(SKKN 2022) định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS và THPT nghi sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC BẰNG CÁCH SỬ

DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO HỌC

SINH LỚP 11 Ở TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN

Người thực hiện: Mai Như Quỳnh Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2022

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm. 2

2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong không gian 22.1.2 Quan hệ giữa hai đường thẳng vuông góc và Vectơ chỉ phương

2.1.3 Định nghĩa góc giữa hai Vectơ trong không gian 22.1.4 Định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ trong không gian 32.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng 32.1.6 Một số tính chất của tích vô hướng 42.1.7 Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 42.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 52.3.1 Các bài toán mở đầu về chứng minh hai đường thẳng vuông góc

bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ 62.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng

cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ 82.3.3 Đối với các bài toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng và góc

2.3.4 Đối với các bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 16

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC: Mẫu phiếu khảo sát học tập.

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống ở thế kỷ XXI, thế kỷ của nền kinh tế tri thức với sựphát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật và văn minh công nghệ thông tin

Để đáp ứng yêu cầu của thời đại và yêu cầu của sự nghiệp đổi mới đất nước,

Đảng ta đã khẳng định vai trò quan trọng của sự nghiệp giáo dục, trong đó Toán

học là một trong những bộ môn quan trọng trong nền giáo dục nước nhà

Mặc dù học sinh ngay từ lúc đi học đã được học và tiếp thu kiến thức Toánqua các năm học nhưng môn Toán không phải là bộ môn dễ dàng đối với tất cảhọc sinh, đặc biệt là bộ môn Hình học không gian trong chương trình ToánTrung học phổ thông

Thực tế giảng dạy cho thấy đối với các bài toán về Quan hệ vuông góc trong

không gian ở chương trình Toán 11 việc học sinh tìm ra lời giải của một bài toán

là không hề đơn giản, hầu hết đều mang tính tự phát, làm theo bản năng, không

có hệ thống hay phương pháp cụ thể Học sinh có thể tiếp thu rất nhanh khi đọc

hướng dẫn giải trong các ví dụ minh họa nhưng khi gặp các bài toán khác lạicảm thấy bế tắc, không có hướng giải quyết phù hợp

Trong quá trình giảng dạy bài “Hai đường thẳng vuông góc” trong sách

giáo khoa hình học 11, tôi thấy rằng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

ta thường dùng ba cách: dùng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, quan hệsong song và vuông góc của hai đường thẳng, chứng minh tích vô hướng của hai

Vectơ chỉ phương của chúng bằng 0 Hầu hết các bài tập ở bài “Hai đường

thẳng vuông góc” trong sách giáo khoa hình học 11 đều phải giải bằng cách

dùng tích vô hướng của hai Vectơ vì lý do đề bài không cho các yếu tố: đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Hơn nữa học sinh

chưa được học các kiến thức này Khi giải các bài tập trong bài “Hai đường thẳng vuông góc” trong sách giáo khoa, nhiều học sinh gặp lúng túng, thậm chí

không có căn cứ khoa học và tư duy lôgic để định hướng cách giải nên khôngthể giải được

Trước khó khăn của học sinh đã nêu ở trên, tôi chọn đề tài “Định hướng

lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS và THPT Nghi Sơn” nhằm hình thành cho học sinh cách tư duy khoa học, có cơ sở để giải

một số bài tập trong bài “Hai đường thẳng vuông góc” trong sách giáo khoa

nói riêng và các bài tập khác tương tự nói chung

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày cách để chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sửdụng tích vô hướng của hai Vectơ trong dạy học Hình học không gian 11 nhằmđịnh hướng lời giải bài toán cho học sinh, rèn luyện kỹ năng giải toán Vận dụngvào trong các tiết học Hình học và giúp nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

ở nhà trường

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằngcách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS

và THPT Nghi Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

- Phương pháp quan sát, điều tra, thống kê, phân tích, so sánh

- Phương pháp thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong không gian1

Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

2.1.3 Định nghĩa góc giữa hai Vectơ trong không gian3

Trong không gian, cho u và v là hai Vectơ khác Vectơ – không Lấy một

điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u AC v ,  .

BAC (00 BAC 1800) là góc giữa hai Vectơ u và v trong không gian, kí hiệu

là  u v ,

2.1.4 Định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ trong không gian4

a) Định nghĩa

Trong không gian cho hai Vectơ u và v đều khác Vectơ – không Tích vô

hướng của hai Vectơ u và v là một số, kí hiệu là u v , được xác định bởi công thức:

b) Nhận xét

Hai Vectơ u và v đều khác Vectơ – không vuông góc với nhau khi và chỉkhi u v  . 0

2.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng

a) Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ

Với ba điểm tùy ý A B C, , ta luôn có:

Cho hình hộp ABCD A B C D.     có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD,

Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: AB AD AA   AC

d) Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:

