PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH - TOÁN THPT

PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH - TOÁN THPT

Gi i h n d ng vô đ nh lƠ nh ng gi i h n mƠ ta không th tìm chúng b ng cách áp d ng tr c ti p các đ nh lý v gi i h n vƠ các gi i h n c b n trình bƠy trong Sách giáo khoa Do đó mu n tính gi i h n d ng vô đ nh c a hƠm s , ta

0

Gi i h n d ng vô đ nh 0

0 lƠ m t trong nh ng gi i h n th ng g p nh t

đ i v i bƠi toán tính gi i h n c a hƠm s tính các gi i h n d ng nƠy,

ph ng pháp chung lƠ s d ng các phép bi n đ i ( phơn tích đa th c thƠnh nhơn

t , nhơn c t vƠ m u v i bi u th c liên h p, thêm b t, …) đ kh các thƠnh

gi i bƠi toán tìm gi i h n c a hƠm s , h c sinh c n xác đ nh gi i h n

c n tìm thu c d ng xác đ nh hay vô đ nh N u gi i h n đó lƠ vô đ nh thì ph i xét xem nó thu c d ng vô đ nh nƠo đ có ph ng pháp gi i thích h p B i v y vi c rèn luy n k n ng nh n d ng cho h c sinh có quan tr ng, giúp h c sinh đ nh

xlim f(x) = lim g(x) = 0x x x

Th c t h c sinh hay g p tr ng h p

0

x x

f(x)limg(x)

lim(x+2) = 1+2 = 3lim(x - 1) = 1 - 1 = 0

x x

 mƠ f(x), g(x) lƠ các đa th c vƠ f(x0) = g(x0) = 0

Ph ng pháp : Kh d ng vô đ nh b ng cách phơn tích c t vƠ m u thƠnh

nhơn t v i nhơn t chung lƠ (x – x0)

(x - x f (x) f (x)f(x)

g (x)

 v n d ng vô đ nh 0

0 thì ta l p l i quá trình kh đ n khi không còn d ng vô đ nh

Ví d 6 : 2 *

6 x 1 3 m

+ +

2 2

2 2

x 1

2x - x -1 (x -1)(2x+1) = lim = lim

3x - 2x -1 (x -1)(3x+1)2x+1 2.1+1 3

V y L =7 3

4

K t lu n:

Ph ng pháp đ gi i bƠi t p lo i nƠy lƠ phơn tích đa th c thƠnh nhơn t

v i nhơn t chung lƠ x - x 0 Yêu c u đ i v i h c sinh lƠ :

Ph i n m v ng các ph ng pháp phơn tích đa th c thƠnh nhơn t , các

h ng đ ng th c, công th c phơn tích tam th c b c hai, đa th c b c ba thƠnh nhơn

0

cf(x) = ax + bx + c = (x - x ) ax -

x

 , ( f(x0) = 0) NgoƠi các h ng đ ng th c đáng nh , h c sinh c n nh các h ng đ ng th c

Tu theo đ c đi m t ng bƠi mƠ bi n đ i m t cách linh ho t đ kh d ng

vô đ nh Trong quá trình th c hƠnh, nhi u khi sau các bi n đ i đƣ kh các thƠnh

x 1

x 3x 2lim

 mƠ f(x), g(x) ch a các c n th c cùng b c vƠ f(x0)=g(x0)= 0

Ph ng pháp : Nhơn c t vƠ m u v i bi u th c liên h p t ng ng c a

bi u th c ch a c n th c (g i t t lƠ ph ng pháp nhân liên h p hay dùng bi u

th c liên h p) đ tr c các nhơn t x - x0 ra kh i các c n th c, nh m kh các thƠnh ph n có gi i h n b ng 0 Bi u th c ch a c n th c có th lƠ t , m u hay c

t vƠ m u c a phơn th c c n tìm gi i h n ) L u ý lƠ có th nhơn liên h p m t

hay nhi u l n đ kh d ng vô đ nh

Các công th c th ng đ c s d ng khi nhơn liên h p lƠ :

( A ± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0)( A ± B)( A A B+ B ) =A ± B



Giáo viên c n cho h c sinh th y đ c hai công th c nƠy xu t phát t hai

khó kh n đ i v i h c sinh Tuy nhiên giáo viên c n rèn luy n k n ng xác đ nh

vƠ nhơn bi u th c liên h p khi tính gi i h n Theo cách nƠy, nhi u bƠi toán tuy

 mƠ f(x) ch a các c n th c không cùng b c vƠ f(x0)=g(x0)= 0

Ph ng pháp : S d ng thu t toán thêm b t đ i v i f(x) đ có th nhơn

L= lim = lim ,( u(x ) v(x ) = 0,g(x ) = 0)

