(SKKN 2022) rèn kỹ năng giải toán chia hết trong chương i số học 6 cho học sinh tại trường THCS tân phong i

Là giáo viên nhiều năm dạy học toán ở chương trình THCS, đặc biệt là được theo dạy các lớp 6 theo chương trình sách giáo khoa mới, tôi đã phần nào thấy được rất nhiều học sinh khi học xo

MỤC LỤC

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1.Lý do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến

2 Nội dung

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1.Thuận lợi

2.2.2 Khó khăn

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Ghi nhớ lí thuyết

2.3.1.1 Định nghĩa

2.3.1.2 Các dấu hiệu chia hết

2.3.1.3 Tính chất của quan hệ chia hết

2.3.2.Cách giải một số bài toán chia hết

2.3.2.1 Cách thứ nhất: Dựa vào định nghĩa chia hết, các dấu hiệu chia hết

2.3.2.2 Cách thứ 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết

2.3.2.3 Cách thứ 3: Xét tập hợp số dư trong phép chia

2.3.2.4 Cách thứ 4: Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong phép chia

2.3.2.5 Cách thứ 5: Cách giải các bài toán liên quan đến ƯCLN, BCNN 2.3.2.6 Cách thứ 6: Toán chia hết và chữ số tận cùng

2.3.2.7 Một số bài tập vận dụng

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

3 Kết luận và kiến nghị

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI

1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4

5 5 5 5 5 6

7 10 11

12 14 15 16 17 17 17 19 20

1 Mở đầu.

1.1 Lý do chọn đề tài:

Như chúng ta đã biết Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục và xem giáo dục là quốc sách hàng đầu Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp Để đạt được mục tiêu của giáo dục đề ra thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy của người thầy và quá trình chiếm lĩnh tri thức của học sinh luôn là một vấn đề thiết yếu Đó là nhiệm vụ không chỉ dừng lại ở người dạy - người học mà còn là của toàn xã hội

Để góp phần vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy nói chung và phương pháp giảng dạy môn Toán cấp THCS nói riêng thì vai trò người thầy hết sức quan trọng Do đó bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong sách giáo khoa mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển ra và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống Là giáo viên nhiều năm dạy học toán ở chương trình THCS, đặc biệt là được theo dạy các lớp

6 theo chương trình sách giáo khoa mới, tôi đã phần nào thấy được rất nhiều học sinh khi học xong bài toán chia hết vẫn còn mơ hồ, chưa biết cách vận dụng các bước giải để giải đúng, đủ một bài toán nói chung và toán chia hết nói riêng, hoặc lúng túng hoặc giải không đúng, hoặc trình bày lời giải chưa chặt chẽ Vậy khi giải bài toán chia hết học sinh thường mắc phải những khó khăn nào và làm thế nào để khắc phục được các khó khăn sai lầm đó của học sinh để nâng cao chất lượng dạy học? Đó là những câu hỏi luôn đặt ra cho những người thầy giáo,

cô giáo trong việc dạy học và đó cũng là mục đích giúp tôi tìm hiểu nghiên cứu

đề tài: "Rèn kỹ năng giải toán chia hết trong chương I Số học 6 cho học sinh tại trường THCS Tân Phong 1"

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Trang bị cho học sinh một số kiến thức để học tập tốt môn Toán nói chung

và việc đưa ra phương pháp dạy và học “các bài toán chia hết trong Chương I

Số học 6” nói riêng để học sinh ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh

hoạt, tránh lúng túng

Giải được các bài Toán chia hết nhằm củng cố niềm tin, tạo hứng thú cho học sinh khi học môn Toán, có ý thức vươn lên học tốt môn Toán

Dần dần hình thành năng lực, phát triển tư duy, sáng tạo, hình thành kỹ năng, tính cẩn thận, chính xác cho học sinh Đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Tôi đã tiến hành nghiên cứu với 2 lớp 6A, 6C của trường tôi Mục đích để thấy rõ tính hiệu quả của việc học sinh được giáo viên hướng dẫn cụ thể các phương pháp thì các em sẽ vận dụng giải quyết tốt các bài toán chia hết trong

chương I Số học 6 Từ đó các em yêu thích bộ môn toán, cảm thấy việc tiếp cận các kiến thức toán dễ dàng hơn, các em không còn cảm thấy sợ mỗi khi gặp dạng bài tập có liên quan đến chia hết Nhờ vậy, các nhiệm vụ học tập cũng được các em giải quyết hiệu quả hơn, kết quả học tập của các em được nâng lên

