(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh khai thác từ một bài toán về đường tròn nội tiếp tam giác

Tôi đã từng hướng dẫn học sinh khai thác từmột bài toán gốc để khắc sâu kiến thức cơ bản và phát triển tư duy toán học.Nhưng với bài toán về đường tròn nội tiếp tam giác thì có lí do ri

Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2 Thực trạng của vấn đề 2

3 Các biện pháp và các giải pháp giải quyết vấn đề 4

3.1 Một số kiến thức lí thuyết 5

3.1.1 Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau 5

3.1.2 Đường tròn nội tiếp tam giác 5

3.1.3 "Bài toán gốc" 5

3.2 Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán 5

3.2.1 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác thường .5 3.2.2 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông 11

3.2.3 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác cân 15

3.2.4 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác đều 17

5 Kết quả đạt được 18

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20

1 Kết luận 20

2 Kiến nghị 20

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Dạy học và ôn tập toán, đặc biệt là toán hình cho HS lớp 9 thi học sinhgiỏi và thi vào lớp 10 luôn luôn là điều trăn trở của mỗi giáo viên (GV) dạytoán Và chúng ta càng trăn trở hơn khi HS chúng ta không làm được những bàitoán mà mặc dù giải các bài này lại xuất phát từ lời giải những bài các em đãlàm rồi Vậy do đâu? Câu hỏi đó đã luôn tồn tại trong tôi Trong quá trình dạyhọc tôi cũng là một giáo viên thường xuyên định hướng cho học sinh (HS) tìmhiểu bài học theo chủ đề kiến thức Tôi đã từng hướng dẫn học sinh khai thác từmột bài toán gốc để khắc sâu kiến thức cơ bản và phát triển tư duy toán học.Nhưng với bài toán về đường tròn nội tiếp tam giác thì có lí do riêng Đó làtrong kì thi học sinh giỏi môn Toán có một bài tập hình mà nếu tôi hướng dẫn kĩ

việc khai thác Bài tập 31 tr116 SGK Toán 9 Tập 1 thì chắc chắn học sinh tôi sẽ

đạt kết quả cao hơn nhiều Từ đó, tôi đã nảy sinh việc phải quyết tâm đi tìm cách

hướng dẫn học sinh khai thác Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 và bắt đầu

thực hiện sáng kiến “Hướng dẫn học sinh khai thác từ một bài toán về đường tròn nội tiếp tam giác”.

2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm này là để nâng cao chấtlượng giảng dạy bộ môn Toán, đặc biệt là nội dung luyện kĩ năng giải toán Hìnhhọc thông qua dạy học các bài toán thực tế cho học sinh, từ đó phát triển tối đa

tư duy sáng tạo cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến này nghiên cứu về: Lí luận, phương pháp dạy học môn Toán,chương trình Toán THCS, thói quen, hành vi, cảm hứng, chất lượng của họcsinh khi học môn Toán

4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lí thuyết về phương pháp dạy học, chương trình dạy học và ápdụng vào thực tiễn, sau đó đúc kết kinh nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Môn Toán có vị trí rất quan trọng trong việc rèn luyện vàphát triển tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo cho học sinh (HS),giúp HS phương pháp suy nghĩ, suy luận, phương pháp tự học

và phát triển trí thông minh, khả năng suy nghĩ linh hoạt, sángtạo

Tư duy sáng tạo giúp các em tìm ra những ý tưởng mớithoát ra khỏi những ý tưởng cũ kỹ, mờ nhạt Chính vì vậy, trongtoán học nên có tư duy sáng tạo Các em cần vận dụng khảnăng tư duy sáng tạo của mình để giải quyết các vấn đề toánhọc Tư duy sáng tạo sẽ giúp các em tìm ra được nhiều hướng đicho phép tính, bài toán tư cơ bản đến nâng cao

