SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓAPHÒNG GD & ĐT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG DỮ KIỆN CỦA ĐỀ BÀI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT HÀ TRUNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG DỮ KIỆN CỦA ĐỀ BÀI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9 Ở
TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT.
Trang 41 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình THCS, toán học là một môn khoa học tự nhiên chiếmmột vị trí quan trọng trong suy nghĩ và trong phương pháp học tập của học sinh.Toán học giúp cho các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi vàkhám phá tri thức Qua đó, các em vận dụng những hiểu biết của mình vào trongthực tiễn và vào trong các môn học khác Toán học là chìa khóa cơ bản ban đầu
để các em khám phá kho tàng tri thức nhân loại.Từ đó, các em có vốn khoa họcnhất định để phát triển nhân cách và phục vụ cho công tác xây dựng đất nước saunày
Với vai trò quan trọng trên việc giúp các em thích học, hiểu và sau đó làđam mê môn toán để các em mở rộng và nâng cao kiến thức là việc làm bắt buộcđối với người dạy toán Tuy nhiên, nếu để các em tự học và tự tìm tòi thì chỉ địnhhình trong đầu các em cách giải theo sự hiểu biết của bản thân mà không nắmchắc được thực chất của vấn đề cũng như nhớ toàn bộ cách giải các dạng toán đó.Với chương trình đại số THCS, học sinh mới chỉ làm quen với bất đẳng thức vàbắt đầu tập suy luận để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Với yêu cầu về kĩ năng tương đối cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý,khả năng sử dụng linh hoạt các phép biến đổi, ngôn ngữ chính xác thông qua lậpluận và các bài tập chứng minh Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứngminh bất đẳng thức đối với học sinh THCS còn mới nên đại đa số học sinh chưabiết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu
Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài “ Rèn kỹ năng sử dụng dữ kiện của
đề bài để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 9 ở Trường THCS Lý Thường Kiệt” Với đề tài này rất mong
sẽ góp phần nhỏ vào phương pháp giải toán bất đẳng thức trong chương trìnhToán THCS, mong được gửi đến hội đồng giáo dục xem xét
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này củng cố và cung cấp cho học sinh một số kĩ năng suy luận đểgiải một số bài toán về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củabiểu thức, rèn cho học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo trong giải toán
Cũng thông qua đề tài này nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tòi tronghọc toán và sáng tạo trong giải toán Từ đó, tạo cho học sinh có phương pháp họctập đúng đắn, biến cái đã học (kiến thức của thầy) thành cái của bản thân, nắm bắt
nó, vận dụng nó, phát triển nó một cách đúng hướng Qua đó giúp các em tạoniềm tin, hứng phấn, hứng thú và say mê học môn toán học
Trong khuôn khổ của đề tài, dù biết rằng không thể đề cập hết các dạngtoán và phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức được, nhưng bản thân tôicũng hi vọng đây là tài liệu bổ ích cho học sinh và các thầy cô giáo tham khảo,đặc biệt trong vấn đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất là một vấn đề khó đối với cả người dạy và người học toán
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
- Các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN trong đề thiHSG cấp huyệnTHCS
Trang 5- Nghiên cứu qua các bài tập tuyển sinh vào lớp 10, lớp 10 chuyên của cáctỉnh thành trong cả nước.
- Nghiên cứu qua học sinh lớp 9 Trường THCS Lý Thường Kiệt
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Điều tra thực trạng của học sinh, phân tích kết quả điều tra
- Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy
- Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp của các đồng nghiệp thông quacác buổi sinh hoạt chuyên môn