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu: SGK, SBT, các loại sách tham khảo

Nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua quá trình giảng dạy thực tế

Phương pháp xử lí thống kê, xử lí số liệu

Đúc rút một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phần phép chia hết

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

Đề tài này không phải mới hoàn toàn, đã có rất nhiều sách viết và nhiều giáo viên đã viết sáng kiến kinh nghiệm về đề tài này Tuy nhiên, trong đề tài này tôi đã đưa ra một số bài tập ở dạng nâng cao thường gặp trong các đề thi HSG có vận dụng tính chất chia hết và đưa một số bài ở dạng tổng quát Qua đó học sinh thấy được ứng dụng của tính chất này trong bài tập thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh say mê hơn với môn Toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình Toán lớp 6 nói riêng và trong chương trình Toán THCS nói chung các bài tập về Toán chia hết là một loại bài tập rất thông dụng Loại toán này các em bắt đầu học từ Tiểu học và theo suốt các em trong cả các năm học tiếp theo Nó có trong rất nhiêu bài kiểm tra, bài thi từ bài kiểm tra viết dưới một tiết đến các đề thi học kì, thi học sinh giỏi

Giải các bài tập về chia hết là học sinh đã được học và được cung cấp các nội dung kiến thức liên quan trước đó như: Định nghĩa phép chia, các tính chất chia hết của một tổng, các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và giáo viên cần cung cấp cho học sinh các dấu hiệu chia hết cho 4, cho 8, cho 11 cho

125 và các tính chất quan hệ chia hết, vận dụng thêm một số tính chất khác Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết

Điều mới mẻ đối với học sinh lớp 6 so với Tiểu học trong bài toán chia hết là học sinh được bổ sung thêm các tính chất vì vậy việc giải các bài tập sẽ phức tạp hơn trước đây Do đó trong mỗi tiết dạy thầy, cô giáo cần truyền thụ cho học sinh đầy đủ các kiến thức của bài học, vừa cơ bản, vừa khắc sâu để học sinh nắm chắc và vận dụng thành thạo trong việc giải các bài toán chia hết trong chương trình học, sách giáo khoa, sách bài tập và cả trong sách nâng cao

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN.

2.2.1.Thuận lợi:

Trong năm học giáo viên trong toàn huyện nói chung và giáo viên dạy môn Toán nói riêng thường xuyên được Phòng giáo dục và Đào tạo tổ chức các chuyên đề đổi mới phương pháp giảng dạy để chúng tôi được tiếp cận với những phương pháp mới, cách dạy mới

Ban giám hiệu nhà trường luôn quan tâm, chỉ đạo triển khai các chuyên

đề mới trong những buổi sinh hoạt chuyên môn của trường, tổ, nhóm Từ đó, tay nghề của giáo viên ngày càng nâng lên rõ rệt

Bản thân tôi là một giáo viên gắn bó lâu năm với nghề Có tâm huyết với nghề và nhiệt tình trong công tác chuyên môn nên tôi luôn tìm tòi, học hỏi các bạn đồng nghiệp, tự học, tự bồi dưỡng nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp

vụ Với mục đích tích luỹ nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, đặc biệt khối 6 - khối đầu cấp, tôi luôn trăn trở tìm tòi trong từng tiết lên lớp của mình, vận dụng các phương pháp dạy học mới để tiết học đạt kết quả cao nhất

2.2.2 Khó khăn:

Đối tượng học sinh tôi giảng dạy, các em là học sinh nông thôn, nhiều em

có hoàn cảnh rất khó khăn Ngoài đi học, các em còn phải giúp bố mẹ làm việc nhà Sự kèm cặp, đôn đốc, nhắc nhở của phụ huynh còn hạn chế Vì vậy chất lượng học tập của các em nói chung chưa cao

Các bài tập vận dụng tính chất chia hết không có phương pháp giải chung cho tất cả các dạng bài Mức độ rèn luyện phát triển tư duy logic trong các dạng toán liên quan đến vấn đề này khác nhau Vì vậy đa số học sinh chưa định hướng được cách giải, trong quá trình giải còn thiếu logic, chưa chặt chẽ

Khi nghiên cứu đề tài này, tôi đã khảo sát tình hình thực tế của 73 em học sinh lớp 6 trường THCS Tân Phong 1 năm học 2020- 2021 sau khi học xong chương I- Số học 6 Kết quả như sau:

số

Kết quả

Số HS

Tỉ lệ (%)

Số HS

Tỉ lệ (%)

Số HS

Tỉ lệ (%)

Số HS

Tỉ lệ (%)

Số HS

Tỉ lệ (%)

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Từ thực trạng của học sinh và những nguyên nhân đã nêu ở trên, căn cứ vào chương trình học của sách giáo khoa và sách giáo viên, các tài liệu tham khảo qua tham khảo ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp Tôi đã mạnh dạn đưa ra cách giải một số bài toán trên cơ sở những các khó khăn của học sinh khi giải loại toán này, đồng thời hệ thống lại các kiến thức giúp học sinh dễ tiếp thu hơn nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

Trước hết giáo viên cần cung cấp cho học sinh đầy đủ các kiến thức liên quan đến Toán chia hết

2.3.1 Ghi nhớ lí thuyết.

Giáo viên cần khắc sâu kiến thức để học sinh suy nghĩ ra được các bước giải

2.3.1.1 Định nghĩa:

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x

2.3.1.2 Các dấu hiệu chia hết:

Trong sách giáo khoa Toán 6 chỉ giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 do vậy giáo viên bổ sung thêm các dấu hiệu chia hết cho 4; 25; 8; 125; 11

- Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết

cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2

- Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (hoặc

9) thì chia hết cho 3 (hoặc 9) và chỉ những số đó mới chia hết cho 3 (hoặc 9)

Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại

- Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoăc 5 thì chia hết

cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5

- Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25)

- Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và

chỉ khi ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125)

- Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11

Lưu ý: Muốn chứng minh một số chia hết cho 6 ta đi chứng minh nó đồng thời chia hết cho 2 và 3

2.3.1.3 Tính chất của quan hệ chia hết:

+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0

+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c)

+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c

+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên

+Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a ± b) chia hết cho m

+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a ± b) không chia hết cho m

+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n)

+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m

+ Nếu a chia hết cho m thì a nchia hết cho m với n là số tự nhiên

+ Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với n là số tự nhiên

2.3.2 Cách giải một số bài toán chia hết.

Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài cách thường dùng để giải các bài toán chia hết

2.3.2.1 Cách thứ nhất: Dựa vào định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia

hết.

Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b)

Ví dụ 1: Điền vào * để số 35* :

a) Chia hết cho 2

b) Chia hết cho 3

c) Chia hết cho 5

d) Chia hết cho 9

e) Chia hết cho cả 2 và 5

Đây là dạng bài tập cơ bản, khi gặp dạng toán này giáo viên giúp học sinh tái hiện lại dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 và số thỏa mãn điều kiện gì thì chia hếtcho cả 2 và 5

Giải

a, Để số 35* M 2 thì *∈{0; 2;4;6;8} ( vì 0 * 9 ≤ ≤ )

b, Để số 35* M 3 thì (3 + 5 + *) M 3 <=> (8 + *) M 3<=> *∈{1; 4;7} ( vì 0 * 9 ≤ ≤ )

c, Để số 35* M 5 thì *∈{ }0;5 ( vì 0 * 9 ≤ ≤ )

d, Để số 35* M 9 thì (3 + 5 + *) M 9 <=> (8 + *) M 9<=> *∈{ }1 ( vì 0 * 9 ≤ ≤ )

e, Để số 35* M 2 và 35* M 5 thì *∈{ }0 ( vì 0 * 9 ≤ ≤ )

Ví dụ 2: Tìm số a, b sao cho a b63 chia hết cho đồng thời 2; 3; 5; 9

Lưu ý: Số chia hết cho 9 đương nhiên chia hết cho 3 nên ta không cần tìm điều kiện để số đó chia hết cho 3

Giải:

a b63 2 M ⇒ ∈b {0; 2; 4;6;8}

a b63 5 M ⇒ ∈b { }0;5 (vì 0 ≤ ≤b 9)

Vậy a b63 2 M và a b63 5 M thì b∈{ }0

Để a630 9 M ⇔(a+ + + 6 3 0 9)M

(a 9 9) a 9

{ }0;9 9

⇔ ∈ ⇔ = (vì 0 < ≤a 9) Vậy a = 9; b = 0 thì a b63 chia hết cho đồng thời 2; 3; 5; 9

Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh nhớ a là chữ số hàng nghìn nên ta không thể lấy a = 0

Ví dụ 3: Chứng minh rằng (2n)1000 chia hết cho 64 với mọi số tự nhiên n

Giải:

Ta có (2n)1000 = 21000 n1000 = 26.2994.n1000 = 64.2994.n1000

Vì 64 chia hết cho 64 nên 64.3994.n1000 chia hết cho 64

Vậy (2n)1000 chia hết cho 64.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3) (n + 6) chia hết

cho 2

Giải:

Nếu n = 2k (k∈N) thì n + 6 = 2k + 6 M 2

Nếu n = 2k + 1 (k∈N) thì n + 3 = 2k + 4 M 2

Vậy (n + 3) (n + 6) M 2 với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 5: Chứng minh rằng số abcabc chia hết cho 7, 11 và 13

Giải:

Ta có abcabc= 1000.abc abc+ = 1001.abc

Vì 1001 M7; 1001 M11; 1001 M13 nên 1001.abc chia hết cho 7, 11 và 13

Vậy số có dạng abcabc chia hết cho 7, 11 và 13

Giáo viên phải khắc sâu được các dấu hiệu chia hết đã được học trong SGK và cả các dấu hiệu chia hết cho 4, cho 8, cho 11, cho 125 ở trong các sách tham khảo

*Bài tập tương tự: Chứng tỏ rằng

1 Trong hai số tự nhiên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 2

2 Trong ba số tự nhiên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 3

2.3.2.2 Cách thứ hai: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.

2.3.2.2.1 Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu.

- Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b

- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b

Ví dụ 6 : Không tính tổng, xét xem trong các tổng sau tổng nào chia hết cho 9.

a,1008 + 2007 + 351 b, 549 + 1071 + 190 c, 810 + 24 + 3

Giải:

a, Ta có 1008 9 M ; 2007 9 M ; 351 9 M ( Dấu hiệu chia hết cho 9)

⇒ (1008 2007 351) 9 + + M ( Tính chất 1)

b, Ta có: 549 9M ; 1071 9M ; 190 9 ( Dấu hiệu chia hết cho 9)

=>(549 + 1071 + 190) 9 ( Tính chát 2)

c, Ở câu này học sinh thường hay vội vàng khẳng định tổng đã cho không chia hết cho 9 vì trong tổng có hai số hạng 24 và 3 không chia hết cho 9

Đến đây giáo viên khắc sâu cho học sinh, nếu trong tổng có từ hai số hạng trở lên không chia hết cho một số thì trước hết ta phải tính tổng các số đó rồi mới xét đến sự chia hết của tổng đã cho

Ta có: 810+ 24 + 3 = 810 + 27

Vì 810 9 M ; 27 9 M ( Dấu hiệu chia hết cho 9)

⇒ (810 27) 9 + M

Vậy (810 24 3) 9 + + M

Ví dụ 7 : Cho B = 102 + 568 + m + 2004 + n (m, n∈N)

a, Với điều kiện nào của m, n thì B M 2

b, Với điều kiện nào của m, n thì B 2

Giải:

Ta có: 102 M 2 ; 568 M 2 ; 2004 M 2 ( Dấu hiệu chia hết cho 2)

a, Để B M 2 thì ( m + n) M 2 ( Tính chất 1)

Suy ra m, n cùng tính chẵn, lẻ

b, Để B 2 thì (m + n) 2 ( Tính chất 2)

Suy ra m, n không cùng tính chẵn, lẻ

Sau khi vận dụng thành thạo tính chất chia hết của một tổng để nhận ra một tổng đã cho có chia hết hay không chia hết cho một số, giáo viên cho học sinh làm một số dạng bài tập đơn giản có sử dụng tính chất này để các em không thấy sự đơn điệu của nó

Ví dụ 8: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

Giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là:

a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)

= (3a + 3) M3 (Tính chất 1)

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

Từ bài tập, này giáo viên có thể đưa học sinh vào tình huống: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?

Qua đó gợi trí tò mò, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau:

Ví dụ 9: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không?

Giải:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:

a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6)

Do 4 M4 nên 4a M4 mà 6 4 nên

(4a + 6) 4

Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp có thể không chia hết cho n

Bài toán: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp (n≥2) chia hết cho n thì n phải thỏa mãn điều kiện gì?

Giải Gọi n số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, a + 3, …, a + n - 1

Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + …+ (a + n - 1)

=( )

n sô hang

a a a + + + …+ a

1 4 4 4 2 4 4 4 3 + (0+ 1 + 2 + …+ n-1)

= na + [(n−1) : 2 ] n

Do n.a chia hết cho n nên:

Nếu n lẻ thì n - 1 chẵn nên (n-1): 2 là số tự nhiên, do đó na + [(n−1) : 2 ] n Mn.

Nếu n chẵn thì n - 1 lẻ nên (n-1) 2 do đó na + [(n−1) : 2 ] n n

Qua bài toán này giáo viên cần chốt lại cho học sinh để vận dụng cho các bài tập khác:

Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n là số lẻ

Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n là số chẵn

2.3.2.2.2 Dùng tính chất chia hết của một tích:

Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠0) ta có thể chứng minh bằng một

trong các cách sau:

+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1 Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n

+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia hết cho b2

Ví dụ 10: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a, b là số tự nhiên.

Giải:

Vì 495 9 M nên 495a 9 M với mọi a∈N.

Vì 1035 9 M nên 1035 9bM với mọi b∈N

Nên:(495a + 1035b) 9 M với mọi a, b ∈N

Chứng minh tương tự ta có: (495a + 1035b) 5 M với mọi a, b∈N

Mà (9, 5) = 1

(495a + 1035b) 45

⇒ M với mọi a, b là số tự nhiên

Ví dụ 11: Chứng minh rằng:

a) Tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

b) Tích của ba số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 48

Giải:

Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2 (n∈N)

Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1)

Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1)  2

Mà 4  4 nên 4n.(n + 1) (4.2)

⇒ 4n.(n + 1)  8

⇒ 2n.(2n + 2)  8

Vậy tích hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

b) Chứng minh tương tự ta có: Tích của ba số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 48

Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát

Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của k số tự nhiên liên tiếp luôn

chia hết cho 2 k k! (n>1).

Việc khắc sâu nội dung này giúp học sinh áp dụng để giải được nhiều bài tập liên quan

*Bài tập tương tự:

1.Cho A = 2.4.6.8.10 + 40, chứng tỏ rằng:

a) A chia hết cho 8

b) A chia hết cho 10

2 Chứng minh rằng trong hai số chẵn liên tiếp chỉ có một số chia hết cho 4

2.3.2.3 Cách thứ ba: Xét tập hợp số dư trong phép chia.

Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p

Ví dụ 13: Chứng minh rằng:

a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4

Giải:

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2)

Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2

- Nếu n = 3k (k ∈N) thì n chia hết cho 3 ⇒ n.(n +1).(n +2)  3

- Nếu n = 3k + 1 (k ∈N).

⇒ n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) 3

⇒ n.(n + 1).(n + 2)  3

- Nếu n = 3k + 2 (k∈N)

⇒ n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3)  3

⇒ n.(n +1).(n +2)  3

Tóm lại: n.(n +1).(n +2)  3 với mọi n∈N.

b) Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3)  4 với mọi n là số tự nhiên

Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát

Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn

chia hết cho n (n>1).

Việc khắc sâu nội dung này giúp học sinh áp dụng để giải được nhiều bài

tập liên quan Chẳng hạn ví dụ 11

Ví dụ 14: Với a là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh (a - 1)(a + 1)  24

Giải

Vì a là số nguyên tố lớn 3 nên a lẻ suy ra a -1 và a +1 là hai số chẵn liên tiếp nên tích (a -1)(a +1)  8

Mặt khác (a -1).a.(a +1)M 3 (tích của ba số tự nhiên tiếp)

Do a 3 (vì a là số nguyên tố lớn hơn 3) => (a -1)(a +1) M 3

Mà (3;8) = 1