TR×ÍNG ��I HÅC VINH Vi»n S÷ Ph¤m Tü Nhi¶n �������o0o������� B�I T�P TI�U LU�N T�P MÐ, PH�N TRONG V� C�C V�N �� LI�N QUAN Chuy¶n ng nh Lþ thuy¸t XS v TK To¡n Gi£ng vi¶n NGUY�N THÀ QUÝNH TRANG Håc vi¶n NGUY�N THÀ NGÅC ANH Lîp K28 To¡n Vinh, 32021 1 GIÎI THI�U, ��T V�N �� 1 Giîi thi»u, �°t v§n � 1 1 Giîi thi»u Tªp hñp mð, hay tªp mð, ph¦n trong l kh¡i ni»m cì b£n trong topo Nâ công �÷ñc sû döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c cõa to¡n håc, trong c¡c khæng gian kh¡c câ thº topo hâa C¡c kh¡i ni»m n y l têng.
Trang 1TR×ÍNG I HÅC VINH Vi»n S÷ Ph¤m Tü Nhi¶n
o0o
BI TP TIU LUN
TP MÐ, PHN TRONG V CC VN LIN QUAN
Chuy¶n ng nh:Lþ thuy¸t XS v TK To¡n
Gi£ng vi¶n: NGUYN THÀ QUÝNH TRANG
Håc vi¶n : NGUYN THÀ NGÅC ANH
Lîp: K28 To¡n
Vinh, 3/2021
Trang 21 Giîi thi»u, °t v§n ·
1.1 Giîi thi»u
Tªp hñp mð, hay tªp mð, ph¦n trong l kh¡i ni»m cì b£n trong topo
Nâ công ÷ñc sû döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c cõa to¡n håc, trong c¡c khæng gian kh¡c câ thº topo hâa C¡c kh¡i ni»m n y l têng qu¡t tø kh¡i ni»m mi·n trong cõa mët tªp hñp iºm trong h¼nh håc v trong gi£i t½ch
V½ dö 1 C¡c iºm (x, y) thäa m¢n x2 + y2 = r2 l ÷íng trán t¥m O(0,0) b¡n k½nh r
C¡c iºm (x, y) thäa m¢n x2 + y2 < r2 l c¡c iºm b¶n trong h¼nh trán
Tªp c¡c iºm b¶n trong h¼nh trán l tªp mð, tªp c¡c iºm tr¶n ÷íng trán l tªp âng
Hñp cõa c¡c iºm b¶n trong v tr¶n ÷íng trán l tªp âng
Tªp A l tªp mð trong X n¸u A ⊆ X v X công mð trong A v hiºn nhi¶n A mð trong ch½nh nâ v¼ A = A
1.2 °t v§n ·
1.2.1 Vai trá cæng cö cõa c¡c kh¡i ni»m trong gi£i t½ch
Tªp mð, ph¦n trong, l c¡c kh¡i ni»m cì b£n v xu§t hi»n h¦u h¸t trong c¡c l¾nh vüc cõa gi£i t½ch nh÷ Topo ¤i c÷ìng, gi£i t½ch h m, Gi£i t½ch lçi, Gi£i t½ch h m ùng döng, Quy ho¤ch phi tuy¸n, Gi£i t½ch phùc, V¼ vªy vi»c nghi¶n cùu tri thùc luªn v· c¡c kh¡i ni»m n y thüc sü c¦n thi¸t trong vi»c d¤y håc c¡c mæn gi£i t½ch ð bªc ¤i håc
1.2.2 Tçn t¤i nhúng quan ni»m sai l¦m cõa sinh vi¶n v· kh¡i ni»m tªp mð
