(SKKN 2022) ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ để GIẢI một số bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN TỔNG hợp

Trong các đề thi THPT Quốc gia, tốt nghiệp THPT, thi đành giá năng lực và thi HSG bậcTHPT tỉnh Thanh Hóa từ năm học 2021-2022 thường xuất hiện bài toán hình học không gian tổnghợp mà ở đ

Vì vậy tuy là CBQL ở một trường THPT miền núi cao, việc giảng dạy môn Toán không nhiềunhưng là giáo viên dạy Toán cũng đã có nhiều năm trao đổi và chia sẽ trong công tác chuyên môn của

bộ môn Toán Tôi thiết nghĩ, mỗi năm, mỗi giáo viên Toán chúng ta nên chọn một nội dung hướng tớinhững kỳ thi mà học sinh của chúng ta sẽ trãi qua để xây dựng, nghiên cứu, tìm hiểu, siêu tầm và hệthống lại thành một sáng kiến phục vụ cho công tác giảng dạy

Năm học 2018 – 2019 tôi đã lựa chọn nội dung: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một

số bài toán vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi THPTQGđồng thời lồng ghép tích hợp trong giải phương trình Mũ và Lôgarit’’ và được đánh giá xếp loại C cấpngành

Năm học 2019 – 2020 tôi đã lựa chọn nội dung: “Một số phương pháp giải phương trình lượng

giác TNKQ theo định hướng kỳ thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh đại học và thi chọn học sinh giỏi tỉnhsau này” và cũng được xếp loại C cấp ngành

Vì thế trong năm học 2021 – 2022 này phát huy những ưu điểm và tinh thần của toán học ThanhHoá tôi tiếp tục chọn một nội dung về Bài toán Hình học Không gian tổng hợp để viết sáng kiến Vớimong muốn đưa bài toán về những công thức sẵn có của hình học tọa độ trong không gian để tìm ra kếtquả nhanh nhất Có thể nó không mới đối với các Thầy, Cô giảng dạy bộ môn Toán THPT nhưng nóthực sự hữu ích để giúp học sinh bớt khó khăn hơn trong việc giải các Bài toán Hình học Không giantổng hợp Tôi vẫn biết từ năm học 2022-2023 tới đây, lớp 10 sẽ bắt đầu học theo Chương trình Giáodục phổ thông 2018 Nhưng những phương pháp giải toán này vẫn luôn đồng hành trong quá trìnhgiảng dạy của quý Thầy, Cô và học tập của các em học sinh THPT

Chúng ta đã biết:

Quá trình dạy học là một quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển năng lực tư duy cho họcsinh Muốn quá trình đạt kết quả cao ta phải kiểm tra, đánh giá sự nhận thức của học sinh nhằm phânloại học sinh một cách tốt nhất Từ đó rút ra kinh nghiệm, điều chỉnh phương thức dạy học đúng, phùhợp với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh Do đó quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu kiếnthức của học sinh là một khâu vô cùng quan trọng, nó chẳng những là khâu cuối cùng đánh giá độ tincậy cao về sản phẩm đào tạo mà nó còn có tác dụng điều tiết trở lại hết sức mạnh mẽ đối với quá trìnhđào tạo

Có nhiều cách để kiểm tra, đánh giá học sinh Trong đó, trắc nghiệm là phương pháp có thểđánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấm bài nhanh, khách quannhất Sự kết hợp giữa phương pháp trắc nghiệm và phương pháp tự luận lại càng đạt được kết quả và

1

độ tin cậy cao hơn Nhưng chắc chắn vẫn phải có quá trình tìm tra kết quả và đây là điều quan trọngtrong sáng kiến này.

Hiện nay phương pháp dạy và học, cơ cấu và quy trình tổ chức đều có những thay đổi về bảnchất Người dạy trở thành chuyên gia hướng dẫn, giúp đỡ người học Người học hướng tới việc học tậpchủ động, biết tự thích nghi Môi trường hợp tác tư vấn, đối thoại trở nên quan trọng Kiến thức đượctruyền thụ một cách tích cực bởi cá nhân người học Toán học là môn học có nhiều điều kiện thuận lợi

để thực hiện các phương pháp dạy mới này Để phù hợp với phương pháp dạy học mới người giáo viêncũng cần đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá việc nhận thức của học sinh Trong quá trình giảngdạy môn Hình học lớp 11 và lớp 12 tôi nhận thấy môn học có nhiều điều kiện thuận lợi cho việc sửdụng hình thức kiểm tra trắc nghiệm