Bên cạnh đó, các em còn đưa ra được những ý tưởng mới

và các phương pháp giải ấn tượng Những điều đó sẽ giúp các

em khẳng định được khả năng của bản thân so với các bạntrong lớp cũng như nâng cao điểm số, đặc biệt là sự tư duy sángtạo lâu dài Khi rèn luyện tư duy sáng tạo nhiều ắt hẳn tư duycủa các em ngày càng nhanh nhạy, não bộ cũng phát triển toàndiện và ổn định hơn

Nhiệm vụ của giáo viên dạy toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức còn cần phải phát triển tư duy cho học sinh bằng cách khai thác một bài toán sẵn có, giúpcác em phát triển lên để giải quyết được những vấn đề mới

Một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu thì lời giải của nó luôn là tậphợp các chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản Vì vậy việc giải bài toánphức tạp đều có thể đưa về áp dụng từ việc giải các bài toán đơn giản Từ lí luận

đó tôi đã chọn Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 để làm bài toán gốc và với

vốn kiến thức của mình để hướng dẫn học sinh khai thác bài toán này

Trong phân môn Hình học 9 có rất nhiều chủ đề, mỗi chủ đề khai thác bàitoán ở mỗi góc cạnh khác nhau lại cho ta nhiều bài toán mới và hay Chủ đềđường tròn nội tiếp tam giác là một trong những chủ đề như thế Trong kì thi

học sinh giỏi huyện đã từng có một bài tập hình với đề bài : Cho đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A

a) Tính r biết AB = 3cm, AC = 4cm

b) Gọi h là đường cao ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng 2 h 2,5

r

 Trong 3 em tôi cho làm bài này chỉ có 1 em làm trọn vẹn, 1 em chỉ làm được câua) và 1 em không làm được câu nào Đọc đề, vẽ hình tôi thấy tiếc vô cùng vì bài

tập này đâu có khó thậm chí nó còn có thể khai thác được ngay từ Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 :

Trên hình 82, tam giác ABC ngoại

tiếp đường tròn (O)

khác ở lớp 7, 8 Tìm hiểu kĩ bài Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 tôi thấy đây

là 1 bài tập rất hay có nhiều ứng dụng cho cả học sinh đại trà và học sinh giỏi

Từ đây tôi quyết tâm đi tìm cách hướng dẫn học sinh khai thác Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 và khái quát lên thành SKKN này.

2 Thực trạng của vấn đề

Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm, tôi tiến hành khảo sát 25 em họcsinh lớp 9 thuộc đủ các đối tượng với đề bài như sau:

Kiểm tra Toán (Thời gian làm bài 30 phút)

Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, AC lần lượt tại D, E, F.

a) Chứng minh rằng : 2AF = AB + AC - BC

b) Tính chu vi tứ giác ADOF biết AB = 6cm, AC = 8cm

c) Chứng minh S ABC = EB.EC

- Tính được AF = 2cm và kết luận được chu vi tứ giác ADOF là 8cm (1,0đ)

c) (2,5đ) Theo bài toán gốc ta có:

Kết quả thu được như sau:

*Đánh giá : Đề bài khảo sát được phân theo đủ 4 cấp độ tư duy và kết quả trên

phản ánh đúng thực trạng của học sinh trường tôi tại thời điểm đó

- Khả năng phân tích đề và kĩ năng trình bày của học sinh còn hạn chế Các

em thường dừng lại và bằng lòng ở việc tìm ra lời giải những phần mà bài toányêu cầu mà không đặt ngược lại vấn đề hoặc không nhìn nhận bài toán đó ởnhiều khía cạnh khác nhau Từ đó dẫn đến: Cũng là bài toán hình đó mà thay đổitrình tự vẽ hình, hoặc được phát biểu dưới dạng khác thì HS lại không nhận ra.Hoặc cũng là bài toán ban đầu đó mà thêm những yêu cầu mới, kết luận mới thìkhông phải HS nào cũng biết giải bài toán đó bắt đầu từ đâu, ngay cả với một số

HS khá giỏi

- Đặc biệt chưa nắm được cách khai thác Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập

1 mà tôi đã chữa để làm câu b) và câu c) dẫn đến không có bài đạt điểm giỏi, ít

bài khá và vẫn còn nhiều em dưới trung bình

+ Về phía giáo viên: Bên cạnh lí do thời gian luyện giải các bài tập trongchủ đề kiến thức không có nhiều thì nguyên nhân chính là chưa có biện pháp

hướng dẫn học sinh khai thác bài toán “gốc”.

