(SKKN 2022) một số giải pháp nhằm phát triển tư duy cho học sinh lớp 9 trường phổ thông dân tộc nội trú THCS bá thước từ bài toán cực trị đơn giản

Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của mình vào trong

2.2 Thực trạng về kỹ năng tư duy về cực trị của học sinh trường PTDT

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em học sinh phát triển một cách toàn diện

Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức

là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh

Trong chương trình Toán THCS khối lượng kiến thức rất phong phú và đa dạng, các dạng toán cũng đề cập không ít Trong số đó có bất đẳng thức là một dạng toán quan trọng và khá phổ biến Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp và thi vào THPT, THPT chuyên thì bất đẳng thức thường hay gặp trong các đề thi Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển các đối tượng học sinh khá, giỏi bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu, tìm tòi các phương pháp giải Nhằm bổ trợ và nâng cao kịp thời cho các em

Ở dạng toán bất đẳng thức thì mỗi bài toán với số liệu riêng của nó, đòi hỏi

ta phải vận dụng cách giải phù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học

Không những thế bất đẳng thức luôn là một đề tài thú vị của môn Đại số,

vì nó còn tiếp tục được giới thiệu và nghiên cứu ở cấp THPT Do đó bất đẳng thức mãi mãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học, là vấn đề đa số người học quan tâm trong các kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và thi vào lớp 10

Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó Tôi đã tìm tòi và nghiên cứu đề

tài: “Một số giải pháp nhằm phát triển tư duy cho học sinh lớp 9 trường Phổ thông Dân tộc nội trú THCS Bá Thước từ bài toán cực trị đơn giản” Nhằm tìm

ra các biện pháp hữu hiệu nhất để có một phương án đúng đắn giúp học sinh tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức chủ động hơn, có hứng thú trong quá trình học

1.2 Mục đích nghiên cứu

a Đối với giáo viên:

- Giúp giáo viên dạy toán THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu, dạy bất đẳng thức

- Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh

- Qua việc triển khai đề tài này góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốt nội dung bất đẳng thức và do đó sẽ dạy - học tốt môn toán trong trường THCS

b Đối với học sinh, sau khi thực hiện đề tài sẽ giúp các em:

- Giúp học sinh có kiến thức sâu hơn về bất đẳng thức, góp phần học tốt hơn môn toán

- Giúp học sinh phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt áp dụng vào thực tế của từng bài toán

- Giúp học sinh định hướng đường lối giải bài toán

- Giúp học sinh rèn kỹ năng giải bài toán bằng nhiều cách và biết lựa chọn phương án tối ưu

- Rèn luyện kĩ năng thực hành các thao tác tư duy toán học hợp lí

- Giải quyết triệt để những yếu kém, hạn chế về kỹ năng tư duy lôgic mà học sinh vẫn mắc phải lâu nay trong quá trình giải toán

- Cung cấp thêm vốn kiến thức cần thiết và tăng cường hiểu biết là cơ sở tiếp thu các kiến thức toán học ở các lớp sau này

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các giải pháp tìm tòi phương pháp giải bài toán cực trị đại số nhằm phát triển tư duy, kĩ năng giải toán cực trị cho học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9 trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có

nội dung liên quan

Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích các số liệu từ tài liệu để sử

dụng trong sáng kiến kinh nghiệm Sau đó tổng hợp các số liệu

Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tìm hiểu thực

trạng về kỹ năng tư duy bài toán cực trị của học sinh lớp 9

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy học ở trường THCS nói chung và dạy toán nói riêng, việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán Vì thông qua đó có thể rèn luyện được tư duy, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh Để làm được điều đó giáo viên phải cung cấp cho học sinh các kiến thức

cơ bản, các phương pháp vận dụng và biến đổi phù hợp giúp học sinh hiểu được thực chất của vấn đề để từ đó có các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm

lí chán nản và sợ môn Toán

Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh Đối với học sinh khá

giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùng trong việc học toán

Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải.Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lí nhất Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường lối chung.Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá bài toán thành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự

Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng học sinh khá giỏi từ trước tới nay Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

2.2 Thực trạng về kỹ năng tư duy về cực trị của học sinh trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước

Trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước với đặc thù 100% học sinh là học sinh dân tộc thiểu số đến từ 21 xã, thị trấn trong toàn huyện, đời sống của gia đình các

em còn nhiều khó khăn nên sự quan tâm của gia đình đến việc học của các em còn hạn chế mặc dù được sự quan tâm rất lớn của Đảng và Nhà nước đối với giáo dục dân tộc Mặt khác đa số các em đều ở nội trú và xa gia đình nên các em phải từng bước tự lập nên có nhiều bỡ ngỡ, tâm lí xa gia đình, nhớ nhà ảnh hưởng nhiều đến sinh hoạt và học tập của các em Bản thân các em còn nhút nhát, khả năng tiếp thu bài giảng và diễn giải của các em còn hạn chế Vì vậy, khả năng giải toán và tư duy của các em còn rất nhiều hạn chế

Qua thực tế dạy học ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao đổi chuyên môn qua một số giáo viên, việc dạy học nói chung và việc bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá và giỏi thông qua dạy học giải bài toán bất đẳng thức và cực trị đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo, chúng tôi nhận thấy một số tồn tại như sau:

Do số tiết học ở trên lớp còn rất ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi

Học sinh ít khi được phát hiện vấn đề mới mà thường lặp lại hoặc phát hiện vấn đề được giáo viên đã đưa ra, học sinh thường bị động khi tiếp nhận kiến thức

từ phía giáo viên Cách dạy và học như vậy sẽ làm hạn chế khả năng tìm kiếm, tự phát hiện vấn đề của học sinh, điều này trái với quan điểm về việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm Chính vì điều đó

mà trong dạy học, người giáo viên phải biết chú trọng công tác bồi dưỡng học sinh năng lực nhận biết tìm tòi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rèn luyện các

kỹ năng tư duy vào thói quen phát triển tìm tòi, thông qua một số thao tác trí tuệ

Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh năng lực này tạo cho học sinh thói quen luôn luôn tích cực khám phá kiến thức ở mọi lúc, mọi nơi Muốn làm tốt điều đó đòi hỏi học sinh phải trải qua một quá trình tìm tòi, mò mẫm, dự đoán, suy xét ở nhiều góc độ để rồi thử nghiệm

Trong chương trình toán trung học cơ sở, hệ thống bài tập trong sách là rất

đa dạng và phong phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trong từng chủ đề Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy như vậy giáo viên cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, học sinh cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi cái mới

Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người giáo viên cần phải có phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa phần khai thác và phát triển các bài toán bất đẳng thức cơ bản, đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, bài toán đã học vào việc giải toán, từ bài toán dễ đến bài toán khó

mà sự huy động kiến thức đó là cần thiết, cần phải làm cho học sinh luôn thấy được sự cần thiết thiếu hụt tri thức của bản thân Bởi vì khi học sinh nhận ra sự thiếu hụt tri thức của bản thân thì chính sự thiếu hụt đó là một yếu tố kích thích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại sự cân bằng Học sinh khi đó trở thành người mong muốn bù lấy sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức của bản thân mình

Do đặc điểm của nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra để áp dụng cho các em khối lớp 9 Trong quá trình ôn học sinh giỏi khối

9 và các em học sinh đăng kí thi vào các trường PTDT Nội trú tỉnh, PTDT Nội trú Ngọc Lặc của trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước, khi đưa ra các bài tập

mà chưa hướng các em tư duy thì kết quả thu được rất khiêm tốn Cụ thể tôi đã

ôn 15 em học sinh khối 9 và sau một số bài kiểm tra với nội dung tương tự như trong SKKN tôi đã trình bày, kết quả thu được như sau:

Bảng điểm khảo sát của học sinh trước khi áp dụng SKKN

Điểm

Lớp

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Tôi bắt đầu đưa cho các em học sinh một bài toán quen thuộc sau:

Bài toán 1: Cho a b c , , 0, chứng minh rằng:

2

2 2

a c

c c b

b b a













Có nhiều cách giải cho bài toán này, cách đơn giản thường gặp ở đây là sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc bất đẳng thức Bunnhiacopxki Chẳng hạn, sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta ghép cặp như sau:

) 1 ( 4

3 4

2

b a

a a b a b

a















Tương tự, ta cũng có:

) 2 ( 4

3

c

b





) 3 ( 4

3

a

c





Cộng (1), (2), (3) ta có:

2 4

) (

) (

3 2 2

a c

c c

b

b

b

a























Ở đây có một câu hỏi đặt ra là, nếu không sử dụng bất đẳng thức Côsi thì

có tìm được đánh giá (1) hay không? Nếu được thì làm như thế nào?

Câu trả lời là có và ta sẽ làm như sau:

Ta đi tìm các hệ số m, n sao cho: 2 ma nb( 4 )

b a

a





 Chú ý rằng bất đẳng thức trong bài toán trên xảy ra dấu đẳng thức khi a b c  Với a b , từ (1) ta có: 1

2  m n , để dấu “ = ” xảy ra ta chọn m, n sao cho:

m n   n  m Khi đó (4) trở thành:

(*) 0 ) 1 2 ( )

1 ( 2 ) 2

1

2



















b

a

a

Chia cả hai vế (*) cho b2, đặt a t

b  khi đó (4) trở thành:

2(1 )

m

m



Để (5) đúng ta chọn m thỏa mãn:

2(1 )

m

m m

 







 



Từ đó suy ra (1)

Lời giải bài toán trình bày như sau:

Lời giải:

Ta có:

2

3

4

a b



Chứng minh tương tự, ta cũng có:

2

3

(ii) ; 4

3

(iii) 4

b c

c a













Cộng theo vế các bất đẳng thức (i), (ii), (iii) ta có:

2 4

) (

) (

3 2 2

a c

c c

b

b

b

a























Nhận xét:

Bài toán trên là một bài toán khá đơn giản, song với cách tiếp cận như trên đã đem đến cho chúng ta một ý tưởng giải lớp các bài toán đồng bậc một cách dễ dàng

Với ý tưởng trên, ta xem xét tiếp bài toán sau:

Bài toán 2:

Cho a b c , , 0 , chứng minh rằng:

 

Phân tích:

Dự đoán dấu “ = ” xảy ra khi a b c 

Tiếp theo tìm m, n sao cho 2 3 2 (6)

2

a

ma nb

a ab b  

Các hệ số m, n được chọn phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra, do đó:

m  n n  m Khi đó (6) trở thành:

3

1

a

a ab b

   

Chia cả 2 vế (6) cho b3 , đặt a t

b được:

3 2

2

4(1 ) (4 1) (8 2) 0

( 1) 4(1 ) (4 3) 8 2 0 (8)

         

Nếu (8) đúng với mọi t 0 thì 4(1  m t) 2  (4m 3)t 8m  2 0 phải có nghiệm t 1 Thay t 1 vào phương trình ta được 9

16

m  Với 9

16

m  , (8) trở thành:

2

1

( 1) (7 10) 0, 0.