Trong hai th¡ng 9 v 10/2017, mët thüc nghi»m kh£o s¡t d÷îi d¤ng phäng v§n trüc ti¸p ÷ñc ti¸n h nh tr¶n 10 sinh vi¶n n«m thù 3 ngh nh s÷ ph¤m to¡n ð c¡c tr÷íng ¤i håc: S i gán, Khoa håc tü nhi¶n Th nh phè Hç Ch½ Minh, v· kh¡i ni»m tªp mð C¡c sinh vi¶n n y ¢ k¸t thóc c¡c håc ph¦n khæng gian tæpo v khæng gian m¶tric ð n«m thù hai ¤i håc
Möc ½ch cõa vi»c kh£o s¡t l nh¬m t¼m hiºu quan ni»m cõa sinh vi¶n v· tªp mð sau khi ¢ håc xong c¡c håc ph¦n tr¶n Tªp mð trong
Trang 31 GIÎI THIU, T VN
khæng gian m¶tric ÷ñc ành ngh¾a theo ba c¡ch: ành ngh¾a theo h¼nh c¦u mð, ành ngh¾a theo ph¦n trong v ành ngh¾a theo l¥n cªn( Tr¼nh
b y ành ngh¾a s³ ÷ñc cö thº ð ph¦n sau)
K¸t qu£ cho th§y c¡c sinh vi¶n khoa to¡n câ ba c¡ch x¡c ành mët tªp mð trong khæng gian m¶tric: ành ngh¾a h¼nh thùc, sû döng kh¡i ni»m bi¶n, v tªp mð ÷ñc thº hi»n b¬ng hñp c¡c qu£ c¦u mð C¡c quan ni»m n y ð sinh vi¶n kh¡ ch¶nh l»ch so vîi ành ngh¾a ch½nh thùc
Trang 42 Tªp mð, ph¦n trong trong c¡c khæng gian
2.1 Tªp mð trong khæng gian metric
ành ngh¾a 2.1 Khæng gian m¶tric l mët c«p (X, d) trong â X l tªp hñp, d:X × X → R l mët h m x¡c ành tr¶n X × X thäa m¢n c¡c
i·u ki»n sau:
1.Vîi måi x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(Ti¶n · çng nh§t)
2.Vîi måi x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x)
(Ti¶n · èi xùng)
3.Vìi måi x, y, z ∈ X : d(x, z) ≥ d(x, y) + d(y, x)
(Ti¶n · tam gi¡c)
H m d ÷ñc gåi l m¶tric tr¶n X
Méi ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l mët iºm cõa khæng gian X Sè d(x,y)
÷ñc gåi l kho£ng c¡ch giúa hai iºm x,y
V½ dö 2 Tªp hñp c¡c sè thüc R v tªp hñp c¡c sè phùc C l nhúng khæng gian m¶tric, vîi m¶tric:
d(x, y) = |x − y|, vîi måi x, y ∈ R(ho°c C)
ành ngh¾a 2.2 Gi£ sû (X, d) l mët khæng gian m¶tric xo ∈ X v r
l mët sè d÷ìng
Tªp hñp S(xo, r) = {x ∈ X| d(x, xo) < r} ÷ñc gåi l h¼nh c¦u mð t¥m xo b¡n k½nh r
V½ dö 3 L§y X = R vîi d l metric thæng th÷íng
d(x, y) = |x − y| , vîi måi x, y ∈ R
H¼nh c¦u mð t¥m 1 b¡n k½nh 2 l g¼?
