một số định lý hình học phẳng thường gặp ôn thi học sinh giỏi và VMO

một số định lý hình học phẳng thường gặp ôn thi học sinh giỏi và VMO một số định lý hình học phẳng thường gặp ôn thi học sinh giỏi và VMO một số định lý hình học phẳng thường gặp ôn thi học sinh giỏi và VMO một số định lý hình học phẳng thường gặp ôn thi học sinh giỏi và VMO một số định lý hình học phẳng thường gặp ôn thi học sinh giỏi và VMO

MỘT SỐ BỔ ĐỀ, ĐỊNH LÝ THƯỜNG DÙNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Ngô Đức Anh K26 Toán - THPT Chuyên Sơn La

Tóm tắt nội dung Hình học phẳng luôn là một vấn đề vô cùng đặc sắc và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG các cấp Trong việc xây dựng ý tưởng cũng như tìm tòi lời giải cho một bài toán hình học thì việc biết nhiều bổ đề, định lý sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải quyết các vấn đề một cách dễ dàng hơn Vì vậy mà tác giả quyết định trình bày với bạn đọc một số bổ đề thông dụng mà hay được sủ dụng khi giải các bài toán hình học

Mục lục

1.1 Định lý Reim 2

1.2 Hệ quả 2

1.3 Ví dụ 3

1.4 Bài tập đề nghị 8

1.5 Lời kết 8

2 Định lý bốn điểm điểm, định lý Carnot 10 2.1 Định lý bốn điểm, định lý Carnot 10

2.2 Hệ quả 11

2.3 Ví dụ 12

2.4 Bài tập đề nghị 19

2.5 Lời kết 19

3 Định lý con bướm 21 3.1 Định lý con bướm 21

3.2 Ví dụ 23

3.3 Bài tập đề nghị 28

3.4 Lời kết 29

Một số kí hiệu sử dụng trong tài liệu

• (O) - Đường tròn tâm O

• (AB) - Đường tròn đường kính AB

• (ABC) - Đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC)

• Ik

A - Phép nghịch đảo tâm A phương tích k

• ABC - Cát tuyến ABC

Nhận xét Bổ đề trên vẫn đúng trong các trường hợp suy biến khi các điểm trùng nhau và khi

ta xem cạnh do một cặp điểm trùng nhau là tiếp tuyến tại cặp điểm trùng nhau đó hoặc (O1)

và (O2) tiếp xúc với nhau

Hệ quả 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Một đường tròn (O′) đi qua các đỉnh B và C lầnlượt cắt các đường thẳng AB và AC tại B′ và C′ khác A Một đường thẳng t đi qua đỉnh A.Khi đó t tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi t ∥ B′C′

Hệ quả 2 Cho tam giác ABC Các điểm B′ và C′ lần lượt nằm trên các đường thẳng AB

và AC và khác với các đỉnh của tam giác Khi đó hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giác

ABC và AB′C′ tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi BC ∥ B′C′.

Nhận xét Hai bổ đề trên rất hữu ích trong việc chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đườngtròn và đường tròn tiếp xúc với đường tròn

Bài toán 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Đường thẳng qua D vuông góc với

AC cắt AC và (O) lần lượt tại E, F Gọi ℓ là đường thẳng qua F vuông góc với BC Đườngthẳng qua A vuông góc với ℓ cắt ℓ và (O) lần lượt tại G và H Gọi I, J lần lượt là giao điểmcủa GE với F H và CD Chứng minh rằng các điểm C, I, F và J cùng thuộc một đường tròn.Lời giải

Ta có [AGF = [AEF = 90◦ nên AEGF nội tiếp Áp dụng định lý Reim cho (AEF G) và (O)cắt nhau tại A, F với cát tuyến AGH và F ED thì GE ∥ DH

Mặt khác ta có AF CD nội tiếp (O) và J I ∥ DH nên áp dụng định lý Reim cho cát tuyến F IH

Bài toán 2 (P4, IMO 2013) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, và W là điểm nằm trêncạnh BC, nằm giữa B và C Các điểm M, N theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ B và C Gọi

ω1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BW N , và X là điểm trên ω1 sao cho W X là đường kínhcủa ω1 Tương tự, gọi ω2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác CW M , và Y là điểm trên ω2 saocho W Y là đường kính của ω2 Chứng minh rằng X, Y và H thẳng hàng

Lời giải

Do K là điểm Miquel của tam giác ABC nên K thuộc đường tròn (AM N ).