001

.( ) ;( ) ( ) ( )

minh A n Có nghĩa là: Muốn có X phải có A1, muốn có A1 phải có A2… muốn

có A n1 phải có A n A n là điều đã được khẳng định nên ta dừng lại Vì A n đúngnên X đúng.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế giảng dạy Toán học 11 ở trường THCS và THPT Nghi Sơn nămhọc 2020-2021 cho thấy:

- Trong việc học môn Toán nhất là bộ môn Hình học không gian của khánhiều học sinh lớp 11 là chưa tốt Đặc điểm cơ bản của môn học là môn học yêucầu các em học sinh có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suyluận lôgic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong các bàikiểm tra Phần lớn học sinh trung học phổ thông rất ngại học Hình học khônggian dẫn đến các em rất yếu về kỹ năng giải toán hình học

- Nhiều em chưa biết cách trình bày lời giải các bài toán về quan hệ vuônggóc trong không gian, sử dụng các kiến thức hình học đã được học chưa thuầnthục, lộn xộn trong lời giải của mình Cá biệt có một số học sinh vẽ hình quáxấu, không đáp ứng được yêu cầu của một bài giải hình học

- Trước những thực trạng nêu trên, tôi đã tiến hành khảo sát về mức độhứng thú học tập và tìm hiểu những khó khăn gặp phải của học sinh trong quátrình học môn Hình học không gian 11, kết quả thu được:

Tổng số học sinh tham gia khảo sát là 76 học sinh của 02 lớp 11A4 và 11A5 Kết quả câu hỏi số 1 trong phiếu khảo sát:

Nhận xét: Tỉ lệ học sinh không mấy hứng thú với việc học tập môn Hình

học không gian là khá cao chiếm 55,7%, trong đó có 22,5% không thích họcmôn Hình học không gian điều này làm ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng dạyhọc môn Toán tại trường

Có tình trạng trên là do nhiều nguyên nhân, trong đó: Do kiến thức tiền đềcủa các em các lớp dưới không tốt (mất gốc) chiếm 28,5% Do kiến thức Toánquá khó và khô khan kém hấp dẫn chiếm 40%, ngoài ra còn có các nguyên nhân

do ham chơi, chưa quyết tâm học tập chiếm 18%, do hoàn cảnh gia đình, cácđiều kiện xã hội tác động chiếm 9% và nguyên nhân khác chiếm 4,5%

Chất lượng học tập môn Toán lớp 11 còn thấp, cụ thể trong năm học

2020-2021 kết quả môn Toán của các lớp 11A4, 11A5 và 11A6 như sau:

SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ

11A

4 1 2,4% 11 26,8% 27 65,9% 6 4,9% 0 0%11A

5 1 2,5% 10 25,6% 25 64,1% 4 7,8% 0 0%11A

6 0 0% 10 23,3% 28 65,1% 7 9,3% 1 2,3%Kết quả chất lượng môn Toán năm học gần đây cho thấy tỉ lệ học sinhkhá, giỏi môn Toán là khá khiêm tốn, vẫn còn nhiều học sinh xếp loại học lựcyếu

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Từ những thực trạng nêu trên tôi đưa ra biện pháp nhằm mục đích nâng caohiệu quả giảng dạy và tạo hứng thú cho học sinh học môn Hình học không gianbằng cách định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông gócbằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở TrườngTHCS và THPT Nghi Sơn

2.3.1 Các bài toán mở đầu về chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ

 Bài toán 1: 6 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính

a)  AB AC.

;b)  AB BC.

;c) AB CD.

 

Giải:

c) Ta có AB CD AB AD AC    

Từ lời giải trên ta có nhận xét sau đây:

Nhận xét 1: Khi tính tích vô hướng của hai Vectơ mà đề bài cho yếu tố độ

dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Hai Vectơ có điểm chung hoặc cùng phương: Ta áp dụng

trực tiếp định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ để tính (như câu a và câu b củabài toán 1 chẳng hạn);

- Trường hợp 2: Hai Vectơ không có điểm chung và không cùng phương:

Ta có thể chuyển về hai Vectơ có điểm chung tương ứng bằng chúng rồi làmnhư trường hợp 1, hoặc phân tích một Vectơ thành các Vectơ khác sao cho cácVectơ này có điểm chung với Vectơ còn lại rồi dùng tính chất của tích vô hướng

và sau đó đưa về trường hợp 1 để tính

 Bài toán 2:7 Cho tứ diện ABCD có ABAC AB, BD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Tính AB PQ.

