(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, bám sát theo đề thi minh hoạ kỳ thi tốt nghiệp THPT của bộ GDĐT năm 2022

Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết khi học sinh học về nội dung nguyên hàm, tích phân, đa số học sinh khi học nội dung này còn khá yếu, chưa hìn

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết khi học sinh học

về nội dung nguyên hàm, tích phân, đa số học sinh khi học nội dung này còn khá yếu, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán

Năm học 2021- 2022, là năm học mà ngành giáo dục vẫn còn phải chịu ảnh hưởng nặng nề của đại dịch covid 19, có nhiều trường phải tổ chức dạy học trực tuyến cho học sinh Việc các em không được học trực tiếp cũng đã ảnh hưởng phần nào đến việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi giải toán nói chung và giải toán nguyên hàm, tích phân nói riêng Từ những khó khăn đó, giáo viên cần phải quan tâm hơn nữa, nỗ lực hơn nữa để hướng dẫn các em tiếp cận kiến thức và hình thành kỹ năng, kỹ xảo khi học về nội dung nguyên hàm, tích phân này

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng là phần quan trọng trong đề thi tốt nghiệp THPT qua các năm, thường có 7 đến 8 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, đủ các mức độ xuất hiện trong đề thi Để tạo điều kiện thuận lợi cho các em, đặc biệt là nâng cao chất lượng và hiệu quả khi ôn tập về nội dung này, tôi viết đề tài SKKN

‘‘Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, bám sát theo đề thi minh hoạ kỳ thi tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2022 ”

Vì đây là một nội dung hay và quan trọng trong chương trình giải tích lớp 12, đặc biệt

là trong đề thi tốt nghiệp THPT qua các năm nên đã có rất nhiều tài liệu và sách viết

về nội dung này, cũng như có rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu

và học tập Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ về quen đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc Đặc biệt qua mỗi năm việc ra đề của BGD&ĐT cũng có nhiều đổi mới, có nhiều dạng toán mới Chính

vì vậy, việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết đối với các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh thuộc các trường THPT đóng trên địa bàn trung du và miền núi

2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh nắm được cấu trúc và mức độ của đề thi tốt nghiệp THPT, cũng như cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, đồng thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản, để học sinh có thể giải quyết các bài toán về nguyên hàm và tích phân, hình thành cho các em thói quen tìm tòi, tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo, giải quyết các bài toán trong đời sống xã hội, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022

3 Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này, tôi tập trung nghiên cứu về định nghĩa và một số tính chất về nguyên hàm, tích phân, nghiên cứu về câu hỏi tích phân ở dạng trắc nghiệm khách

quan, nghiên cứu về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và vận dụng

nó trong các bài toán thực tế của đời sống xã hội

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài, tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như: phương pháp thống kê - phân loại; phương pháp phân tích - tổng hợp - đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải và một số phương pháp khác như phương pháp quy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hỏi trắc nghiệm khách quan

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên

hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết hướng dẫn học sinh giải bài tập phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó, nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập sẽ giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, từ đó dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải một bài toán, cũng như học sinh sẽ có hứng thú và động cơ học tập tốt hơn

Trong quá trình giảng dạy nội dung nguyên hàm và tích phân cho học sinh các

lớp 12 của trường THPT Thạch Thành 2, tôi thấy kỹ năng giải bài toán này của học

sinh còn yếu, đặc biệt là những bài toán vận dụng tích phân Do đó, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ

về quen; giáo viên cần phải thiết kế trình tự bài giảng hợp lý để giảm bớt những khó khăn trong việc giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài tập trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt được kết quả cao nhất có thể trong kiểm tra, đánh giá

và kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung nguyên hàm, tích phân là một phần kiến thức tương đối khó với học sinh nói chung, học sinh các trường miền núi nói riêng Học sinh rất nhanh quên và

không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán Trong kỳ thi tốt nghiệp

