(SKKN 2022) một số giải pháp để chứng minh hình học phẳng thông qua việc phân loại và khai thác bài tập hình học lớp 9

Đổi mới phương pháp giảng dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài góp phần thực hiện mục tiêu như Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị Trung ương

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Giải pháp 1: Phân loại toán chứng minh hình học theo một số dạng truyền thống thường gặp 5

2.3.2 Giải pháp 2: Ôn luyện kiến thức cũ trong bài mới 5

2.3.3 Giải pháp 3: Xây dựng niềm tin cho học sinh yếu và khích lệ học sinh khá giỏi 8

2.3.4 Giải pháp 4: Đa dạng hóa các bài tập và tập cho học sinh có thể tự tìm tòi 11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 13

3 Kết luận, kiến nghị 14

3.1 Kết luận 14

3.2 Kiến nghị 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

DANH MỤC 17

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Là một giáo viên giảng dạy môn Toán học ở bậc THCS tôi nhận thấy: Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS

Đổi mới phương pháp giảng dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài góp phần thực hiện mục tiêu như Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị Trung ương 8 khóa XI đã chỉ rõ: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời” Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông

Qua nghiên cứu các tài liệu và đặc biệt từ thực tế việc dạy, việc học tại Trường THCS Quang Trung, bản thân tôi nhận thấy: Dạng toán chứng minh là một dạng toán rất quan trọng của hình học phẳng lớp 9 Sự phong phú, đa dạng

về thể loại cũng như sự linh hoạt, sâu sắc trong suy luận của các bài toán chứng minh luôn tạo nên sức cuốn hút hấp hẫn của môn học này Nhiều kĩ năng giải toán được hình thành và thông qua đó năng lực phân tích tìm tòi, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo của học sinh được phát triển Dù mang nhiều ý nghĩa như vậy nhưng rất nhiều học sinh lớp 9 còn lúng túng khi gặp bài toán chứng minh hình học phẳng đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu Đây là vấn đề mà các thầy cô giáo giảng dạy toán 9 và các bậc phụ huynh đều rất quan tâm, lo lắng

Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chất lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm dạy và học toán, tôi đã nghiên cứu và lựa chọn đề tài: “Một số giải pháp để chứng minh hình học phẳng thông qua việc phân loại và khai thác bài tập hình học lớp 9” với kỳ vọng góp một phần kinh nghiệm giảng dạy của mình về việc dạy học theo cách đổi mới phương pháp, giúp học sinh học tốt hơn các bài toán về chứng minh hình học phẳng và là nguồn cảm hứng cho lòng say mê của học sinh đối với bộ môn toán học, phù hợp với chương trình giáo dục phổ thông

2018 và chương trình giáo dục phổ thông năm 2006

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nội dung trong đề tài cung cấp cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các phương pháp chứng minh hình học phẳng, nhằm giúp cho học sinh có khả

năng chứng minh thành thạo hình học phẳng, từ đó hình thành cho các em các kĩ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng, phát triển năng lực phân tích tìm tòi, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo và thể hiện tốt lời giải bài toán vận dụng tốt dạng toán này

Giúp các em học sinh thấy được vai trò của việc chứng minh trong hình học phẳng, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh

Tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên cứu kĩ càng các tài liệu để có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo phục vụ cho quá trình học tập và giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các vấn đề để hướng dẫn học sinh lớp 9 chứng minh hình học phẳng thông qua việc phân loại và khai thác bài tập hình học

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thu thập, xử lí thông tin

- Phương pháp lập kế hoạch

- Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp

2 Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nghị quyết TW 4 (Khóa XIII) khẳng định: "Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục và đào tạo là đầu tư cho phát triển Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế Xây dựng đồng bộ thể chế, chính sách để thực hiện có hiệu quả chủ trương giáo dục và đào tạo cùng với khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu, là động lực then chốt để phát triển đất nước Chú trọng giáo dục phẩm chất, năng lực sáng tạo và các giá trị cốt lõi, nhất là giáo dục tinh thần yêu nước, tự hào, tự tôn dân tộc, khơi dậy khát vọng phát triển, xây dựng và bảo

vệ Tổ quốc Đào tạo con người theo hướng có đạo đức, kỷ luật, kỷ cương, ý thức trách nhiệm công dân, xã hội; có kỹ năng sống, kỹ năng làm việc, ngoại ngữ, công nghệ thông tin, công nghệ số, tư duy sáng tạo và hội nhập quốc tế"

Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới,

và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành

lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó

Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán chứng minh hình học phẳng một cách nhanh chóng và chính xác Để làm được điều này thì người giáo viên cần phải xây dựng cho học sinh kĩ năng quan sát, phân tích, tổng hợp bài toán Tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải bài toán cho phù hợp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, tôi nhận thấy: Khi đứng trước bài toán về chứng minh hình học phẳng các em chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên chứng minh như thế nào, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, hướng giải nào là tốt nhất và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót trong lập luận cũng như cách trình bày

Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng chứng minh hình học phẳng của HS khối 9 đầu năm học 2021 - 2022:

Lớp

(sĩ số)

HS không thuộc lí thuyết, không biết cách chứng minh

HS thuộc lí thuyết, chưa biết vận dụng chứng minh

HS nắm vững

lí thuyết, biết vận dụng chứng minh

Hs đạt yêu cầu

Tỉ lệ

%

Hs đạt yêu cầu

Tỉ lệ

%

Hs đạt yêu cầu

Tỉ lệ

%

* Phân tích kết quả trên:

Kết quả khảo sát năm học 2020 - 2021 và năm học 2021- 2022 cho thấy: 56% các em HS khối 9 chưa có được các kĩ năng chứng minh cần thiết

Qua đây cho thấy việc làm cho học sinh nắm vững phương pháp để vận dụng kiến thức đã học vào chứng minh hình học phẳng là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán Vì thông qua đó có thể rèn được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh Để làm được điều đó thì theo tôi, giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng minh cụ thể, chi tiết để học sinh hiểu được thực chất của vấn đề, phát hiện phương pháp phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau Từ đó giúp học sinh có các kĩ năng chứng minh hình học phẳng thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán nản, hoang mang, dẫn đến sợ môn toán

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1: Phân loại toán chứng minh hình học theo một số dạng truyền thống thường gặp

Giải pháp phân loại toán chứng minh hình học theo một số dạng truyền thống thường gặp có mục đích là giúp học sinh xác định rõ hướng chứng minh, tìm cách giải quyết cần vận dụng những kiến thức nào đã học

Phân loại các dạng toán chứng minh:

a Dạng 1: Toán chứng minh dựa vào so sánh

* So sánh về độ lớn:

- So sánh các đoạn thẳng, các góc hay chứng minh các đoạn thẳng, các góc bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn

- So sánh về diện tích các hình

- So sánh về tỉ số, hệ thức giữa các đoạn thẳng

* So sánh về vị trí:

Ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng qui, nhiều điểm thuộc một đường tròn, các đường thẳng song song, các đường thẳng vuông góc, đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, các đường tròn cắt nhau, các đường tròn tiếp xúc nhau…

b Dạng 2: Toán chứng minh dựa vào nhận dạng các hình

- Các hình đồng dạng

- Nếu là đa giác có thể là đa giác đều

- Nếu là hình tứ giác thì có thể là hình thang, hình thang cân, thang vuông, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông

- Nếu là hình tam giác có thể là tam giác cân, vuông, vuông cân và tam giác đều

c Dạng 3: Chứng minh các yếu tố cố định không đổi

- Điểm cố định, độ dài không đổi, tích không đổi, tỉ số không đổi

- Đường thẳng đi qua điểm cố định

d Dạng 4: Toán cực trị - Xác định điều kiện để một hình có độ lớn (độ dài, số đo, diện tích, chu vi, ) nhỏ nhất hay lớn nhất

Với giải pháp này cần hướng dẫn cho học sinh nắm được một cách chắc chắn các dạng và cách chứng minh từng dạng

2.3.2 Giải pháp 2: Ôn luyện kiến thức cũ trong bài mới

Giải pháp ôn luyện kiến thức cũ trong bài mới có mục đích giúp học sinh ghi nhớ, khắc sâu và vận dụng linh hoạt kiến thức đã học Từ những bài tập quen

thuộc giáo viên mở rộng phát triển bài toán có tính tổng hợp, phong phú hơn để học sinh không những ôn luyện được kiến thức mà còn vận dụng những kiến thức đó để làm bài tập mới

a Ví dụ 1: Giáo viên đưa ra chùm bài tập như sau:

Bài tập 1:

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn tâm O) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt ON tại S Chứng minh SO = SA

- GV dẫn dắt, định hướng bằng các câu

hỏi để HS tìm ra hướng chứng minh

* Để chứng minh SO = SA ta quy về

chứng minh 

1

O SAO và dựa vào tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

* Chứng minh:

Ta có:  

1 2

O O (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 

2

OAS O (cùng phụ 

1

  

