 3 )
f x + x+ = x+ nên suy ra f ( )1 =2, f ( )5 =5
1
I =xf x x=xf x − f x x= − f x x
x= + + t t x= t + t Với x= =1 t 0;x= =5 t 1
Trang 5Do đó 5 ( ) 1 ( )( ) 1( ) ( )
59
4
f x x= f t + +t t + t = t+ t + t=
f x + x+ = x+ x Tích phân 8 ( )
2 f x dx
−
Lời giải Chọn B
x= + + t t dx= t + dt
= − = −
= =
2 f x( ) +3 ( ) 5f x + =x với
x
Tính
10
5
( )
I = f x dx
A I =0 B I =3 C I =5 D I =6
Lời giải Chọn B
t = f x t + + = t x dx= t + dt và
3
3
Vậy
2
I = f x dx=t t + dt=
2
x
− và f ( )1 =2 Giá trị của biểu thức f ( )− +1 f ( )3 bằng
Lời giải Chọn C
f x
x
−
1
2
1
ln 2 1
1
2
x
( )0 1 1 1
f = C = và f ( )1 = 2 C2 =2
Trang 6Do đó ( ) ( )
( ) ( )
1
2
ln 2 1 2 ;
2
f x
f
( )1 ( )3 3 ln15
2
( )
2
f x
x
2
−
A.15
2
Lời giải:
Chọn A
Đặt t =sinx =dt cosxdx Đổi cận
1 2
1 2
= − = −
= =
I f t dt f x dx
Do
2
( )
2
f x
x
=
+
2
15
2
−
2
( )
3 h
2
0
3 2
I =f − x dxbằng
A.41
41
21
Lời giải Chọn C
2
= =
= =
Do
2
( )
3 h
2
=
2
khi
2 ( )
3
2
2
f x
x
x
x
=
−
+
0
A.35
10
3
Lời giải:
Trang 7Chọn A
Đặt t =cosx+ = −1 dt sinxdx Đổi cận
1 2
= =
I f t dt f x dx
Do
khi
2 ( )
3
2
2
f x
x
x
x
=
−
+
3
2 2
2 3 1
2
35
12
2
khi 0 ( )
khi 0
f x
x
−
=
2
−
A. 2
3
3
3
−
Lời giải:
Chọn A
Đặt t =sinx =dt cosxdx Đổi cận
1 2
1 2
= − = −
= =
I f t dt f x dx
Do
2
khi 0 ( )
khi 0
f x
x
−
=
2
2 3
−
2
khi 3 ( )
1
3
f
x
x x
x
−
+
+
=
2 0
1
I =xf x + dxbằng
74
Lời giải:
Chọn B
2
= =
= =
Do
2
khi 3 ( )
1
3
f
x
x x
x
−
+
+
=
Trang 8( ) ( )
2
1
2 ( )
1
4 khi
2
f x
=
Tính tích phân 2 ( )
0
13
21
5
Lời giải:
Chọn B
0
=
Đặt sin x t= cos dx x= dt
Với x =0t = 0
2
x=
1
t =
17
4
I = f t t= f x x= f x x+ f x x= x+ x+ x+ x=
2
2
2 1 khi 0 ( )
2 1 khi 0
f x
=
0
−
A 33
15
19
24
Lời giải:
Chọn D
0
3
Với x =0t = 1
3
2
t = −
2
−
2
( )
f x
=
2
5sin 2 1 cos 2 d
−
−
A 11
43
31
31
10
Lời giải:
Trang 9Chọn C
2
5sin 2 1 cos 2 d
−
Đặt 5sin 2x− = 1 t 10 cos 2 d d cos 2 d 1 d
10
x x= t x x= t
Với
2
= − t = − 1 4
x=
4
t =
2
3
( )
f x
=
1
1
e
e
x
+
A 69
Lời giải:
Chọn A
1
1
e
x
Đặt 2 ln x t+ = 1dx dt
Với x 1
e
= t = 1
x= e t =3
3
69
2
I = f t t= f x x= f x x+f x x= −x x+ x − −x x=
2
( )
f x
=
0
3 x 1 e dx
A 13
102 33
9
9
Lời giải:
Chọn C
0
3 x 1 xd
I = f e − e x
3
e x= t e x= t
Với x =0t = 2
ln 2
x = t =5
2
I = f t t= f x x+ f x x= −x x+ − x x= −
Trang 10 Mức độ 4
0
max sin , cosx x dx
2 Lời giải
Chọn C
Ta có phương trình sinx−cosx= có một nghiệm trên đoạn 0 0;
2
là x 4
= Bảng xét dấu
4
max sin , cosx x dx cos dx x sin dx x
0
4
3 0
I = x x x
A 9
17
19
11
4
Lời giải:
Chọn B
f x =x − ta có bảng xét dấu sau: x
Dựa vào bảng xét dấu ta có
3 0
max x x x, d max x x x, d
3 0
( ) ( )
1 2 ln 2
2 ln 3; ,
1
f
= −
Tính a2+ b2
A.25
9
5
13
4 .
Lời giải
Trang 11Chọn B
1
x x+ f x + f x =x +x (1) Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho ( )2
1
( )2 ( )
1
f x
1
x
f x
x x x
= +
1
x
x
x
+
Mặt khác, f ( )1 = −2 ln 2 2 1 ln 2( − +C)= −2 ln 2 C = −1
x
x
+
2
a = và 3
2
b = −
2
a +b =
với x y , Tính 1 ( )
0
1 d
f x− x
A.1
1 4
7
4
Lời giải Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f x+y = f y + x + xy, x
y= f x = f + x ( ) 2
1 3
f x = + x
f x = f x dx=x + +x C mà f ( )0 =1 =C 1 Do đó ( ) 3
1
f x =x + + x
0
1 d
f x− x=
1
d
f x x
−
=
3 1
1
1 d
4
−
Câu 5 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ( ) 0;1 thỏa mãn f ( )1 = , 0 1 ( ) 2
0
f x x=
( )
1
2
0
1 d 3
x f x x =
0
d
f x x
A.7
7
Lời giải Chọn A
1
2
x f x dx x f x x f x dx Suy ra 1 3 ( )
0
1
x f x dx Hơn nữa ta dễ dàng tính được
1 6
0
1 d
x
x =
Trang 12Do đó1 ( ) 2 1 3 ( ) 21 6
0
7
4
= − +
f x x C Vì f ( )1 =0 nên 7
4
=
4
f x x= − x − x=
Câu 6 Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ( ) và thỏa mãn điều kiện f ( )1 = và 1 f ( )2 = 4
2 1
d
A J = +1 ln 4 B J = −4 ln 2 C ln 2 1
2
2
J = +
Lời giải Chọn D
2 1
d
Đặt
2
2
2 1
d
1
Câu 7 Cho hàm số f x( ) xác định trên \−2;1 thỏa mãn
2
1
3
bằng
A 1ln 20 1
3 5+
Lời giải Chọn B
1
f x
( )
1
2
3
1
3
1
3
x
− − − − + − −
1 1
3 10
Trang 13Câu 8 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ( ) đồng thời thỏa mãn
( )
( )
2
0,
1 0 2
x
f
Tính giá trị của f ( )ln 2
A ( ) 1
ln 2
4
ln 2
3
ln 2 ln 2
2
ln 2 ln 2
2
Lời giải Chọn B
f x = −e f x ( )
( ) 2
x
f x
e
f x
= − ( do f x ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x
x
−
ln 2
x
Câu 9 Cho hai hàm f x và ( ) g x có đạo hàm trên ( ) 1; 4 , thỏa mãn
( ) ( )
= −
= −
với mọi
1; 4
1
I =f x +g x dx
Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có f x( ) ( )+g x = −x f ( )x −x g x ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x x f x g x x g x
+ + + = x f x ( )+x g x ( )=0
x
4
x
Câu 10 Cho hai hàm f x( ) và g x( )có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f(1)=g(1)=0 và
2
3
2
( ) 2017 ( 1) ( ) ( 1)
, 1; 2 ( ) ( ) 2018