THPT từ năm 2017 đến nay, nội dung này đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm khách

quan và gắn liền với những vấn đề thực tế của đời sống xã hội Với tình hình ấy, để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán nguyên hàm, tích phân, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen cách tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải, đặc biệt là việc hình thành cho học sinh

kỹ năng quy lạ về quen, kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi, kỹ năng đọc hiểu bài toán

ứng dụng tích phân

Đối với học sinh lớp 12, trường THPT Thạch Thành 2, khi học về nội dung

nguyên hàm và tích phân, hầu hết các em mới chỉ dừng lại ở việc nắm được các kiến thức cơ bản, chỉ giải được các bài toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu, phần lớn các em chưa biết vận dụng các kiến thức, kỹ năng để áp dụng vào các bài toán ở các

mức độ cao hơn và phức tạp hơn, đặc biệt là các bài toán thực tế Chính vì vậy, tôi viết đề tài này nhằm hỗ trợ thêm cho giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán nguyên hàm, tích phân với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện

các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi

tốt nghiệp THPT năm 2022.

3 Các biện pháp thực hiện

3.1 Một số kiến thức cần nhớ

Tham khảo sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

3.2 Các nội dung chính

NỘI DUNG 1: NGUYÊN HÀM

Phân tích: Đây là một câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, học sinh chỉ cần nhớ các công thức trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp là có thể giải được ngay, cụ thể đó là công thức

1

1

x











 ,  1, khó khăn mà học sinh gặp phải trong câu hỏi này đó là việc  không nguyên, do đó phải thực hiện một phép tính phức tạp, lúc này giáo viên cần hướng dẫn các em cách sử dụng máy tính cầm tay để tính toán Để rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo và hình thành thói quen cho học sinh khi làm dạng câu hỏi này.

Lời giải Chọn C

Ta có  

5

f x dx x dx x C

Nhận xét: Khi dạy học sinh dạng câu hỏi này, hầu hết các em đã nắm được cách

giải Để giúp học sinh giải tốt hơn, đặc biệt là việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, tôi phát triển thêm một số câu hỏi sau đây

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 1: (Đề MH 2022) Trên khoảng 0; , họ nguyên hàm của hàm số

 

3 2

f x x là

A  

1 2

3 2

f x dx x C

2 5

5 2

f x dx x C

C.  

5 2

2 5

f x dx x C

1 2

2 3

f x dx x C

Câu 1.1: Trên khoảng (0;  ), họ nguyên hàm của hàm số 4

3 ( )

f x x là

4

f x dx x C

7 4 4 ( )

7

f x dx x C

7 4 7 ( )

4

f x dx x C

Câu 1.2: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )  3 x là

4

f x dx x C

4 3 (

3

f x dx x C

2 3 3 (

2 )

f x dx x C

Câu 1.3: Trên khoảng (0;  ), họ nguyên hàm của hàm số f x  1

x x

A

2

x C

2

C x

2

x C



Câu 1.4: Trên khoảng (0;  ), họ nguyên hàm của hàm số ( ) x3 1

x

( )



3 2 2 2 ( )



( )



3 2 2 3 ( )



Câu 1.5: Trên khoảng (0;  ), họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2

x

f x x là

A ( ) 2 32 4 12

3

2 4 2

2 ( )

3

C ( ) 3 32 4 12

2

2 2 2

2 ( )

3

Phân tích: Cũng giống như câu hỏi 1, đây là câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, học sinh chỉ cần nhớ các công thức trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

là có thể giải được, cụ thể đó là các công thức

1

dx dx x C 

Câu 2: (Đề MH 2022)Cho hàm số f x   1 sinx Khẳng định nào dưới đây

đúng?

A. f x x x d   cosx C B f x x x d  sinx C

C f x x x d  cosx C D f x x d cosx C

1

x











1 sinkxdx cosx C

k

1 coskxdx sinx C

k

kf x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

trên K

Lời giải Chọn A

Ta có f x x d  1 sin x xd 1dxsin dx x x  cosx C

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 2.1: Cho hàm số f x    1 cosx Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x x x d   sinx C . B f x x x d   sinx C .