Áp dụng định lý Reim cho (BN W ) và (AM N ) cắt nhau tại N và K với cát tuyến AN B thì

X, H và K thẳng hàng Chứng minh tương tự, ta có Y, H và K thẳng hàng Do đó X, Y và H

Bài toán 3 (P1, Test 1, Day 1, China TST 2022) Cho lục giác lồi ABCDEF ngoại tiếp đườngtròn, G là giao điểm của AB và DC,H là giao điểm của AF và DE Gọi M, N lần lượt là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác BCG và EF H Chứng minh rằng BE, CF và M N đồng quy.Lời giải

Gọi X, Y lần lượt là giao điểm thứ hai của BE và CF với (BCG) Gọi O là tâm đườngtròn ngoại tiêp lục giác ABCDEF Áp dụng định lý Reim cho (BCG) và (O) ta lần lượt có

XY ∥ EF, XG ∥ HD, Y G ∥ HA,

Do đó HEF và GXY là hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng song song Suy ra

BE, CF và M N đồng quy tại một điểm là tâm vị tự của tam giác HEF và GXY □Bài toán 4 (P1, IMO 2018) Cho Γ là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D, E lần lượt

thuộc AB và AC sao cho AD = AE Các đường trung trực của BD và CE lần lượt cắt cáccung nhỏ AB và AC của Γ tại F và G Chứng minh rằng DE ∥ F G.

Lời giải

Gọi X, Y lần lượt là giao điểm thứ hai của DF và EG với đường tròn Γ

Nhận thấy △BDF ∼ △ADX (g.g) Mặt khác do BF = DF nên AD = AX Chứng minhtương tự ta có AE = AY , từ đó suy ra AY = AD = AE = AX, hay bốn điểm Y, D, E và Xcùng thuộc một đường tròn

Áp dụng định lý Reim cho Γ và (A; AD) cắt nhau X và Y với cát tuyến XDF và Y EG thì

Áp dụng định lý Reim dạng suy biến cho (HKQ) và (N ; N D) với cát tuyến HHD và QKD

ta có QH//DD (với ký hiệu DD là tiếp tuyến tại D của (N )) Mà ta lại có DD ⊥ HD nên

DH là tiếp tuyến của (HKQ) Kết hợp với N H = N K, ta có N K là tiếp tuyến của (HKQ)

Do N H ⊥ QH nên ta có N K2 = N H2 = N F N M , suy ra N K là tiếp tuyến của (F KM ).Vậy đường tròn (KHQ) tiếp xúc với đường tròn (KF M ) □Bài toán 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AD, BE và CF đồngquy tại H Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH N O cắt (BOC) tại K khác O,(BOC) giao (DEF ) tại X và Y Tia M H cắt (O) tại T Chứng minh rằng T K, M N và XYđồng quy

Lời giải

Xét thế hình như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự

Gọi Z là giao điểm hai tiếp tuyến tại B và C của (O) Gọi AA′ là đường kính của (O), A′′ làgiao điểm thứ hai của AO và (BOC) Gọi W là giao điểm thứ hai của (BOC) và (T M Z).Theo kết quả bài toán 5 thì T, H, M, A′ thẳng hàng Do O, N lần lượt là tâm của (ABC) và(DEF ) nên ON ⊥ T A, mặt khác T A ⊥ T M nên ON ∥ T M

Xét phép nghịch đảo I tâm M , phương tích k = M B.M C

Ik

M : T ↔ A′, Z ↔ O, suy ra (T M Z) ↔ AA′ Do đó W ↔ A′′, tức là W thuộc M A′′

Áp dụng định lý Reim cho (T M Z) và (BOC) cắt nhau tại W và Z, kết hợp với T M ∥ OK thì

ta có T, W, K thẳng hàng

Lại có M O.M Z = M B.M C = M T M A′, nên OA′ZT nội tiếp

Suy ra \T ZM = \T A′O = \T M N (do M N ∥ AO) Khi đó M N là tiếp tuyến của (T M Z)