3 Các biện pháp và các giải pháp giải quyết vấn đề.

Nội dung chính của sáng kiến là hướng dẫn học sinh khai thác Bài Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 theo hướng trực tiếp sử dụng kết quả hoặc từ hình

31-vẽ bài toán gốc bổ sung thêm điều kiện để xây dựng những bài toán mới Sángkiến áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 9 trong suốt quá trình học tập và cả

ôn thi vào THPT Sáng kiến đã giúp đa số các em nắm tương đối tốt các kiếnthức hình học trong chủ đề Sau khi được hướng dẫn các em HS học yếu hình,

sợ hình nay cũng đã nắm được bài toán gốc và một số bài toán cơ bản Các em

HS khá giỏi dễ dàng nhận biết và phân loại được những bài cùng loại dù bàitoán đó được phát biểu dưới dạng nào, từ đó các em nhanh chóng đưa ra đượclời giải cho bài toán đó Các em không chỉ dừng lại ở việc tìm ra lời giải cho bàitoán mà còn có thể tìm ra những kết luận mới của bài toán và tạo ra những bàitoán khác hay và khó

Biện pháp giải quyết chính.

Trong sáng kiến “Hướng dẫn học sinh khai thác từ một bài toán về

đường tròn nội tiếp tam giác” tôi đã hướng dẫn học sinh khai thác Bài

31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 theo các hướng :

- Đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác thường

- Đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông

- Đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác cân

- Đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác đều

Trong mỗi hướng tôi đều chú ý mức độ khai thác phù hợp với đối tượng họcsinh Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó Những bài tập liên quan đếnkiến thức cuối năm được sắp xếp sau giúp giáo viên dễ dàng thiết kế giáo án để

giúp đỡ học sinh phù hợp với chương trình Giúp học sinh thực hiện được các công việc mà giáo viên chuyển giao, hướng dẫn Các bài toán được khai thác từ bài toán

gốc có thể trực tiếp sử dụng kết quả của bài toán, có thể sử dụng hình vẽ của bàitoán thêm giữ kiện để tìm ra những bài toán mới dựa trên các kiến thức về :

- Tính chất tia phân giác

- Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

- Chu vi, diện tích đa giác

- Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

- Tỉ số lượng giác (TSLG) của góc nhọn

- Tứ giác nội tiếp

Để giúp học sinh phát hiện ra bài toán mới và thấy được cái hay, cái sâu

sắc của bài toán tôi đều giúp các em có nhận xét để tìm ra bài toán mới Sau khi giải bài toán mới các em biết đánh giá mối liên hệ với bài toán trước đó và đều

được xuất phát từ bài toán gốc Từ đó các em được rèn cách tự học, tự biết khaithác ra đề để dần hoàn chỉnh một chủ đề kiến thức Các em bình tĩnh tự tin trướccác kiểu ra đề và chắc chắn kết quả làm bài sẽ cao

Sau đây là sự mô tả cụ thể các biện pháp thực hiện sáng kiến:

3.1 Một số kiến thức lí thuyết

3.1.1 Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Nếu 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:

- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi 2 bán kính

đi qua 2 tiếp điểm

3.1.2 Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tamgiác ấy Khi đó tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giáctrong tam giác Bán kính là khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh của tam giác ấy

3.1.3 " Bài toán gốc"