Tr£ líi:
B(1, 2) = x ∈ R : d(x, 1) = |x − 1| < 2 = x ∈ R : −1 < x < 3 = (−1, 3)
Tø â suy ra B(1; 2) = (−1, 3)
Têng qu¡t trong R ta câ h¼nh c¦u mð l mët kho£ng
Tªp hñp S[xo, r] = {x ∈ X|d(x, xo) ≤ r} ÷ñc gåi l h¼nh c¦u âng t¥m xo b¡n k½nh r
Vîi A,B l 2 tªp con kh¡c réng trong X, ta gåi:
Trang 52 TP MÐ, PHN TRONG TRONG CC KHÆNG GIAN
d(A, B) = infx∈A;y∈Bd(x, y)
l kho£ng c¡ch cõa hai tªp con A, B
ành ngh¾a 2.3 inh ngh¾a tªp mð theo h¼nh c¦u mð Trong khæng gian m¶tric tòy þ, måi h¼nh c¦u mð l tªp mð Tùc l tªp con A
cõa X ÷ñc gåi l tªp mð n¸u vîi måi x ∈ A th¼ tçn t¤i ε > 0 sao cho
B(x, ε) ⊂ A
Thªt vªy:
Gi£ sû B(a, r) l h¼nh c¦u mð t¥m a b¡nh k½nh r trong X Khi â vîi måi x ∈ B(a, r) ta câ d(x, a) < r °t ε = r − d(x, y) > 0
X²t h¼nh c¦u mð B(x, ε) Ta chùng minh B(x, ε) ⊂ B(a, r)
N¸u y ∈ B(x, ε) th¼ d(x, y) < ε Khi â d(y, a) ≤ d(x, y) = d(x, a) <
ε + d(x, a) = r n¶n y ∈ B(a, r)
Do â B(x, ε) ⊂ B(a, r) Vªy B(a, r) l tªp mð
ành ngh¾a 2.4 Gi£ sû A l mët tªp con cõa khæng gian m¶tric (x, d)
iºm xo cõa X ÷ñc gåi l iºm trong cõa tªp hñp A n¸u tçn t¤i mët h¼nh c¦u mð S(xo, r) ⊂ A
Tªp t§t c£ c¡c iºm trong cõa tªp hñp A ÷ñc gåi l ph¦n trong cõa tªp hñp A v kþ hi»u l A0
Ph¦n trong cõa mët tªp hñp câ thº l tªp réng
ành ngh¾a 2.5 ành ngh¾a tªp mð theo iºm trong Mët tªp hñp
G ⊂ X ÷ñc gåi l mð n¸u måi iºm cõa G ·u l iºm trong cõa nâ Hiºn nhi¶n tªp X v φ ·u l c¡c tªp mð trong khæng gian m¶tric (X,d) Méi h¼nh c¦u mð l tªp mð trong (X, d)
V½ dö 4 Chùng minh r¬ng: (a, b) ⊂R l tªp mð trong R.
Chùng minh Vîi iºm b§t ký x0 ∈ (a, b) ta c¦n chùng minh x0 l iºm trong cõa (a, b) Thªt v¥y:
L§y 0 < r < min{x0 − a; b − x0} th¼ tçn t¤i B(x0, r) ⊂ (a, b) Vîi måi iºm x ∈ B(x0, r) =⇒ d(x0, x) < r
=⇒ |x0 − x| < r
⇐⇒ −r < x0 − x < r
⇐⇒ −r + x0 < x < x0 + r
K¸t hñp vîi r < x0− a v r < b − x0 hay −r + x0 > a v r + x0 < b
Trang 6Tø â suy ra a < x < b k²o theo x ∈ (a, b).
Do â B(x0, r) ⊂ (a, b)
Vªy x0 l iºm trong cõa (a, b)
T½nh ch§t 2.6 Hå t§t c£ c¡c tªp con mð trong khæng gian metric (X, d)
câ c¡c t½nh ch§t sau :
a φ v X l c¡c tªp hñp mð
b Hñp cõa mët hå tòy þ c¡c tªp mð l mët tªp mð
c Giao cõa mët hå húu h¤n c¡c tªp mð l tªp mð
Chùng minh b Gi£ sû Ut{t ∈ T }, l mët hå tòy þ nhúng tªp con mð trong khæng gian m¶tric (X, d) Ta chùng minh U = S
t∈T Ut l mët tªp mð
Thªt vªy:
Gi£ sû X ∈ U tòy þ Khi â x ∈ U1 vîi 1 ∈ t n o â V¼ U, mð n¶n tçn t¤i mët h¼nh c¦u S(x, r) ∈ U1, do â S(x, r) ⊂ U