Qua kinh nghiệm giảng dạy môn toán THPT, tôi thấy rằng học sinh đa số đều yếu về kỹnăng giải toán hình học tổng hợp cả phần hình học phẳng và hình học không gian, đặc biệt là phầnhình học không gian tổng hợp ở học kì 2 lớp 11 và học kì 1 lớp 12, vì đây là phần học khó, đòi hỏitrí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng có thể học tốt được

Tuy nhiên, học sinh lại học tương đối tốt phần kiến thức “Phương pháp tọa độ trong khônggian” (còn được gọi là môn “Hình học giải tích” trong chương trình 12)

Trong các đề thi THPT Quốc gia, tốt nghiệp THPT, thi đành giá năng lực và thi HSG bậcTHPT tỉnh Thanh Hóa từ năm học 2021-2022 thường xuất hiện bài toán hình học không gian tổnghợp mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: dựnghình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện … Việc tiếp cận các lời giải đó thực tếcho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên, chẳng hạn bài toán tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựnghình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán để tìm ra kết quả và chọn đáp án đúng thì rõ ràng phươngpháp tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa

Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành

thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm với nội dụng: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP”.

Trong sáng kiến này, các bước cơ bản để giải một bài toán hình học không gian tổng hợpbằng phương pháp tọa độ sẽ được đưa ra từ các ví dụ minh họa, sau đó là ứng dụng vào giải một sốbài toán trong các đề thi của các năm gần đây

Trong quá trình viết sáng kiến không thể tránh khỏi các thiếu sót, rất mong quý Thầy, Côđóng góp ý kiến để tài liệu được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về phương pháp giải một số bài toán hình học không gian tônghợp

2

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán về hình học không gian tổng hợp trong sách giáo khoa, các đề thi THPTQG,các đề thi TN THPT, các đề thi đánh giá năng lực và các đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thanh Hóa

Trình bày một số kết quả nghiên cứu ban đầu để từ đó thấy rõ được vai trò của phương pháp giảimới Góp phần quan trọng giúp học sinh nâng cao năng lực giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm

- Khai thác tiềm năng dạy và học toán từ đó bồi dưỡng năng lực học toán cho các em học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy họcphần hình học không gian ở trường THPT Thường Xuân 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc

áp dụng phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Hình học, sách bàitập Hình học lớp 11, lớp 12 cả cơ bản và nâng cao, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy họctheo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đốichứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vôcùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy họcgiáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạtđộng tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rènluyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáoviên

Trong sách Hình học lớp 11, 12 đã đưa ra một số phương pháp giải một số bài toán hình họckhông gian tổng hợp nhưng chưa giải quyết được những bài toán phức tạp Vì vậy, tôi nhận thấy mìnhcần bổ sung và khắc sâu thêm phương pháp giải một số bài toán Hình học không gian tổng hợp để giảiquyết một số bài toán hình học không gian tổng hợp

Với mong muốn: Cung cấp cho học sinh các thao tác cơ bản nhất để chuyển đổi từ bài toán hìnhhọc tổng hợp về hình học giải tích và vận dụng kiến thức về hình học giải tích trong không gian để giảitoán

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy phần Hình học không gian giác tôi thấy các em rất bỡ ngỡ và khôngbiết định hướng với việc làm bài hình học không gian tổng hợp ở mức độ vân dụng và vận dụng cao dothường là kỹ năng làm bài còn chưa tốt dẫn đến dễ nhầm lẫn và không kịp thời gian làm hết bài Đề tàiđược viết từ tháng 9/2021 đến tháng 5/2022 nhằm giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 có thêmphương pháp giải toán hiệu quả

Số bài tập phù hợp với các kỳ thi hiện nay là rất ít và không đa dạng

3

Trường THPT Thường Xuân 3 là một trường nằm ở khu vực năm xuân của huyện ThườngXuân, có 5 xã đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, có nhiều học sinh là con em dân tộc thiểu số nênđiểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa vàkhó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em

2.3 Các nội dung đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiến thức được trìnhbày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao (chương III), các ví dụ được tổng hợp từcác bài tập trong Sách giáo khoa và Sách bài tập, các bài toán lấy từ các đề thi chính thức của BộGiáo dục và Đào tạo, đề thi đánh giá năng lực và đề thi HSG tỉnh