Bài tập 31 (Tr 116 - Sgk Toán 9 - Tập 1) Cho hình vẽ, tam giác ABC ngoại tiếp (O)

a) Chứng minh rằng: 2AD = AB + AC - BC

b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a)

2BE = 2BD = BA + BC - AC

2CE = 2CF = CB + CA - AB

Sau khi giải bài này, để HS ghi nhớ, áp dụng, tôi đã cho HS diễn đạt bằng lời tính chất trên (Hai lần khoảng cánh từ mỗi đỉnh đến tiếp điểm kề nó bằng tổng hai cạnh kề trừ đi cạnh đối)

3.2 Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán

3.2.1 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác thường Nhận xét: Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AD = AF, BD = BE, CE =

CF Từ đó suy ra: AD + BE + CF = AF + CE + BD Ta có bài toán sau:

Bài toán 1 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lượt tại D, E, F Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AF + CE + BD

Đánh giá: Giáo viên đã hướng dẫn mọi học sinh sử dụng trực tiếp kết quả của

bài toán “gốc” một cách nhẹ nhàng.

Nhận xét: Vì O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm

của 3 đường phân giác trong tam giác Vận dụng tính chất 3 đường phân giác giúp ta có bài toán tính toán sau:

Bài toán 2 Cho BAC 500 Tính BOC ?

2

180 50 = 180 ( ) 115

1

2

O

C B

A

(Cách khác: Có thể kéo dài AO sau đó sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, từ đó tính được  BOC 1150)

Đánh giá: Với hình vẽ của bài toán “gốc” chỉ cần nối tâm O với các đỉnh của

tam giác giáo viên đã hướng dẫn học sinh tìm được mối liên hệ giữa BAC và

BOC qua bài toán trên Từ đây có thể ra thêm bài toán ngược cho biết góc

BOC = 1150 tính góc BAC hoặc tính BAO

Nhận xét: Nhận thấy 3 tam giác AOB, BOC, COA có đường cao bằng nhau và

S AOB + S BOC + S COA = S ABC giúp ta có bài toán sau:

Bài toán 3 Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có chu vi bằng 2p, bán kính

đường tròn nội tiếp bằng r thì SABC = pr

Đánh giá: Từ bài toán gốc giáo viên đã hướng dẫn học sinh đến bài toán tổng

quát về mối liên hệ giữa diện tích, chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Nhận xét: AD = AF, OD = OF  AO là đường trung trung trực của DF nên tứ giác ADOF có 2 đường chéo vuông góc với nhau

Bài toán 4 Cho (O; r) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lượt tại D, E, F Chứng minh rằng:

Nhận xét: Cũng từ nhận xét AO là đường trung trực của DF nên nếu gọi H là

giao điểm của OA và DF thì H là trung điểm của DF, tương tự gọi K, I lần lượt

là giao điểm của OC, OB và EF, DE giúp ta có bài toán sau:

Bài toán 5 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lượt tại D, E, F Gọi H, I, K lần lượt là giao điểm của OA, OB, OC với

DF, DE, EF Chứng minh rằng: PHIK = 1

2PDEF (với P là chu vi tam giác )

Hướng dẫn

AD = AF, OD = OF  AO là đường trung

trung trực của DF  H là trung điểm của DF

Tương tự ta có I là trung điểm của DE

 HI là đường trung bình của tam giác DEF

Nhận xét: Vẫn từ nhận xét AO là đường trung trực của DF, nếu gọi H là giao

điểm của OA và DF thì DH  AO Mặt khác tam giác ADO vuông tại D nên ta liên tưởng đến hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Từ đó cho ta bài toán rất hay sau:

Bài toán 6 Cho (O; r) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lượt tại D, E, F Gọi H, I, K lần lượt là giao điểm của OA, OB, OC với

DF, DE, EF Chứng minh rằng:

OH.OA + OI.OB + OK.OC = 3r2

CMTT rồi cộng từng vế của 3 đẳng thức ta được đpcm

Nhận xét: Từ Bài toán 6 ta thấy OH.OA = OI.OB = OK.OC = r 2 mà OH, OK,

OI lần lượt là khoảng cách từ O đến các cạnh của tam giác DEF Vậy nếu cho

OH = OK = OI thì OA = OB = OC  Tam giác ABC đều

Từ đó cho ta bài toán sau:

Bài toán 7 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lượt tại D, E, F Tìm điều kiện của tam giác ABC để O là tâm đườngtròn nội tiếp tam giác DEF

Đánh giá: Từ Bài 31-Tr116 SGK - Toán 9 - Tập 1 với kiến thức cơ bản về tính

chất hai tiếp tuyến cắt nhau giáo viên đã hướng dẫn mọi học sinh đều chỉ ra được AO là đường trung trực của DF Đây là một kiến thức mà sau này học sinh đại trà thường xuyên vận dụng Với việc áp dụng hệ thức lượng, tính chất đường trung bình, tam giác đồng dạng học sinh khá giỏi có thể khai thác sâu

và hình thành những bài toán mới như trên.

Nhận xét: Nếu trên cung nhỏ DE lấy điểm J Qua J kẻ tiếp tuyến cắt AB, BC,

AC lần lượt tại M, N, L Khi đó CL + BM = CF + FL + BD - MD = CE + LJ +

BE - MJ = CE + BE + LJ - MJ = BC + LM

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 8 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC và

tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại

D, E, F Trên cung nhỏ DE lấy điểm J Qua J

kẻ tiếp tuyến cắt AB, BC, AC lần lượt tại M,

Đánh giá: Như vậy từ hình vẽ bài toán “gốc” giáo viên đã hướng dẫn học sinh

có nhận xét như trên và hình thành bài toán mới, góp phần củng cố sâu tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau về cơ bản ở câu a) ( Bài tập 27 SGK tr 115) và có phần nâng cao ở câu b).

Nhận xét: Trong bài toán trên ta thấy P BMN = BM + MN + NB = BM + MJ +

JN + NB = BM + MD + EN + NB = BD + BE

Nếu ta đặc biệt hóa tiếp tuyến tại J: Giả sử trên cung nhỏ DE kẻ tiếp

tuyến song song với AC cắt BA, BC tại M và N Khi đó BMN BAC

Từ 2 kết luận trên ta có bài toán rất hay:

Bài toán 9 Cho (O ; r) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp tuyến với đường tròn

(O) song song với các cạnh của tam giác ABC cắt từ tam giác ABC thành 3 tamgiác nhỏ Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giácnhỏ đó Chứng minh rằng: r = r1 + r2 + r3

Hướng dẫn

Gọi P1, P2, P3 lần lượt là chu vi của các

tam giác nhỏ, P là chu vi tam giác

ABC Ta có P1 + P2 + P3 = AD + AF +

BD + BE + CE + CF = AB + BC +

CA = P

Vì các tiếp tuyến song song với các

cạnh nên các tam giác nhỏ đồng dạng

với tam giác ABC nên:

Đánh giá: Từ bài toán học sinh xây dựng được mối liên hệ giữa r, r 1 , r 2 , r 3 khi

mà các tiếp tuyến song song với các cạnh của tam giác ngoại tiếp (O) Với cách khai thác này giúp học sinh khá giỏi phát triển óc tưởng tượng hình học, sáng tạo hình học rất tốt.

Từ Bài toán 1 đến Bài toán 9 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh trong học kì I và lựa chọn để bồi dưỡng học sinh giỏi vì huyện tôi thường thi học sinh giỏi vào tháng 4 hàng năm Sau đây tôi sẽ hướng dẫn học sinh khai thác bài toán để củng cố, khắc sâu một số kiến thức cơ bản và phát triển nâng cao về góc với đường tròn, tứ giác nội tiếp góp phần giúp học sinh ôn tập hình học chuẩn bị thi vào THPT.