Vªy U l tªp mð
c Gi£ sû U1, U2, , Un l nhúng tªp mð Ta c¦n chùng minh V =
Tn
i=1Ui l tªp mð
Thªt vªy:
N¸u x ∈ V th¼ x ∈ U Vîi måi i = 1, , n, v¼ méi Ui mð n¶n tçn t¤i mët sè d÷ìng r sao cho S(x, ri) ⊂ Ui, vîi i = 1, n
°t r = minr1, r2, , ru Khi â hiºn nhi¶n S(x, r) ⊂ Ui vîi i =
1, 2, , n
Do â S(x, r) ⊂ V V¥y V l mët tªp mð
ành l½ 2.7 Vîi x ∈ (X, d) tòy þ, tªp con b§t ký U ⊃ X chùa iºm X
÷ñc gåi l l¥n cªn cõa iºm X n¸u U chùa mët tªp mð chùa x
Hiºn nhi¶n, tªp A trong khæng gian m¶tric X l mð khi v ch¿ khi vîi méi x ∈ A luæn tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa X chùa trong A v hiºn nhi¶n ta luæn câ:
1 A0 l tªp mð, v â l tªp mð lîn nh§t chùa trong A
2 Tªp A l mð khi v ch¿ khi A = A0
3 N¸u A ⊂ B th¼ A0 ⊂ B0
Trang 72 TP MÐ, PHN TRONG TRONG CC KHÆNG GIAN
2.2 Tªp mð, ph¦n trong trong khæng gian Topo
Trong khæng gian Topo kh¡i ni»m tªp mð l kh¡i ni»m cì sð
ành ngh¾a 2.8 Cho tªp hñp X Hå τ nhúng tªp con cõa X ÷ñc gåi
l mët topo tr¶n X n¸u thäa m¢n 3 ti¶n · sau:
(T1) φ, X ∈ τ
(T2) Hñp cõa hå tòy þ c¡c ph¦n tû thuëc τ l ph¦n tû thuëc τ
(T3) Giao cõa hai ph¦n tû b§t k¼ thuëc τ l ph¦n tû thuëc τ
Khi â c°p(X, τ ) l mët khæng gian topo v cán ÷ñc vi¸t gån l khæng gian topo X
C¡c ph¦n tû ∈ τ ÷ñc gåi l mët tªp mð trong khæng gian topo X
V½ dö 5 °t X = [0, 5], A = [0, 2]
X²t τ = φ, X l mæt topo thæ tr¶n X
Do A 6= φ, A 6= X =⇒ A /∈ τ
=⇒ A khæng ph£i l tªp mð trong (X, τ )
Tuy nhi¶n x²t τ = (P)(X) : Tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa X
Do A = [0, 2] ⊂ [0, 5] = X =⇒ A ∈ τ
=⇒ A l tªp mð trong (X, τ )
ành ngh¾a 2.9 Ph¦n trong Ph¦n trong cõa mët tªp con A cõa khæng gian topo X l mët tªp hñp bao gçm c¡c iºm cõa A m khæng thuëc bi¶n cõa A Hay nâi rã hìn:
x l mët iºm ph¦n trong cõa A n¸u x chùa ÷ñc mët tªp con mð cõa A (ho°c x l mët iºm ph¦n trong cõa A n¸u câ mët l¥n cªn cõa x chùa trong A )
Ph¦n trong cõa A l ph¦n bò cõa bao âng bò cõa A Kþ hi»u int(A),
Int(A) ho°c A0
V½ dö 6 Trong khæng gian tæpo thæ (R, τ ) vîi b§t ký A l tªp con thüc
sü cõa R ta câ A0 = φ
Trong khæng gian topo ríi r¤c (R, τD), vîi b§t ký A = (a, b) ⊂ R ta
câ A0 = (a, b)
Trong khæng gian topo thæ (R, τ ) vîiτ l topo tü nhi¶n, cho A = (a, b) Khi â, måi iºm thuëc (a, b) ·u l iºm trong cõa A:
A0 = (a, b), c¡c iºm a,b l iºm bi¶n cõa A
Trang 8V½ dö 7 a Trong khæng gian topo R chu©n : int([0, 1]) = (0, 1).