Ta có W M N = W T M = N KW , hay W M KN nội tiếp

Xét trục đẳng phương của (BOC), (DEF ) và (N M K) thì ta có ngay M N, XY và T K đồng

Bài toán 7 (P3, APMO 2019) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ Gọi M là trungđiểm của BC Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng AM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BP M

và CP M cắt lại Γ lần lượt lại D và E Gọi X và Y lần lượt là giao điểm thứ hai của DP và

EF với đường tròn ngoại tiếp tam giác CP M và BP M Chứng minh rằng đường tròn ngoạitiếp tam giác AXY luôn đi qua một điểm cố định

Do đó LB.LY = LP LM = LX.LC, suy ra BY CX nội tiếp.

Bằng cộng góc ta chứng minh được LXP Y và DP EK nội tiếp Ta có \XY P = [XLP = \DKP =

\

DEP , suy ra XY //DE

Gọi B1, C1 là hai điểm thuộc Γ sao cho BB1 ∥ AM ∥ CC1 Áp dụng định lý Reim cho (BDM )

và Γ cắt nhau tại B và D thì D, P, C1 thẳng hàng Tương tự ta có E, P, B1 thẳng hàng

Do XY //DE nên tiếp tục áp dụng định lý Reim thì ta có XY B1C1 nội tiếp

Gọi Q là giao điểm của B1C1 và BC thì Q cố định

Ta có PQ/(BCXY )= QB.QC = QB1.QC1 = PQ/(XY B1C1), hay Q ∈ XY

Xét trục đẳng phương của (AXY ), Γ và (BCXY ) ta có (AXY ) cắt AQ tại một điểm cố định

Bài toán 8 (P4, IMO 2015) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Ω tâm O Đường tròn

Γ tâm A cắt đoạn thẳng BC tại các điểm D và E sao cho B, D, E đôi một phân biệt và nằmtrên đường thẳng BC theo đúng thứ tự đó Gọi F và G là các giao điểm của Γ và Ω , sao cho

A, F, B, C và G nằm trên Ω theo thứ tự đó Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoạitiếp tam giác BDF và đoạn thẳng AB Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếptam giác CGE và đoạn thẳng CA Giả sử các đường thẳng F K và GL phân biệt và cắt nhautại điểm X Chứng minh rằng X thuộc AO

Bài toán 9 (P3, IMO 2013) Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh

BC tại điểm A1 Điểm B1 trên CA và điểm C1 trên AB được định nghĩa một cách tương tựbằng cách xét đường tròn bàng tiếp góc B và góc C tương ứng Giả sử tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác A1B2C1 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng ABC

là tam giác vuông

Bài toán 10 (Phan Quang Trí) Cho tam giác ABC có trực tâm H và các đường cao

AD, BE, CF Gọi K, L lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB và HAC Gọi

M là trung điểm của BC Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (DEK) và(DF L) đi qua giao điểm của AM và EF

Bài toán 11 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại D T đối xứngvới D qua AI J là trung điểm của AI và AH là đường cao của tam giác ABC Chứng minhrằng (J HT ) đi qua điểm Feuerbach 1 của tam giác ABC

Các bài toán 8 và 9 nằm trong [1], còn cách bài toán toán 10 và 11 nằm trong [2]

đổi góc nên khi áp dụng các bài toán thì nó sẽ khiến ta nhìn nhận ra các tính chất như songsong, thẳng hàng và nội tiếp dễ hơn việc biến đổi góc, nhất là các trường hợp suy biến Mongqua bổ đề này bạn đọc có thể hình dụng việc sử dụng định lý Reim trong các bài toán phứctạp.