1.5 Những điểm mới của SKKN.
Qua đề tài này giúp cho sự thay đổi về mặt nhận thức và tư duy toán học
của học sinh trong việc sử dụng dữ kiện của đề bài để làm các bài toán tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay chứng minh bất đẳng thức Từ đó, giúp cho giáo
viên lựa chọn phương pháp dạy học tích cực và hiệu quả
2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề:
Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chútrọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳngđịnh là phần bất đẳng thức có nhiều dạng toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, kiến thức trong bài tập lại phongphú, rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lạicao, nhiều bài toán ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lôgíc và cótrình tự
Trong các phương pháp chứng minh bất đẳng thức của một số tài liệu đãviết trong chương trình THCS, phương pháp sử dụng dữ kiện của đề bài đểchứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là phương phápgiúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán bất đẳng thức một cách nhanh, logic,
hệ thống, chặt chẽ và có hiệu quả Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiệnphương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “ đểchứng minh kết luận này ta cần chứng minh gì? Như vậy, muốn chứng minh bấtđẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A không có nghĩa
là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc sử dụng dữ kiện của đề bài để
ta chứng minh bất đẳng thức B thì ta đã chứng minh được A một cách gián tiếptheo phương pháp sử dụng dữ kiện của đề bài
Hệ thống các bài tập đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hìnhthức, phần lớn là các bài tập chứng minh hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất, đòi hỏi HS phải có phương pháp phân tích, suy luận hợp lí để tìm được lời
giải cho bài toán Vì vậy việc “Rèn kỹ năng sử dụng dữ kiện của đề bài để
chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 9 ở Trường THCS Lý Thường Kiệt ” là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng
thú học tập, giúp học sinh học phần nào bớt “căng thẳng” khi gặp các bài tập vềchứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, họcsinh cảm thấy nhẹ nhàng hào hứng, và từ đó dám mạnh dạn tư duy, mạnh dạnchứng minh, suy luận để đạt kết quả tốt hơn
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1 Đối với giáo viên
Trang 6Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học một số thầy(cô) giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập, các hình thức tổ chứccác hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích đượchọc sinh hứng thú học tập.
Ngoài ra còn bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phântích, hướng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức vàtìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất GV thường thấy dạng toán này rất khó nênviệc giảng cho HS hiểu mà nắm được thường dành cho những đối tượng học sinhgiỏi Vì vậy HS không hiểu tại sao và nguyên nhân nào đưa đến lời giải của bàitoán nên không vận dụng được vào giải các bài toán khác, do đó HS không biếtcách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một bài toán Đặc biệt làcác bài toán chứng minh bất đẳng thức, khiến HS tiếp thu một cách thụ động,thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết quả học tập thấp
2.2.2 Đối với học sinh
Một thực tế rất rõ ràng là đại đa số học sinh hiện nay cảm thấy rất sợ khiphải “ đối mặt ” với các bài toán về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất Qua tìm hiểu thì bản thân tôi thấy một số nguyên nhân tồntại ở học sinh như sau:
- Học sinh chưa nắm vững kiến thức về một số các bất đẳng thức cơ bản thườngdùng cũng như các đẳng thức hay gặp và vận dụng các bất đẳng thức còn rất lơmơ
- Kĩ năng về suy luận, phân tích và sự sáng tạo còn kém, lười suy nghĩ không hiểuđược đề bài yêu cầu điều gì và phải bắt đầu suy luận từ đâu để chứng minh bấtđẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
- Các bài tập mẫu trong SKG hầu như không có nên học sinh không học hỏi đượccác phương pháp, các bất đẳng thức cơ bản, các cách suy luận từ các bài tập mẫu