b Trong khæng gian topo R chu©n, ph¦n trong cõa tªp Q l réng v¼ nâ khæng câ tªp con mð kh¡c réng n o, måi l¥n cªn cõa mët sè húu t ·u chùa sè væ t
c Trong khæng gian topo Rn chu©n, ph¦n trong cõa b§t ký tªp húu h¤n
n o ·u réng
d Trong måi khæng gian topo t¦m th÷íng (L topo m ch¿ câ c¡c tªp
mð l tªp réng v to n bë khæng gian) X Chóng ta câ int(X) = X
T½nh ch§t 2.10 Cho khæng gian topo (X, τ )
a èi vîi b§t k¼ A ⊂ X ta câ:
X = A0 ∪ b(A) ∪ extA ; extA = (X A)0
C¡c tªp A0, extA l mð, tªp b(A) l tªp âng
b.Tªp A0 l tªp mð lîn nh§t trong A
c.T¥p A l mð khi v ch¿ khi A = A0
d N¸u B ⊂ A ⊂ X th¼ B0 ⊂ A0
e Vîi måi A, B /∈ X ta câ A0 ∩ B0 = (A ∩ B)0
Chùng minh a Hiºn nhi¶n X = A0 ∪ b(A) ∩ ext(A)
Ta câ x ∈ extA khi v ch¿ khi tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x sao cho
U ⊂ X A
i·u n y d¨n ¸n x l iºm trong cõa X A hay x ∈ (X A)0 Vªy
extA = (X A)0
b gi£ sû V l tªp mð b§t ký trong A
Khi â V l l¥n cªn cõa måi iºm thuëc nâ, ngh¾a l :
Vîi måi x ∈ V ta câ x ∈ V ⊂ A suy ra
Måi x ∈ V ·u l iºm trong cõa A Vªy V ⊂ A0, hay A0 l tªp mð lîn nh§t trong A
c Sû döng þ a v b ta câ ngay tªp A l tªp mð khi v ch¿ khi A = A0
d Gi£ sû B ⊂ A ⊂ X V¼ B0 ⊂ B ⊂ A l tªp mð lîn nh§t trong A n¶n
B0 ⊂ A0
e Gi£ sû A, B ⊂ X V¼ A0∩ B0 l tªp mð trong A ∩ B n¶n theo þ b ta
câ A0 ∩ B0 ⊂ (A ∩ B)0
Ng÷ñc l¤i vîi b§t ký X ∈ (A ∩ B)0 luæn tçn t¤i l¥n cªn mð U cõa x sao cho U ⊂ A ∩ B
Suy ra U ⊂ A v U ⊂ B
Trang 93 MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA T P MÐ
Do â x ∈ A0 v x ∈ B0
Vªy A0 ∩ B0 = (A ∩ B)0
2.3 Tªp mð trong khæng gian Euclide
Khæng gian Euclide Rn công l mët khæng gian m¶tric, nâ công l mët khæng gian topo vîi topo tü nhi¶n sinh bði metric Topo tr¶n En
÷ñc gåi l topo Euclide
Mët tªp l tªp mð trong topo Euclide n¸u v ch¿ n¸u nâ chùa h¼nh c¦u mð bao quanh méi iºm cõa nâ Topo Euclide t÷ìng ÷ìng vîi mët topo t½ch tr¶n Rn nh÷ l t½ch cõa n b£n sao cõa ÷íng th¯ng thüc R( Vîi topo ch½nh tc)
3 Mët sè ùng döng cõa t¥p mð
3.1 Trong topo
C¡c tªp mð,ph¦n trong câ vai trá quan trång trong Topo
Måi tªp con A cõa khæng gian topoX chùa ½t nh§t mët tªp mð (Câ thº
l tªp réng; tªp con mð lîn nh§t trong chóng ÷ñc gåi l mi·n trong cõa A) Tªp con n y câ thº ÷ñc x¥y düng b¬ng c¡ch hñp t§t c£ c¡c tªp
mð chùa trong A
ành ngh¾a 3.1 Cho X l mët khæng gian topo, tªp con E cõa X gl tªp âng n¸u X E l tªp mð
Ta th§y º chùng minh mët tªp l tªp âng trong khæng gian topo th¼ chóng ta công sû döng tªp mð Tø tªp mð º suy ra ÷ñc tªp âng V½ dö 8 Trong khæng gian topo X cho hai tªp A ⊂ X, B ⊂ X Chùng minh r¬ng: N¸u A v B ·u l tªp âng th¼ A ∪ B l tªp âng?