1

O OAS  OSA cân tại S  SO = SA

1

1 2

O

A

S

M

N

Bài tập 2:

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn tâm O) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt AN tại S Chứng minh SO = SA

- GV dẫn dắt, định hướng bằng

các câu hỏi để HS tìm ra hướng chứng

minh

* Để chứng minh SO = SA ta quy

về chứng minh  

1 1

A O và dựa vào tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

* Chứng minh:

Ta có:  

1 2

A  A (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 

2 1

A O (cùng phụ 

2

  

1 1

A O  OSA cân tại S

 SO = SA

1 2

1 2

S O

A M

N

Từ hai bài tập trên giáo viên mở rộng phát triển bài toán có tính tổng hợp: Bài tập 3: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến

AM, AN với đường tròn (M, N thuộc đường tròn tâm O) Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt AN ở S và cắt đường thẳng vuông góc với AM tại A ở F

ON cắt AF tại E Chứng minh:

a Tam giác EAO là tam giác cân

b SO = SA

c Tứ giác AMOF là hình gì?

d Ba đường thẳng OF, AN, ES đồng qui

e Năm điểm A, M, O, N, F cùng thuộc một đường tròn

- Sau khi vẽ hình bài tập 3 và tìm cách

chứng minh học sinh dễ dàng nhận ta câu a

tương tự như bài tập 1, câu b tương tự như bài

tập 2

- GV dẫn dắt, định hướng bằng các câu

hỏi để HS tìm ra hướng chứng minh

a Tương tự như chứng minh bài tập 1

b Tương tự như chứng minh bài tập 2

c Nhận xét về các góc của tứ giác

AMOF:

   0

90

MOF  AMOOFA nên tứ giác

AMOF là hình chữ nhật

F S O

A M

N

E

d Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác

Ta có: OF  AE; AN OE

mà OF cắt AN tại S S là trực tâm của tam giác AOE

Ba đường thẳng OF, AN, ES đồng qui

e Để chứng minh năm điểm A, M, O, N, F cùng thuộc một đường tròn ta cần chứng minh 2 tứ giác AMON và tứ giác AONF nội tiếp

- Sau khi giải bài tập này GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Để giải bài toán này các em đã vận dụng những kiến thức nào?

HS trả lời được câu hỏi của Giáo viên là các em đã ôn lại những kiến thức

về tam giác cân, hình chữ nhật, ba đường cao của tam giác thì đồng qui, cách chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

b Ví dụ 2: Củng cố: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R I là trực tâm của tam giác ABC Các đường cao AH, BK, CI cắt đường tròn (O, R) lần lượt tại D, E, F Vẽ đường kính AM Chứng minh:

a CD = CE

b HK // DE

c Tứ giác BECM là hình thang cân

GV: dẫn dắt, định hướng

a Để chứng minh CD = CE ta quy về chứng

minh tam giác CED cân tại C, tức là ta cần chứng

minh EDC ECD

Ta cúEBC EDC (cùng chắn EC)

DAC  DEC (cùng chắn DC)

Mặt khác: EBC DAC(cùng phụ BIH và BIH AIK)

b Để chứng minh HK// DE ta chứng minh

các góc nằm ở vị trí đồng vị bằng nhau BEDBKH

K

H

A

B

C

D

E

F

M

Ta có BED BCD (cùng chắn BD) (1)

BAD BCD (cùng chắn BD) (2)

BADBKH (cùng chắn BH) (3)

Từ (1) (2) (3 )  HK// DE

c Chứng minh tứ giác BECM là hình thang cân ta cần chứng minh tứ giác

là hình thang có MC//BE và có 2 góc đáy CEB MBE

* Ta có  0

90

AMC   MC  AC mà BE  AC  MC // BE

* Chứng minh CEB MBE

Ta có:

 1

BEC

2

 sđ BC =

2

1 (sđ BD + sđ DC)

 1

EBM

2

 (sđ EC + sđ MC)

Mà CD EC cần chứng minhBD MC hay chứng minh CAMBAD

90

CAM  AMC = 900

-2

1

sđ AC  0 

90

BAD BAC = 900

-2

1

sđ AC  CAMBAD hay BD MC

Với bài toán này ngoài kiến thức về đường tròn mới học, một lần nữa ta lại nhắc lại cho học sinh về: dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hình thang cân

Sau khi hướng dẫn cho các em làm bài tôi lại yêu cầu học sinh thực hiện như bài tập trước, cứ như vậy qua nhiều lần học sinh sẽ được khắc sâu lại kiến thức cũ để vận dụng giải những bài tập khác