2 Định lý bốn điểm điểm, định lý Carnot

Định lý 1 (Định lý bốn điểm) Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt của trong mặt phẳng Khi

đó AB vuông góc với CD khi và chỉ khi AC2− AD2 = BC2− BD2

1 Khi cho B trùng với C thì ta có ngay định lý Pythagorean

2 Định lý được phát biểu dưới dạng điều kiện cần và điều kiện đủ nên ta có thể vận dung haichiều để chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc dùng để tính toán Ngoài ra điều kiệnvuông góc được biểu thị dưới dạng hiệu hai bình phương nên ta có thể vận dụng các tínhchất của phương tích

3 Định lý trên còn cách chứng minh sử dụng định lý Pythagorean nhưng tác giả sẽ không đềcập đến ở đây Phần chứng minh không khó xin dành cho bạn đọc

Định lý 2 (Định lý Carnot) Cho tam giác ABC và ba điểm X, Y, Z Khi đó các đường thẳnglần lượt qua X, Y, Z và vuông góc với BC, CA, AB đồng quy khi và chỉ khi XB2 − XC2 +

Y C2− Y A2+ ZA2 − ZB2 = 0

Lời giải

Gọi P là giao điểm của đường thẳng qua X vuông góc với BC và đường thẳng qua Y vuônggóc với CA Theo định lý 1, ta có P B2− P C2 = XB2− XC2, P C2− P A2 = Y C2 − Y A2.

Hệ quả 4 Cho tam giác ABC và tam giác A′B′C′ Gọi d1, d2, d3 lần lượt là các đường thẳng qua

A, B, C vuông góc với B′C′, C′A′, A′B′ Gọi d′1, d′2, d′3 lần lượt là các đường thẳng qua A′, B′, C′vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng d1, d2, d3 đồng quy khi và chỉ khi d′1, d′2, d′3 đồngquy

Lời giải

Ta đã biết điều kiện cần và đủ để d1, d2, d3 đồng quy là

(AB′2− AC′2) + (BC′2+ BA′2) + (CA′2− CB′2) = 0

⇔(A′B2− A′C2) + (B′C2− B′A2) + (C′A2− C′B2) = 0Nhận xét

1 Hai tam giác ABC và A′B′C′ được gọi là hai tam giác trực giao

2 Nếu gọi giao điểm của d1, d2, d3 là M thì M được gọi là tâm trực giao của tam giác ABCđối với tam giác A′, B′, C′ Và nếu gọi giao điểm của d′1, d′2, d′3 là N thì N được gọi là tâmtrực giao của tam giác A′B′C′ đối với tam giác ABC

2.3 Ví dụ

Bài toán 1 Cho Ia, Ib, Ic lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B và C của tam giácABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc A, B và C của tamgiác ABC Chứng minh rằng IaA1, IbB1 và IcC1 đồng quy tại một điểm

Lời giải Theo định lý Carnot thì IaA1, IbB1 và IcC1 đồng quy khi và chỉ khi

có thể dễ dàng chứng minh bài toán trên bằng cộng góc

Bài toán 2 (IMO 1985) Cho tam giác ABC, một đường tròn tâm O đi qua A, C và cắt lạicác cạnh BA, BC tại K, N Giả sử các đường tròn (BKN ) và (ABC) cắt nhau tại hai điểm B

và M Chứng minh rằng BM vuông góc với M O

P M P B = P N P K = OP2− OA2.

Do đó

OB2− OP2 = BP (BM − M P ) = (BM + M P )(BM − M P ) = M B2− M P2

Theo định lý bốn điểm thì ta có BP ⊥ M O □Nhận xét Bài toán dưới đây rất quen thuộc và có rất nhiều hướng tiếp cận khác nhau như sửdụng biến đổi góc, dùng phép đối xứng trục, dùng cực đối cực và phép nghịch đảo Nói tóm lạitác giả muốn bạn đọc có thể biết thêm một phương pháp nữa để chứng minh và nhìn nhận bàitoán qua nhiều hướng

Bài toán 3 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) Gọi

E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC Lấy D là một điểm bất kì trên EF , vẽ các tiếp tuyến

DP, DQ tới đường tròn (O) P Q cắt BC, EF lần lượt tại N, M Chứng minh rằng ON ∥ AM Lời giải

Xét cực và đối cực đối với đường tròn (O; R), ta có A là cực của BC, D là cực của P Q mà

N = BC ∩ P Q nên N là cực của AD đối với (O) Suy ra ON ⊥ AD

Do ED ⊥ OA nên áp dụng định lý 1, ta có:

DO2− DA2 = EO2− EA2 = (BE2+ OB2) −14AB2 = R2.Suy ra

DA2 = DO2− R2 = PD/(O)Điều này chứng tỏ D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AP Q Xét cực và đối cực đối vớiđường tròn (AP Q), ta có O là cưc của P Q nên M, O liên hợp Mặt khác DM ⊥ OA nên M làcực của OA Suy ra M A ⊥ AD