Nhận xét: Từ giả thiết của bài toán “gốc” và phân tích thêm ta nhận thấy trên

hình có rất nhiều tứ giác nội tiếp Vậy ta sẽ nhìn nhận bài toán dưới góc độ tứ giác nội tiếp để có thể đưa ra bài toán nào ?

Ta thấy D 1D

2

EF = OF (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

Mà tứ giác ADOF nội tiếp, nếu biết góc A ta sẽ tính được góc DOF từ đó

ta sẽ tính được góc DEF giúp ta có bài toán mới:

Bài toán 10 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

c) Tính góc A theo câu a)  góc DEF (theo câu b)

Đánh giá: Từ bài toán gốc mọi học sinh đều biết sử dụng tính chất của tiếp

tuyến để chỉ ra được các tứ giác nội tiếp Kết hợp với tính chất góc nội tiếp, góc

ở tâm thì học sinh khá giỏi sẽ khai thác bài toán ở câu b)c)

Nhận xét: Nếu sử dụng tứ giác BEOD nội tiếp  DBO = DEO và nếu tứ giác 

ADEF là hình thoi  DEO DAO thì ta có  DBO = DAO   Tam giác OAB cân tại O  OA = OB (1) Mặt khác AO là tia phân giác của góc A và tứ giác CEOF nội tiếp nên DEO DAO = OAF  OEF = OCF   Tam giác OAC cân tại O  OA = OC (2) Từ (1) và (2)  ABC đều ngược lại ta dễ dàng chứng minh được tứ giác ADEF là hình thoi nếu ABC đều nên ta có bài toán nâng cao hơn:

Bài toán 11 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lượt tại D, E, F Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADEF làhình thoi

Mặt khác: AO là tia phân giác của góc A, tứ giác ADEF là hình thoi và tứ giácCEOF nội tiếp thì DEO DAO = OAF  OEF = OCF    Tam giác OAC cântại O  OA = OC (2)

Từ (1) và (2)  OA = OB = OC  Tam giác ABC đều

• Điều ngược lại học sinh dễ dàng chứng minh được khi tam giác ABC đều thìtứ giác ADEF là hình thoi và kết luận

Đánh giá: Như vậy, với hình vẽ bài toán gốc giáo viên đã hướng dẫn học sinh

tìm thêm một số điều kiện đơn giản để chuyển bài toán về sử dụng tứ giác nội tiếp hoặc chứng minh tứ giác nội tiếp.

3.2.2 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông Nhận xét: Trở lại bài toán gốc ta thấy nếu cho biết 3 cạnh của tam giác thì ta sẽ

tính được khoảng cách từ mỗi đỉnh của tam giác đến các tiếp điểm kề với nó Nhưng khi vận dụng vào tam giác vuông thì ta chỉ cần biết độ dài 2 cạnh của tam giác vuông Từ đây cho ta bài toán sau:

Bài toán 1 Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn (O) nội tiếp tam giác

ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F Tính BD, AF,

CE biết AB = 3cm, AD = 4cm

Hướng dẫn

Bài này không khó, GV chỉ lưu ý cho HS biết

2 cạnh, dùng định lí Pitago ta tính được BC =

5cm Áp dụng kết quả bài toán gốc ta sẽ tính

được khoảng cách từ mỗi đỉnh của tam giác

đến các tiếp điểm kề với nó

Nhận xét: Ta thấy tứ giác ADOF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật mà

AD = DF nên là hình vuông  r = AD giúp ta có bài toán cơ bản sau:

Bài toán 2 Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác

ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F Tính r biết AB =3cm, AC = 4cm

 r = AD = AB AC BC 2  = 1 (cm)

Đánh giá: Đây chính là dạng của câu a) trong bài tập hình đề thi học sinh giỏi

và câu b) trong bài tôi khảo sát học sinh trước khi thực hiện sáng kiến Qua đó, tôi thấy: Nếu giáo viên không hướng dẫn học sinh khai thác đặc điểm của tứ