2.3.3 Giải pháp 3: Xây dựng niềm tin cho học sinh yếu và khích lệ học sinh khá giỏi

Bồi dưỡng nâng cao trình độ cho học sinh yếu và phát huy tư duy cho học sinh khá, bồi dưỡng học sinh giỏi là hai yêu cầu bắt buộc cho mọi môn học vì đây là yêu cầu của đất nước, là nhiệm vụ của ngành giáo dục và cũng là mục tiêu phấn đấu của nhà trường Vì vậy trong từng tiết học tôi bao giờ cũng phải đặt ra yêu cầu để phấn đấu giảng dạy Phân môn hình học của bộ môn Toán lại

có đặc thù riêng của nó nên trong tiết học cần làm thế nào? Ở đây tôi chỉ xin nêu lên cách làm của một tiết luyện tập Đó là chọn bài tập có nhiều câu hỏi Từ dễ đến khó những câu khó hoặc quá khó chỉ yêu cầu học sinh khá và giỏi làm

Ví dụ 3:

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB M là điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến của (O; R) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D Chứng minh rằng:

a  0

COD  90

b CD = AC + BD

c AC BD = R2

- Câu a, b học sinh yếu và

trung bình có thể giải được

Gợi ý:

a Dựa vào tính chất hai tiếp

tuyến cắt nhau Ta có

COMMOD) 180   0

90

COD 

b Dựa vào tính chất hai tiếp

tuyến cắt nhau

CD = MC + MD mà MC =

CA; MD = MB

- Câu c giáo viên gợi ý tích

AC.BD bằng tích của hai đoạn

thẳng nào?

Áp dụng hệ thức lượng trong

tam giác vuông COD

Ta có: OM2= R2= CM.MD =

CA.DB

I

Giáo viên ra thêm hai câu:

d Đường tròn đường kính CD nhận AB là tiếp tuyến

e Xác định vị trí điểm M để CD ngắn nhất

- Giáo viên gợi ý câu d: Nếu AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

CD cần phải có điều kiện gì?(AB vuông góc với bán kính tại mút của bán kinh) Vậy phải xác định bán kính và tâm đường tròn đường kính CD

Tâm đường tròn đường kính CD là I thì IC = ID =

2

CD

2

CD R

  Nối O với I từ đó chứng minh IO = R và OI  AB

Câu e chỉ yêu cầu học sinh khá giỏi, các em khác không bắt buộc

Ví dụ 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Kẻ dây AC bất kỳ, trên tia đối của tia CA lấy D sao cho CA = CD, kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn tâm O ở E, trên tia đối củA tia EA lấy điểm F sao cho EA =

EF Chứng minh:

a. BAD cân

b Ba điểm D, B, F thẳng hàng

c Xác định vị trí tương đối của đường tròn tâm O và đường tròn đường kính DF

d Xác định vị trí của C trên đường tròn để DB là tiếp tuyến của đường trong tâm O

GV: Gợi ý cách làm

a Muốn chứng minh ABDlà tam giác cân ta sử dụng tính chất của các đường trung tuyến, đồng thời đường cao trong tam giác

Ta có : AC=CD ( gt) và  0

90

ACB 

BC là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên ABD là tam giác cân

b Để chứng minh 3 điểm D, B, F thẳng hàng ta áp dụng định lý về đường trung bình của tam giác

Xét ADF ta có CA= CD, CB  AD DB = BF

 3 điểm D, B, F thẳng hàng

c Để xác định vị trí đường tròn tâm O với đường tròn đường kính DF ta cần dựa vào hệ thức giữa 2 bán kính của đường tròn

Ta có: OB = AB - OA nên 2 đường tròn tiếp xúc trong

d Tuy loại bài này không khó lắm nhưng nhiều em chưa quen nên phải tập cho học sinh suy nghĩ Nếu điều kiện cần kết luận là có thì xuất hiện điều gì? (Ví dụ BD là tiếp tuyến thì BD  AB) Nhiều em không vận dụng kết quả câu trước là BAD cân đỉnh B luôn tồn tại khi CA = CD Vì vậy ta cần làm rõ điều này nghĩa là bài toán có thay đổi một chút nhưng giả thiết nào vẫn tồn tại mà sử dụng từ đó suy ra BAD vuông cân, suy ra  0

45

CAB  , từ đó kết luận được vị trí điểm C trên đường tròn

Qua hai bài tập này dụng ý tập cho học sinh có thói quen với những bài toán động, biết tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài từ đó xác định được hướng chứng minh