Bài toán 4 Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BM =

CN Gọi S là giao điểm khác A của (ABN ), (ACM )

a) Giả sử SB, SC lần lượt cắt lại (ASC), (ASB) tại X, Y Chứng minh rằng \BAX = [CAY

b) Chứng minh rằng tâm các đường tròn (ABC), (AM N ) lần lượt nằm trên đường cao đỉnh

S của tam giác SM N, SBC

Gọi O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HM N

Gọi U, V lần lượt là giao điểm của HM và AC, HN và AB Ta có U A.U C = U M U H, nên Uthuộc trục đẳng phương của (O) và (HM N ) Tương tự, ta có V thuộc trục đẳng phương của(O) và (HM N ) Suy ra U V ⊥ OO′

Ta sẽ đi chứng minh U V ⊥ OH

Ta có \AN V = \ABH = \ACH = \AM U , do đó M U N V nội tiếp Khi đó

HM HU = HV HN

Do đó

OU2− OH2 = (OU2− R2) − (OH2− R2) = U M U H − V N V H

= U H(U H + HM ) − V H(V H + HN )

= U H2− V H2.Suy ra U V ⊥ OH

Bài toán 6 (Lê Bá Khánh Trình) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H

CH cắt AB ở D Trên AC lấy M sao cho DM ⊥ OD Trên M D lấy N sao cho CN ⊥ M H.Gọi K là giao điểm của CD và OM Chứng minh rằng \M N K = \CN H

Lời giải

Gọi T là trung điểm của AC, theo định lý bốn điểm ta có:

T M2− DM2 = OD2− T O2 = (OA2− DA.DB) + (T A.T C − OA2)

= T A2− DH.DC

= T A2− HD.HC − HD2

= T H2− DH2.Suy ra DT ⊥ M H, mà \M DO = 90◦ nên \DM H = [ODT = \OM T , do đó M H và M O đẳnggiác trong \N M C

Gọi X là giao điểm của M H và AB

Do \M DX = \CDO nên X và O là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác M CD Khi đó

\

XCD = [ACO = \BCD, suy ra X đối xứng với B qua CD

Ta có \N CD = 90◦− \XHD = 90◦− \BHD = \ACD, do đó BD là phân giác của \M CN

Mà M H và M O đẳng giác trong \N M C nên N H và N K đẳng giác trong M N C, tức là

Bài toán 7 Cho tam giác ABC có các đường cao AH, BE.CF đồng quy tại H Gọi X, Y, Zlần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua BC, CA, AB Chứng minh rằng các đường thẳngqua X, Y, Z lần lượt vuông góc với EF, F D, DE đồng quy tại một điểm

Lời giải Áp dụng công thức đường trung tuyến cho tam giác AF X và AEX, ta có

F X2−EX2 =

2F D2+AX

rằng XT ⊥ EF

Lời giải

Do AZP Y nội tiếp nên [QAC = [ZAP = [ZY P = [T AY , suy ra A, T, Q thẳng hàng Từ đó, ta

có AQ ⊥ Y Z Tương tự, ta có BQ ⊥ ZX, CQ ⊥ XY

Do đó các đường thẳng qua Q, E, F lần lượt vuông góc với Y Z, T Z, T Y đồng quy tại A Khi

đó tam giác QEF và T Y Z trực giao với nhau Như vậy các đường thẳng qua T, Y, Z lần lượtvuông góc với EF, F Q, QE đồng quy tại X Suy ra DT ⊥ EF □

Tiếp theo ta sẽ đi đén một bài toán phức tạp hơn nhưng ý tưởng cũng tương tự như trên.Bài toán 9 Cho tam giác ABC và điểm P bất kì Gọi Q là điểm liên hợp đẳng giác của P đốivới tam giác ABC Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiều của Q lên BC, CA, AB Gọi R là trựctâm của tam giác XY Z Các đường thẳng qua P lần lượt vuông góc với BP, CP lần lượt cắt

CA, AB tại K, L Chứng minh rằng QR ⊥ KL

Lời giải