Từ lời giải trên ta có nhận xét sau đây:

Nhận xét 2: Khi tính tích vô hướng của hai Vectơ mà đề bài cho yếu tố

vuông góc giữa hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Nếu đề bài cho hai Vectơ đó vuông góc với nhau thì có

ngay kết quả là tích vô hướng của chúng bằng 0;

- Trường hợp 2: Nếu hai Vectơ không có điểm chung và không vuông góc

với nhau thì ta phải biến đổi tích vô hướng của hai Vectơ đã cho thành tổng cáctích vô hướng sao cho mỗi hạng tử của tổng là tích vô hướng của hai Vectơvuông góc với nhau và sau đó đưa về trường hợp 1 để tính

Hai nhận xét trên là cơ sở khoa học để học sinh định hướng lời giải cho cácbài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách dùng tích vô hướngcủa hai Vectơ

2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách

sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ

Muốn chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau ta chứng minh tích vô hướng của hai Vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

2.3.3 Đối với các bài toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng

Ví dụ 1: 8 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Chứng minh rằng: ACBD.+ Định hướng lời giải:

- Muốn chứng minh AC BD ta phải chứng minh  AC BD . 0

;

- Việc tính  AC BD.

trực tiếp bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì

AC và BD là hai đường thẳng chéo nhau và ta không tính được góc giữa hai Vectơ AC

và BD

bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;

- Nhận thấy rằng đề bài cho tứ diện đều cạnh a nên các mặt của tứ diện làcác tam giác đều Từ đó suy ra các góc ở đỉnh của tứ diện bằng nhau và cùngbằng 600 Do đó đây là bài toán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa haiđường thẳng;

- Theo bài toán 1c ta đã có  AB CD . 0

Từ đó áp dụng tương tự suy ra điềuphải chứng minh

- Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 1 như sau:

Ví dụ 2: 9 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC a  

và ASB BSC CSA   Chứng minh rằng: SB AC

+ Định hướng lời giải:

- Muốn chứng minh SBAC ta phải chứng minh SB AC   . 0

;

- Việc tính SB AC  .

bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì SB và AC

là hai đường thẳng chéo nhau và ta không tính được góc giữa hai Vectơ SB

và AC

bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;

- Nhận thấy rằng đề bài cho

- Do đó dựa vào nhận xét 1, để chứng minh SB AC   . 0

ta phải biến đổi

có chung điểm đầu là S với SB

), sau đó biến đổi

SB AC

 

làm xuất hiện tích vô hướng của các cặp Vectơ có chung điểm đầu là S

và dùng định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ để tính

+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải như sau:

Suy ra điều phải chứng minh

+ Với đề bài như ví dụ 2, giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh,

Ví dụ 3:10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD Biết SA AB , BAD SAD Chứng

minh MN SB

Định hướng lời giải:

10 Trích từ tài liệu tham khảo số [5]

- Muốn chứng minh MN SB ta phải chứng minh MN SB   . 0

;

- Việc tính MN SB  .

bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì MN

và SB là hai đường thẳng chéo nhau, ta không tính được góc giữa hai Vectơ MN



và SB

bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;

- Nhận thấy rằng đề bài cho SA AB , BAD SAD Do đó đây cũng là bàitoán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng;

+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải như sau

Như vậy dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ và nhận xét 1 ta có thể định

hướng được cách giải ba ví dụ trên một cách có căn cứ khoa học, tư duy lôgic.Đặc biệt ở ví dụ 2, ví dụ 3 ta thấy việc chứng minh hai đường thẳng vuông gócbằng cách dùng tích vô hướng của hai Vectơ là hợp lý và có thể nói là ngắn gọnnhất vì đề bài không cho quan hệ vuông góc nên việc chứng minh bằng phươngpháp khác gặp nhiều khó khăn

2.3.4 Đối với các bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng

Ví dụ 4: 11 Cho tứ diện ABCD có ABAC AB, BD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Chứng minh AB PQ

+ Định hướng lời giải:

- Muốn chứng minh ABPQ ta phải chứng minh  AB PQ  0

;

- Việc tính  AB PQ

bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì ta không

tính được góc giữa hai Vectơ AB

và PQ

bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;

- Nhận thấy rằng đề bài cho ABAC AB, BD Do đó đây là bài toáncho biết yếu tố cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng;

11 Trích từ tài liệu tham khảo số [1]

- Theo bài toán 2 ta đã ta có  AB PQ  0

Từ đó suy ra điều phảichứng minh

- Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 4 như sau

- Muốn chứng minh BDAC ta

phải chứng minh  BD AC. 0

;

- Việc tính BD AC.

 

bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì học

sinh không tính được góc giữa hai Vectơ BD

và AC

bằng định nghĩa gócgiữa hai Vectơ;

- Nhận thấy rằng đề bài cho hình lập phương ABCD A B C D.     Do đó đây

là bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng;

- Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh BD AC  . 0

ta phải biến đổi

+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 5 như sau:

0

AD AB

   (vì AB AD )

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 6: 13 Cho hình lập phương ABCD EFGH cạnh a Gọi M, N lần lượt là.

trung điểm của các cạnh GF và CD Chứng minh AM BN

13 Trích từ tài liệu tham khảo số [5]