THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”I.. THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”... THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHX
Trang 1= −𝑥 + 1 = 0 => 𝑦 = 3 𝑥 = 1 => đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 (1 ; 3)
Đặ𝑡 𝐵 = 𝑓′′ = −1𝐴 = 𝑓′′= 6𝑥
𝐶 = 𝑓′′ = 0
𝐵ướ𝑐 3 : 𝑇ạ𝑖 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(1 ; 3) 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝐴, 𝐵, 𝐶
Trang 2THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
2
𝐵 = −1𝐴 = 6
𝐶 = 0 → ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵
= −1 < 0 𝑉ậ𝑦 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑡𝑟ê𝑛 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị
Trang 34 Tìm cực trị tự do của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦)= 𝑦+ 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥
Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦+ 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥
Xét hệ phương trình 𝑓′𝑓′ = 3𝑦 + 3𝑥= 6𝑥𝑦 + 18𝑥 − 6𝑦 − 18 = 0 ( )21
− 6𝑥 = 0 ( )(1) ↔ 6x(y + 3 – 6 y + 3) => (y + 3)(6x − 6) = 0 → 𝑦 = −3) ( 𝑦 = 1
𝑉ậ𝑦 𝑀(1; 1 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝑓(𝑀) ) = −11
3 Đề thi các năm trước (sẽ được giải trực tiếp khi học tại CLB)
Tìm cực trị của hàm số sau:
1 𝑓 𝑥, 𝑦( ) = −𝑥− 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦
Trang 4THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
I Công thức tính tích phân trong toạ độ đề các ( Descartes )
Trang 6THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Trang 8THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Trang 10THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
III Công thức tính tích phân bội ba
trong toạ độ cầu
Trang 11Tính các tích phân bội hai sau:
0 Cho miền D là một tam giác có các đỉnh A (
0;1),B(2;1) ,C(0;3) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Tính tích phân bội hai
(𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦
Giải Khi đó ta có miền D :
Trang 12THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
2 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑘é𝑝 (6𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
.
trong đó D là tam giác với ba đỉnh O(0;0), A(1;1), B(0;1)
Trang 14THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Phần 2: Tích phân đường và tích phân mặt
𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
Và hàm số f(x,y) liên tục trên cung 𝐴𝐵 Khi đó
Trang 16THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Giải
Trang 18THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
18
Diện tích hình elip
+ =1: 𝑆 = 𝜋 𝑎 𝑏
2 Ví dụ minh hoạ
Tính 𝐼 = (𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦
Trong đó C là biên tam giác OAB, với O(0,0);
A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ
Giải Cung C kín, có chiều dương
Trang 19 Dấu + khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía trên mặt S
Dấu – khi lấy tích phaan mặt loại hai theo phía trên mặt S
Công thức Stokes
Trang 20THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Công thức Green là trường hợp riêng của công thức Stokes
Công thức Gauss - Ostrogradski
Giả sử V là miền giới nội trong 𝑅 có biên là mặt S trơn từng mảnh Nếu các hàm số P,Q,R liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền V thì:
𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦
= 𝜕𝑄𝜕𝑥 +𝜕𝑃𝜕𝑦 +𝜕𝑅𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Trong đó mặt lấy tích phân định hướng ra phía ngoài miền V
( Có thể coi rằng công thức Gauss - Ostrogradski là công thức mở rộng công thức Green từ không gian hai chiều ra không gian ba chiều Vì thế đôi khi tính tích phân trên mặt S không kín, ta có thể thêm mặt phẳng nào đó để áp dụng công thức Gauss – Ostrogradski )
Trang 21𝑥 + 𝑦 = 0 đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑑ươ𝑛𝑔
Trang 22THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Trang 23−> y(x) = 𝑒∫ 𝑥 𝑒∫𝑑𝑥 + 𝐶
−> y(x) = 𝑒|| 𝑥 𝑒 ||𝑑𝑥 + 𝐶
−> y(x) = 1
𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
Trang 24THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Trang 25Nếu 𝛼 = 𝑘
Trang 26THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
Trang 2727
→ 𝑦(𝑥) = 𝑒|| 𝑥 𝑒|| 𝑑𝑥 + 𝐶
→ 𝑦(𝑥) = 𝑥 ( 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) = 𝑥(𝑥
2 + 𝐶)𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = 0
Trang 28THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD”
𝑙𝑛|𝑥|= −𝑙𝑛 1 − 𝑦| | + 𝑐
3 Đề thi các năm trước (sẽ được giải trực tiếp khi học tại CLB)
Giải các phương trình vi phân sau:
Trang 2929
10 𝑦− 5𝑦 + 5𝑦 = 2𝑒