C f x x x d   cosx C . D f x x d sinx C .

Câu 2.2: Cho hàm số f x   3 2cos 2x Khẳng định nào dưới đây đúng?

2

2

Câu 2.3: Hàm số F x   2x sin 2x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A f x   2 2 cos 2x B   2 1cos 2

2

C f x   2 2 cos 2x D   2 1cos 2

2

Câu 2.4: Họ nguyên hàm của hàm số f x  3x2 sinx là

A x3cosx C B x3 sinx C

C. x3 cosx C D 3x3  sinx C

Câu 2.5: Cho hàm số f x  2x 3sinx Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x x x d  2  3cosx C B. f x x x d  2 3cosx C

C f x x x d  2 cos3x C D f x x x d  2  cos3x C

NỘI DUNG 2: TÍCH PHÂN

Phân tích: Đối với câu này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của

kf x lg x dx k f x dx l g x dx 

Lời giải

Chọn C

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 3.1: Nếu  

3

2

d 2

f x x





3

2

7 d



3

2 d

g x x

 bằng



Câu 3.2: Nếu  

7

1

f x x





7

1

d 5

g x x





7

1

2f x 3g x dx



A.

11

Câu 3.3: Biết F x  sin 2x là một nguyên hàm của hàm số f x  trên ¡ Giá trị của

 

π

2

0

 f x x bằng

A   1 B

2



Câu 3.4: Cho  

1

0

d 2

f x x 

 và  

4

1

f x x 

4

0

d

f x x

Câu 3.5: Nếu  

2

1

3

f x dx 

2

1

2

g x dx 

2

1

f x  g x dx

Câu 3: (Đề MH 2022) Nếu  

5

2

d 3

f x x 

5

2

g x x 

5

2

d



bằng?

Phân tích: Đối với dạng câu hỏi này, giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của tích phân    

kf x dx k f x dx

  , với k 0, a b  là các em có thể

giải được, tuy nhiên để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm một số câu phát triển dưới đây.

Lời giải

Chọn A

3f x dx3 f x dx3.2 6

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 4.1:Nếu  

3

0

d 4

f x x 

3

0

3f x xd

Câu 4.2: Nếu  

3

2

f x x





3

2

3f x xd

Câu 4.3: Biết  

2021

2020

4041 d

2

f x x 

2021

2020

2f x xd

A 4041

2 D 2020

Câu 4.4: Cho  

1

0

d 2

f x x 

 và  

1

0

d 5

g x x 

1

0

f x  g x x

Câu 4.5: Cho  

2

1

d 2

f x x





2

1

g x x





2

1



    .

2

2

2

2

I 

Câu 4: (Đề MH 2022)Nếu  

5

2

2

f x dx 

5

2

3 f x dx

Câu 5: (Đề MH 2022)Nếu  

3

1

d 2

f x x 

3

1

2 d 2

Phân tích: Khi gặp các câu hỏi dạng này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của tích phân, ngoài ra học sinh cần phải biết giải một số tích phân đơn giản

kf x dx k f x dx

  , với k 0, a b 

kf x lg x dx k f x dx l g x dx 

Lời giải

Chọn B Ta có:    

3

1

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 5.1: Cho  

5

2

d 10

f x x 

5

2

2 3  x 4f x dx

A 51

2



2



2



2

Câu 5.2: Cho  

2

1

4f x  2x dx 1

2

1

f x dx

Câu 5.3: Cho hai tích phân  

5

2

d 8

f x x





2

5

d 3

g x x





5

2



    .