và các đẳng thức thường dùng để suy luận chứng minh
Qua thực tế khảo sát làm bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại trường THCS Lý Thường Kiệt của 37 học sinh lớp 9khi chưa áp dụng đề tài thì thu được kết quả như sau:
2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1 Sử dụng dữ kiện thường thấy của đề bài để chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Với a, b, c là các số thực thì ta có:
(a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a(a + b + c) + bc
Từ đẳng thức trên ta có các kết quả sau:
Kết quả 1: Nếu a + b + c = 1 thì (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = a + bc
Kết quả 2: Nếu a + b + c = k thì (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = k.a + bc
Nếu ab + bc + ca = k thì (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a2 + k
Trang 7Cách làm thường thấy của học sinh:
(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (ab + a2c + b2c + abc2)(c + ab)
Như vậy với cách sử dụng kết quả 1 ta đã đưa tích của các biểu thức a + bc;
b + ca; c + ab về dạng tích của các bình phương và giải quyết được bài toán một cách nhanh chóng hơn
Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:
(Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Tĩnh 2017 - 2018)
Cách làm thường thấy của học sinh: x + + = 1 y z = 1 - - z x y
Trang 8Phân tích bài toán:
Ở đây khi sử dụng BĐT Cauchy ta đã khéo léo trong việc nhóm
+
x
x z và +
y
y z để tạo ra các biểu thức có thể rút gọn được Trong đó, sử dụng hệ thức 1 sẽ làm cho việc chứng minh nhanh hơn và không cần biến đổi và thay 2 lần sẽ phức tạp thêm bài toán
Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ab 2c bc 2a ca 2b
(Trích đề thi tuyển sinh vào 10)
GV : Nhiều học sinh nhanh chóng biết sử dụng kết quả 2 biến đổi biểu thức
được kết quả như sau:
Trang 9Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 2 với k = 2
Vì a + b + c = 2 nên 2c + ab = c.(a +b+c) +ab = (c+a).(c+b)
Trang 10bc ac ab và chưa sử dụng được dữ kiện của bài toán đã cho là a + b + c = 1.
Phân tích bài toán:
Ở đây, từ hệ thức 1 ta còn có thể thay ngược lại: (a + b)(a + c) = a + bc nhưtrong cách biến đổi trên để làm cho mẫu thức trở thành đơn giản hơn và xuất hiện được dữ kiện của đề bài là a + b + c = 1
Như vậy, qua 3 ví dụ trên việc sử dụng kết quả 1 đã làm cho bài toán trở thành đơn giản hơn, cách biến đổi của bài toán cũng nhanh hơn và thuận lợi hơn trong việc triển khai các bước biến đổi tiếp theo Sau đây, tôi xin trình bày thêm các ví dụ về việc sử dụng các kết quả trên
Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2016
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a + 2016a bc b + 2016b ac c + 2016c ab
Trang 11(Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Tĩnh 2016 - 2017)
GV: Qua 3 ví dụ trên học sinh sẽ khéo léo biết vận dụng kết quả 2 với k=2016 Hướng dẫn cách làm:
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 672
Vậy MaxP = 1 khi a = b = c = 672
x x yz y y zx z z xy
(Trích đề thi học sinh giỏi toán 9 Huyện Chí Linh – Hải Dương)
GV: Nhờ ví dụ 5 nhiều học sinh vận dụng ngay cách làm trên và giải quyết nhanh
chóng bài toán, tuy nhiên ngoài cách trên còn có thêm một hướng khai thác bài toán nhờ áp dụng bất đẳng thức Cachy như sau:
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 2 với k = 3
y y xz x y z (2);
Trang 12Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1
Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 11
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
2 2 2
5a + 5b + 2c
12 a + 11 + 12 b + 11 + c + 11
(Trích đề thi vào 10 chuyên Quảng Bình 2015 - 2016)
Phân tích bài toán: Nhìn vào đề bài nhiều học sinh đã bắt tay vào làm sử dụng
ngay kết quả 3 với k = 11 Tuy nhiên, nhiều học sinh không quan sát kĩ bài toán,
cứ nghĩ a, b, c có vai trò như nhau nên lúng túng trong việc áp dụng bất đẳng thứcCauchy cho các số dương để sử lý các tích 2 3 a b a c ; 2 3 b + a b c ;
c + a c + b mà không để ý rằng chỉ có a và b vai trò như nhau còn vai trò của ckhác a và khác b
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 3 với k = 11
Trang 133 khi a = b = 1 và c = 5.