1
x
x
x x
x
+
+
Tính tích phân
2
1
1
1
+
+
A 1
2
I = B I =1 C 3
2
I = D I =2
Lời giải
Trang 14Chọn A
2
1
1
x
x x
+
+
+
Suy ra:
1
1
+
+
Mà f(1)=g(1)= = − 0 C 1
+
+
3
2 khi 1 ( )
f x
=
2 0
−
A 21
13
20
5
6
Lời giải:
Chọn A
2 0
3sin 1 sin 2 d
3
Với x =0t = − 1
2
x
= t = 2
3
f x
1
A 231
5
16
113
3
Lời giải:
Chọn B
1
3 2 d
I = f x+ − x
Với x =1t = 0
13
x = t = 2
2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) d
Trang 151 2
2
97
6
f x
2
4
3 4 cos sin 2 d
−
−
A 2
1
21
5
12
Lời giải:
Chọn A
2
4
3 4 cos sin 2 d
−
4
Với
4
= − t = 1 2
x=
3
t =
2
2 1 khi 1 ( )
f x
=
1
1
e
x
−
A 16
6
11
Lời giải:
Chọn C
1
1
e
x
x
Với x =1t = 2
4
x=e t = 0
2 d 2 d 2 ( )d 2 ( )d
11
6
2
2 1 khi 0 ( ) 1 khi 0 2
5 2 khi 2
4
1
cos
x
−
−
A 201
34
155
109
21
Trang 16Lời giải:
Chọn D
4
1
cos
x
−
x
Với
4
= − t = 9 4
x=
5
t = −
2
2
khi 0 ( )
khi 0
f x
x
−
A.7
8
3
Lời giải:
Chọn D
Đặt t =sinx =dt cosxdx Đổi cận
1 2
= =
1
2
Do
2
khi 0 ( )
khi 0
f x
x
−
=
2 1
2 3
−
2
= =
= = −
2
I f t dt f x dx
Do
2
khi 0 ( )
khi 0
f x
x
−
2 2
4
−
Trang 17Vậy 1 2 10
3
I = + =I I
( )
4
2
x
f x
2
1
x f x
x
+
+
Lời giải:
Chọn A
1 2 2
1
x f x
x
+
+
= =
1
I f t dt f t dt f x dx
( )
4
2
x
f x
2 1 1
2
= =
2
( )
4
2
x
f x
10 2 5
1
2
Vậy I = + =I1 I2 84
3
khi 1 ( )
2
1
x
f x
3
0 4
tan
e x f x
+
với a
b là phân số tối giản Giá trị của tổng a b+ bằng
Lời giải:
Chọn A
3
1 2
0 4
tan
e x f x
+
Trang 18Đặt tan 12
cos
x
1 4
3 3
= =
= =
1
I f t dt f x dx
1 1
2
= =
2
Do
3
khi 1 ( )
2
1
x
f x
1
3
1 2
Vậy a b+ =69
1
5
2 2
i
=
+
− +
2
ln
e
a
b là phân số tối giản Giá trị của hiệu a b− bằng
Lời giải:
Chọn A
2
1 2
ln
e
x
Đặt t lnx dt 1dx
x
2
= =
1
I f t dt f x dx
= =
2
I t f t dt x f x dx
1
5
2 2
i
=
+
− +
1 2
Vậy a b− =77
Trang 19Câu 20 Cho hàm số
2
( )
f x
=
( )
2
2
0
ln (2sin 1) cos
e e
với a
b là phân số tối giản Giá trị của tích a b+ bằng
Lời giải:
Chọn B
( )
2
2
1 2 0
ln (2sin 1) cos
e e
x
2
dt
1 2
= = −
1
Do
2
( )
f x
2
−
Đặt t lnx dt 1dx
x
2
= =
2
I f t dt f x dx
Do
2
( )
f x
=
2 2 1
29 1
6
1 2
377
377, 72 72
= + = − = − =
Vậy a b+ = −305