A I 27 B I 3 C I 11 D I 13

Câu 5.4: Nếu

8

2 ( )d 10

f x x 

4

1 (2 ) 3 d

Câu 5.5: Nếu

1

0 (3 1)d 10

4

1 ( ) 4 d

3

Nhận xét: Như vậy, thông qua các câu hỏi từ 1 đến 5, ta nhận thấy rằng, các câu hỏi

này đều thuộc các mức độ nhận biết và thông hiểu, phù hợp với việc lấy kết quả để xét tốt nghiệp THPT Chính vì vậy, khi dạy cho học sinh các câu hỏi ở mức độ này, giáo viên yêu cầu các em cần nhớ được các công thức tính nguyên hàm và một số tích phân đơn giản thường gặp, cần nhớ một số các tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân Giáo viên hướng dẫn học sinh biết quy các câu hỏi từ lạ thành quen và có thể giải chi tiết một số câu minh hoạ này, để rồi từ đó yêu cầu các em tự làm các câu

hỏi phát triển, đối với những em có lực học khá và giỏi, giáo viên có thể cho các em tiếp cận với các câu hỏi ở mức độ cao hơn như dạng câu 6 và 7 dưới đây.

Phân tích: Đây là câu hỏi thuộc mức độ vận dụng, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, phải có cách nhìn bao quát, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về nguyên hàm và tích phân, từ đó các em mới quan sát thấy được mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước như sau

B1: Tìm hàm số f x  

Ta có f x  f x dx'   12x2 2dx4x32x C

Vì f  1  3 4.13 2.1C  3 C 3

Do đó f x  4x32x 3

B2: Tìm hàm số F x 

1

F x f x dx x  x dx x x  x C

 0 2 04 02 3.0 1 2 1 2

Do đó F x  x4x2  3x2

B3: Tính F 1

Vậy F 1  14 12  3.1 2 1 

Lời giải Chọn B

Ta có f x  f x dx'   12x2 2dx4x32x C

Vì f  1  3 4.13 2.1C  3 C 3

Do đó f x  4x32x 3

1

F x f x dx x  x dx x x  x C

Do đó F x  x4x2  3x2

Vậy F 1  14 12  3.1 2 1 

Câu 6: (Đề MH 2022) Cho hàm số yf x  có đạo hàm là

  12 2 2,

f x  x    x và f  1  3 Biết F x  là nguyên hàm của f x  thỏa mãn F 0  2, khi đó F 1 bằng

Nhận xét: Thực tế khi giảng dạy các câu hỏi dạng này tại trường THPT Thạch

Thành 2, có rất nhiều học sinh ban đầu chưa giải được, sau khi được giáo viên hướng dẫn, các em đã từng bước biết cách giải, biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức tổng hợp để áp dụng vào giải toán Để giúp học sinh rèn luyện thêm về kỹ năng và kỹ xảo, giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm một số câu phát triển dưới đây.

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 6.1: Cho hàm số yf x  có đạo hàm là f x'   20x3  6 ,x x   và f  1  2

Biết F x  là nguyên hàm của f x  thỏa mãn F 1  3, khi đó F 2 bằng

Lời giải Chọn A.

Ta có f x  f x dx'    20x3  6x dx  5x4  3x2 C

Với f  1    2 5 1 4 3 1 2C  2 C 4

Do đó f x  5x4  3x2  4

Ta lại có F x  f x dx     5x4  3x2  4dx x5 x3  4x C '

Với F 1    3 1 5  1 3  4.1 C' 3   C'  1

Do đó F x  x5x3 4x 1

Vậy F 2  2 5  2 3  4.2 1   17

Câu 6.2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm là f x'  4sin 2x cos ,x x   và f  0  2

Biết F x  là nguyên hàm của f x  thỏa mãn F    3, khi đó

2

F

  bằng

Lời giải Chọn D.

Ta có f x  f x dx'   4sin 2x cosx dx  2 cos 2x sinx C

Với f  0  2   2.cos 2.0 sin 0  C 2  C 0

Do đó f x  2cos 2x sinx

Ta lại có F x  f x dx     2cos 2x sinx dx  sin 2x cosx C '

Với F     3 sin 2   cos  C' 3   C' 2 

Vậy F x   sin 2x cosx 2

Câu 6.3: Cho f x  là một nguyên hàm của hàm số f x  x2 2x3,  x và

 0 2

f  Biết F x là nguyên hàm của f x thỏa mãn F 1  2, khi đó giá trị của F 2 bằng