1+2x - (x+1) + (x+1) - 1+3x1+2x - 1+3x

K t lu n :

Ph ng pháp chung đ tính các gi i h n c a bi u th c ch a các c n th c không cùng b c lƠ thêm, b t m t l ng nƠo đó, tách thƠnh nhi u gi i h n r i nhơn liên h p C n l u ý lƠ có th thêm b t m t h ng s ( th ng ch n lƠ u(x0)

ho c v(x0)) hay m t bi u th c Vi c thêm b t d a trên đ c đi m t ng bƠi vƠ

ph i th t tinh t Thu t toán thêm b t còn đ c áp d ng hi u qu đ i v i các

x 2

x 11 8x 43lim

+)

+)

2 2 2

aL

1-cosxlim

x 0

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx)lim

x

1- cosnx nlim cosx lim cos2x lim cos(n-1)x lim

2x

Trong bƠi t p nƠy ta đƣ s d ng thu t thêm b t :

cosx, cosxcos2x,…, cosxcos2x…cos(n - 1)x

đ bi n đ i vƠ tính gi i h n đƣ cho Có th nh n th y thu t thêm b t đóng vai trò quan tr ng trong k n ng bi n đ i đ i v i bƠi t p nƠy

kh d ng vô đ nh đ i v i hƠm s l ng giác, h c sinh c n n m v ng

vƠ v n d ng linh ho t các phép bi n đ i đ i s , l ng giác c ng nh áp d ng các gi i h n c b n đơy ch có gi i h n

d ng trên Giáo viên c n kh c ph c b ng cách cho h c sinh lƠm các bƠi t p nh :

2sin x+sinx 1lim

4

1 cotg xlim

lim lim ( ( L

Trong bƠi t p nƠy đ s d ng gi i h n c b n ta đƣ th c hi n thêm b t 1

vƠ tách thƠnh hai gi i h n C n nh n m nh cho h c sinh khi x0 thì ax , 0

2 2

3

2 2 3

2 2

tính các gi i h n d ng vô đ nh c a hƠm s m vƠ lôgarit, h c sinh th c

hi n các phép bi n đ i đ áp d ng các gi i h n c b n Yêu c u h c sinh ph i thƠnh th o các phép toán v lu th a vƠ lôgarit

s d ng các gi i h n c b n, b ng cách thêm, b t, nhơn liên h p, …

h c sinh ph i bi n đ i hƠm s c n tìm gi i h n v m t trong các d ng :

m m 1

m m 1 1 0

n n 1 x

+) m = n (b c c a t vƠ m u b ng nhau), chia c t vƠ m u cho xn

bx

0

m m 1

n m n m+1 n x

0

n 1

aa

Sau khi xét ba tr ng h p nƠy, h c sinh c n t rút ra nh n xét k t qu gi i

h n c n tìm d a vƠo b c c a t vƠ m u L u ý lƠ có th chia t vƠ m u cho xh

nh v i tr ng h p f(x), g(x) lƠ các đa th c Qua đó h c sinh có th d dƠng phán đoán k t qu gi i h n d ng  c n tìm

Bài gi i : Chia c t vƠ m u cho x3ta đ c :

5x

3

5 4

4

4 4

2 2

3 x x

5

x

1 x 3 x

V i gi i h n khi x, c n l u ý hai kh n ng x vƠ x

trong phép l y gi i h n có ch a c n b c ch n N u h c sinh không đ ý đ n v n

đ nƠy thì r t d m c ph i sai l m H n n a tr ng h p nƠy còn liên quan t i bƠi toán tìm ti m c n c a hƠm s ch a c n th c

(2x 3) (3x+2)lim

(2x+1)





3)

2 n

n+1 x

n 2

(x+1)(x 1) (x 1)lim

ln(1 x x )lim

x

xlim  lim 

Khi x  thì x < 0, do đó x  x2

Bài gi i : Vì hƠm s c n tìm gi i h n ch a các c n th c không

cùng b c nên ta thêm b t đ có th nhơn liên h p

xx

K t lu n :

i v i d ng vô đ nh    , ta ph i tu vƠo đ c đi m t ng bƠi mƠ v n

d ng linh ho t các k n ng thêm b t, nhơn liên h p, phơn tích thƠnh nhơn t đ

bi n đ i vƠ kh d ng vô đ nh Ta th ng chuy n chúng v các d ng vô đ nh d tính h n lƠ 0

xx

2tgy 4

2tgy 1 tg y

1 tg y 1 tgy 1 tgy 2tgy

ch y u đ c s d ng lƠ đ i bi n vƠ thêm b t

x 0

1 tgxlim