Các kí hiệu thường dùng trong sáng kiến:

+ VTPT: vectơ pháp tuyến, VTCP: vectơ chỉ phương+ (XYZ): mặt phẳng qua 3 điểm X, Y, Z

+ d (X, (P)): khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng (P) + d ((P), (Q)): khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) + d (a, b): khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

I GIỚI THIỆU NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến các vấn đề sau:

1) Kiến thức chuẩn bị về hình học giải tích trong không gian

2) Một số cách chọn hệ trục tọa độ trong không gian

3) Các dạng toán thường gặp

II CÁC VẤN ĐỀ CHI TIẾT CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1) Kiến thức chuẩn bị về hình học giải tích trong không gian.

Trước khi giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, học sinh cầnnắm được cách diễn đạt một số khái niệm hình học không gian bằng “ngôn ngữ” hình học giải tích

Từ đó, học sinh có thể chuyển bài toán hình học tổng hợp thành bài toán hình học giải tích để giảiquyết bài toán

 Đường thẳng song song với mặt phẳng: MN// P  MN n P               MN n P 0

, n P làVTPT của mp P  

 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: MN  P  MN

 Bốn điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi AB , AC ,

 Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) song song với nhau bằng khoảng

cách từ điểm M bất kì nằm trên đường thẳng d đến mp(P) o

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì nằmtrên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì nằmtrên đường thẳng này đến đường thẳng kia

 Góc giữa đường thẳng d có VTCP u và mặt phẳng (P) có VTPT n được xác định bởi

công thức: sin,  cos ,  .

Chọn gốc tọa độ là một trong 8 đỉnh Ba cạnh xuất phát từ một đỉnh nằm trên các trục tọa độ.

2.2 Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân

 Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáy của hình chóp

 Trục còn lại chứa đường trung bình của mặt bên

Chú ý: lăng trụ tam giác đều cũng chọn như vậy.

2.3 Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông

 Chọn đỉnh tam giác vuông ở đáy làm gốc Ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh này

2.4 Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi

 Chọn trục cao nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy

 Hai trục kia chứa hai đường chéo của đáy

6

Chú ý: Lăng trụ tứ giác đều cũng chọn như vậy.

2.5 Chóp tam giác có góc tam diện vuông

 Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh của góc tam diện vuông

 3 trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh của góc tam diện vuông đó

z

x

y A

D

C B

2.6 Tứ diện đều

Cách 1:

 Dựng hình lập phương ngoại tiếp hình tứ diện đều

 Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với đỉnh của hình lập phương

 3 cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên ba trục

Cách 2:

 Hai trục lần lượt chứa đường cao và một cạnh tương ứng của mặt BCD

 Trục còn lại vuông góc với mặt BCD cùng phương với đường cao AG.

2.7 Chóp tam giác đều Chọn như cách 2 ở trên.

2.8 Chóp tứ giác đều

7

 Trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp.

 Hai trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo đáy hình chóp (hai đường chéo này vuông góc với nhau)

2.9 Chóp tứ giác có đáy là hình thoi, các cạnh bên bằng nhau

Như chóp tứ giác đều

2.10 Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau

 Chọn hai trục chứa hai cạnh hình chữ nhật của đáy

 Trục thứ 3 vuông góc với đáy (cùng phương vói đường cao SO của hình chóp - trục Az nằmtrong mặt chéo (SAC))

3) Các dạng toán thường gặp

3.1 Dạng bài về hình lập phương

Trước hết, để làm quen với việc tọa độ hóa các bài toán hình học không gian tổng hợp, ta bắt

đầu bằng hai ví dụ đối với một hình đa diện có thể tọa độ hóa dễ dàng nhất, đó là hình lập phương Có thể khẳng định chắc chắn rằng mọi bài toán yêu cầu chứng minh các quan hệ hình học hoặc tính toán đối với hình lập phương đều có thể giải một cách ngắn gọn bằng phương pháp tọa độ

Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau Tính khoảng cáchgiữa hai mặt phẳng này;

b) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vuông góc với IJ (I, J lần lượt làtrung điểm của các cạnh BB’ và AD);

c) Gọi K là trung điểm của cạnh CC’ Chứng minh rằng hai

mặt phẳng (A’BD) và (KBD) vuông góc nhau

Giải

Do các cạnh AB, AD, AA’ đôi một vuông góc

nhau nên ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:

OA, tia ABtia Ox, tia ADtia Oy, tia AA’tia Oz.

