(SKKN 2022) kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cho một số bài toán thi học sinh giỏi THCS và thi vào lớp 10 PTTH chuyên

Từ đó học sinh được trau dồi tư duy logic, sự sáng tạo qua việc giải các bài toán và đặc biệt là các dạng toán nâng cao toán bồi dưỡng HSG Như chúng ta đã biết, phương trình nói chung v

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI THCS

VÀ THI VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN

Người thực hiện: Hồ Đại Đoàn

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Cẩm thủy

Huyện Cẩm thủy- Tỉnh Thanh hóa SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2022

9 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

10 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

3

11 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

12 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

1.MỞ ĐẦU

1.1.Lí do chọn đề tài.

Toán học là môn khoa học có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện tưduy sáng tạo cho học sinh Toán học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn,suy luận chặt chẽ và lô gíc hơn; học tốt môn toán giúp các em học tốt các mônhọc khác Ngoài ra Toán học còn là cơ sở chủ yếu của nhiều ngành khoa học,đặc biệt là tin học, Vật lý, Sự phát triển của tin học đang là một trong nhữngđộng lực chủ yếu làm cho nền kinh tế thế giới chuyển sang một giai đoạn mới vềchất Giai đoạn kinh tế tri thức; Ngoài ra môn toán còn có khả năng to lớn giúphọc sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ Do tính chất trừu tượng,tính chính xác, tư duy suy luận logic Toán học chính là “môn thể thao của trítuệ”, rèn luyện cho học sinh tính thông minh sáng tạo, làm cơ sở cho việc traudồi tri thức văn hoá

Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học mônToán ở trường THCS Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu củaviệc học tập môn Toán Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toáncho học sinh là việc làm hết sức cần thiết

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh những

kỹ năng, phương pháp giải toán, sự độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạonhất Vì vậy đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi ra những phươngpháp mới và hay để dạy cho học sinh Từ đó học sinh được trau dồi tư duy logic,

sự sáng tạo qua việc giải các bài toán và đặc biệt là các dạng toán nâng cao( toán bồi dưỡng HSG)

Như chúng ta đã biết, phương trình nói chung và phương trình vô tỉ nóiriêng là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình ToánTHCS Đặc biệt trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào PTTH chuyên

đa số đều có bài toán về phương trình vô tỉ Gặp dạng toán này học sinh thường

bị ngợp vì thấy dấu căn thức phức tạp, dẫn đến lúng túng không nghĩ đượchướng giải quyết Dạng toán này vừa đa dạng vừa phong phú về cách giải lại đòihỏi nhiều kỹ năng của người học Mặt khác, trong các tài liệu viết cho cấpTHCS ít gặp, ít tài liệu trình bày về phương pháp làm một cách hệ thống

Vì vậy, với mong muốn giúp các em được rèn kỹ năng và biết cách giảiquyết dạng toán này theo nhiều hướng khác nhau, giúp các em tự tin và hứng

thú khi học dạng toán này tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “ Kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cho một số bài toán thi học sinh giỏi THCS và thi vào PTTH chuyên”

1.2.Mục đích nghiên cứu.

Để giúp các em có kiến thức nâng cao chất lượng môn toán đặc biệt là kiếnthức đầy đủ để các em làm bài toán trong thi HSG.Ngoài ra còn giúp các em biếtyêu thích môn học và các môn học khác không chỉ môn Toán

Tạo cho học sinh lòng ham mê, yêu thích học tập, đặc biệt là học toán bằngcách phân loại và cung cấp phương pháp giải cho các dạng bài toán từ cơ bản,đơn giản phát triển thành các bài phức tạp

Mặt khác, khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập đểcho học sinh nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó tìm ranhiều cách giải hay và phát triển bài toán mới.

Với mục đích nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân

thông qua nghiên cứu khoa học, từ đó có thêm cơ hội trao đổi kinh nghiệm vớiđồng nghiệp Mặt khác cũng rèn được kỹ năng và hệ thống được một số dạngkhi giải phương trình vô tỉ, đồng thời cho các em thấy được những lời giải đẹp,thú vị của một số bài toán Từ đó gây hứng thú học tập cho các em, tạo cho các

em thói quen nghiên cứu lời giải độc lập Đặc biệt nâng cao chất lượng đội tuyểnhọc sinh giỏi lớp 9 các cấp và chất lượng học sinh thi vào THPT chuyên

1.3.Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vô tỉ và học sinh khá giỏi lớp 9 ởtrường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy- Huyện Cẩm thủy- Tỉnh Thanh hóa và họcsinh ôn thi vào lớp 10 THPT các trường chuyên

1.4.Phương pháp nghiên cứu.

Căn cứ vào mục đích và đối tượng nghiên cứu, bản thân tôi muốn cho học sinhbiết và phân loại được các dạng toán về giải một số dạng toán thi về phươngtrình vô tỉ trong đề thi HSG Toán 9 cấp Huyện , cấp Tỉnh và một số đề thi vàotrường chuyên THPT bản thân tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu đượcphân chia bởi các dạng toán sau:

Phương pháp 1:Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo

Phương pháp 2: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết

Phương pháp 3:Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy

Phương pháp 4: Phương pháp so sánh đối chứng

Phương pháp 5: Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp

Phương pháp 6: Phương pháp thống kê và xử lí dữ liệu

Phương pháp 7: Phương pháp nhận xét, đánh giá nghiên cứu

1.5.Những điểm mới của SKKN.

Những điểm mới của SKKN này là: Một số bài tập về phương trình vô tỉđược đưa vào rất nhiều loại, có bài tập tương tự, phân loại, hệ thống bài tập theotrật tự logic từ dễ đến khó về phương trình vô tỉ và được phát triển lên các kĩnăng rèn luyện giải phương trình vô tỉ của bản thân sau nhiều năm dạy đội tuyểnHSG Trong lần nghiên cứu này ,tôi đã phát triển nội dung cao hơn, có phântích, nhận xét và mở rộng bài toán (nếu có thể) Hướng dẫn vè chỉ ra cách nhìndạng toán để làm bài, mục đích hướng đến kỳ thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9cấp huyện, cấp tỉnh và thi vào PTTH chuyên

Giới thiệu một số bài toán đã gặp trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9các cấp và thi vào PTTH chuyên, giúp các em hứng thú học tập hơn

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1.Về phương pháp chung.

Trong các phương pháp dạy và học môn toán thì phương pháp khai thác

và tổng quát hoá dạng của bài toán là những bước cần thiết phải làm trong việchướng dẫn học sinh tiếp cận và giải quyết những vấn đề mới, giúp học sinh cócái nhìn đa chiều và hiểu sâu vấn đề đang học, đang nghiên cứu

2.1.2.Về kiến thức.

Các phương pháp giải phương trình vô tỉ thường sử dụng trong chươngtrình Toán THCS là:

- Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp

- Phương pháp nâng lên luỹ thừa

- Phương pháp đặt ẩn phụ

- Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đốiTrong phạm vi đề tài nghiên cứu xin được trình bày cách khai thác mộtphương pháp đó là: “Kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cho một số bài toán thi học sinh giỏi THCS và thi vào PTTH chuyên”

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Được sự quan tâm và chỉ đạo sát sao của nhà trường, bản thân tôi đã đượctrực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được nhiều năm, bồi dưỡng họcsinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 Qua những năm trực tiếp giảng dạy và theo dõi, tôi thấy rằng các bài toán

về giải phương trình vô tỉ luôn xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPTchuyên và các đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 các huyện trong tỉnh và các tỉnhthành trong cả nước Để giải các bài toán về phương trình vô tỉ, yêu cầu học sinhphải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức liên quan: phân tích đa thức thànhnhân tử, kiến thức về phương trình và cần được hệ thống hoá một cách logic.Khó khăn khi dạy dạng toán này là về mặt tài liệu: có rất ít tài liệu trình bày theochuyên đề hệ thống đầy đủ Trong chương trình sách giáo khoa toán 9 chỉ trìnhbày những ví dụ và cách giải đơn giản Vì thế nên đòi hỏi người dạy phải tự địnhhướng, hệ thống hoá, hướng dẫn các em cách khai thác, vận dụng nên người dạyphải định hướng linh hoạt những phương pháp mới lạ

Hơn nữa, thói quen đọc lại, nghiên cứu lời giải bài toán sau khi giải mộtbài tập mới chưa được học sinh chú trọng Do đó khi dạy giáo viên cần hìnhthành thói quen này và khơi dậy lòng say mê nghiên cứu của các em Từ đó các

em sẽ giải nhanh những bài toán tương tự Biết cách khai thác bài toán theohướng mở rộng hay lật ngược vấn đề

Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở TrườngTHCS M còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt được như sau:

*Những mặt đã đạt được:

Giáo viên dạy học rất nhiệt tình trong công việc của mình, luôn học tập đểnâng cao trình độ kiến thức chuyên môn, nghiệp vụ.

Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình Học sinh nắmđược kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS

Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có nhiều học sinhđạt học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh môn toán

Nhà trường và tổ chuyên môn đã có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kém ngay

từ đầu năm học nên chất lượng đại trà của học sinh trong trường được nâng lên

rõ rệt qua từng tuần, từng tháng và từng học kỳ

Cuối năm học có nhiều giáo viên giỏi và học sinh giỏi được phòng giáo dục

và ủy ban nhân dân Huyện khen tặng

*Những mặt chưa đạt:

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiếnthức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán tuy có nhiều nhưng cũng chưađều đặn hàng năm ( năm nhiều, năm thì ít)

Một bộ phận nhỏ học sinh chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học, chưa tự giáckhắc phục những kiến thức của mình bị hổng trong quá trình giải bài tập.Từnhững nguyên nhân trên dẫn đến một số tồn tại như :Học sinh thường mắc phảisai lầm khi giải các bài tập do không nẵm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiếnthức chậm, học tập thụ động ,giải bài tập cẩu thả, chép bài của các học sinh khágiỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học tập

Các giải học sinh giỏi các cấp ở các bộ môn không đồng đều và cả các nămcũng không giống nhau

Trước khi áp dụng đề tài này, tôi đã khảo sát một nhóm 12 học sinh có họclực khá giỏi của lớp 9 của trường THCS M -Huyện Cẩm Thuỷ, năm học 2021 -2022

Thời gian khảo sát: Tháng 9 năm 2021

Nội dung kháo sát: Học sinh làm các bài tập sau:

12 1 8,3% 1 8,3% 4 33,3% 6 50,1%

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ nhìn ở nhiều góc độ khác nhauchúng ta sẽ thấy được vẻ đẹp của nó, xin được giới thiệu những tiêu chí đẹpthông qua “phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ” như sau:

- Một phương trình vô tỉ quen thuộc về mặt hình thức nhưng có những độtphá trong lời giải

- Một phương trình vô tỉ quen thuộc về mặt hình thức nhưng chứa đựngnhiều ý tưởng rộng sâu trong quá trình tìm lời giải

- Một phương trình vô tỉ hay được giải quyết trên những ý tưởng táo bạohoặc ít gặp

* Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Học sinh cần nắm lại kiến thức cơ bản về phương trình vô tỉ và các kiếnthức liên quan:

*Khái niệm phương trình vô tỉ:

Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ: √x+1 = x - 2

* Các bước giải phương trình vô tỉ là:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định

- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng đã học

- Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được

- Bước 4: So sánh kết quả với điều kiện xác định và kết luận

2.3.1.Các bài toán giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Khi gặp dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là khi gặp phương

trình phức tạp, không quen thuộc thì nản và hoang mang, không tự tin nghĩ cáchlàm tiếp Nhưng nếu gợi ý dùng phương pháp đặt ẩn phụ, học sinh sẽ chuyểnmột phương trình từ phức tạp về một phương trình đơn giản, từ phương trìnhkhông có hướng giải về phương trình có hướng giải dễ dàng

Với lí do đề tài nghiên cứu lần này được phát triển và mở rộng từ các nộidung mà bản thân tôi đã nghiên cứu nên tôi không giới thiệu những ví dụ cơ bản

và có mức độ dễ Trong lần nghiên cứu này xin được giới thiệu cách hướng dẫn

và khai thác bài toán với những ví dụ hướng tới ôn thi học sinh giỏi các cấp và

ôn thi vào PTTH chuyên

a Đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình một ẩn.

*Lưu ý: Học sinh thường mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng

điều kiện của ẩn phụ t cũng là điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho

Để phát huy tính sáng tạo của học sinh giáo viên có thể hỏi học sinh vì saolại đặt được ẩn phụ như thế và điều kiện t lại như vậy?

(Đề thi HSG cấp huyện Nông Cống năm học 2017-2018)

Giáo viên hỏi học sinh: Nếu không dùng ẩn phụ để đặt và giải bài toán nàythì có giải theo các cách khác được không,từ đó học sinh nghiên cứu và liêntưởng đến đặt ẩn phụ để giải bài toán

Học sinh sẽ dễ dàng nhận ra: bên trong dấu căn thứ hai của vế trái khi làmphép cộng thấy hai biểu thức trong dấu căn bậc hai của vế trái là nghịch đảo củanhau

Ta được phương trình: t+

1

t =2⇔ t

2 −2 t+1=0 ⇔(t−1 )2=0 ⇔t=1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Theo cách đặt ta được: √1+x 2 x =1⇔ x =1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =  1

b Đưa phương trình vô tỷ về dạng phương trình: at2+bt+c =0 (a≠0)

Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về phương trình bậchai một ẩn số là một kỹ thuật căn bản trong phương pháp sử dụng ẩn phụ để giảiphương trình vô tỉ Ở phần này tôi sẽ giới thiệu một số dạng toán phương trình

vô tỉ giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về dạngphương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 3: Giải phương trình :x2

+2 x √x +1

x = 8x-1

(Đề thi dự bị chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh thanh hóa năm học 2016-2017)

Nhận xét: Ở ví dụ này tôi cho học sinh nhận xét biểu thức bên trong dấu căn và

biểu thức bên ngoài dấu căn có nét tương đồng không và cũng nư cách đặt ẩnphụ như thế nào để giải bài toán

Từ đó tôi gợi ý học sinh cách đặt ẩn phụ bằng câu hỏi gợi mở: các em thử bìnhphương hai vế của phương trình xem có đứ được về dạng cơ bản đẻ giải chúngđược không? Làm thế nào để xuất hiện dạng để đặt ẩn phụ?

Qua cách làm trên tôi cảm nhận được học sinh có hứng thú học và tỏ rabất ngờ với cách giải tưởng chừng như khó nhưng lại rất đơn giản Quan trọng làgiáo viên phải chú ý cách đặt những câu hỏi gợi mở đúng hướng để học sinhnghĩ đến việc đặt ẩn phụ thuận lợi.

x x

Đặt y= √x2+1 ( y≥ 1) lúc đó phương trình đã cho trở thành

(4x-1).y = 2y2+2 x −1 ⟺ 2 y2−4 xy+ 2 x + y−1=0

⟺ (2 y2 −4 xy+2 y ¿ – (y- 2x +1) = 0 ⟺ 2y.(y-2x+1) –(y-2x+1) = 0

⟺(y-2x+1)(2y-1) = 0 ⟺[y−2 x+1=0 2 y −1=0 ⟺[y=1

2<1(l)

y=2 x−1

Với y = 2x-1 ta có 2x-1= √x2+1 ⟺ {(2 x−1)2 x−1 ≥ 02=x2+1

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S ={43}

Qua ví dụ trên giáo viên có thể lưu ý cho học sinh có những bài toán về phươngtrình vô tỉ khi đặt ẩn phụ không hoàn toàn mà ta vẫn có thể giải chúng, từ đógiáo viên hỏi thế còn có cách giải khác nữa không

Ví dụ 6 Giải phương trình 2x2 x2 x 2 2x 7   

*Phân tích:

- Thông thường học sinh sẽ suy nghĩ trước phương trình vô tỉ chứa một căn thứcchúng ta có thể nâng lên lũy thừa đưa về phương trình đa thức bậc cao Nhưng

có thể xảy ra hai khả năng sau:

*Việc nâng lên lũy thừa sẽ tạo ra các phép tính toán phức tạp hơn

* Phương trình bậc cao vừa tạo thành khó giải quyết khi nghiệm của nó khônghữu tỷ

- Do đó ta nghĩ đến việc dùng ẩn số phụ và đưa phương trình đã cho về phươngtrình đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng bậc 3 nhờ mối liên hệ giữa các biểu thứccòn lại của phương trình với căn thức

- Nhận xét Ví dụ trên có dạng tổng quát là: a.f x b f x   c 0 a 0  

Từ đó giáo viên có thể đưa ra các bước giải toán như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa: f x  0.

Bước 2: Đặt f x  t t 0 ,   đưa phương trình về dạng at2bt c 0 a 0    

Bước 3: Xử lý phương trình : at2bt c 0 a 0    , với điều kiện t 0 

Bước 4: Thay trở lại tìm nghiệm phương trình ban đầu và kết luận

Lời giải

ĐKXĐ: x2 x 2 0  

Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 2 x 2  x 2   x 2  x 2 3 0   

Đặt x2 x 2 t t 0    , phương trình đã cho trở thành:

2t   t 3 0 

t 1 3 t 2

* Phân tích: Như đã nói ở các ví dụ trên, trước khi muốn sử dụng phương pháp

đặt ẩn phụ, học sinh cần đặt ra câu hỏi: Các biểu thức trong phương trình có mốiliên quan đặc biệt nào với nhau?

- Học sinh cần chú ý rằng ta luôn tìm được sự liên hệ như sau( điều này các em

đã biết từ lớp 6,7 với bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên)

c Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phương trình:

Ta thường gặp phương trình dạng này ở các dạng biến thể như:

Để giải các phương trình (1), (2), giáo viên đưa ra phương pháp chung là:

*Phân tích biểu thức trong dấu thành tích của 2 đa thức P x Q x( ), ( )

*Ta biến đổi ax2bx c mP x  ( )nQ x( ) bằng cách đồng nhất hai vế

Khi đó phương trình trở thành: mP x( )nQ x( )d P x Q x( ) ( )

Chia hai vế cho biểu thức Q x ( ) 0 ta thu được phương trình

( ) ( ) ( ) ( )

Giáo viên nêu tổng quát: Với mọi phương trình có dạng:

Phương trình đã cho viết lại thành: 2(x2 3x2) 3 ( x2)(x2 2x4)

Giả sử x2 3x 2 m x( 2)n x( 2 2x4) Suy ra m n, phải thỏa mãn

x t