(SKKN 2022) Một số biện pháp giúp học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

Là một giáo viên dạy Toán 7 nhiều năm, khi dạy học về tỉ lệ thức và tínhchất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi nhận thấy nhiều học sinh mắc những sai lầm tronggiải toán.. Chính vì vậy, tôi đã

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Các nhà khoa học đều thừa nhận rằng trong giải Toán, bất cứ người nào cũngtừng có lần phạm phải sai lầm, còn những vướng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên làthường xuyên Trong giáo dục, bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinhkém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hướng dẫnhọc sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm

Trong chương trình Toán lớp 7, dạng toán về “tỉ lệ thức và tính chất của dãy

tỉ số bằng nhau” là một phần rất quan trọng Các bài tập về tỉ lệ thức và tính chấtcủa dãy tỉ số bằng nhau rất đa dạng và phong phú, nó chứa đựng đầy đủ các yếu tố

để tạo nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho các bạnhọc sinh Là một giáo viên dạy Toán 7 nhiều năm, khi dạy học về tỉ lệ thức và tínhchất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi nhận thấy nhiều học sinh mắc những sai lầm tronggiải toán Nếu giáo viên hệ thống hóa được các khó khăn và sai lầm thường gặp củahọc sinh lớp 7 khi học về tỉ lệ thức, từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm giúp họcsinh khắc phục các khó khăn và sửa chữa các sai lầm này sẽ góp phần nâng cao

hiệu quả dạy học môn Toán Chính vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải toán về tỉ

lệ thức, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.

1 2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu thực trạng việc dạy học chủ đề “Tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau” ở trường THCS Thị trấn Lam Sơn, huyện Thọ Xuân

- Từ kết quả nghiên cứu đưa ra kinh nghiệm, biện pháp giúp học sinh lớp 7khắc phục những khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải toán về tỉ lệ thức, áp dụngtính chất của dãy tỉ số bằng nhau Từ đó, giúp học sinh có thể vận dụng kiến thứcgiải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các dạng toánkhác liên quan, nhằm hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Những khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải toán về tỉ lệ thức, áp dụngtính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Các biện pháp giúp học sinh lớp 7 khắc phục những khó khăn, sai lầmthường gặp khi giải toán về tỉ lệ thức, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

Tham khảo các loại tài liệu liên quan để phát hiện, phân loại những khókhăn, sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán; tìm hiểu các biện pháp đểkhắc phục

- Phương pháp quan sát sư phạm:

+ Phân tích kết quả học tập của học sinh , kết quả các bài kiểm tra, vở bài tậpcủa học sinh

+ Dự giờ của các đồng nghiệp để tìm hiểu và rút kinh nghiệm

- Phương pháp điều tra:

Điều tra, tìm hiểu qua các đồng nghiệp về những sai lầm thường gặp của họcsinh khi giải toán về tỉ lệ thức, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động sư phạm:

+ Nghiên cứu giáo án của giáo viên

+ Nghiên cứu khả năng tiếp nhận của học sinh sau một quá trình học tập

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Áp dụng vào thực tế dạy học các biện pháp khắc phục những khó khăn, sai lầmthường gặp ở học sinh khi học toán về tỉ lệ thức, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằngnhau

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1 Một số lý thuyết cơ bản về tỉ lệ thức

a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

Trong tỉ lệ thức

d

c b

a b

a b

a b

2 1

1

thì

n

n n

n

b b

b b

a a

a a b b

b b

a a

a a b

3 2 1 3

2 1

3 2 1 1

a

 , ta luôn giả thiết rằng b  0 ,d  0

- Khi có dãy tỉ số bằng nhau:

5 3 2

c b a



 , ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số2; 3; 5, ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức

Từ tỉ lệ thức

d

c b

a

 suy ra:

d

c b

a d

c b

a

.

2 2

a

2

2 1

1  k k 

d k

c k b k

a k

;

Từ b a d c e f suy ra:

e d

c b

a f

e d

c b

a

.

3 3

c b

n a

b

a

:

:

 (n là ước chung của a và b)

2.1.2 Sai lầm trong giải toán

Sai lầm của học sinh là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiếnthức và do đó cần tránh, nếu gặp thì cần khắc phục

Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải toán được hiểu là: Điều trái vớiyêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải(các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quy tắc, các nộidung của logic toán, phương pháp suy luận suy diễn), do đó không đạt được mụcđích của việc học giải Toán

Trong khi học toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều mức độkhác nhau Có khi là những sai lầm về mặt tính toán thông thường, nhưng cũng cókhi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức hay áp dụng nhữngmệnh đề, tính chất toán học vô căn cứ; có những sai lầm dễ nhìn thấy nhưng cũng

có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện…

Các sai lầm trong giải Toán thường do các nguyên nhân từ các góc độ khácnhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng Có thể nói những kiểu sailầm ấy là do các em học sinh không hiểu bản chất của đối tượng có mặt trong bàitoán Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục nhữngsai lầm khi giải Toán Giáo viên không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ họcnhững sai lầm của học sinh, giúp các em phải biết học ở những sai lầm và nhữngthiếu sót của mình Giáo viên phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sailầm đó sao cho lần sau không còn tiếp diễn nữa

Tùy đối tượng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán Tuynhiên cũng có những sai lầm hoặc thiếu sót mà ta không nên “bé xé ra to”, bởi vìtheo lí thuyết tình huống thì có những chướng ngại tránh được và cũng có nhữngchướng ngại không tránh được Đặc biệt, giáo viên phải có một năng lực cảm thụ

về mặt Toán học, có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽmắc để có sự chủ động xử lí các tình huống ấy

2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Dạng toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau thường gặp trong các đề thi học

kì, đề thi học sinh giỏi, được sử dụng nhiều trong chương trình toán các lớp trênnhư: Tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác của tam giác, bất đẳngthức…

Trong phân phối chương trình Đại số 7, từ tiết 9 đến tiết 13 học sinh đượchọc về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Với số tiết học đó, và với

lượng kiến thức cơ bản, nâng cao không nhỏ, đòi hỏi giáo viên phải làm sao giúphọc sinh nắm vững và vận dụng các kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau; làm sao để bồi dưỡng cho các em năng lực tự học, năng lực sáng tạo,phát triển các bài tập để trở thành những học sinh giỏi toán

Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp dạy học, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

7 nhiều năm, tôi nhận thấy rằng khi học về tỉ lệ thức, áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau trong giải toán, học sinh thường mắc những sai lầm sau đây:

- Sai lầm do áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

) (!

bd

ac d

c b

z b

y a

c a c

b c b

c a c

b c

c b a

(!)

- Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc hai: A2 = B2  A = B

- Sai lầm do trình bày “nhầm lẫn” giữa dấu “=” và dấu “ ”

Ví dụ:

3 7 3 5 7 5

y x y x

- Không để ý đến điều kiện để có thể sử dụng được dãy tỉ số bằng nhau

- Không tìm được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có nhiềucách giải

Bản thân rất băn khoăn và lo lắng về điều đó Bởi lẽ, các kiến thức trong tầmtay mà các em không làm được hoặc là làm không trọn vẹn Vì vậy, tôi mạnh dạntổng hợp lại những sai lầm thường gặp mà học sinh thường mắc phải mà mình thấyđược qua những năm tháng giảng dạy, để hướng dẫn học sinh có hệ thống, nhằmgiúp các em học sinh có kết quả học tập tốt hơn

2.2.1 Khảo sát thống kê ban đầu

* Khảo sát 30 học sinh lớp 7 trường THCS Thị trấn Lam Sơn vào cuối tháng 9/2021 (Sau khi học xong phần dãy tỉ số bằng nhau) Kết quả như sau:

Điểm 0 -1,75 Điểm 2-4,75 Điểm 5-6,75 Điểm 7-8,75 Điểm 9-10

* Điều tra 10 học sinh giỏi: Đầu tháng 10 năm 2021

Điểm 5-6,75 Điểm 7-8,75 Điểm 9-10

2.2.2 Nguyên nhân:

Những sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ sốbằng nhau tương đối đa dạng và thường được xuất phát từ một trong các nguyênnhân cơ bản sau đây:

- Thời gian trên lớp không có nhiều, học sinh đông nên giáo viên không baoquát hết tất các em để sửa lỗi cho từng em mà chỉ có thể sửa chung cả lớp Giáoviên chưa khai thác sâu kiến thức cơ bản, chưa kịp thời bổ sung những kiến thức cơ

bản, kiến thức nâng cao cho học sinh Đôi khi, sai lầm có thể do giáo viên trình bàykhông chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không đủ rõ ràng.

- Một số học sinh còn mơ hồ, không nắm vững kiến thức đã học, do thiếu hụtkiến thức, do vô ý không cẩn trọng, Các em chưa chịu đào sâu suy nghĩ để tìmcách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau, cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu

2.3 Sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống những sai lầm thường mắc của học sinh khi giải toán về

tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọiđối tượng học sinh đều có thể mắc sai lầm Trong khi giải toán về tỉ lệ thức vàtính chất của dãy tỉ số bằng nhau, học sinh thường gặp phải các sai lầm sau:

a) Sai lầm liên quan đến tính toán

Học sinh thực hiện tính toán sai Đây là dạng sai lầm “thô thiển” nhấttrong các sai lầm thường gặp của học sinh Thông thường các sai lầm nàyxuất phát từ việc còn một số học sinh yếu, các em không nắm vững được bảnchất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ sai côngthức

Ví dụ 1.(Bài 55 trang 30 SGK) Tìm các số x; y biết: x:2 =y : (-5) và x- y =-7

Học sinh đã mắc sai lầm khi tính toán do không nắm vững quy tắc dấu

ngoặc(2-(-5)) dẫn đến kết quả sai

y x

 suy ra: a b

d c ; d c

a b do chưa nắmvững tính chất của tỉ lệ thức

y x

 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2

5

10 3 2 3

b) Sai lầm trong việc nhầm lẫn giữa dấu “=” và dấu “ ”

Ví dụ 3.( Bài 54- trang 30SGK) Tìm x, y biết

10 2

c a d

c b

5 1

2 y x y x

34 9 25 9 25

2 2 2 2

1 9

Do 3x = 5y nên x, y cùng dấu nên: x = 5; y = 3 hoặc x = -5; y = -3

Giáo viên cần lưu ý phần kết luận, tránh sai lầm giống bài toán 2

e) Sai lầm về dấu, thiếu trường hợp

2

2 y x

4

2

2 y x y x

41 25 16 25 16

2 2 2 2

5 25

1 25

2 2

2

x

x y y

2

x

x y y

f) Sai lầm khi không xét tử số bằng 0

Ví dụ 8.(Bài 20.2 trang 55 -Tài liệu chuyên toán 7)

12 6

1 3 2 12

1 3 2

 ta không thể suy ra được

12 = 6x mà đến đây phải xét hai trường hợp 2x+ 3y - 1 0; 2x + 3y – 1 = 0

Lời giải đúng: Do 2x513y7 2 2x63x y1 

7

2 3 5

12

1 3 2 7

5

2 1 3 2 7

2 3 5

x

6

1 3 2 12

1 3

2 1 3 2 7

2 3 5

1 2

d c c b a b

d c b b a a

d c b a

d c b a b

d c b a a

d c b

2 2

2 2

a a

a a

d c c b a b

d c b b a a

d c b a

d c b a b

d c b a a

d c b

b a

.Tương tự : a b

c b







b a

d c

d a

.Khi đó: M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4

+ Nếu a + b + c + d  0

Từ (*) suy ra: a = b = c = d

a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

2 2

2 2

a a

a a

a

.Vậy M = 1 hoặc M = -1

Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằngnhau(nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại, nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau

g) Sai lầm khi không để ý đến điều kiện để có thể áp dụng tính chất dãy

c c a

b c

2

1 ) (

c c a

b c

b c b a

3 9

4 1 24

4 1

+ Sai lầm 1: Không xét trường hợp 3x + 9 = 0; nếu 3x + 9 = 0 thì tỉ số

Nếu vẫn đi theo hướng trên thì học sinh sẽ phải xét nhiều trường hợp

Trường hợp 1: 3x + 9 = 0  x  3 thay x = -3 vào (1) ta được:

18

6 1 24

4 1 18

2 1

Trường hợp 2: 3x + 9 0 chia thành 2 trường hợp nhỏ:

Trường hợp 2a: 1 + 4y = 0.

Trường hợp 2b: 1 + 4y 0.

Như vậy tương đối rối với học sinh lớp 7

+ Sai lầm 2: Không xét trường hợp 1 + 4y = 0

18 2

) 4 1 ( ) 2 1 (

2 24

4 1 18

- Tính kịp thời

Các biện pháp phải thích ứng với thời điểm thích hợp Biện pháp chỉphát huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc, không thể tùy tiện trong việcphân tích và sửa chữa, cũng như hạn chế sai lầm của học sinh Đặc biệt là thờigian mà giáo viên tiếp xúc trực tiếp với học sinh là có hạn, do đó sự khôngkịp thời sẽ là sự lãng phí thời gian và giáo viên khó có điều kiện lấy lại thờigian đã mất Tính kịp thời của phương pháp đòi hỏi giáo viên phải có sựnhanh nhạy trước các tình huống điển hình nhằm tác động đến hoạt động củahọc sinh Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu và dự đoán trước

các tình huống có thể mắc sai lầm của học sinh, đòi hỏi giáo viên phải luôn ở

vị trí thường trực với mục tiêu dạy học Các sai lầm càng sửa muộn bao nhiêuthì sự vất vả của thầy và trò càng tăng thêm bấy nhiêu

- Tính chính xác

Đòi hỏi giáo viên phải đảm bảo độ chính xác từ ngôn ngữ thông thườngđến ngôn ngữ toán học, đòi hỏi phải chỉ ra chính xác nguyên nhân dẫn đến sailầm của học sinh trong lời giải Giáo viên không được phủ nhận lời giải saimột cách chung chung, đòi hỏi sự đánh giá mức độ sai lầm của học sinh Tínhchính xác đòi hỏi giáo viên đánh giá lời giải của học sinh qua điểm số mộtcách công bằng, phải biết hướng dẫn điều chỉnh sửa chữa sai lầm bằng cácbiện pháp tối ưu

- Tính giáo dục

Tính giáo dục giúp học sinh thấy được tầm quan trọng trong sự chínhxác của lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm chưa xuất hiện Tínhgiáo dục còn giúp cho ý chí trong học Toán và giải Toán Các em có sự kiêntrì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng, tạo ra thói quen kiểm tra lời giải và biếtcách phủ định các sai lầm trong lập luận Tính giáo dục còn giúp học sinhkhông dấu dốt, dám hỏi khi chưa hiểu và không bao giờ tự thỏa mãn với kếtquả đạt được

2.3.2.2 Giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Việc tiếp thu tri thức có ý thức được kích thích bởi việc học sinh tựphân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà mình phạmphải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lí luận về bản chất của cácsai lầm Khi dạy học giáo viên cần lưu ý giúp học sinh nắm vững nội dungkiến thức cơ bản, đặc biệt là các tình huống điển hình: dạy học khái niệm tỉ lệthức, các tính chất của tỉ lệ thức, các chất của dãy tỉ số bằng nhau, dạy họcgiải bài tập áp dụng

- Khi dạy khái niệm tỉ lệ thức, cần chú ý:

+ Tỉ số a và b (b0) là a : b hay a b;

+ Đẳng thức của hai tỉ số a : b (hay a

b) và c : d (hay c

d ) là a : b = c : d(hay a b = d c );

+ Khi viết tỉ lệ thức

d

c b

a

 , ta luôn giả thiết rằng b  0 ,d  0

- Khi dạy tính chất của tỉ lệ thức cần chú ý đến:

+ Cấu trúc logic và giả thiết của tính chất;

+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có các tính chất của đẳng thức

Từ

d

c b

a

 suy ra:

d

c b

a d

c b

a

.

2 2

a

2

2 1

1  k k 

d k

c k b k

a k

;

Từ b a d c e f suy ra:

f

e d

c b

a f

e d

c b

a

.

3 3

c b

và hoạt động ngôn ngữ Thông qua các hoạt động này học sinh mới bộ lộnhững sai lầm, từ đó mà dự đoán, phòng tránh và sửa chữa sai lầm

Đặc biệt phương pháp dạy học đóng vai không nhỏ trong việc phòngngừa các sai lầm cho học sinh Nếu học sinh được làm quen với các hệ thốngphương pháp dạy học mới, khêu gợi chí sáng tạo, biết phát hiện và giải quyếtvấn đề sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc sai lầmtrong hoạt động giải toán

2.3.2.3 Tập luyện cho học sinh những hoạt động giải toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau mà khi thực hiện thường gặp những khó khăn, sai lầm

Hoạt động của học sinh là cốt lõi của phương pháp dạy học, học tập diễn ratrong hoạt động, nhưng diễn ra như thế nào, theo cách nào là tùy thuộc cách tácđộng của các yếu tố: chủ thể, đối tượng, mục tiêu, phương tiện, kết quả của hoạtđộng học và một yếu tố ảnh hưởng đến hoạt động học đó là người thầy

Xuất phát từ một nội dung dạy học, giáo viên cần phát hiện những hoạt độngtương thích với nội dung đó, rồi căn cứ vào mục tiêu dạy học mà lựa chọn để tậpluyện cho học sinh một trong số hoạt động đã được phát hiện như:

lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,…

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiệnnhư một thành phần của hoạt động khác Việc phân tách một hoạt động thànhnhững hoạt động thành phần giúp giáo viên tổ chức cho học sinh tiến hành nhữnghoạt động với độ phức hợp vừa sức

Chẳng hạn khi cho học sinh giải bài toán tìm x hoặc chứng minh một đẳngthức, biết x thỏa mãn một tỉ lệ thức mà gặp khó khăn, ta tách ra thành những hoạtđộng nhỏ hơn:

- Từ giả thiết ta suy ra được điều gì?