Lưu ý : Khi làm các dạng toán này, học sinh cần quan sát vai trò của các biến
như thế nào để lựa chọn cách làm đúng và đôi khi từ đó dự đoán được kết quả, để
từ đó có hướng làm
Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a + 3b + 2c = abc
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 21 + 22 + 23
a + 1 b + 4 c + 9
(Trích đề thi vào 10 chuyên Phú thọ 2014 - 2015)
Phân tích bài toán :
Quan sát ban đầu nhiều học sinh chưa nhìn thấy sẽ sử dụng dữ kiện để áp dụng phần lý thuyết ở kết quả nào, cách làm như thế nào, nhưng nhờ sự tư duy logic khi làm toán hoặc nhờ sự hướng dẫn của giáo viên ( nếu cần) học sinh đã biết cách đặt ẩn phụ nhờ sử dụng dữ kiện của đề bài cho 6a + 3b + 2c = abc
Trang 14Ví dụ 10: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:
Trang 15sử dụng kết quả 1rồi căn cứ vào điều phải chứng minh để sử dụng bất đẳng thức Cachy.
GV : Nhờ việc sử dụng kết quả của phần lý thuyết rồi đặt ẩn phụ thì học sinh đã
đưa 1 bài toán từ phức tạp thành 1 bài toán quen thuộc như sau :
Trang 16Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a 2 b 2 c 2
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nghệ An năm học 2016 - 2017 )
GV : Nhờ việc quan sát vai trò của các biến sau khi rút ra từ ví dụ 7 học sinh cách
Trang 17ab c ab c
ca b ca b
bc a
(Trích đề học sinh giỏi toán 9 vòng 2 Tĩnh Gia năm học 2014 – 2015)
GV: Nhiều học sinh chưa biết sử dụng đề bài cho như thế nào nhưng nhờ phân
tích đặc điểm bài toán ta có cách làm sau:
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thành phố Hồ Chí Minh năm 2015 - 2016)
Phân tích bài toán : Nhìn vào yêu cầu đề bài ta thấy xuất hiện kết quả 4 ở phần
lý thuyết nên có cách làm sau :
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều bài tập khác bằng cách sử dụng các kết quả trên Sau đây, tôi xin đưa ra một số các bài toán áp dụng cụ thể cho phương pháp trên
Các bài toán áp dụng Bài 1: Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a b c 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên năm học 2015 - 2016)
Bài 2: Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.
Trang 18(Trích đề thi vào 10 Chuyên Thái Bình năm học 2014 - 2015)
Bài 3: Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1
Chứng minh rằng x yz y zx z xyx y z 94
(Trích đề thi vào 10 Chuyên Phú Thọ năm học 2015 - 2016)
Bài 4 : Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1
(Trích đề học sinh giỏi toán 9 Tĩnh Gia năm học 2015 – 2016)
Bài 5 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán TP Hà Nội, 2014)
Bài 6 : Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn xy yz zx 1
Bài 7: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:
Giáo viên phải thấy được tầm quan trọng của việc hướng dẫn HS phân tích,tìm lời giải bài toán bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Từ đótuân thủ và áp dụng phương pháp vào giảng dạy trong việc ôn thi học sinh giỏi và
ôn thi vào lớp 10 THPT môn toán để HS biết cách học toán, từ đó các có thể tựđọc và tự học
Nghiên cứu nội dung, chương trình Toán THCS, xác định rõ chuẩn kiến thức kĩ năng của môn học để từ đó áp dụng chuyên đề ở mức độ yêu cầu phù
hợp với mỗi đơn vị kiến thức
Cụ thể kết quả khảo sát khi tổ chức giải bài tập bất đẳng thức và tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho 37 học sinh lớp 9 trường THCS Lý Thường Kiệt saukhi áp dụng đề tài như sau: