(SKKN 2022) Dạy HS khai thác,phát triển một số bài toán trong chương I Đại số 8 tại trường THCS Trung Chính

MỤC LỤC1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 3.1 Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giá trị của 3.2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG I - ĐẠI SỐ LỚP 8

TẠI TRƯỜNG THCS TRUNG CHÍNH

Người thực hiện: Nguyễn Thị Nam Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Trung Chính SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

MỤC LỤC

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

3.1 Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giá trị của

3.2 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để

chứng minh chia hết, số chính phương 6 3.3 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để

3.4

Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để

chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài toán tìm giá trị

nhỏ nhất

9

3.5 Khai thác phát triển chia hai đa thức một biến

4 Hiệu quả của sáng khiến kinh nhiệm 15

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và môn Toán nói riêng, nhất là chất lượng mũi nhọn là một việc không hề dễ dàng hiện nay đối với một số trường khu vực nông thôn, “vùng trũng”, xa trung tâm huyện, điều kiện kinh

tế khó khăn, trình độ dân trí thấp Điều này, được minh chứng rất rõ qua các

kì thi khảo sát chất lượng, thi vào lớp 10 và đặc biệt là thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện hàng năm

Nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng mũi nhọn là một vấn đề có tính chiến lược và vô cùng cần thiết ở nhà trường THCS Bởi đây là cấp học

“trung gian”, các em được trang bị một hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản

để học xong cấp học này các em có thể vận dụng vào lao động sản xuất, học nghề và tiếp tục học ở bậc THPT

Đối với môn Toán, nó có vai trò không nhỏ, góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn học khác Nhưng dạy học như thế nào để học sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn giải quyết được các bài toán khó trong chương trình Để giúp người học nắm kiến thức môn học có tính hệ thống và hiểu được bản chất của vấn đề Đây là việc đặt ra cho mỗi giáo viên dạy Toán Nhất là việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt , đặc biệt là các công cụ toán học, các kĩ năng khi thực hiện việc giải toán Trong giải toán học sinh phải biết nhận dạng và từ đó nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp Để làm được điều này, một trong những cái mà

trong dạy học người dạy hướng cho học sinh cách khai thác và phát triển một

bài toán

Việc khai thác và phát triển một bài toán được thể hiện rất đa dạng và phong phú, nhất là ở tiết luyện tập, ôn tập, và nó cũng là một hoạt động trong dạy học Toán Nhưng nhiều giáo viên chưa chú trọng tới(!) Vì vậy mà khi giải một số bài toán khó học sinh hay lúng túng, không tìm ra cách giải hoặc giải được nhưng mất quá nhiều thời gian

Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán , tôi nhận thấy đây là điểm quan trọng mà mỗi học sinh cấp THCS

nên biết để vận vào việc giải toán Tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề: “Dạy học

sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8 tại trường THCS Trung Chính" Đây chỉ là một phần nhỏ trong toàn bộ chương trình dạy

học Toán 8 của tôi

Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản của môn học và có thêm một kĩ năng giải toán để làm nền tảng cho các em chuẩn bị cho các lớp học cao hơn cũng như tự tin hơn trong các kì thi Tuy vậy do khuôn

khổ đề tài cũng như kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, chắc rằng còn gặp những thiếu xót không mong muốn, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của quí đồng nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này tôi nghiên cứu để phục vụ cho công tác giảng dạy của bản thân

và sau đó là của các đồng nghiệp trong đơn vị, nhằm giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, có kĩ năng giải toán, phát triển tư duy, rèn luyện cho các em tính cẩn thận, cần cù, sáng tạo, có niềm tin và hứng thú trong học tập, nghiên cứu Qua đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học, cải thiện chất lượng giáo dục

3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài này tôi nghiên cứu “Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài

toán trong chương I - Đại số lớp 8 tại trường THCS Trung Chính" tính hiệu

quả trong việc thực hiện đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu sơ sở lý thuyết về phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, tìm dư của phép chia đa thức cho đa thức, v.v… Học sinh biết khai thác, phát triển một bài toán, nhận dạng, quy lạ về quen, tương tự hoá,…khi làm toán

Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Trường tôi dạy thuộc một xã thuần nông, trình độ dân trí thấp, điều kiện kinh tế khó khăn, chất lượng học tập còn thấp, nhất là môn Toán được phản ánh rõ nhất qua điểm các bài kiểm tra định kì, kiểm tra học kì, thi chọn học sinh giỏi huyện, thi vào lớp 10 Trong những năm huyện tổ chức thi chọn học sinh giỏi lớp 8, kết quả đội tuyển của trường đạt được khá khiêm tốn (!) Qua đó chúng tôi đã nghiêm túc phân tích số liệu, tìm ra nguyên nhân và giải pháp cho thực trạng vấn đề

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận:

Trên quan điểm của các Nghị quyết Đại hội của Đảng được cụ thể hoá trong Luật Giáo dục: “Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ

cơ sở và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.” (Khoản 3, điều 27, chương II, Luật Giáo dục – Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia, năm 2006) Hay trong Nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04.11.2013 của Ban chấp hành Trưng ương khóa XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện về giáo dục”

có nêu “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,…” (mục 2 Mục tiêu cụ thể”

Đối với học sinh lớp 8, đặc điểm về tâm, sinh lí lứa tuổi các em muốn tìm hiểu, khám phá, vươn lên để thể hiện mình Trong những năm qua thực hiện đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS đã có những chuyển biến tích cực góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy - học

Từ những cơ sở trên đòi hỏi người thày luôn cần mẫn, nhiệt tình, sáng tạo trong các hoạt động dạy học, không ngừng tích luỹ vốn kiến thức và kinh nghiệm cho bản thân Dạy dỗ thế nào để đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho học sinh, kích thích tính tò mò khoa học của các em, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của người học; phát triển tư duy, hình thành nhân cách cho học sinh…Xây dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực” để các em cảm nhận được “mỗi ngày đến trường là một niềm vui”

2 Thực trạng:

Trong quá trình giảng dạy, tham khảo ý kiến đồng nghiệp và qua phụ huynh học sinh cũng như qua tìm hiểu các học sinh với nhau tôi nhận ra rằng:

Đa số học sinh học yếu toán là do hổng kiến thức, lười học, lười suy nghĩ, lười

tư duy, học tập dập khuôn, máy móc, tiếp thu kiến thức thụ động; các em không

có phương pháp học đúng đắn; một số giáo viên chưa thật sự tâm huyết, chưa chịu tìm tòi nghiên cứu; các bài tập các em còn trình bày sơ sài, suy nghĩ giản đơn Nhất là khi gặp những bài khó các em rất lúng túng, bối rối, không biết nên bắt đầu từ đâu và làm như thế nào, mặc dù đây là những bài tập mang tính vận dụng kiến thức cơ bản Đó là một thực trạng chung mà trong quá trình giảng dạy người giáo viên dễ nhận thấy nơi học sinh Trước vấn đề đặt ra đó đòi hỏi người giáo viên phải làm như thế nào? Đây là một câu hỏi cần được trả lời đối với mỗi người đang trực tiếp giảng dạy trên lớp

Trong chưng trình Đại số 8, nhiều bài toán phải vận dụng nhiều kiến thức,

kĩ năng, trình bày chặt chẽ, logic Từ chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA

ĐA THỨC, phần bài tập sau mỗi tiết lí thuyết hay trong các tiết luyện tập và ôn tập chương có thể khai thác và phát triển thành những bài tập khó, thường có

trong các đề thi chọn học sinh giỏi Ví dụ: 1 Chứng minh rằng : x 5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ + (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2008 – 2009 của huyện Nông Cống, Thanh Hóa) Bài này được phát

triển từ bài 58 (trang 25 – SGK Toán 8 tập 1 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt

Nam, năm 2010): Chứng minh rằng: n 3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n; 2 Tìm các số cặp số nguyên(x, y) thỏa mãn: x + y = xy Bài này được phát

triển từ bài 47 và bài 48 (trang 22 – SGK Toán 8 – Tập một) 3 Tìm số nguyên

a sao cho a 4 + 4 là số nguyên tố (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học

2013 – 2014 của huyện Thủy Nguyên, Hải Phòng và của huyện Việt Yên, Bắc

Giang) Bài này được khai thác từ bài 57d (trang 25 – SGK Toán 8 – Tập một):

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4 Đó là một vài ví dụ cho thấy các bài tập trong đề thi không dễ dàng đối với nhiều học sinh khi gặp phải Nhưng

nó lại được xuất phát từ những bài tập rất cơ bản ở sách giáo khoa mà đa số học sinh làm được Tôi luôn nghĩ một bài tập dù khó đến đâu cũng không ngoài chương trình, kiến thức và phương pháp đã học Chỉ có điều chúng ta dạy các

em như thế nào mà thôi

Trong quá trình giảng dạy Toán 8 tôi nhận thấy năng lực học tập nơi các

em nhìn chung còn hạn chế, đặc biệt là kĩ năng khai thác, phát triển một bài toán Bên cạnh đó, phụ huynh chưa đầu tư nhiều và chưa có sự quan tâm đúng mực đối với việc học tập của con em Vì vậy việc học tập và nâng cao khả năng học tập môn toán gặp không ít khó khăn Chính vì lẽ đó hàng năm, thực tế cho thấy khả năng tiếp thu, lĩnh hội môn toán nhất là các chuyên đề toán học nói chung cũng như vận dụng giải toán với tỉ lệ khá giỏi chưa cao

Đề tài này tôi tích luỹ, rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy trong đó có sự định hướng của các thày cô dạy tôi ở Đại học Tôi đã triển khai ở nhiều năm học trước đây (kết quả đạt được rất đáng khích lệ) và đang tiếp tục ở năm học 2016

-2017 trong chương trình dạy học chính khóa cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường Kết quả kiểm tra khả năng tiếp thu khi chưa vận dụng cách khai thác, phát triển một bài toán được kết quả như sau:

Lớp Sỉ

số

Điểm 9 -10 Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm 3 - 4 Điểm 0 - 2 Tổng

Tổng

số %

Tổng

số %

Tổng

số %

Tổng

số % 8A 38 1 2,6 4 10,1 8 21,1 19 51,2 6 15,8

Từ thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ làm thế nào để học sinh biết cách sử dụng một bài toán cơ bản, bài toán gốc để giải bài toán nâng cao một cách linh hoạt, sáng tạo Với trách nhiệm của người thày tôi thấy mình cần giúp các em làm tốt hơn phần này

3 Các giải pháp thực hiện:

Trong chương I (Phép nhân và phép chia đa thức) kiến thức vô cùng quan trọng Nắm vững kiến thức của chương này mới học tốt chương trình tiếp theo được Và kiến thức của chương này còn là công cụ, ứng dụng để giải nhiều dạng bài tập Các bài tập SGK cơ bản các em làm được như: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh, tính nhẩm, biết cách phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức một biến… Nhưng khi gặp một số bài toán khi bồi dưỡng học sinh giỏi hay trong các đề thi các em gặp rất nhiều khó khăn, vướng mắc

Mà thực ra những bài toán lại bắt đầu từ những bài toán rất cơ bản Nếu ta vận dụng được kiến thức cơ bản và hiểu bản chất của nó thì bài toán trở nên quen thuộc dễ giải Tất nhiên, điều đầu tiên để nâng cao được chất lượng dạy học thì người học phải có hứng thú, có lòng say mê, ham học hỏi Muốn vậy, hơn ai hết giáo viên phải là người gây được hứng thú, tạo sự chú ý, tính tò mò khoa học nơi các em, phải tác động làm thay đổi mạnh mẽ trong nhận thức của học sinh

Người thày ngoài việc có kiến thức chuyên môn giỏi còn phải có phương pháp truyền thu tốt, kĩ năng sự phạm, nhà tâm tâm lí học… thực sự yêu nghề, mến trẻ

3.1 Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán tìm điều kiện để giá trị của một biểu thức là số nguyên tố.

Ví dụ 1: (Bài 57d trang 25 - SGK Toán 8 tập một)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4

Lời giải

Ta có: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2

= (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2)

Vậy, x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2)

Khai thác bài toán:

Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + 1  1 với mọi x

và (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + 1  1 với mọi x

nên x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) chỉ có thể là số nguyên tố khi x nguyên và

x2 - 2x +2 =1 hoặc x2 + 2x +2 =1 Ta có thể khai thác bài toán trên rồi phát triển thành các bài sau:

Bài 1 Cho A = x4 + 4 Tìm số nguyên x để A là số nguyên tố.

Bài 2 Cho M = a4 + 4 Tìm số tự nhiên a để M là số nguyên tố

Bài 3 Cho M = a4 + 4 Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên a2 thì M

là hợp số

Lời giải:

1 (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): A = x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2)

Có x  Z => x2 - 2x +2  Z; x2 + 2x +2  Z

Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + 1  1 với mọi x

và (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + 1  1 với mọi x

Do đó, A = x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) là số nguyên tố thị x2 - 2x +2 =1 hoặc x2 + 2x +2 =1

Nếu x2 - 2x +2 =1 => x = 1 => A = 5 (thỏa mãn)

Nếu x2 + 2x +2 =1 => x = - 1 => A = 5 (thỏa mãn)

Vậy với x = 1 hoặc x = -1 thì A = x4 + 4 là số nguyên tố

2.(Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 2a +2) = (a+1)2 + 1  2 Do đó, muốn M là số nguyên tố thì phải có a2 – 2a + 2 = 1 => a =1 Khi đó M = 5 là số nguyên tố Vậy, với a = 1 thì M = a4 + 4 là số nguyên tố

3 (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

Vì (a-1)2 + 1  2 với mọi a  2 và (a+1)2 + 1  10 với mọi a  2 nên M là hợp

số

(Lưu ý: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.)

3.2 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

để giải bài toán chứng minh chia hết, số chính phương:

Ví dụ 2 (Bài 58 trang 25 - SGK Toán 8 Tập một).

Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n  Z

Lời giải: Ta có : n3 – n = n(n -1)(n + 1) đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 6

Khai thác và phát triển bài toán:

1 Vì n(n -1)(n + 1)  6 => n(n -1)(n + 1)  (6k)n  6 (n, k Z)

Ta phát triển thành các bài toán:

Bài 1 Chứng minh rằng: n3 -13n chia hết cho 6 (với n  Z)

Bài 2 Cho các số tự nhiên a1, a2, , a2016 có tổng bằng 20162017

Chứng minh rằng: 3 3 3

a + a + + a chia hết cho 3

Lời giải bài 2: Ta có: 2016 3   2016 2017  3  a1 + a2 + + a2016 ( = 20162017)

3



Xét hiệu: A = ( 3 3 3

1 2 2016

a a  a ) – (a1 + a2 + + a2016) = (a13  a1) ( a23 a2) (  a20163  a2016)

Dễ thấy a3 – a = a(a – 1)(a + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Suy ra: A3

Mà a1 + a2 + + a2016  3 nên 3 3 3

1 2 2016

a a  a  3

Từ bài 2, ta có thể phát triển thành bài sau: Cho các số tự nhiên a 1 , a 2 , , a 2016

có tổng bằng 2016 2017 Chứng minh rằng: 3 3 3

1 2 2016

2 Vì n(n -1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 và 5 nên chia hết cho 30

Phát triển thành các bài toán sau:

Bài 3 Chứng minh rằng: n5 - n chia hết cho 30 (với n  Z)

Bài 4 Tìm số tự nhiên n để n5 - n + 2 là số chính phương

Bài 5 Cho ba số a, b, c  Z thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a5 + b5 +

c5 chia hết cho 30

Đối với bài 1 và bài 3: Nhiều học sinh có thể làm được Nhưng đối với bài 2 , bài 4 và bài 5, nó ở cấp độ cao hơn, khó hơn vì phải vận dụng nhiều kiến thức và kĩ năng hơn

Bài 4: Vì n5 - n + = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n+1)(n2- 4 + 5) = …

= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n + 1)  5 nên có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 Do đó n5 - n + 2 có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7 Không có số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7=> n5 - n + 2 không phải là số chính phương

Vậy không có số tự nhiên n nào để n5 - n + 2 là số chính phương

Bài 5 Ta có: a5 + b5 + c5 = a5 + b5 + c5 – (a+b+c) (vì a+b+c =0)

= (a5 – a)+(b5 – b)+(c5 – c)30 ( theo kết quả bài 2)

mà a + b + c = 0 30 nên a5 + b5 + c5

 30

Và từ bài 2, bài 4 và bài 5 này chúng ta có thể khai thác phát triển thành nhiều bài toán khác Đó là điều thú vị Nó gây hứng thú cho học sinh, kích thích tính sáng tạo, sự tò mò khoa học, say mê cho người học

3.3 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên:

Khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường

“rất sợ” (!) Bởi lẽ, phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phương trình một ẩn, nhiều ẩn hoặc có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao Không có cách giải chung cho mọi phương trình Tuy nhiên với việc vận dụng kiến thức của chương I này, chúng ta khai thác phát triển một số bài

tập cơ bản trong SGK để đưa các phương trình về “dạng tích” giải một số bài

tập từ đơn giản đến phức tạp, bước đầu cho các em làm quen, và từ đó hình

thành một cách giải Nó góp một phần không nhỏ để các em học sinh vững tin hơn khi gặp dạng toán này

Ví dụ 3 (Bài 53b trang 25 - SGK Toán 8 Tập một)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2+ x – 6

Lời giải: Ta có x2+ x – 6 = x2 - 2x + 3x – 6 = (x2 - 2x) + (3x – 6) =x(x -2) + 3(x-2) = (x-3(x-2)(x+3)

Đối với bài toán này, trong SGK (tiết học lí thuyết) không nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì vậy hơi khó cho học sinh diện đại trà Nhưng SGK đã gợi ý và giải mẫu (ở ý a bài 53 - SGK) nên học sinh dựa vào đó

sẽ làm được Và bài toán không còn khó nữa Vậy ta dạy học sinh khai thác gì ở bài toán này?

Như đã biết, (x-2)(x+3) nguyên nếu x nguyên Do đó ta có thể phát triển thành bài sau:

Bài 1 Tìm số nguyên x, thỏa mãn: x2+ x – 5 = 0

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x - 6 = y2

Với bài 1, nhiều học sinh sẽ làm được, nhưng bài 2 không dễ dàng với đa

số học sinh

Lời giải:

Bài 2 Ta có: x2 + x - 6 = y2  4x2 + 4x - 24 = 4y2  (2x + 1)2 – 4y2 = 25

 ( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = 25

Suy ra: 2x 2 1 1

2x+2 1 25

y y

  





 

2x+2 1 1

y y

  





 

 hoặc 2x 2 1 5

2x+2 1 5

y y

  





 

2x+2 1 5

y y

  





 

 Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm nguyên (x, y) là (6; 6); (6; -6) ; (2; 0); (- 3; 0)

Sau khi HS đã hiểu được cánh làm của bài tập 1, 2 ở trên ta có thể nâng cao hơn cho HS luyện tập các bài sau:

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:

a) 2(x + y) + 5 = 3xy; b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7; c) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Lời giải:

a) Ta có: Ta có: 2(x y ) 5 3  xy 3xy 2x 2y 5

(3 2) (3 2) 5 (3 2)(3 2) 19

 y x  x    x y 

Do x, y nguyên dương nên 3x 2 1; 3 y 2 1 mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có

các khả năng sau: 3 2 1 (I)

3 2 19

 





 



x

3 2 19

(II)

3 2 1

 





 



x y