Chùng minh º chùng minh A ∪ B l tªp âng th¼ chóng ta i chùng minh X (A ∪ B) l tªp mð
Thªt v¥y:
Ta câ A, B l c¡c tªp âng Do â X A v X B l c¡c tªp mð trong
X
M°t kh¡c ta câ X l khæng gian topo n¶n giao húu h¤n c¡c tªp mð l c¡c tªp mð V¼ th¸:
Trang 10(X A) ∩ (X B) l 1 tªp mð trong X hay X (A ∪ B) l mët tªp mð trong X
ành ngh¾a 3.2 Cho c¡c khæng gian topo (X, τ ) v (Y, σ) nh x¤
f : X −→ Y tø khæng gian topo (X, τ ) v o khæng gian topo (Y, σ)
nh x¤ f ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i iºm x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa iºm f (x) ∈ Y tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho f (U ) ⊂ V
nh x¤ f ÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n X n¸u f li¶n töc t¤i måi iºm x ∈ X
Vi»c x²t t½nh mð cõa c¡c tªp hñp l cæng cö gióp chóng ta câ thº x²t
÷ñc t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ tø khæng gian topo n y v o khæng gian topo kh¡c
T½nh ch§t 3.3 Cho c¡c khæng gian topo (X, τ ) v (Y, σ) nh x¤ f :
X −→ Y tø khæng gian topo (X, τ ) v o khæng gian topo (Y, σ)
nh x¤ f n y ÷ñc gåi l li¶n töc n¸u t¤o £nh cõa måi tªp mð trong Y
l tªp mð trong X V ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l mð n¸u £nh cõa måi tªp mð trong X l mð trong Y
Chùng minh Thªt v¥y:
Nhc l¤i U ⊂ X l tªp mìt khi v ch¿ khi U l l¥n cªn cõa måi x ∈ U Gi£ sû f l mët ¡nh x¤ li¶n töc v V l tªp mð b§t ký trong Y
Vîi måi iºm x ∈ f−1(V ) º chùng minh f−1(V ) l tªp mð ta s³ chùng minh f−1(V ) l l¥n cªn cõa iºm x.Thªt vªy:
V¼ x ∈ f−1(V ) n¶n f (x) ∈ V V¼ V l tªp mð n¶n V l l¥n cªn cõa
f (x)
V¼ f l ¡nh x¤ li¶n töc n¶n tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho f (U ) ⊂ V
=⇒ U ⊂ f−1(V )
Theo t½nh ch§t cõa l¥n cªn th¼ ta công câ f−1(V ) công l l¥n cªn cõa
x
Vªy f−1(V ) l mët tªp mð (dpcm)
Méi tªp mð b§t ký tr¶n ÷íng th¯ng thüc l hñp cõa ¸m ÷ñc c¡c kho£ng mð
Trang 113 MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA T P MÐ
3.2 Trong khæng gian m¶tric
C¡c tªp mð câ vai trá quan trång, tø tªp mð chóng ta câ thº chùng minh ÷ñc c¡c kh¡i ni»m li¶n quan trong khæng gian m¶tric
Ch¯ng h¤n nh÷ trong vi»c chùng minh mët tªp l tªp âng
ành ngh¾a 3.4 Tªp con F cõa khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l tªp
âng n¸u X F l tªp mð
V½ dö 9 o¤n [a, b] ⊂ R l mët tªp âng v¼
R [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞)
l tªp mð
V½ dö 10 Chùng minh A = {(x1, x2) ∈ R2 : −x1 + 3x2 > 0} l mët tªp mð
Chùng minh X²t ¡nh x¤ f :R2 −→R, (x1, x2) 7−→ −x1 + 3x2
Ta th§y f l ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n R2