4 t t   t

Do đó 9

16

m  thỏa mãn, suy ra 5

16

n 

Lời giải:

Ta có:

3

2

a

Tương tự, ta cũng có:

3

b

b bc c  

3

c

c ca a  

Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 3: (HSG toán 9, Thanh Hóa năm học 2015 - 2016)

Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab2 bc2 ca2  3 Chứng minh rằng:

3 3 3

a b c

Phân tích:

Ta nhận thấy rằng dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  Bất đẳng thức được viết lại như sau:

Dựa vào ý tưởng trên, ta sẽ tìm m, n, p sao cho:

(9)

ma nb pab

ab



Ta có (9)  2a5  ma b pa b4  2 3  nab4  3b5  0 (10)

Sau khi chia cả 2 vế của (10) cho b5, đặt a t

b  ta được:

2t  mt  pt  nt  3 0 (11)

Dấu “ = ” xảy ra ở (11) khi t 1

Do đó để (11) đúng thì vế trái của nó phải có nhân tử ( 1)t  2, suy ra

2t  mt  pt  nt 3 chia hết cho ( 1)t  2

Thực hiện phép chia đa thức và cho phần dư bằng 0, ta được: 2

5 3







 

Khi đó:

(13)  (t 1) 2  t  (4  m t)  2(3  m t)  3   0

Đến đây cần lựa chọn m sao cho: 2t3  (4  m t) 2  2(3  m t)   3 0 là được Giả sử giá trị này của m là m0 Như vậy, (9) trở thành:

2 (5 3 ) (i)

ab



Tương tự có:

2 (5 3 ) (ii)

bc



2 (5 3 ) (iii)

ca



Cộng các vế (i), (ii), (iii) được:

Để có điều cần chứng minh, chọn m 0 5 Với m 0 5, ta có:

2t  (4  m t)  2(3  m t)    3 ( 1) (2t t 3) 0,   t 0

Vậy m 0 5 là giá trị thỏa mãn, suy ra n 10,p 10

Lời giải:

Ta có:

ab



Chứng minh tương tự, cũng có:





2 3

5 10 10 (ii)

2 3

5 10 10 (iii)

bc

ca

Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 4 : (Đề dự bị HSG lớp 9 cấp tỉnh, Thanh hoá năm học 2014-2015)

Cho ba số dương x y z, , thay đổi thỏa mãn điều kiện x 2y 3z 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 88 3 32 297 3 8 23 11 3 2723

Q

Nhận xét:

Bài này có cùng ý tưởng giống bài trên, sau khi đặt











 



2 3

a x

b y

c z

, Q trở thành:

(*)

Q

Đến đây thì đơn giản rồi, làm tương tự trên ta có đánh giá:

  

3 3

2

11

3 4

b a

a b

ab b

Bất đẳng thức này đúng, vì nó tương đương với (a b ) (2 a b )  0

Cũng thế cho các đánh giá khác, có ngay điều cần chứng minh.

Có lẽ, biểu thức Q ban đầu giống như (*), nhưng người ra đề muốn gây một chút khó khăn cho thí sinh, bằng cách đặt ngược lại trên

Tiếp theo ta xét bài toán sau không còn là đồng bậc nữa nhưng vẫn giải được với ý tưởng trên tuy nhiên cần thêm đánh giá phụ:

Bài toán 5 :

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c4  4  4  3 Chứng minh rằng:

1

4  ab4  bc4  ca 

Phân tích:

Ở bài này ta không thể tìm được m,n,p để có đánh giá   



1

4 ab ma nb p

( ) ( ) ( )

a b c  ab  bc  ca và dấu đẳng thức xảy ra khi a b c , vì thế ta sẽ nghĩ đến đánh giá

2

1

( ) (12)

4  ab m ab n

Đặt tab , do0 ( 4 4) 3

a b

2

t  Sau khi biến đổi và rút gọn ta có 3 2

(12)  mt  4mt  nt 4n 1  0

Đến đây thực hiện giống như trên tìm được

1 18 5 18

m n









 



Lời giải:

Ta chứng minh: 1 ( )2 5( ).

ab

i ab





( )i (4 ab) (  ab) 5 18 0 2(ab 1) (2 ab)0

Bất đẳng thức này đúng, vì 0 ( 4 4) 3 2.

a b

Tương tự ta có:

2

( ).

bc

ii bc







2

( ).

ca

iii ca







Cộng các các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) trên vế theo vế ta có:

1