8

K A

Khi đó, ta có:

A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),

C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1)

a) Chứng minh (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau Khoảng cách giữa chúng.

Dễ dàng thiết lập được phương trình của hai mặt phẳng:

= (1;1;–1) chính là một vectơ pháp tuyến của (AB’D’): x + y – z = 0, do đó A’C(AB’D’)

Mặt khác, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD nên I(1;0;1

+ Chứng minh hai mặt phẳng song song: viết phương trình của chúng và so sánh các hệ số + Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng của hai VTPT bằng 0.

+ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng của hai VTCP bằng 0 + Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng tỏ VTCP của đường thẳng chính

là một VTPT của mặt phẳng.

Tiếp theo, ta xét ví dụ về việc tọa độ hóa bài toán tính góc và khoảng cách trong không gian

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 và I là tâm của ABCD Gọi M, N, P

lần lượt là trung điểm của B’B, CD và A’D’

a) Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C’N và góc giữa hai mặt phẳng (PAI), (DCC’D’);

b) Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’

Giải

9

Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:

OA, tia ABtia Ox, tia ADtia Oy,

tia AA’tia Oz.

Khi đó, ta có:

A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),

C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1)

a) Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C’N

và góc giữa hai mặt phẳng (PAI, (DCC’D’).

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của

6' , '

Nhận xét: Đối với bài toán tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau khi giải bằng phương pháp cổ điển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất chính là dựng hình (trực tiếp hoặc gián tiếp) vốn đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững về phương pháp cũng như phải có sự suy nghĩ khá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương

I

P

M

N

pháp tiếp cận rất rõ ràng vì tất cả các yêu cầu trên đều đã có công thức, do đó còn lại là yêu cầu học sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính toán cơ bản để áp dụng được công thức đã có.

3.2 Dạng bài về chóp tam giác có góc tam diện vuông

Ví dụ kế tiếp ta chuyển sang một đối tượng hình không gian khác, đó hình tứ diện có ba cạnhxuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc nhau (gọi tắt là tam diện vuông) Phương án tọa độ hóa đốivới hình đa diện này và hình hộp chữ nhật là như nhau

Ví dụ 3 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c.

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O;

b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn;

c) Gọi , ,   lần lượt là góc giữa (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh

rằng: cos2 cos2cos21

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia OAtia Ox, tia OBtia Oy, tia OCtia Oz.

Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O.

Dễ thấy phương trình mặt phẳng (ABC) là x y z 1 bcx cay abz abc 0

Vậy tam giác ABC có ba góc đều nhọn.

c) Chứng minh cos 2cos 2 cos 21.

Với , ,   lần lượt là góc giữa (ABC)

và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB).

Dễ thấy các mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA),

x

y z

cos cos  cos 1 

Qua ba ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được

ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn.

Ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2, SC(ABC), tam giác ABC vuông tại A Các điểm M, N lần lượt di động trên tia AS và CB sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).

a) Tính độ dài đoạn MN theo a và t Tìm t sao cho MN ngắn nhất;

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

Giải

Nhận xét: tại vị trí điểm A hoặc điểm C ta nhận thấy đã có một cặp cạnh vuông góc (ABAC, CS

CA, CSCB) nhưng chưa đạt đủ điều kiện cần thiết là phải có ba cạnh đôi một vuông góc cùng xuất

phát từ một đỉnh, do đó ta dựng đường thẳng qua A và vuông góc với (ABC) (đường thẳng này song

hay MN là đường vuông góc chung của SA và BC 

Trên cơ sở các ví dụ minh họa đã được trình bày, ta có thể rút ra ba bước cơ bản sau đây đối

với việc giải bài toán hình học không gian tổng hợp bằng phương pháp tọa độ:

+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp

+ Xác định tọa độ các điểm liên quan

+ Chuyển bài toán hình không gian tổng hợp về bài toán tương ứng trong không gian tọa độ

và vận dụng các công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…)

3.3 Dạng bài tổng hợp trong các đề thi

Để rõ hơn về những ứng dụng mạnh mẽ và hiệu quả của phương pháp này, ta sẽ giải một số câuhình học không gian tổng hợp trong các đề thi trong các năm gần đây

3.3.1 Dạng bài về hình lăng trụ

Bài 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M

là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.

Giải

Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vuông

cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ

đứng, ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với

BO(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0; a 2)

C

C’

A

A’ B’

M