L§y ÷ñc b§t k¼ (x01, x02) ∈ R2 ta c¦n chùng minh f li¶n töc t¤i iºm
(x01, x02) tùc ta c¦n chùng minh:
Vîi måi ε > 0, tçn t¤i γ > 0 sao cho d((x1, x2), (x01, x02)) < γ
th¼ |f (x1, x2) − f (x01, x02)| < ε, vîi måi (x1, x2) ∈ R2
Ta câ:
|f (x1, x2)−f (x01, x02)| = |−x1+3x2+x01−3x02| = |(−x1+x01)+3(x2−x02)|
p döng b§t ¯ng thùc Bunhiacopski cho bë sè1, 3, −(x1+x01), (x2−x02)
Ta câ:
|f (x1, x2) − f (x01, x02)| ≤ p(12 + 32).[(−x1 + x01)2 + (x2 − x0
2)2]
⇐⇒ |f (x1, x2) − f (x01, x02)| ≤ √
10.p(−x1 + x01)2 + (x2 − X0
2)2
Chån γ = √ε
10 vîi måi ε > 0, tçn t¤i γ = √ε
10 m :
d((x1, x2), (x01, x02)) < γ
⇐⇒ |f (x1, x2) − f (x01, x02)| < ε
Vªy f li¶n töc tr¶n R2
f−1(0, +∞) = {(x1, x2) ∈ R2|f (x1, x2) ∈ (0, +∞)} = {−x1 + 3x2 ∈ (0, +∞)}
={(x1, x2) ∈ R2| − x1 + 3x2 > 0} = A
Ta câ (0; +∞) l tªp mð trong R v¼ vîi måi x0 ∈ (0; +∞) th¼ luæn tçn t¤i h¼nh c¦u mð B(x0, r) ⊂ (0; +∞)
Trang 123.3 Mët sè l÷u þ
T½nh ch§t mð cõa mët tªp U trong mët khæng gian n o â câ thº
÷ñc b£o to n trong mët khæng gian lîn hìn
Ch¯ng h¤n, n¸uU l tªp hñp c¡c sè húu t täng kho£ng(0, 1), khi âU
l mð trong tªp c¡c sè húu t, nh÷ng khæng mð trong tªp c¡c sè thüc. â
l v¼, khi x²t U trong t¥p c¡c sè húu t, måi l¥n cªn cõa iºm x ∈ U
ch¿ gçm c¡c sè húu t
Tuy nhi¶n, khi x²t U nh÷ tªp con cõa tªp c¡c sè thüc, c¡c l¥n cªn b§t
ký cõa iºm x ·u chùa c£ c¡c iºm væ t v húu t v do â khæng thº n¬m trån trong U
Mët sè tªp hñp vøa mð, vøa l âng: Trong R v c¡c khæng gian li¶n thæng, ch¿ câ tªp φ v to n bë khæng gian l vøa âng vøa mð Tªp hñp c¡c sè húu t nhä hìn C«n(2) l vøa dâng vøa mð trong c¡c tªp sè húu t
Trong khi â, mët sè tªp kh¡c l khæng âng công khæng mð V½ dö
(0, 1] trong R
4 Ph¥n t½ch tri thùc luªn cõa kh¡i ni»m tªp mð
4.1 Qu¡ tr¼nh h¼nh th nh v ph¡t triºn cõa kh¡i ni»m tªp mð trong làch sû
4.1.1 Dedekind vîi quan ni»m nguy¶n thõy v· tªp mð(Tr÷îc 1978) Dedekind l ng÷íi câ nhúng þ t÷ðng ¦u ti¶n v· tªp mð m°c dò æng gåi nâ vîi mët c¡i t¶n kh¡c l "Korper" Ng y 19/01/1879, Dedekind
câ gûi cho Cantor 1 bùc th÷, trong â câ · cªp ¸n b£n th£o câ tüa
· General Theorems about Spaces, bt ¦u vîi ành ngh¾a cõa c¡i m æng gåi l mët"Korper":
Mët h»[tùc l tªp ] c¡ iºm p, p0 t¤o th nh mët Korper n¸u vîi méi iºm p cõa nâ, câ mët ë d i d sao cho t§t c£ c¡c iºm câ kho£ng c¡ch tø chóng ¸n p nhä hìn d th¼ thuëc P C¡c iºm p,p0 [ ÷ñc gåi
l ] n¬m trong P
Nh÷ vªy, Korper cõa Dedekind ch½nh x¡c l mët tªp mð trong khæng gian Euclide, câ thº l khæng gian n chi·u Æng sû döng kh¡i ni»m Korper º ành ngh¾a th¸ n o l mët iºm n¬m trong P
Nh÷ vªy, quan ni»m cõa Dedekind v· tªp mð l quan ni»m h¼nh håc,